专题2.1 简单事件的概率（全章知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（浙教版）

专题2.1 简单事件的概率 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）事件的可能性 1 【题型1】事件的可能性 1 【题型2】事件发生可能性的大小 2 知识点（二）简单事件的概率 3 【题型3】概率意义的理解 3 【题型4】判断事件概率大小关系和实验结果的等可能性 4 【题型5】用概率公式计算概率 4 【题型6】已知概率求数量 4 【题型7】求几何概率 5 【题型8】用列举法计算简单事件的概率 6 【题型9】用列表法和画树状图等枚举方法确定事件的各种可能性结果 6 知识点（三）用频率估计概率 7 【题型10】概率意义的理解 8 知识点（四）频率的简单应用 8 【题型11】概率的简单应用 8 四.同步练习 9 【基础巩固（20题）】 9 【能力提升（20题）】 12 【中考真题20题】 16 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）事件的可能性 在数学中，我们把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件。 【题型1】事件的可能性 【例题1】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）在一个不透明的袋子里，装有9个除颜色不同，其余均相同的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个． （1）当n为何值时，这个事件不可能发生？ （2）当n为何值时，这个事件必然发生？ 【变式1】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）下列事件是必然事件的是（   ） A．一年有367天 B．走到苹果树下，被成熟的苹果砸中脑袋 C．两个负数相乘，积是正数 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【变式2】（23-24九年级上·全国·单元测试）指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件：   （1）掷一枚硬币，出现正面朝上； （2）买一张彩票中一百万； （3）； （4）任意买一张电影票，座位号是双号； （5）向空中抛一枚硬币，硬币从空中不往下掉． 必然事件是 ；不可能事件是 ；随机事件是 ．（填序号） 【题型2】事件发生可能性的大小 【例题2】（24-25六年级下·上海·期中）为弘扬中华传统文化，崇明区某学校为配合“人人会瀛州古调”教学活动，开设了民族器乐选修课程．学生参加选修课的情况见如下统计图（图1、图2）．请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：（请在空格处填入相应答案） （1）共有 名学生参加了选修课程学习； （2）扇形统计图（图2）中，“琵琶”部分所对应的圆心角为 度； （3）如果从选择“古筝”选项的学生中，随机抽取12名学生参加一次区“古筝”比赛，那么学生被选中的可能性大小是 ． 【变式1】（24-25六年级下·上海嘉定·期末）不透明的袋中装有除颜色外没有其他区别的红球4个和白球若干个．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（2025·北京海淀·三模）咖啡店自制了300袋黄油饼干，从中随机抽取了10袋检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：47，46，a，50，49，49，48，50，52，49，这组数据的众数只有一个，恰好是a．则从这300袋饼干中随机抽取一袋，抽到质量为 g的可能性最大，并估计这批饼干中质量超过的饼干有 袋． 小结：在一定条件下必然会发生的事件叫做------------；在一定条件下必然不会发生的事件叫做----------------；在一定条件下--------------------的事件称不确定（或随机事件） 知识点（二）简单事件的概率 在数学中，我们把把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率，一般用表示。事件发生的概率记为。 由例题2可知，事件发生有大小之分，一般地，必然的事件发生的概率为100%，即（必然事件）=1；不可能事件发生的概率为0，即（不可能事件）=0.而随机事件发生的概率介于0与1之间，一般用表示。事件发生的概率记为. 如果事件的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为，事件包含其中的结果数为，那么事件发生的概率为 。 【题型3】概率意义的理解 【例题3】（23-24八年级上·全国·单元测试）小丽在一次抽奖活动中，只抽了一张，就中了一等奖，能不能说这次抽奖活动的中一等奖的概率为1？为什么？ 【变式1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）下图表示各事件发生的概率，其中随机事件的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.3、0.1、0.9．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是 ． （填“甲、乙或丙”） 【题型4】判断事件概率大小关系和实验结果的等可能性 【例题4】（2024·福建福州·一模）一个不透明的袋中有个球，分别标有，，，，这五个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球． （1）会出现哪些可能的结果？ （2）每个结果出现的可能性相同吗？猜猜它们的概率分别是多少？ 【变式1】（22-23九年级上·全国·课后作业）从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件：①抽到“K”；②抽到“黑桃”；③抽到“大王”；④抽到“黑色”的，其中，发生可能性最大的事件是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2】（23-24九年级下·江苏南京·期末）已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差的绝对值不超过1，则这样的三位数个数为 ． 【题型5】用概率公式计算概率 【例题5】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）某超市为促销新商品，设立了一个不透明的纸箱，纸箱里装有个红球、个白球和个黄球，并规定每购买元的新品牌商品，就能获得一次摸球的机会．如果摸到红球，顾客可以得到一把卡皮巴拉雨伞；摸到白球，可以得到一个卡皮巴拉笔袋；摸到黄球，可以获得一支卡皮巴拉铅笔．小明购此新商品花了元． （1）他获得奖品的概率是多少？ （2）他得到一把雨伞、一个笔袋的概率分别是多少？ 【变式1】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在的正方形网格中，线段的端点在格点上．在其它格点中任选一点，使是等腰三角形的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·四川成都·三模）在，，，，，，这个数中，随机选取一个数，记为，使得直线与双曲线没有交点的概率为 ． 【题型6】已知概率求数量 【例题6】（24-25七年级下·四川成都·期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球4个，黑球比白球多4个，从盒子随机摸出一个球是白球的概率是． （1）求盒子中白球的个数； （2）能否通过只改变盒子中红球的数量，使得任意摸出一个球是白球的概率为，若能，请问如何调整红球数量；若不能，请说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·江西九江·期中）在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球5个，黄球7个，其余为白球从装中随机摸出一个球，摸出黄球的概率为，则袋中白球的个数为（    ） A．4 B．9 C．15 D．21 【变式2】（2025·四川·二模）一个袋中装有5个红球4个白球和x个黄球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，那么x的值为 ． 【题型7】求几何概率 【例题7】（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图所示是一圆形飞镖游戏板，大圆的半径，小圆半径，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞每次都落在游戏板上），则击中阴影部分的概率是 ． 【变式1】（2025·安徽亳州·三模）如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·四川德阳·期末）如图所示，在圆形转盘中，，拨动指针，指针指向区域a的概率为，在矩形转盘中，，，拨动指针，指针指向区域的概率为，则 ． 小结：在数学上，事件发生的可能性的大小也称为事件发生的---------- .必然事件发生的概率为----------------，不可能事件发生的概率为--------------------.若用表示不确定事件A发生的概率，则--------------------------。 【题型8】用列举法计算简单事件的概率 【例题8】（2025·江苏南京·二模）一个不透明的袋子中，装有3个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同. （1）搅匀后从中随机摸出1个球，摸到的球是红球的概率为_____. （2）搅匀后从中随机摸出2个球，求2个球都是红球的概率. 【变式1】．（2025·安徽蚌埠·三模）2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神．某班级为响应学校号召，计划从“志愿服务”“公益环保”“勤俭节约”三项活动中随机选取两项进行实践，则恰好选中“公益环保”和“勤俭节约”的概率是 ． 