第3章 重难专题5 一元一次方程的应用（其他问题）-【初中必刷题】2025-2026学年新教材七年级上册数学同步课件（湘教版2024）

该初中数学课件聚焦一元一次方程的应用，涵盖几何图形、方案选择、分段计费三类重难问题。课堂导入采用各地期末期中真题实例，如圆柱形容器倒水、购买优惠方案等，衔接方程解法与实际应用，通过分类例题搭建从理解到应用的学习支架。 其特色是以真实情境问题为载体，培养数学眼光观察生活中的数量关系，数学思维进行逻辑推理列方程，数学语言建立模型表达问题。例如几何图形问题中用方程求小长方形周长，方案选择中比较优惠方案，体现分类分层训练与详细解析。课件支持WPS编辑和超链接跳转，助力教师高效教学，帮助学生提升方程应用能力与建模意识。

数 学 七年级上册 XJ 1 2 3 第3章一次方程（组） 4 重难专 题5 一元一次方程的应用 （其他问题） 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 类型1 几何图形问题 （第1题图） 1.［2024天津和平区期末,中］如图，在水平桌面上有甲、乙两个 圆柱形容器，其内部底面积分别为、 ，且甲容器装 满水，乙容器是空的.若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位 高度比原先甲中的水位高度低了 ，则甲的容积是( ) C A. B. C. D. 【解析】设甲的容积为.根据题意得，解得 ，所以甲的 容积为 .故选C. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 （第2题图） 2.［2025重庆南川区期末,中］如图所示，在长方形 中，将三 个完全相同的小长方形沿“横-竖-横”的顺序排列，若 , ,则图中一个小长方形的周长等于______. 【解析】设小长方形的长为,则小长方形的宽为 .根 据题意得，解得 ，所以 ，所以题图中一个小长方形的周长等 于 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 3.［2025浙江温州期中，中］如图，有一张长方形纸片，长和宽分别为 和1.现将长方形纸片进行分割，每次割一刀且每次分割都能产生至少一个正方形， 现分割三次后恰好能把这个长方形全部分割成正方形，则 的值为__. 【解析】根据题意得，解得，所以的值为 .故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 4.［2025甘肃兰州期末,难］如图是某市民健身广场的平面 示意图，它是由6个正方形拼成的长方形，已知中间最小的 正方形A的边长是1米. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 （1）若设图中最大正方形B的边长是米，请用含的代数式分别表示出正方形 的 边长为__________，正方形 的边长为__________，正方形C的边长为___________ __________. 【解析】由题意，得正方形的边长为米，正方形的边长为 米，正 方形C的边长为米或米.故答案为米,米,米或 米 . 米 米 米或米. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）在（1）的条件下, ___. 7 【解析】根据题意，得，所以 .故答案为7. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 （3）现沿着长方形广场的四条边铺设下水管道，由甲、乙两个工程队单独铺设分 别需要10天和15天完成.如果两队从同一点开始，沿相反的方向同时施工2天后， 因甲队另有任务，余下的工程由乙队单独施工，试问乙队还需要多少天完成？甲、 乙两个工程队各铺设多少米？ 【解】由可知，长方形的长为13米，宽为11米，则长方形 的周 长为（米）.设余下的工程由乙队单独施工，还要 天完成.由 题意，得 ，解得,则甲工程队铺设了 （米）,乙工 程队铺设了 （米）. 答：乙队还需要10天完成.甲工程队铺设了9.6米，乙工程队铺设了38.4米. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 关键点拨 （2）根据题图得到正方形C的边长为米或 米是解题关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 类型2 方案选择问题 5.［2025安徽合肥期中，中］因教学需要，学校准备购买50个排球和若干根跳绳， 经过市场调查后发现排球120元/个，跳绳20元/根.某体育用品商店提供A、B两种 优惠方案（顾客只能选择其中一种方案） A方案：买一个排球送一根跳绳； B方案：排球和跳绳都按定价的 付款. 假设购买跳绳根 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 （1）若按A方案购买，一共需付款______________元；若按B方案购买，一共需付 款______________元.（用含 的式子表示） 【解析】按A方案购买，需付款的跳绳为 根，故一共需付款 元； 按B方案购买，需付款的跳绳为 根，故一共需付款 元.故答案为 ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 （2）购买多少根跳绳时，A、B两种方案所需的钱数一样多？ 【解】由（1）可知，当A、B两种方案所需的钱数一样多时， , 解得 . 答：购买200根跳绳时，A、B两种方案所需的钱数一样多. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 6.［中］七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每 人20元，由各班班长负责买票.下面是1班班长与售票员咨询的对话： 班长：你好！