15.4 等腰三角形（等边三角形）（题型专练）数学新教材沪科版八年级上册

15.4 等腰三角形（等边三角形） 题型一 利用等边三角形的性质求角的度数 1．（24-25八年级下·河南·期末）已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知和均为等边三角形，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南濮阳·期末）如图，在等边的外侧作直线点C关于直线的对称点为点D，连接，．依题意补全图形，若，则 °． 5．（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，为坐标原点，点关于轴的对称点为，连接．．，，，若点在轴的负半轴上，则的度数为 ； 题型二 利用等边三角形的性质求线段长度 6．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，等边三角形的边长为9，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且，与相交于点P，于点F，若，，则的长为 ． 题型三 证明等边三角形 10．（24-25八年级上·吉林白城·期末）如图，中，于点，是延长线上的一点，且，请判断的形状，并证明你的结论．（温馨提示：请不要用全等证明） 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，与交于点M，，，，若，求证：是等边三角形． 12．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，为的中点，过点作于点，于点，已知，，求证：是等边三角形． 13．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接． (1)证明：； (2)若，证明：是等边三角形． 题型四 含30°角的直角三角形性质求解 14．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，，D是上一点，连接，若，，则的长为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 16．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在延长线上，若交BC于P，且，，则 ． 17．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，点D，E分别为等边三角形的边，上的点，且，与相交于点P， 于点Q．若，，则的长为 ． 18．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，，，点D在上，，求的值． 题型一 利用等边三角形的性质求最值 19．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在等边三角形中，，点在边上，当线段的值最小时，的长为 ． 20．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，是等边三角形的高线，为的中点，点是上的一个动点，当的周长最小时，的度数是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，，E是的中点，，则的最大值为（    ） A．25 B．19 C．20 D．21 22．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点为等边外一点，且，．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，等边中，是边上的中线，且，，分别是，上的动点，则的最小值等于（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 题型二 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题 24．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，顶点在第四象限，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 25．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知等边三角形的顶点，，规定把等边三角形“先沿轴翻折，再向左平移个单位长度”为一次变换，这样经过次变换后，的顶点的坐标为（ ） A． B． C． D． 26．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，点，点B，C在x轴上，Q是y轴上一点． （1） ； （2）点P从点A出发，先沿y轴到达点Q，再沿到达点B后停止运动，点P在y轴上运动的速度是它在直线上运动的速度的2倍，若点P按上述要求到达点B所用时间最短，则点Q的坐标为 ． 27．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图在等边中，的平分线交y轴于点D，C的坐标为 (1)如图1，求D的坐标． (2)如图2，E为x轴上任意一点，以为边，在第一象限内作等边，延长交y轴于点G，求的长． (3)如图3，在（1）条件下，M为y轴正半轴上D点上方的任意一点，在右上方作交延长线于N点，求的值． 题型三 探究等边三角形中的折叠问题 28．（23-24八年级上·安徽·期末）如图，是边长为1的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B．2 C． D．3 29．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知等边三角形，点为线段上一点，沿折叠得，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在等边边上取D、E两点，沿折叠，使点A落在边上的点F的位置，若，则 ．    31．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数为 ．（用含的式子表示） 题型四 探究等边三角形中的三角板问题 32．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在学习了轴对称后，小华在课外研究三角板时发现“两块完全相同的含有角的三角板可以拼成一个等边三角形”，请你帮他解决以下问题：在直角中，，点E，P分别在斜边和直角边上，则的最小值是 ． 33．（22-23八年级上·山西长治·期末）如图，某同学拿着含角的直角三角板绕点C逆时针旋转得到，连结，与AC相交于点O．已知，则OC的长为 ． 34．（21-22八年级上·山西临汾·期末）实践与探索：在数学综合与实践课上，老师让同学们以“两个含角的完全相同的直角三角形拼摆”为主题开展教学活动． (1)将两个三角板较长的直角边靠在一起，拼成了如图1所示的三角形，则是三角形，理由是             ； (2)经过拼摆，发现小组认真观察图1，得到了一个结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，并给出了证明的一部分．请将证明过程补充完整． 已知：如图2，是直角三角形，．求证：， 证明：如图3，延长BD至点C，使，连接． ∴． (3)实验小组受到了发现小组的启发，将图1中的以点D为旋转中心，按逆时针旋转，旋转后得到，如图4所示，与相交于点O，连接． 问题一：求证平分； 问题二：当点A恰好在的垂直平分线上时，则       ． 题型五 探究等边三角形中的动态问题 35．（21-22八年级上·广东江门·阶段练习）如图1所示，在边长为的等边中，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为，． (1)当　　时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，且动点，均以的速度同时出发．那么当取何值时，是直角三角形？请说明理由； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，且动点，均以的速度同时出发，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．试问线段的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度． 36．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形． 题型六 探究等边三角形中线段关系 37．