【变式2】（22-23九年级下·江苏宿迁·自主招生）已知6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，若从中任取3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 ． 【题型9】用列表法和画树状图等枚举方法确定事件的各种可能性结果 【例题9】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）甲、乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转． （1）甲先单独转A转盘，转到4的概率_____； （2）请用树状图或列表法列出所有可能的结果； （3）若指针所指的两个数字都是方程的解时，则甲获性；若指针所指的两个数字都不是方程的解时，则乙获胜．问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明． 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）有4根细木棒，它们的长度分别是、、、．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（   ） A． B． C． D．1 【变式2】（2025·浙江衢州·二模）“石头、剪刀、布”是一种广为流传的小游戏，规则是两人每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀．小方和小袁比赛一局，他们出相同手势的概率为 ． 小结：如果事件发生的各种结果要的可能性相同，且互相排斥，结果总数为，其中事件A包含其中的结果数为，那么事件发生的概率----------. 【例题7】（23-24八年级下·江苏南京·期中）一个不透明的盒中装有除颜色外均相同的黑球和白球共40个，小明做摸球实验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 1000 2000 3000 摸到白球的次数m 65 124 178 302 601 1198 1803 摸到白球的频率 （1）从该盒中任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为_________；（精确到0.01） （2）估计盒中白球的个数是_________； （3）以下数学实验及结果： ①掷一枚正六面体骰子，6点朝上； ②从标有1，2，3，4，5的五张卡片中随机抽一张，抽到标有奇数的卡片； ③抛一枚硬币，正面朝上． 其中，大量重复实验后，结果出现的频率与（1）中的估计值最接近的是_________．（填序号） 知识点（三）用频率估计概率 从上面的实验可以看到：在相同条件下，当重复实验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近。因此,我们可以通过大量重复实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。 【题型10】概率意义的理解 【例题11】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）在一个不透明的袋子中装有20个球，这些球除颜色外都相同，其中红球8个，白球12个． （1）将20个球充分混匀，从袋子中任意摸出一个球，则摸到红球的可能性是________； （2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的白球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个白球的频率在附近摆动，求m的值． 【变式1】（2025·河南平顶山·三模）“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）一个不透明的箱子里有20枚黑棋子和若干枚白棋子，它们除颜色外其他完全相同，通过多次模拟实验后发现，摸出白棋子的频率稳定在左右，则箱子里棋子总数可能是 ． 知识点（四）频率的简单应用 人们在生活、生产和科学研究中，经常需要知道一些事件发生的可能性有多大例如，概率与人们的生活密切相关，能帮助我们对许多事件作出判断和决策，因此在生活、生产和科研等各个领域都有着广泛的应用。 【题型11】概率的简单应用 【例题12】（24-25七年级下·广东河源·期末）如图，一个可自由转动的转盘被平均分成6等份，分别标有2，3，4，5，6，7这6个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，指针指到分隔线无效，需要重新转动．两人参与游戏：一人转动转盘，一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．如果轮到你猜数，请你设计一种更容易获胜的猜数规则（不限转动次数），并说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·山东青岛·期中）甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；若掷出的点数是偶数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是 的．（填“公平”或“不公平”） 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为 粒． 四.同步练习​ 【基础巩固（20题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·广东茂名·期末）“某课本共173页，一名学生随手翻开，恰好翻到第53页”，这个事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不正确 2．（21-22七年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 3．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次取出的小球标号的和等于4的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，对角线，相交于点O，若在内随机取点，则点落在内的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 6．（2025·贵州贵阳·二模）在一个不透明的口袋中装有5张印有中药艾片的卡片和若干张印有中药白果的卡片，它们除卡片上的图案不同其余均相同，通过多次摸卡片试验后发现，摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，则口袋中印有白果的卡片数约是（   ） A．15 B．20 C．25 D．30 7．（2025·广西来宾·模拟预测）技术的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革，小西要查阅资料，她准备从“豆包”“”“腾讯元宝”“文小言”四个软件中随机选择一个使用，则她选中的软件恰好是“腾讯元宝”的概率是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽滁州·三模）如图，在内部有两条射线，定点P在的内部，从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）连续抛掷一枚质地均匀的一元硬币9次，出现了8次正面朝上，则第10次抛掷该硬币出现正面朝上的概率是 ． 10．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”的可能性更大的布袋是 ．（填写布袋对应的序号） 11．（2023·湖北孝感·三模）把10个苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一共有 种不同的分法． 12．（24-25七年级下·河南郑州·期末）有四条线段，长度分别是，从中任取三条线段能组成三角形的概率是 ． 13．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）在一个不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干枚，它们除颜色外都相同，现从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做10次，摸到黑棋子的频率稳定在，则袋子中白棋子约有 个． 14．（24-25七年级下·宁夏银川·阶段练习）若有一多项式为，其中k的值从，，6，9中随机抽取一个，那么正好让这个多项式成为完全平方式的概率为 ． 15．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 “射中9环以上”的次数 “射中9环以上”的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率为 （精确到）． 16．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）“赵爽弦图”巧妙地利用图形的面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，小轩用纸板制作了一个如图所示的“赵爽弦图”的靶盘，他向该靶盘随意投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），已知直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则飞镖落在阴影小正方形内的概率是 ． 三、解答题 17．（22-23九年级上·河北保定·期末）箱子里有三个球，分别标有数1，2，3，各球除所标的数外其他均相同从箱子里任意摸出一个球，记下数后放回，再任意摸出一个球，记下数．问：记录的两个数的积是奇数的可能性大，还是偶数的可能性大？请说明理由． 18．