15-1.4.2 充要条件-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件(人教A版)

1.4 充分条件与必要条件 1.4.2 充要条件 1 老张邀请朋友吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事 不能到场，老张说：“该来的没有来．”张三听了，走了．老张愣了片刻， 又道：“不该走的又走了．”李四大怒，拂袖而去．这个小故事就蕴含了我 们这节将要讲的知识哦. 返回导航 新课导入 2 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的含义． 2.会判断一些简单的充要条件问题． 3.能对充要条件进行证明． 返回导航 学习目标 3 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 4 PART 01 新知学习 探究 5 一 逆命题 已知命题：若，则 . 思考1 该命题是真命题还是假命题？ 提示：是假命题，如,但 . 思考2 若，则 ，是真命题吗？ 提示：是假命题，如，有 . 返回导航 6 ［知识梳理］ 将命题“若,则”中的条件和结论 互换，就得到一个新的命题“_____ ____”，称这个命题为原命题的逆命题. 若, 则 返回导航 7 ［即时练］ 1.“若，则 ”的逆命题是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 解析：选D.“若，则”的逆命题为“若 ， 则 ”.故选D. √ 返回导航 8 2.命题“如果，那么， 互为相反数”的逆命题为____命题. （填“真”或“假”） 真 解析：命题“如果，那么，互为相反数”的逆命题为“如果， 互为相反数，那么 ”，该命题为真命题. 返回导航 9 3.把下列命题改写成“若，则 ”的形式，并写出其逆命题． （1）当时， ； 解：若，则 ； 逆命题：若，则 . （2）如果抛物线经过原点，那么 ； 解：若抛物线经过原点，则 ； 逆命题：若，则抛物线 经过原点． 返回导航 10 （3）角平分线上的点到角的两边的距离相等． 解：若一个点是一个角的角平分线上的点，则该点到这个角的两边的距 离相等； 逆命题：若一个点到一个角的两边的距离相等，则这个点在这个角的角平 分线上． 返回导航 11 对于命题的判断及形式改写，关键是要分清条件与结论，原命题与其逆命 题的条件与结论对调，它们互为逆命题，原命题的真假性与其逆命题的真 假性无关. 返回导航 12 二 充要条件 给出下面两个“若，则 ”形式的命题： （1）若，则 ； （2）若，则 . 思考1 能判断这两个命题的真假吗？ 提示： （1）是真命题；（2）是真命题. 思考2 若，，则是 的什么条件？ 提示：由命题（1）知是的充分条件；由命题（2）知是 的必要条件. 返回导航 13 思考3 命题（1）与命题（2）有什么关系？ 提示：互为逆命题. 返回导航 14 ［知识梳理］ 命题真假 如果“若,则”和它的逆命题“若,则 ”均是真命题 推出关系 既有,又有 ，记作①_______ 条件关系 既是的充分条件，也是 的必要条件 结论 是 的②__________条件，简称为③______条件 充分必要 充要 返回导航 15 ［例1］ （对接教材例3）下列命题中，哪些是 的充要条件？ （1）集合，，，集合 ； 【解】若，，则,又由，则 ， 同理可得，则有 ； 反之，若，一定有，，,故是 的充要条件. （2）是直角三角形， 是等腰三角形； 【解】由是直角三角形推不出 是等腰三角形， 由是等腰三角形推不出 是直角三角形， 故是 的既不充分也不必要条件. 返回导航 16 （3）， ； 【解】若，则或，如，不能推出 ； 若，则且，能推出 ， 故是 的必要不充分条件. （4）某四边形是菱形， 某四边形的对角线相互垂直. 【解】菱形的对角线互相垂直，但对角线互相垂直的四边形不一定为菱形， 即但，故是 的充分不必要条件. 返回导航 17 判断充要条件的方法 （1）定义法：直接判断“若<m></m>,则<m></m>”以及“若<m></m>，则<m></m>”的真假. （2）集合法：即利用集合的包含关系判断. （3）等价法：即利用<m></m>与<m></m>的等价关系，对于条件和结论为否定 形式的命题，一般运用等价法. 注意 <m></m>是<m></m>的充要条件意味着“<m></m>成立，则<m></m>一定成立；<m></m>不成立，则<m></m>一 定不成立”. 是的充要条件，则也是 的充要条件. 