1. 4. 2 充要条件课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“充要条件”核心知识点，通过自主学习任务单梳理定义、微思考及基础练习导入，衔接前期充分、必要条件知识，搭建预习支架帮助学生初步理解概念及等价关系。 其亮点是题型分类清晰，结合集合思想直观分析条件关系，通过充要条件证明等典例培养逻辑推理与数学抽象素养。步骤化方法指导助力学生规范思维，教师可直接利用例题练习提升教学效率，促进学生深度学习。

1. 4. 2　充要条件 明确目标 发展素养 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义 2.理解数学定义与充要条件的关系 1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养 2.借助充要条件的应用，培养数学运算素养 p⇒q q⇒p p⇔q 充要 充要 答案：C　 答案：C　 题型二　利用充分、必要条件求参数　 【学透用活】 从集合角度看充分、必要条件 如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表. 知识点　充要条件 (一)教材梳理填空 1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有______，又有______，就记作______.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为_____条件． 2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为_____条件． [微思考]　若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．这种说法正确吗？ 提示：正确．若p是q的充要条件，则p⇔q. 即p等价于q.故此说法正确． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立． (　　) (2)若p/⇒q和q/⇒p有一个成立，则p有可能是q的充要条件． (　　) 答案：(1)√　(2)× 2．已知p：x＝1或x＝－1，q：x2－1＝0.则p是q的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：∵x2－1＝0时，x＝1或x＝－1.∴“x＝1或x＝－1”⇔“x2－1＝0”，即p是q的充要条件，故选C. 3．设A，B是两个集合，p：“A∩B＝A”，q：“A⊆B”，则p是q的________条件，q是p的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”) 解析：∵A∩B＝A⇔A⊆B，∴p是q的充要条件，q是p的充要条件． 答案：充要　充要 题型一　充要条件的判断　 【学透用活】 条件p与结论q的关系与充分、必要条件 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，但q/⇒p p是q的充分不必要条件 q⇒p，但p/⇒q p是q的必要不充分条件 p⇒q且q⇒p，即p⇔q p与q互为充要条件 p/⇒q，且q/⇒p p是q的既不充分也不必要条件 [典例1]　(多选)下列各题中，p是q的充要条件的是 (　　) A．p：a≠0，q：y＝ax2＋bx＋c为二次函数 B．p：x＞0，y＞0，q：xy＞0 C．p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分 D．p：x＝1或x＝2，q：x－1＝ [解析]　在A、D中，p⇔q，∴p是q的充要条件；在B、C中，q/⇒p，∴p不是q的充要条件．故选A、D. [答案]　AD 判断充分、必要条件的步骤 【对点练清】 1．设集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：p＝3⇒A＝{－1,3,2}⇒B⊆A⇒A∩B＝B，所以是充分条件；反之，A∩B＝B⇒B⊆A⇒{2,3}⊆{2，－1，p}⇒p＝3，所以是必要条件．故选C. 2．下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (2)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形； (3)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 解：(1)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， ∴p是q的充要条件． (2)∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形， ∴p不是q的充要条件，p是q的充分不必要条件． (3)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA， ∴p是q的充要条件． 记法 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 关系 AB BA A＝B AB且BA 图示 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 [典例2]　已知p：1≤x≤a(a≥1)，q：1≤x≤2. (1)当a为何值时，p是q的充分不必要条件？ (2)当a为何值时，p是q的必要不充分条件？ (3)当a为何值时，p是q的充要条件？ 解：(1)因为p是q的充分不必要条件， 所以{x|1≤x≤a}{x|1≤x≤2}，所以1≤a＜2. 所以当1≤a＜2时，p是q的充分不必要条件． (2)因为p是q的必要不充分条件， 所以{x|1≤x≤2}{x|1≤x≤a}，所以a＞2. 所以当a＞2时，p是q的必要不充分条件． (3)因为p是q的充要条件， 所以{x|1≤x≤2}＝{x|1≤x≤a}，此时a＝2. 所以当a＝2时，p是q的充要条件． 由条件关系求参数的值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系． (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．　　 【对点练清】 1．[变设问]若本例条件不变，当a为何值时，q是p的充分不必要条件？ 解：若q是p的充分不必要条件，即q⇒p，但p/⇒q，亦即p是q的必要不充分条件，此时a>2. 所以当a＞2时，q是p的充分不必要条件． 2．[变设问]若本例条件不变，当a为何值时，q是p的必要不充分条件？ 解：若q是p的必要不充分条件，即p⇒q，但q/⇒p，亦即p是q的充分不必要条件，此时1≤a<2. 所以当1≤a＜2时，q是p的必要不充分条件． 题型三　充要条件的证明与探究　 【学透用活】 [典例3]　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 证明：充分性(由ac＜0推证方程有一正根和一负根)． 因为ac＜0，所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，所以方程一定有两个不等实根． 设两根分别为x1，x2，则x1x2＝＜0， 所以方程的两根异号． 即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 必要性(由方程有一正根和一负根推证ac＜0)． 因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2， 则由根与系数的关系得x1x2＝＜0，即ac＜0. 综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 充要条件的证明思路 根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，应证明两个方面： (1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p. (2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.　　 【对点练清】 1．关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的所有根的和为2的充要条件是________． 解析：当m＝0时，方程为－x＋2＝0，解得x＝2；当m≠0时，方程为一元二次方程，设x1，x2是方程的解，则x1＋x2＝，若x1＋x2＝2，解方程＝2，得m＝－或m＝1.当m＝－或m＝1时，Δ＝(m＋1)2－8m2＜0. 即当m＝－或m＝1时，方程无解．故当m＝0时符合题意． 答案：m＝0. 2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0. 证明：①充分性． ∵a－b＋c＝0，∴a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0， ∴x＝－1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根， ∴a－b＋c＝0是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充分条件． ②必要性． ∵x＝－1是方程ax2＋bx＋c＝0的根， ∴a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0， ∴a－b＋c＝0是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的必要条件． 综合①②，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0. 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．已知m∈Z，关于x的一元二次方程x2－4x＋4m＝0，x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求上述两个方程的根都是整数的充要条件． 解：方程x2－4x＋4m＝0有实数根⇔Δ＝16－16m≥0，即m≤1， 方程x2－4mx＋4m2－4m－5＝0有实数根⇔Δ＝16m＋20≥0，即m≥－， 所以上述两个方程都有实数根⇔－≤m≤1. 因为m∈Z，所以m＝－1,0,1. 当m＝－1时，方程x2－4x＋4m＝0可化为x2－4x－4＝0，无整数根； 当m＝0时，方程x2－4mx＋4m2－4m－5＝0可化为x2－5＝0，无整数根； 当m＝1时，上述两个方程都有整数根． 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是m＝1. 二、创新性——强调创新意识和创新思维 2．有以下条件：①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件．请在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 已知集合A＝{x|－2≤x≤6}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}． 探究：若x∈A是x∈B成立的________条件，判断实数m是否存在． 解：若选择条件①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集， 则有或解得m≥5， 所以实数m的取值范围是{m|m≥5}． 若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件，则集合B是集合A的真子集， 则有或解得0＜m≤3， 所以实数m的取值范围是{m|0＜m≤3}． 若选择条件③，即x∈A是x∈B成立的充要条件， 则集合A等于集合B，则有方程组无解． 所以不存在满足条件的实数m. $$