（24-25七年级下·广东深圳·期末）某小型超市采购了24盒草莓礼盒，但在质检时发现部分盒中混入了坏果（因挤压或成熟过度导致的腐烂草莓），工作人员对所有礼盒进行检查后发现，每盒草莓中最多混入2个坏果，具体数据见表； 混入坏果的数量 0 1 2 盒数 12 （1）从24盒草莓礼盒中任意抽取了1盒，“盒中没有坏果”是 事件；（填“必然”“不可能”或“随机”） （2）从24盒草莓礼盒中任意抽取1盒，若抽出“盒中混入1个坏果”礼盒的概率为，求m、n值． 19．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》等是我国古代数学的重要著作（依次记为，，）．为了让学生了解更多的数学文化，某中学开展了一次数学历史知识的拓展学习．若该校小红和小亮两名同学从上面三部中随机选择一部数学著作作为拓展学习内容． （1）小红选择《九章算术》的概率是________； （2）利用画树状图或列表的方法，求小红和小亮同时选中同一本数学著作的概率． 20．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求： （1）转动转盘，转出的数字不大于5的概率； （2）小追和小梦一起做游戏，现有两张分别写有4和5的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．小追说：“若这三条线段能构成等腰三角形，则我赢”，小梦说：“若这三条线段构成的三角形的周长小于13，则我赢”，请问这个游戏规则对双方公平吗？试通过计算说明理由． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列为随机事件的是（   ） A．通常加热到时，水沸腾 B．任意画一个三角形，其内角和是 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．无论为何实数，结果一定为正数 2．（2025·宁夏中卫·模拟预测）在一个不透明的布袋中装有蓝色、 白色两种小球共50个，小球除颜色外其他完全相 同．小明通过很多次摸球试验后，发现其中摸到蓝色球的频率稳定在左右，则口袋中蓝色球个数最接近（    ） A．10个 B．20个 C．30个 D．40个 3．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在由4个边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，若随机向此正方形网格中投针，则落在内部的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州·二模）周末，小梅的爸爸想带她和弟弟到贵阳市黔灵山公园或花溪湿地公园游玩，爸爸将两个公园名称分别写在两张相同的卡片上，让姐弟俩随机抽取．弟弟随机抽取一张后，放回并混在一起，姐姐再随机抽取一张，姐姐和弟弟抽取的公园名称相同的概率是（   ） A． B． C． D．1 5．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）某马场有三匹马，按身体强壮程度分为上马，中马，下马，这三匹马随机住在三个不同的马厩，甲到该马场去租马，先到第一个马厩观察后不租，再到第二个马厩，若比第一个马厩的马强壮，就直接租第二个马厩的马，若比第一个马厩的马瘦弱，就租第三个马厩的马，按这种方式，甲租到上马的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河北邢台·期中）有四个盒子，随机从盒子中摸出1个球，摸出红球可能性最大的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·上海崇明·二模）学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如下表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（　　）（精确到） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·四川成都·期末）在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（　　） A．一个袋中有3个红球，7个白球，除颜色外都相同，随机取一球，取到红球 B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3 C．从分别标有1，1，2，2，3，4，5的7张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数概率 D．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀 二、填空题 9．（24-25八年级上·北京平谷·期末）“若，则”这一事件是 （选填以下内容：不可能事件、必然事件、随机事件）． 10．（2024九年级·全国·竞赛）某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率为 ． 11．（24-25七年级下·山东青岛·期中）综合实践课上，同学们利用一个口袋和6个除颜色外完全相同的球设计摸球游戏．若想使得摸到一个球是红球的概率是，则口袋中应放入 个红球． 12．（24-25八年级下·四川成都·期末）从四个数中选取一个作为的值，则满足不等式组的解集是，且分式方程有解的概率为 ． 13．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，为三角形纸板的角平分线，，E为上一点，于点F，连接若，将一个飞镖随机投掷到该纸板上（假设飞镖一定落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 14．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图所示的正五边形的每个顶点为一个花坛，已知花坛分别种植了凌霄、三角梅，在花坛中随机种上凤仙花、木槿、月季（每个花坛中只能种植一种花卉且不重复），则凤仙花与木槿两种花卉相邻的概率是 ． 15．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，有一张平整的银杏叶平铺在的地面上，小惠同学为了了解该银杏叶的面积，进行了以下试验操作：先用一个边长为的正方形，将银杏叶围在其中；然后在正方形区域内随机投掷小针，记录小针投中银杏叶的次数（小针投在正方形区域外或投在边界上，则不计试验结果，重新投掷），随着试验次数增加，发现小针投中银杏叶的频率稳定在左右，根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为 ． 16．（24-25九年级上·广东江门·期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 三、解答题 17．（24-25七年级下·广东茂名·期末）一个不透明的袋子中装有3个白球，9个红球，这些球除颜色外都相同，混合均匀后： （1）若从袋子中任意取出一个球，取出白球的概率为多少？ （2）若往袋子中放入若干个白球（与袋子中的白球完全相同），再取出相同数量的红球，从中任意取出一个球，使取出红球的概率是取出白球的，求放入了多少个白球． 18．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）龙眼南美食街是汕头美食网红打卡点之一，小云和小吉准备前去打卡品尝，她们决定在"A．潮汕生腌、B．腐乳鸡翅、C．手打牛肉丸、D．砂锅肠粉”这四种小吃中各自选择喜欢的美食进行品尝，假设选择每种小吃的可能性相同． （1）小云只选了一种，则她选择“A．潮汕生腌”的概率是________（直接填写答案） （2）若小吉选择了两种小吃，请用画树状图或列表的方法求出她选择的是“B．腐乳鸡翅”和“C．手打牛肉丸”的概率， 19．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）某校为了了解九年级学生的体质情况，组织全体九年级学生进行体能测试，并随机抽取部分同学的测试结果进行统计分析．体育老师将体能测试的最终结果分为A优秀，B良好，C合格，D不合格四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次随机抽取的学生共________人，并把条形统计图补充完整． （2）若该校九年级有900人，请估计该校体能测试不合格的总人数． （3）假定A等级样本中有2名女生，现准备从A等级样本中随机抽取2名同学，求抽取的同学恰好是一男一女的概率． 20．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）从写有的四张卡片中选取一个作为的值，使一次函数的图象经过第三象限是一件不可能事件， （1）___________；与轴交点的坐标为___________，与轴交点的坐标为___________； （2）过点作线段，且，求直线的函数关系式． 【中考真题20题】 一、单选题 1．（2025·湖北·中考真题）在下列事件中，不可能事件是（   ） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心 2．（2025·北京·中考真题）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北·中考真题）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁·中考真题）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A． B． C． D． 5．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·贵州·中考真题）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：（  ） 抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025·贵州·中考真题）一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是 ． 8．（2025·新疆·中考真题）不透明袋子中有3个红球、2个白球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为 ． 9．（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ． 