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知为等边三角形，其边长为4．点P是边上一动点，连接． (1)如图1，点E在边上，且，连接交于点F． ①求证：； ②填空：______； (2)如图2，将绕点C顺时针旋转至，即，，连接交于点D，试确定与满足的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）的条件下，延长至点E，使，连接．在点P运动过程中，当时，则______． 38．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图1，是等边三角形，点D为边上一点，连接，点C关于的对称点为点E，连接． (1)若是的平分线，求的度数； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点F，，试探究，和三者之间满足的等量关系，并说明理由． 39．（24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究 如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接） (3)理解与应用 如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？请写出结论并证明． 题型七 等边三角形中的多结论问题判断正误 40．（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）如图，已知和都是等边三角形，且A，C，E三点共线．与交于点O，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤，其中正确结论的是（     ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①②④⑤ 41．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知等边三角形，，点D在上，点F在延长线上，，于E，于G．交于点P．则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①②④ 42．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，是等边三角形，是等腰直角二角形，，于点E，连接分别交，于点F，G，过点A作分别交，于点P，H．下面四个结论： ①；②；③；④． 其中一定正确的是 ． 43．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．已知，．“筝形”的对角线、相交于点．如下结论： ①是等边三角形； ②； ③； ④点、分别在线段、上，且，则， 其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 44．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）在和中，，，，连接，． (1)求证：； (2)若和 均为等边三角形，作直线，点 C 在直线l上且点 D 在 右侧，的延长线交l于E，连接，． ①求证：点D 在线段的垂直平分线上； ②若 斜边上的高为2，点C在直线l上运动，则 的最小值 = ． 45．（23-24八年级上·云南昆明·期中）数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．下面是一道探索几何图形中线段与数量关系的例子： 已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． 小星的思路是： (1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：________（填“>”，“<”或“=”）； (2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论：________（填“>”，“<”或“=”）；理由如下：（请你将理由补充完整） 证明：过点E作，交于点F． (3)【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.4 等腰三角形（等边三角形） 题型一 利用等边三角形的性质求角的度数 1．（24-25八年级下·河南·期末）已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，找出全等三角形是解题关键．根据等边三角形的性质证明，得到，再结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知和均为等边三角形，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，等边三角形的性质，因为和均为等边三角形，由等边三角形的性质得到，，，再利用角与角之间的关系求得，则，故可求． 【详解】解：∵ 和均为等边三角形， ∴ ，，， ∵ ，， ∴ 在和中 ∴ ∴ 故选：B． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到是解题的关键．作点E关于对称的点M，连接，与交于点F，推出最小时即为，再根据等边三角形的性质可得结果． 【详解】解：作点E关于对称的点M，连接，与交于点F， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴，平分， ∴M在上， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当时，最小，且为， ∵， ∴，即点M为中点， ∵是等边三角形， ∴平分， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级上·河南濮阳·期末）如图，在等边的外侧作直线点C关于直线的对称点为点D，连接，．依题意补全图形，若，则 °． 【答案】30 【分析】本题考查了图形的对称以及外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，根据题目要求作图，根据对称，得，利用外角可得结果． 【详解】解：作图如图示： ∵是等边三角形，点C与点D关于直线对称， ∴， ∵，点C与点D关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴ ∴, 故答案为：30． 5．（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，为坐标原点，点关于轴的对称点为，连接．．，，，若点在轴的负半轴上，则的度数为 ； 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 点关于轴的对称点为，求出，，从而求得，，即可由求解． 【详解】解：设交y轴于E，如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 点关于轴的对称点为， ，， ∴， ， 故答案为：． 题型二 利用等边三角形的性质求线段长度 6．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．由等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 7．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，等边三角形的边长为9，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】过点D作，交于F，先证是等边三角形，再证，得，设，则，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可． 【详解】解：如下图，过点D作，交于F，   是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， 点P为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，解题的关键是作辅助线证明． 8．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，由等边三角形性质得到，，根据含角的直角三角形求出，求出，再根据含角的直角三角形求出，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且，与相交于点P，于点F，若，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质并确定出全等三角形，然后求出是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，，然后利证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：7． 