返回导航 18 常用结论 条件与结论 的关系 结论 ，且 是 的充分不必要条件 ，且 是 的必要不充分条件 ，且，即 是 的充要条件 ，且 是 的既不充分也不必要条件 返回导航 19 ［跟踪训练1］ （1）在中，角，，所对的边分别为，， ， 则“”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选C.在中，若，根据大角对大边可得，若 ， 则根据大边对大角可知．所以“”是“ ”的充要条件． √ 返回导航 20 （2）（多选）设全集为，，， 是非空子集，在下列选项中，是 的充要条件是( ) A. B. C. D. √ √ 返回导航 21 解析：选.对于A，由图可知，当 时， ，故A错误； 对于B，由图可知， 等价于 ， 故B正确； 对于C，若，当时，取，， ， 此时 ， ，满足条件，但 不成立，故C错误； 对于D，由图可知，等价于 ，故D正确. 返回导航 22 三 充要条件的应用 角度1 充要条件的证明 ［例2］ 求证：“两边上的高相等”是“ 为等腰三角形”的充要 条件． 返回导航 23 【证明】 充分性：在中，设边上的高为，边上的高为 ． 则 ， 因为，所以 ， 故 为等腰三角形，充分性成立． 必要性：若为等腰三角形，设，边上的高为， 边上 的高为 ， 则 ， 可得 ，必要性成立． 故“两边上的高相等”是“ 为等腰三角形”的充要条件． 返回导航 24 充要条件的证明思路 在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面 来证明.即：若证明“<m></m>的充要条件是<m></m>”，那么“充分性”是<m></m>，“必要性” 是<m></m>；若证明“<m></m>是<m></m>的充要条件”，则与之相反. 返回导航 25 角度2 利用充要条件求参数 ［例3］ 已知， ． （1）若是的充要条件，求 的值； 【解】因为是的充要条件，所以，解得 . 返回导航 26 （2）若是的充分不必要条件，求 的取值范围. 【解】因为是 的充分不必要条件， 所以 ， 即 ， 解得 ， 所以的取值范围是 . 返回导航 27 利用充要条件求参数值（范围）的一般步骤 （1）根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集 合间的包含关系. （2）根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式（组）求解. 返回导航 28 ［跟踪训练2］ （1）二次函数的图象关于直线 对 称的充要条件是( ) A. B. C. D. 解析：选B.因为函数的图象的对称轴为直线 ，则 ，即 . √ 返回导航 29 证明：充分性：因为 ，所以 ， 代入方程 ，得 ， 即 ． 所以方程 有一个根为1，充分性成立． 必要性：因为方程 有一个根为1， 所以满足方程 ， 所以，即 ，必要性成立． 故关于的方程有一个根为1的充要条件是 ． （2）求证：关于的方程 有一个根为1的充要条件是 ． 返回导航 30 PART 02 课堂巩固 自测 31 1.点 是第二象限的点的充要条件是( ) A., B., C., D., 解析：选B.因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0， 所以点是第二象限的点的充要条件是, ． √ 返回导航 32 2.（多选）已知“”是“”的充分不必要条件，则 的值可能为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 解析：选.因为“”是“ ”的充分不必要条件，所以 ，所以 . √ √ 返回导航 33 3.（教材P22习题1.4T1改编）写出 的一个必要不充分条件为_________ _______________. （答案不唯一） 解析：若，则不一定有；若则一定有 ， 所以是的必要不充分条件，即 的一个必要不充分条件为 . 返回导航 34 4.（教材（3）改编）设集合，，求证：是 的充要 条件． 证明：充分性：因为，即对所有的，有，所以当 时， ，故充分性成立． 必要性：因为，所以对所有的，有，即 ， 所以．所以当时， ，故必要性成立. 所以是 的充要条件． 返回导航 35 课堂小结 1.已学习：逆命题、充要条件概念的理解、充要条件的证明. 2.须贯通：根据充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件求参数问题 的关键是将问题转化为两个集合间的包含关系，建立关于参数的方程或不 等式（组）求解. 3.应注意：搞清充分性与必要性的判断方向. 返回导航 36 $