10．（2024·青海西宁·中考真题）在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有，，，，，随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是 ． 11．（2022·重庆·中考真题）一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是 ． 12．（2025·北京·中考真题）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商 分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为 万元． 三、解答题 13．（2025·山东青岛·中考真题）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有4张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同．将这4张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张．利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率． 14．（2025·吉林·中考真题）在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动需分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成．请用画树状图或列表的方法，求参与者小顺和小利被分配到同一组的概率． 15．（2025·江苏扬州·中考真题）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． （1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 16．（2025·湖南长沙·中考真题）2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．论坛聚焦美育与阅读融合．为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等级式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．） 等级 频数 频率 A m B C n D 6 根据图表中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了______名学生的成绩；表中______，______； （2）在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为______度； （3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率． 17．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点． （1）求t的值； （2）直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l； （3）在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． 18．（2025·四川凉山·中考真题）某校计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，抽取部分学生对最喜爱的书籍（A类为文学，B类为科普，C类为体育，D类为其他）进行调查（每人只能选择一项）．根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图： 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查的总人数是_______人； （2）补全条形统计图，并求出C类所对应的扇形的圆心角为_______度； （3）现从喜欢文学的2名男生和2名女生中，随机抽取2名参加“中华魂”演讲比赛．请用列表法或画树状图法，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 19．（2025·云南·中考真题）九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院．游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．若，则组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院；若，则组学生到乙敬老院，组学生到甲敬老院． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率． 20．（2025·黑龙江绥化·中考真题）2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 12 9 根据以上信息回答： （1）这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图． （2）若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 简单事件的概率 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）事件的可能性 1 【题型1】事件的可能性 1 【题型2】事件发生可能性的大小 3 知识点（二）简单事件的概率 5 【题型3】概率意义的理解 6 【题型4】判断事件概率大小关系和实验结果的等可能性 7 【题型5】用概率公式计算概率 8 【题型6】已知概率求数量 10 【题型7】求几何概率 12 【题型8】用列举法计算简单事件的概率 14 【题型9】用列表法和画树状图等枚举方法确定事件的各种可能性结果 16 知识点（三）用频率估计概率 19 【题型10】概率意义的理解 19 知识点（四）频率的简单应用 21 【题型11】概率的简单应用 21 四.同步练习 23 【基础巩固（20题）】 23 【能力提升（20题）】 32 【中考真题20题】 47 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）事件的可能性 在数学中，我们把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件。 【题型1】事件的可能性 【例题1】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）在一个不透明的袋子里，装有9个除颜色不同，其余均相同的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个． （1）当n为何值时，这个事件不可能发生？ （2）当n为何值时，这个事件必然发生？ 【答案】（1）或；（2）或或 【分析】本题考查了事件的分类，理解必然事件的定义是解题的关键． （1）这个事件不可能发生，摸球数小于个，即可求解； （2）这个事件必然发生，摸球数大于个，即可求解． 解：（1）解：由题意得 当或时，不可能摸到红球、白球、黑球至少各有一个， 故这个事件不可能发生； （2）解：由题意得 当或或时，一定能摸到红球、白球、黑球至少各有一个， 故这个事件必然发生． 【变式1】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）下列事件是必然事件的是（   ） A．一年有367天 B．走到苹果树下，被成熟的苹果砸中脑袋 C．两个负数相乘，积是正数 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的分类、随机事件、有理数乘法等知识点，掌握相关事件的定义是解题的关键．根据必然事件的定义并结合各选项描述以及数学原理和常识进行判断即可． 解：A． 一年最多366天，367天不可能发生，属于不可能事件，不符合题意； B． 苹果可能掉落，但不必然砸中人，属于随机事件，不符合题意； C． 根据有理数乘法法则，两负数相乘结果必为正数，是必然事件，符合题意； D． 射击结果可能命中或脱靶，属于随机事件，不符合题意． 故选C． 【变式2】（23-24九年级上·全国·单元测试）指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件：   （1）掷一枚硬币，出现正面朝上； （2）买一张彩票中一百万； （3）； （4）任意买一张电影票，座位号是双号； （5）向空中抛一枚硬币，硬币从空中不往下掉． 必然事件是 ；不可能事件是 ；随机事件是 ．（填序号） 【答案】 （3） （5） （1）（2）（4） 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，根据概念逐一判断，即可解题． 解：（1）掷一枚硬币，不一定出现正面朝上；故（1）是随机事件； （2）买一张彩票有可能中一百万；故（2）是随机事件； （3）；故（3）是必然事件； （4）任意买一张电影票，座位号不一定是双号；故（4）是随机事件； （5）向空中抛一枚硬币，硬币一定会从空中往下掉．故（5）是不可能事件； 综上所述：必然事件有（3），不可能事件有（5），随机事件有（1）（2）（4）， 故答案为：（3）；（5）；（1）（2）（4）． 【题型2】事件发生可能性的大小 【例题2】（24-25六年级下·上海·期中）为弘扬中华传统文化，崇明区某学校为配合“人人会瀛州古调”教学活动，开设了民族器乐选修课程．学生参加选修课的情况见如下统计图（图1、图2）．请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：（请在空格处填入相应答案） （1）共有 名学生参加了选修课程学习； （2）扇形统计图（图2）中，“琵琶”部分所对应的圆心角为 度； （3）如果从选择“古筝”选项的学生中，随机抽取12名学生参加一次区“古筝”比赛，那么学生被选中的可能性大小是 ． 