题型三 证明等边三角形 10．（24-25八年级上·吉林白城·期末）如图，中，于点，是延长线上的一点，且，请判断的形状，并证明你的结论．（温馨提示：请不要用全等证明） 【答案】是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键． 先由等腰三角形的“三线合一”得到，得到为的垂直平分线，从而，进而得到的三边相等，即可得出结论． 【详解】解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，与交于点M，，，，若，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定．先证明，得到，进而有，进而由即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 12．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，为的中点，过点作于点，于点，已知，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，等角对等边，先证明，则，所以，从而得到是等腰三角形，再通过三角形内角和定理得，最后由等边三角形判定方法即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 13．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接． (1)证明：； (2)若，证明：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线定义得到 即可证明，从而证明； （2）根据直角三角形的性质求出，，，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵于点M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形的判定、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题的关键． 题型四 含30°角的直角三角形性质求解 14．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，含30度的直角三角形，掌握相关知识点是解题关键．由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到，，进而得到，从而推出，，即可求出的长． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故选：D． 15．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，，D是上一点，连接，若，，则的长为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用等角对等边的性质是解题的关键． 先根据三角形外角性质得到，进而，又通过含30度的直角三角形的性质可得到的长，进而可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故选：A． 16．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在延长线上，若交BC于P，且，，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，直角三角形的性质，先根据等边三角形的性质得出，，根据直角三角形性质得出，根据三角形外角的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 17．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，点D，E分别为等边三角形的边，上的点，且，与相交于点P， 于点Q．若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】先证明，得到，再利用直角三角形的性质，计算即可． 【详解】解：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质和等边三角形性质是解题的关键． 18．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，，，点D在上，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形．求出，从而，再证明，进而可求出的值． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ， ． 在中，，， ，即， ． 题型一 利用等边三角形的性质求最值 19．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在等边三角形中，，点在边上，当线段的值最小时，的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂线段最短，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 由垂线段最短可得当时，的值最小，由等边三角形的性质可求解． 【详解】解：点在边上， 当时，的值最小， 又是等边三角形， ， 故答案为：3． 20．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，是等边三角形的高线，为的中点，点是上的一个动点，当的周长最小时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称求线段和的最小值，熟练掌握等边三角形的性质，轴对称求线段和的最小值是解题的关键． 根据点B与点C关于直线对称，连接，交于点N，当点P与点N重合时，取得最小值，的周长最小，根据等边三角形的性质，此时点N是三个内角角平分线的交点，故平分，计算即可． 【详解】连接，交于点N，连接，如图， ∵是等边三角形，是边上的高， ∴点B与点C关于直线对称， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， 当点P与点N重合时，取得最小值，的周长最小， 此时点N是三个内角的角平分线的交点， 故此时平分， 故， 故选：C． 21．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，，E是的中点，，则的最大值为（    ） A．25 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接，根据折叠的性质和等边三角形的判定与性质解答即可，熟练掌握其性质，正确添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的最大值为19， 故选：B． 22．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点为等边外一点，且，．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，如图，将绕点顺时针旋转至，连接、，根据旋转的性质得是等边三角形，得，根据等边三角形的性质得，，证明，得，继而得到，当点在上时取“”，此时取得最大值，即可得出结论．确定是解题的关键． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转至，连接、， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∴，即， 当点在上时取“”，此时取得最大值， ∴的最大值为． 故选：C． 23．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，等边中，是边上的中线，且，，分别是，上的动点，则的最小值等于（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、垂线段的性质，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键． 要求的最小值，需考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点F，连接， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴就是的最小值， ∵直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短， ∴时，最小， ∵是等边三角形， ∴是的中线， ∴， 即的最小值为8，故C正确． 