我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团体票有优惠吗？售 票员：你好！购票人数超过40人的团体票，有两种优惠方案：方案一：若每人都 购票，每张门票打8折；方案二：若打9折，有7人可免票. （1）1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元. 【解】 （元）. 答：1班购票需要704元. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 （2）2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少名学生. 【解】设2班有 名学生. 由题意得，解得 . 答：2班有46名学生. （3）3班的学生人数为 ，如果你是3班班长，请你从两种方案中为 3班选出一种最省钱的购票方案，并说明理由. 【解】选择方案二购票更省钱.理由如下： 当按方案一与方案二购票所需费用相同时， ，解得 ，即当班级学生人数为63时，两种方案费用相等. 当 时，由（1）（2）知选择方案二更省钱，所以3班应选择方案二购 票更省钱. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 类型3 分段计费问题 7.［2025湖南益阳质检,中］某航空公司规定：乘坐飞机普通舱的旅客每人最多只 能免费托运的行李，超过部分每千克按机票价格的 购买行李票.一位旅 客购买了飞机普通舱的机票,并托运了 的行李，机票和行李票共付1 326元， 则该旅客的机票价格是( ) A A.1 020元 B.1 000元 C.980元 D.896元 【解析】设该旅客的机票价格为 元.根据题意，得 ，解得 ，所以该旅客的机票价格为 1 020元，故选A. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 8.［2025广西百色期中,中］某城市按以下规定收取每月煤气费：使用煤气如果不 超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米 1.2元收费.已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应 交煤气费( ) B A.60元 B.66元 C.75元 D.78元 【解析】设4月份该用户使用煤气立方米.因为,所以 ，则 ,解得 ，则4月份该用户应交煤气费 （元），故选B. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 思路分析 设4月份该用户使用煤气立方米,由,得到 ,根据等量关系列方程 求解即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 9.［2025陕西西安期中，中］为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市 采用价格调控手段来达到节约用水的目的，规定如下用水收费标准：每户每月用 水不超过6立方米时，水费按“基本价”收费；超过6立方米时，不超过的部分仍 按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费.某户居民今年3、4月份用水量 （单位:立方米）和水费（单位:元）如下表： 月份 用水量（立方米） 水费（元） 3 5 12.00 4 7.5 20.40 （1）该市每立方米水费的“基本价”是多少元？ 【解】设该市每立方米水费的“基本价”是元，则,所以 . 答：该市每立方米水费的“基本价”是2.4元. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 （2）该市每立方米水费的“调节价”是多少元？ 【解】设该市每立方米水费的“调节价”是元，则 , 所以 . 答：该市每立方米水费的“调节价”是4元. （3）若该户居民5月份水费是26.4元，则该户5月份用水多少立方米？ 【解】设该户5月份用水立方米.因为（元）元，所以 , 所以,所以 . 答：该户5月份用水9立方米. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 10.［2024天津宁河区期末，中］某市有两家出租车公司，收费标准不同.甲公司 收费标准：起步价9元，超过3千米后，超过的部分按照每千米1.6元收费.乙公司 收费标准：起步价20元，超过8千米后，超过的部分按照每千米1.3元收费.已知车 辆行驶千米.本题中 取整数，不足1千米的路程按1千米计费. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 （1）根据题意，填写下表： 车辆行驶的路程（千米） 1 3 5 8 15 20 … 甲公司收费（元） 9 ___ 12.2 17 ______ 36.2 … 乙公司收费（元） 20 20 20 ___ 29.1 ______ … 9 28.2 20 35.6 【解析】由题意得当 时，甲公司收费9元； 当时，甲公司收费 （元）； 当 时，乙公司收费20元； 当时，乙公司收费 （元）. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 （2）当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲、乙两公司的收费分别是 多少？（结果用化简后的含 的式子表示） 【解】由题意得当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲公司的收费为 元，乙公司的收费为 元. （3）当行驶路程为____千米时，两家公司的费用相同. 18 【解析】由题意得，解得 ，所以当行驶路程为18千 米时，两家公司的费用相同，故答案为18. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 $$