【答案】（1）200；（2）72；（3） 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及事件发生的可能性大小，正确理解题意、从统计图中得出有效的信息是解题的关键． （1）用条形统计图中选修二胡的人数除以扇形统计图中的占比即可求解； （2）先计算选修古筝的人数，进而可得选修琵琶的人数，再计算圆心角即可； （3）用12除以选修古筝的人数即可求解． 解：（1）解：； 所以共有200名学生参加了选修课程学习； 故答案为：200； （2）解：选项古筝的人数为， 所以选修琵琶的人数为人， 所以扇形统计图（图2）中，“琵琶”部分所对应的圆心角为度； 故答案为：72； （3）解：如果从选择“古筝”选项的学生中，随机抽取12名学生参加一次区“古筝”比赛，那么学生被选中的可能性大小是； 故答案为：． 【变式1】（24-25六年级下·上海嘉定·期末）不透明的袋中装有除颜色外没有其他区别的红球4个和白球若干个．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了简单事件发生的可能性，熟练掌握简单事件发生的可能性大小的计算，是解题的关键， 根据简单事件发生可能性大小，当白球的数量超过红球数量时，取到白球的可能性更大． 解：解:设白球有个． 取到白球的可能性为，取到红球的可能性为． 要使取到白球的可能性较大， 需满足． 只需满足 ． 只有D选项（5个）满足此条件． 故选：D． 【变式2】（2025·北京海淀·三模）咖啡店自制了300袋黄油饼干，从中随机抽取了10袋检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：47，46，a，50，49，49，48，50，52，49，这组数据的众数只有一个，恰好是a．则从这300袋饼干中随机抽取一袋，抽到质量为 g的可能性最大，并估计这批饼干中质量超过的饼干有 袋． 【答案】 49 90 【分析】本题考查了众数的定义，事件发生的可能性大小，样本估计总体，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据众数的定义即可得到，根据众数的定义即可得到抽到质量为的可能性最大，再用样本估计总体的方法求解这批饼干中质量超过的饼干的数量． 解：数据46有1个；数据47有1个；数据48有1个；数据49有3个；数据50有2个；数据52有1个， ∵数据的众数只有一个，恰好是a， ∴； ∵众数为49， ∴抽到质量为的可能性最大， 则这批饼干中质量超过的饼干有：（袋）， 故答案为：49；90． 小结：在一定条件下必然会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下必然不会发生的事件叫做不可以事件；在一定条件下发生的的事件称不确定（或随机）事件 知识点（二）简单事件的概率 在数学中，我们把把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率，一般用表示。事件发生的概率记为。 由例题2可知，事件发生有大小之分，一般地，必然的事件发生的概率为100%，即（必然事件）=1；不可能事件发生的概率为0，即（不可能事件）=0.而随机事件发生的概率介于0与1之间，一般用表示。事件发生的概率记为. 如果事件的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为，事件包含其中的结果数为，那么事件发生的概率为 。 【题型3】概率意义的理解 【例题3】（23-24八年级上·全国·单元测试）小丽在一次抽奖活动中，只抽了一张，就中了一等奖，能不能说这次抽奖活动的中一等奖的概率为1？为什么？ 【答案】不能，概率指在大数次试验中某事件出现的次数，而一次试验不能得到某事件的概率 【分析】此题考查了概率的概念，根据概率指在大数次试验中某事件出现的次数求解即可． 解：∵只抽了一张， ∴不能说这次抽奖活动的中一等奖的概率为1． 理由是：概率指在大数次试验中某事件出现的次数，而一次试验不能得到某事件的概率． 【变式1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）下图表示各事件发生的概率，其中随机事件的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了事件的分类，解题的关键是掌握随机事件的定义． 利用随机事件的定义进行判断即可． 解：根据随机事件的定义得， 事件和事件是随机事件， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.3、0.1、0.9．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是 ． （填“甲、乙或丙”） 【答案】丙 【分析】根据概率的意义，概率公式，即可解答．本题考查了概率的意义，概率公式，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 解：∵甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.3、0.1、0.9，且0.9非常接近， ∴对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”． 即该事件是丙， 故答案为：丙． 【题型4】判断事件概率大小关系和实验结果的等可能性 【例题4】（2024·福建福州·一模）一个不透明的袋中有个球，分别标有，，，，这五个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球． （1）会出现哪些可能的结果？ （2）每个结果出现的可能性相同吗？猜猜它们的概率分别是多少？ 【答案】（1）摸到号球或号球或号球或号球或号球；（2）可能性相同，它们的概率分别是 【分析】本题主要考查了列举随机实验的所有可能结果，判断实验所得结果是否是等可能的，判断事件的概率等知识点，深刻理解随机事件的概念是解题的关键． （1）列举出所有可能的结果即可； （2）判断每个结果出现的可能性是否相同，并估计它们的概率分别是多少． 解：（1）解：搅匀后任意摸出一个球，可能的结果有种：摸到号球或号球或号球或号球或号球； 答：会出现的可能结果有：摸到号球或号球或号球或号球或号球； （2）解：∵这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球， ∴每个结果出现的可能性相同，它们的概率分别是， 答：每个结果出现的可能性相同，它们的概率分别是． 【变式1】（22-23九年级上·全国·课后作业）从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件：①抽到“K”；②抽到“黑桃”；③抽到“大王”；④抽到“黑色”的，其中，发生可能性最大的事件是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据概率公式逐项计算，再比较大小． 解：∵从一副扑克牌中任意抽取1张，共有54种等可能结果， ∴①抽到“K”的概率为 = ； ②抽到“黑桃”的概率为 ； ③抽到“大王”的概率为 ； ④抽到“黑色”的概率为 = ， 故答案为：D． 【点拨】此题考查了概率大小，解题的关键是熟记概率公式． 【变式2】（23-24九年级下·江苏南京·期末）已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差的绝对值不超过1，则这样的三位数个数为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了列举法，分百位数字、十位数字、个位数字为1，分别列举出所有可能即可． 解：①当百位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，个位数字可能为0，1； 当十位数字为1时，个位数字可能为0，1，2； 当十位数字为2时，个位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123； ②当十位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1，百位数字不能为0， ∴百位数字可能为1，2，个位数字为0，1，2， ∴三位数可能为110，111，112，210，211，212； ③当个位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，百位数字可能为1； 当十位数字为1时，百位数字可能为1，2； 当十位数字为2时，百位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为101，111，211，121，221，321， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123，210，211，212，221，321，共13个， 故答案为：13． 【题型5】用概率公式计算概率 【例题5】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）某超市为促销新商品，设立了一个不透明的纸箱，纸箱里装有个红球、个白球和个黄球，并规定每购买元的新品牌商品，就能获得一次摸球的机会．如果摸到红球，顾客可以得到一把卡皮巴拉雨伞；摸到白球，可以得到一个卡皮巴拉笔袋；摸到黄球，可以获得一支卡皮巴拉铅笔．小明购此新商品花了元． （1）他获得奖品的概率是多少？ （2）他得到一把雨伞、一个笔袋的概率分别是多少？ 【答案】（1）；（2）她得到一把雨伞、一个笔袋的概率分别是， 【分析】本题考查了概率公式：概率公式=某随机事件所占有的结果数除以所有可能的等结果数．必然事件；不可能事件）． （1）他获得奖品为必然事件，从而得到概率为； （2）根据概率公式分别计算她得到一把雨伞、一个笔袋的概率． 解：（1）解：小明购此新商品花了元，获得一次摸球的机会， 故他获得奖品的概率是为； （2）他得到一把雨伞的概率为：， 他得到一个笔袋的概率为：， 答：他得到一把雨伞、一个笔袋的概率分别是，． 【变式1】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在的正方形网格中，线段的端点在格点上．在其它格点中任选一点，使是等腰三角形的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，勾股定理的应用，求解随机事件的概率，如图，取格点，可得，，再进一步求解即可. 解：如图，取格点， ∴，， ∴，为等腰三角形； ∴在其它格点中任选一点，使是等腰三角形的概率为； 故选：B. 