故选：C． 题型二 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题 24．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，顶点在第四象限，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，图形与坐标的特点，掌握图形与坐标的特点，等边三角形的性质是解题的关键． 根据题意，作图如下，过点作于点，由等边三角形的性质得到，，则，由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下，过点作于点， ∵是等边三角形，，顶点在第四象限， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 25．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知等边三角形的顶点，，规定把等边三角形“先沿轴翻折，再向左平移个单位长度”为一次变换，这样经过次变换后，的顶点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化，平移和轴对称变换，以及等边三角形的性质的运用，确定出连续次这样的变换得到三角形在轴下方是解题的关键． 据轴对称判断出点变换后在轴上方，然后求出点纵坐标，再根据平移的距离求出点变换后的横坐标，最后写出即可． 【详解】解：是等边三角形， 点到轴的距离为， 横坐标为， ， 第次变换后的三角形在轴下方，点的纵坐标为，横坐标为， 所以，点的对应点的坐标是， 故选：D． 26．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，点，点B，C在x轴上，Q是y轴上一点． （1） ； （2）点P从点A出发，先沿y轴到达点Q，再沿到达点B后停止运动，点P在y轴上运动的速度是它在直线上运动的速度的2倍，若点P按上述要求到达点B所用时间最短，则点Q的坐标为 ． 【答案】 30 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质即可得解； （2）过点Q作于H，设点P在y轴的速度为x，则点P在上的速度为，表示出点P到达点B所用时间得到当有最小值时，点Q，点B，点H三点共线时，有最小值为的长，再由等边三角形的性质即可得解． 【详解】解：（1）∵是等边三角形，， ∴， 故答案为：30； （2）如图，过点Q作于H， 设点P在y轴的速度为x，则点P在上的速度为， ∴点P到达点B所用时间， ∴当有最小值时，点P到达点B所用时间最短， ∵， ∴， ∴， ∴当点Q，点B，点H三点共线时，有最小值为的长， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴点， 故答案为：． 27．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图在等边中，的平分线交y轴于点D，C的坐标为 (1)如图1，求D的坐标． (2)如图2，E为x轴上任意一点，以为边，在第一象限内作等边，延长交y轴于点G，求的长． (3)如图3，在（1）条件下，M为y轴正半轴上D点上方的任意一点，在右上方作交延长线于N点，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)6 【分析】（1）根据等边三角形的性质得，在中，根据勾股定理可得，再由C的坐标为，可得，然后根据直角三角形的性质可得，即可求出； （2）过点F作轴，垂足分别为K，H，，再证明，可得，即可求解； （3）在上截取，连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再证明是等边三角形，可得，从而得到，可得到点M，D，B，N四点共圆，从而得到，再证明，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，， ∴， 在中，， ∵C的坐标为， ∴， ∴， ∵的平分线交y轴于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； （2）解：如图，过点F作轴，垂足分别为K，H， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）解：如图，在上截取，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M，D，B，N四点共圆， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，添加适当辅助线构建全等三角形是解题的关键． 题型三 探究等边三角形中的折叠问题 28．（23-24八年级上·安徽·期末）如图，是边长为1的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质和折叠问题．根据等边三角形的性质和折叠性质进行解答即可得． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴， ∵，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处， ∴，， 则阴影部分图形的周长为：， 故选：D． 29．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知等边三角形，点为线段上一点，沿折叠得，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰及等边三角形的性质、三角形内角和定理，等边三角形的三个内角都相等，且都等于．由折叠性质可得得到，，再求出，利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可求出的度数，熟记三角形相关几何性质是解决问题的关键． 【详解】解：等边， ，， ，， ， 由折叠性质可得， ，， ， ， ， ， 故答案为：A． 30．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在等边边上取D、E两点，沿折叠，使点A落在边上的点F的位置，若，则 ．    【答案】/45度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形内角和定理等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． 先根据等边三角形的性质求出相关角度，再利用折叠性质得到角的等量关系，最后通过三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 31．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数为 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F，则， 由折叠可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 题型四 探究等边三角形中的三角板问题 32．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在学习了轴对称后，小华在课外研究三角板时发现“两块完全相同的含有角的三角板可以拼成一个等边三角形”，请你帮他解决以下问题：在直角中，，点E，P分别在斜边和直角边上，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查最短路径问题及等边三角形的性质，利用轴对称将的最小值转化为线段长是解题的关键．作点B关于的对称点，过作交于点P，则的最小值为求出即可． 【详解】解：如图：作点B关于的对称点，过作交于点P， 连接， 由题意可得两块完全相同的含有的三角板可以拼成一个等边三角形， ∴， ，当点、P、E共线，且时取等号， 的最小值为， ，， ， ∴的最小值为6， 故答案为：6． 33．（22-23八年级上·山西长治·期末）如图，某同学拿着含角的直角三角板绕点C逆时针旋转得到，连结，与AC相交于点O．已知，则OC的长为 ． 【答案】2 【分析】连接，由题意可得为等边三角形，，再根据，，得到垂直平分，即可解得． 【详解】如图，连接， ∵含角的直角三角板绕点C逆时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 34．