【变式2】（2025·四川成都·三模）在，，，，，，这个数中，随机选取一个数，记为，使得直线与双曲线没有交点的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，概率公式，根的判别式，联立方程，得到，整理得，即有无实数根，故有，然后找到的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：联立方程，得到， 整理得：， ∵直线与双曲线没有交点， ∴无实数根， ∴， ∴， ∵在，，，，，，这个数中满足的有个，即，，，，， ∴概率为， 故答案为：． 【题型6】已知概率求数量 【例题6】（24-25七年级下·四川成都·期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球4个，黑球比白球多4个，从盒子随机摸出一个球是白球的概率是． （1）求盒子中白球的个数； （2）能否通过只改变盒子中红球的数量，使得任意摸出一个球是白球的概率为，若能，请问如何调整红球数量；若不能，请说明理由． 【答案】（1）盒子中白球的个数为4；（2）盒子还要增加4个红球． 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是根据概率公式列出相应的方程． （1）设白球的个数为x，根据“随机摸出一个球是白球的概率是”，求出x的值，从而得出答案； （2）设增加红球的个数为y，根据“任意摸出一个球是白球的概率为”，列出关于y的方程，解之即可得出答案． 解：（1）解：设白球的个数为x， 由题可得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， ∴盒子中白球的个数为4； （2）解：设增加红球的个数为y， 由题可得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， ∴盒子还要增加4个红球． 【变式1】（24-25七年级下·江西九江·期中）在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球5个，黄球7个，其余为白球从装中随机摸出一个球，摸出黄球的概率为，则袋中白球的个数为（    ） A．4 B．9 C．15 D．21 【答案】B 【分析】本题考查了概率公式的应用，首先设袋中白球的个数为x个，然后根据概率公式，可得，解此分式方程即可求得答案． 解：设袋中白球的个数为x个， 根据题意得：， 解得：． 经检验：是原分式方程的解． ∴袋中白球的个数为9个． 故选：B． 【变式2】（2025·四川·二模）一个袋中装有5个红球4个白球和x个黄球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，那么x的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了简单的概率计算、分式方程的解，熟练掌握概率公式是解题关键．先求出从袋中任意摸出一个球的所有等可能的结果，再找出从中任意摸出一个球是白球的结果，然后利用概率公式建立方程，解方程即可得． 解：由题意可知，从袋中任意摸出一个球共有种等可能的结果，其中，从中任意摸出一个球是白球的结果有4种， ∵从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 故答案为：3． 【题型7】求几何概率 【例题7】（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图所示是一圆形飞镖游戏板，大圆的半径，小圆半径，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞每次都落在游戏板上），则击中阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查几何概率，熟练掌握几何概率的求法是解题的关键．根据几何概率的求法进行解答即可． 解：大圆的半径，小圆半径， 大圆面积是小圆面积的倍， 阴影部分面积是小圆面积的倍， 故击中阴影部分的概率是． 故答案为：． 【变式1】（2025·安徽亳州·三模）如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率，三角形中线定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由平行四边形性质可得，，，则有，，然后证明，则有，故，然后用概率即可求解． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴它落在阴影部分的概率是， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·四川德阳·期末）如图所示，在圆形转盘中，，拨动指针，指针指向区域a的概率为，在矩形转盘中，，，拨动指针，指针指向区域的概率为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用几何图形求概率；由圆得圆中区域的圆心角为，可求出，由矩形的性质及等边三角形的判定及性质得，可得，可求出，即可求解；理解利用区域对应的角度进行求解是解题的关键． 解：由题意得 圆中区域的圆心角为， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ； 故答案为：． 小结：在数学上，事件发生的可能性的大小也称为事件发生的概率.必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0.若用表示不确定事件A发生的概率，则01。 【题型8】用列举法计算简单事件的概率 【例题8】（2025·江苏南京·二模）一个不透明的袋子中，装有3个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同. （1）搅匀后从中随机摸出1个球，摸到的球是红球的概率为_____. （2）搅匀后从中随机摸出2个球，求2个球都是红球的概率. 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了列举法求解概率，概率公式，正确列出所有情况是解题的关键． （1）由概率公式直接求解； （2）先列举出所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 解：（1）解：∵一个不透明的袋子中，装有3个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同， ∴搅匀后从中随机摸出1个球，摸到的球是红球的概率为， 故答案为：； （2）解：所有可能的结果有：（红1，红2）、（红1，红3）、（红1，白）、（红2，红3）、（红2，白）、（红3，白），共6种，它们出现的可能性相同， 所有的结果中，满足“2个球都是红球”（记为事件）的结果有3种，所以． 【变式1】．（2025·安徽蚌埠·三模）2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神．某班级为响应学校号召，计划从“志愿服务”“公益环保”“勤俭节约”三项活动中随机选取两项进行实践，则恰好选中“公益环保”和“勤俭节约”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式．根据题意得到共有3种等可能的情况：志愿服务，公益环保；志愿服务，勤俭节约；公益环保，勤俭节约；恰好选中“公益环保”和“勤俭节约”的只有1种情况，根据概率公式计算即可得到答案． 解：根据题意共有3种等可能的情况：志愿服务，公益环保；志愿服务，勤俭节约；公益环保，勤俭节约； 恰好选中“公益环保”和“勤俭节约”的只有1种情况， 恰好选中“公益环保”和“勤俭节约”的概率是， 故答案为：． 【变式2】（22-23九年级下·江苏宿迁·自主招生）已知6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，若从中任取3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 ． 【答案】/0.4 【分析】本题主要考查了等可能事件和等可能事件概率，注重卡片的取法和组成三角形卡片的可能及其组成三角形卡片的取法是解本题的关键．首先考虑取到的三张卡片是否有相同的，分类思考：若三张卡片都不同的取法；若含有相同的卡片的取法．再考虑能租成三角的情况，只有，，，这四种组合可以组成三角形，但组合中有重复的卡片，注意取卡片的可能． 解：若取出的3张卡片上的数字互不相同，有种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有种取法．所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有种取法． 要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：，，，， 由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有种． 因此，所求概率为． 故选：． 【题型9】用列表法和画树状图等枚举方法确定事件的各种可能性结果 【例题9】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）甲、乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转． （1）甲先单独转A转盘，转到4的概率_____； （2）请用树状图或列表法列出所有可能的结果； （3）若指针所指的两个数字都是方程的解时，则甲获性；若指针所指的两个数字都不是方程的解时，则乙获胜．问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）甲获胜的概率更大，说明见分析 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解一元二次方程．解题的关键是注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，进行求解即可； （3）求出方程的解，分解求出两人获胜的概率，进行求解即可． 解：（1）解：由题意，转到4的概率为； 故答案为： （2）由题意，列出树状图如下： （3）此游戏乙获胜的概率更大，理由如下： 解方程得：， 所以，从上表中可看出，指针所指的两个数字有12种等可能的结果， 其中两个数字都是方程的解有4次，两个数字都不是方程的解有2次， 所以，P（甲胜）=，P（乙胜）=， 所以，此游戏甲获胜的概率更大． 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）有4根细木棒，它们的长度分别是、、、．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了列表法或树状图法，三角形的三边关系．利用树形图列举法得到所有4种等可能的结果，再根据三角形的三边关系得到能够组成三角形的结果有3种，然后根据概率公式求解即可． 解：从4根细木棒中随机抽出3根木棒，共有4种等可能的结果，分别为3、5、7；3、5、9；3、7、9；5、7、9，其中能够组成三角形的结果有3、5、7；3、7、9；5、7、9，共3种， ∴从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是， 故选：C． 【变式2】（2025·浙江衢州·二模）“石头、剪刀、布”是一种广为流传的小游戏，规则是两人每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀．小方和小袁比赛一局，他们出相同手势的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及他们出相同手势的结果数，再利用概率公式可得出答案． 解：列表如下： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） 共有9种等可能的结果，其中他们出相同手势的结果有3种， ∴他们出相同手势的概率为． 故答案为：． 小结：如果事件发生的各种结果要的可能性相同，且互相排斥，结果总数为，其中事件A包含其中的结果数为，那么事件发生的概率 【例题7】（23-24八年级下·江苏南京·期中）一个不透明的盒中装有除颜色外均相同的黑球和白球共40个，小明做摸球实验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 1000 2000 3000 摸到白球的次数m 65 124 178 302 601 1198 1803 摸到白球的频率 （1）从该盒中任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为_________；（精确到0.01） （2）估计盒中白球的个数是_________； （3）以下数学实验及结果： ①掷一枚正六面体骰子，6点朝上； ②从标有1，2，3，4，5的五张卡片中随机抽一张，抽到标有奇数的卡片； ③抛一枚硬币，正面朝上． 其中，大量重复实验后，结果出现的频率与（1）中的估计值最接近的是_________．（填序号） 【答案】（1）；（2）24；（3）② 【分析】（1）大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率即可解答； （2）用球的总数乘以摸到白球的概率即可解答； （3）分别求出三个事件的概率，然后与（1）对比即可． 解：（1）解：根据表中数据估计从盒中摸出一个球是白球的概率是， 故答案为：． （2）解：估计盒中白球的个数是． 故答案为24． （3）解：①掷一枚正六面体骰子，6点朝上的概率为； ②从标有1，2，3，4，5的五张卡片中随机抽一张，抽到标有奇数的卡片的概率为； ③抛一枚硬币，正面朝上，．则②符合题意． 故答案为②． 知识点（三）用频率估计概率 从上面的实验可以看到：在相同条件下，当重复实验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近。因此,我们可以通过大量重复实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。 【题型10】概率意义的理解 【例题11】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）在一个不透明的袋子中装有20个球，这些球除颜色外都相同，其中红球8个，白球12个． （1）将20个球充分混匀，从袋子中任意摸出一个球，则摸到红球的可能性是________； （2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的白球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个白球的频率在附近摆动，求m的值． 【答案】（1）；（2）3 【分析】本题考查了可能性的大小，利用实验的方法进行概率估算，当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． （1）利用摸到红球的概率表示摸到红球的可能性； （2）利用频率估计概率得到随机摸出一个白球的概率，则根据概率公式得到，然后解关于m的方程即可． 解：（1）解：从袋子中任意摸出一个球，摸到红球的概率， 即摸到红球的可能性为； 故答案为：； （2）解：∵经过多次试验，随机摸出一个白球的频率在附近摆动， ∴随机摸出一个白球的概率， ∴， 解得， 即m的值为3． 【变式1】（2025·河南平顶山·三模）“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了画树状图求概率，画出树状图，根据树状图求出共有种等可能的情况出现，其中恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的情况有种，从而可得：恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率为． 解：把《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》四本书分别记为，，，， 根据题意，画出如下的树状图： 由树状图可知共有种等可能的情况出现，其中恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的情况有种， 恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率为． 故选： A． 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）一个不透明的箱子里有20枚黑棋子和若干枚白棋子，它们除颜色外其他完全相同，通过多次模拟实验后发现，摸出白棋子的频率稳定在左右，则箱子里棋子总数可能是 ． 【答案】80 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键． 由题意可知白棋子的概率为，可得黑棋子的概率为，再根据黑棋子的数量解答即可． 解：∵摸出白棋子的频率稳定在左右， ∴摸出白棋子的概率为， ∴摸出黑棋子的概率为， ∴箱子里棋子总数可能是， 故答案为：80． 知识点（四）频率的简单应用 人们在生活、生产和科学研究中，经常需要知道一些事件发生的可能性有多大例如，概率与人们的生活密切相关，能帮助我们对许多事件作出判断和决策，因此在生活、生产和科研等各个领域都有着广泛的应用。 【题型11】概率的简单应用 【例题12】（24-25七年级下·广东河源·期末）如图，一个可自由转动的转盘被平均分成6等份，分别标有2，3，4，5，6，7这6个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，指针指到分隔线无效，需要重新转动．两人参与游戏：一人转动转盘，一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．如果轮到你猜数，请你设计一种更容易获胜的猜数规则（不限转动次数），并说明理由． 【答案】见分析 【分析】本题考查了概率的基本计算、不同事件发生概率的比较以及多次试验下概率的累积效应．解题的关键是结合数字特征设计猜数规则，通过提高单次获胜概率，并利用多次试验放大优势，实现更容易获胜的目标． 选择包含多个数字的类别（如偶数）作为猜数对象，利用该类别数字数量占比高的特点，提升获胜概率，且在多次转动中累积优势． 解：猜数规则：每次猜转出的数字是偶数（即2、4、6中的一个），并且不限转动次数． 理由：转盘被平均分成6等份，标有2、3、4、5、6、7，每个数字被转出的概率均为．其中偶数有3个，单次猜中偶数的概率为，远高于猜单个数字的．由于不限转动次数，随着转动次数增多，根据概率规律，猜中偶数的总次数会更多，猜数人获胜的可能性更大． 【变式1】（24-25七年级下·山东青岛·期中）甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；若掷出的点数是偶数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是 的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．先求出他们任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数的所有等可能的结果，再分别找出掷出的点数是奇数、掷出的点数是偶数的结果，然后利用概率公式计算即可得． 解：由题意可知，甲、乙两人任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数共有6种等可能的结果，其中，掷出的点数是奇数的结果有三种，掷出的点数是偶数的结果有三种， 则甲赢的概率为，乙赢的概率为， 所以甲赢的概率和乙赢的概率相等， 所以这个游戏对甲、乙来说是公平的， 故答案为：公平． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为 粒． 【答案】120 【分析】本题主要考查了概率的应用，根据概率的意义正确列出算式是解题的关键． 由题意可知标上记号豆子的概率为，然后再用标记豆子的数量除以概率即可解答． 解：由题意可知：瓶子中被标记豆子的概率为， 所以瓶子中豆子的总数为粒． 故答案为：120． 四.同步练习​ 【基础巩固（20题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·广东茂名·期末）“某课本共173页，一名学生随手翻开，恰好翻到第53页”，这个事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件分类，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；据此进行判断即可． 