（21-22八年级上·山西临汾·期末）实践与探索：在数学综合与实践课上，老师让同学们以“两个含角的完全相同的直角三角形拼摆”为主题开展教学活动． (1)将两个三角板较长的直角边靠在一起，拼成了如图1所示的三角形，则是三角形，理由是             ； (2)经过拼摆，发现小组认真观察图1，得到了一个结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，并给出了证明的一部分．请将证明过程补充完整． 已知：如图2，是直角三角形，．求证：， 证明：如图3，延长BD至点C，使，连接． ∴． (3)实验小组受到了发现小组的启发，将图1中的以点D为旋转中心，按逆时针旋转，旋转后得到，如图4所示，与相交于点O，连接． 问题一：求证平分； 问题二：当点A恰好在的垂直平分线上时，则       ． 【答案】(1)有一个角为的等腰三角形是等边三角形 (2)详见解析 (3)问题一：见解析；问题二： 【分析】（1）由全等三角形的性质得，则，再由等边三角形的判定即可得出结论； （2）延长至点C，使，连接．证，得，，再证是等边三角形，得，即可得出结论； （3）问题一：连接，证，得，即可得出结论； 问题二：连接，由旋转的性质得，再由线段垂直平分线的性质得，则，得，由问题一可知，，即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴是等边三角形（有一个角为的等腰三角形是等边三角形）， 故答案为：有一个角为的等腰三角形是等边三角形， （2）证明：如图3， 延长至点C，使，连接， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）问题一：证明：如图4，连接， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； 问题二：解：如图5，连接， 由旋转的性质得：， ∵点A恰好在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由问题一可知，平分， ∴， ∴， 故答案为：120． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的判定以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 题型五 探究等边三角形中的动态问题 35．（21-22八年级上·广东江门·阶段练习）如图1所示，在边长为的等边中，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为，． (1)当　　时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，且动点，均以的速度同时出发．那么当取何值时，是直角三角形？请说明理由； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，且动点，均以的速度同时出发，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．试问线段的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度． 【答案】(1) (2)当为或时，是直角三角形 (3)的长度不变化，为 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由题意可得，求出，由直角三角形的性质可得，即可得解； （2）分两种情况：当时，当时，分别利用直角三角形的性质列出一元一次方程，解方程即可得解； （3）过点作交的延长线于，证明，得出，，证明，得出，求出，即可得解． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，设点的运动时间为，， ∴； （2）解：∵是直角三角形， ∴分两种情况：当时，如图： 则， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图： 则， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当为或时，是直角三角形； （3）解：的长度不变化，为， 如图，过点作交的延长线于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长度不变化，为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 36．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据角平分线的定义可得，根据题意可推出，证明，即可证明； （2）由，结合题意可推出，，证明，得到，，证明是等边三角形，得到，推出，结合，即可证明． 【详解】（1）证明：平分， ， 在和中，， ； （2）如图，在上截取，连接， ， 在和中， ， ， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形． 题型六 探究等边三角形中线段关系 37．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知为等边三角形，其边长为4．点P是边上一动点，连接． (1)如图1，点E在边上，且，连接交于点F． ①求证：； ②填空：______； (2)如图2，将绕点C顺时针旋转至，即，，连接交于点D，试确定与满足的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）的条件下，延长至点E，使，连接．在点P运动过程中，当时，则______． 【答案】(1)①详见解析；② (2)4 (3) 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）①证明即可；②根据全等三角形的性质及三角形的外角即可求出； （2）在上截取，连接，证明，推出，即可得到结论； （3）延长至M，使，连接．证明，推出是等边三角形，得到，即可求出答案． 【详解】（1）①证明：是等边三角形， ，，         在和中， ，     ；         ②∵， ∴， ∴ 故答案为； （2）如图2，在上截取，连接， 由（1）可知，，， ， ，         ， ， ， ，，         在和中          ， ； （3）如图3，延长至M，使，连接． ∵，，， ∴， ∴，， ∵，则， ∴是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 由（2）可知，则， 故答案为：． 38．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图1，是等边三角形，点D为边上一点，连接，点C关于的对称点为点E，连接． (1)若是的平分线，求的度数； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点F，，试探究，和三者之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)， 理由见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． （1）设，根据对称得出， 由求出解题即可果； （2）连接， 在上截取， 连接，可推出， 进而得出， ， 进一步得出结果． 【详解】（1）解：设， ∵点与点关于对称， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下： 连接， 在上截取， 连接， ∵点与点关于对称， ∴， ， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴， ∵， ， ， ， ， ． 39．（24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究 如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接） (3)理解与应用 如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？请写出结论并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握，是解题的关键．（1）替代，中的即可；（2）连接，利用计算即可；（2）连接，利用计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 连接， 则， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 连接， 则， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型七 等边三角形中的多结论问题判断正误 40．（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）如图，已知和都是等边三角形，且A，C，E三点共线．与交于点O，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤，其中正确结论的是（     ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】由等边三角形的性质，证，即可判断①结论；根据全等三角形的性质，得到，结合对顶角相等可推出，然后根据三角形外角的性质，即可判断②结论；证明，即可判断③结论；根据全等三角形的性质，结合等边三角形的判定，即可判断④结论：根据等边三角形的性质，得出，即可判断⑤结论． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①结论正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 故②结论错误； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故③结论正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， 故④结论正确； ∴， ∴， ∴， 故⑤结论正确； 即正确结论的是①③④⑤， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形判定和的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 41．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知等边三角形，，点D在上，点F在延长线上，，于E，于G．交于点P．则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质，利用等边三角形的性质得到，则，则可根据“”判定，所以；于是可对①进行判断；利用可判断，则可对②进行判断；由于只有当时，，则可对③进行判断；利用得到，加上，所以，从而得到，于是可对④进行判断． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵于E，于G， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 所以①正确； 在和中， ， ∴， 所以②正确； ∵， ∴只有当时，， 所以③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以④正确． 故选：D． 42．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，是等边三角形，是等腰直角二角形，，于点E，连接分别交，于点F，G，过点A作分别交，于点P，H．下面四个结论： ①；②；③；④． 其中一定正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质可得是等腰三角形，，求解可知①正确；由等腰直角三角形的性质以及三线合一定理得出，由三角形的内角和可求出，通过证明即可得到；，可知②正确，由 ，可得，，可得③错误；如图，取的中点，连接，，证明，证明为等边三角形，可得，可得，则④正确． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴是等腰三角形，， ∴， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， 又∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故②正确； ∵，， ∴， ∴，故③错误； 如图，取的中点，连接，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，     ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，作出合适的辅助线是解决本题的关键． 43．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．已知，．“筝形”的对角线、相交于点．如下结论： ①是等边三角形； ②； ③； ④点、分别在线段、上，且，则， 其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】由“筝形”的性质可得，，根据等边三角形的判定即可得出结论，故可判定①；证明，根据全等三角形的性质可得，，由直角三角形的性质即可得出与的数量关系，故可判定②；由面积关系可求出四边形的面积，故可判定③；延长到，使，连接，证明，可得，，证明，可得，由线段和差关系可得结论，故可判断④． 【详解】解：∵四边形是“筝形”四边形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，故结论①正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴，故结论②正确； ∵， ∴， ∵，故结论③错误； 如图所示，延长到，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角的直角三角形，三角形的面积等知识点．理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 44．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）在和中，，，，连接，． (1)求证：； (2)若和 均为等边三角形，作直线，点 C 在直线l上且点 D 在 右侧，的延长线交l于E，连接，． ①求证：点D 在线段的垂直平分线上； ②若 斜边上的高为2，点C在直线l上运动，则 的最小值 = ． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）先证明，再利用证明即可； （2）①证明，可得，再证明，是的垂直平分线，从而可得结论；②如图，过作于，则，证明，可得当，，三点共线时，则，此时最小，再利用含的直角三角形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）①∵和 均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴点D 在线段的垂直平分线上； ②如图，过作于，则， 由①得：是的垂直平分线， ∴， ∴， 当，，三点共线时， 则，此时最小， ∵，， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定，线段的垂直平分线的定义与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 45．（23-24八年级上·云南昆明·期中）数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．下面是一道探索几何图形中线段与数量关系的例子： 已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． 小星的思路是： (1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：________（填“>”，“<”或“=”）； (2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论：________（填“>”，“<”或“=”）；理由如下：（请你将理由补充完整） 证明：过点E作，交于点F． (3)【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）由E为等边三角形边的中点，利用三线合一得到垂直于，且为角平分线，由，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证； （2）过点E作，交于点F，由为等边三角形，得到三角形为等边三角形，进而得到，，再由，以及等式的性质得到夹角相等，利用得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，等量代换即可得证； （3）如图所示，同理可得，由求出的长即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下， 过点E作，交于点F， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则； （3）如图3所示，作，交的延长线于点F，则， 同理可得：是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，而， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$