解：“某课本共173页，一名学生随手翻开，恰好翻到第53页”，这个事件是随机事件， 故选：C． 2．（21-22七年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 【答案】D 【分析】根据等可能事件的意义解答即可． 解：抛硬币正面朝上和反面朝上的概率相同， 每一次抛都是有可能正面朝上也有可能反面朝上， 故选：D． 【点拨】本题考查了等可能事件的定义，能够正确判断事件发生的概率是解本题的关键． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次取出的小球标号的和等于4的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3种，进而可求出其概率． 解：如图， 随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3种， ∴两次取出的小球标号的和等于4的概率为， 故选：B． 4．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，对角线，相交于点O，若在内随机取点，则点落在内的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率，平行四边形的性质，关键是求出的面积与平行四边形的面积之比．先根据平行四边形的性质得出，求出的面积与的面积之比，即可得出点落在内的概率． 解：∵在平行四边形中，， ∴的面积占面积的， ∴点落在内的概率为， 故选：C． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 【答案】B 【分析】本题主要考查频率的应用，根据成活率求出未成活率，再乘以2000即可得出结果． 解：（棵）， 故选：B 6．（2025·贵州贵阳·二模）在一个不透明的口袋中装有5张印有中药艾片的卡片和若干张印有中药白果的卡片，它们除卡片上的图案不同其余均相同，通过多次摸卡片试验后发现，摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，则口袋中印有白果的卡片数约是（   ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，由摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近得到摸到印有艾片的卡片的概率为，求出口袋中装有卡片约是25张，即可求出答案． 解： ∵摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近， ∴摸到印有艾片的卡片的概率为， 口袋中装有5张印有中药艾片的卡片， ∴， 即口袋中装有卡片约是25张， ∴口袋中印有白果的卡片数约是（张） 故选：B． 7．（2025·广西来宾·模拟预测）技术的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革，小西要查阅资料，她准备从“豆包”“”“腾讯元宝”“文小言”四个软件中随机选择一个使用，则她选中的软件恰好是“腾讯元宝”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求概率，根据概率的基本公式，计算选中目标事件的概率． 解：小西从四个软件（豆包、、腾讯元宝、文小言）中随机选择一个，所有可能的结果共有4种，且每个结果出现的可能性相等．其中“选中腾讯元宝”这一事件只有1种可能结果．选中的软件恰好是“腾讯元宝”的概率是. 故选：C 8．（2025·安徽滁州·三模）如图，在内部有两条射线，定点P在的内部，从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角的认识及表示，简单事件概率的计算，根据题意可得共有共6个角，其中定点P在角内部的有共4个，再利用概率公式计算即可． 解：图中以点O为端点的射线共有4条，分别是和， 可以构成6个不同的角：，其中定点P在角内部的有4个：， 则从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是． 故选：D． 二、填空题 9．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）连续抛掷一枚质地均匀的一元硬币9次，出现了8次正面朝上，则第10次抛掷该硬币出现正面朝上的概率是 ． 【答案】/ 【分析】根据概率的意义可知，每一次正面朝上的概率都为，据此即可求解． 解：每一次正面朝上的概率都为， 第10次抛掷该硬币出现正面朝上的概率是． 故答案为： 10．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”的可能性更大的布袋是 ．（填写布袋对应的序号） 【答案】③ 【分析】此题考查了事件的可能性，根据每个布袋中白球的个数判断即可． 解：∵三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，①中有2个白球，②中有3个白球，③中有4个白球， ∴③中白球的个数最多 ∴“摸到白球”的可能性更大的布袋是③． 故答案为：③． 11．（2023·湖北孝感·三模）把10个苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一共有 种不同的分法． 【答案】4 【分析】首先把10拆成3个数，因为每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一一列举即可． 解：首先把10拆成3个数，，，，， 共有4种分法， 故答案为：4． 【点拨】本题考查数的组成，把10拆成3个数以及正确理解题意是关键． 12．（24-25七年级下·河南郑州·期末）有四条线段，长度分别是，从中任取三条线段能组成三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用列举法求概率，根据题意列举出所有的情况，找出能组成三角形的结果，进而根据概率公式计算即可求解． 解：所有情况有：；；；，共种， 其中能组成三角形的情况有种， ∴任取三条线段能组成三角形的概率是， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）在一个不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干枚，它们除颜色外都相同，现从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做10次，摸到黑棋子的频率稳定在，则袋子中白棋子约有 个． 【答案】15 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，根据题意列出方程是解题关键． 利用已知提供的数据假设出白棋子个数，列出方程，解方程即可得出白棋子个数． 解：设袋中白棋子有个，则， 解得． 经检验：为原分式方程的解， 即袋中白棋子约有15枚． 故答案为：15 14．（24-25七年级下·宁夏银川·阶段练习）若有一多项式为，其中k的值从，，6，9中随机抽取一个，那么正好让这个多项式成为完全平方式的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求概率，完全平方公式． 先求出让这个多项式成为完全平方式的k的数量，再求概率即可． 解：若为完全平方式，则， 即k的值从，，6，9中随机抽取一个，那么正好让这个多项式成为完全平方式的概率为， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 “射中9环以上”的次数 “射中9环以上”的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率为 （精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是理解当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 解：根据表格数据，射击数据较多时，“射中9环以上”的频率稳定在， ∴估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）“赵爽弦图”巧妙地利用图形的面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，小轩用纸板制作了一个如图所示的“赵爽弦图”的靶盘，他向该靶盘随意投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），已知直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则飞镖落在阴影小正方形内的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，利用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，求出阴影部分的面积，再求出阴影部分与大正方形的面积比即可． 解：∵，大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为：， ∴飞镖落在阴影小正方形内的概率是； 故答案为： 三、解答题 17．（22-23九年级上·河北保定·期末）箱子里有三个球，分别标有数1，2，3，各球除所标的数外其他均相同从箱子里任意摸出一个球，记下数后放回，再任意摸出一个球，记下数．问：记录的两个数的积是奇数的可能性大，还是偶数的可能性大？请说明理由． 【答案】偶数的可能性大，理由见分析 【分析】本题主要考查事件发生的可能性大小的判断，根据题意，列出所有可能性，然后比较奇数与偶数结果的大小即可，理解题意是解题关键． 解：偶数的可能性大，理由如下， 记录两个数的所有可能为：， 则乘积是奇数的有4种，乘积是偶数的有5种， 则乘积是奇数的概率为，乘积是偶数的概率为， 所以乘积是偶数的可能性大． 18．（24-25七年级下·广东深圳·期末）某小型超市采购了24盒草莓礼盒，但在质检时发现部分盒中混入了坏果（因挤压或成熟过度导致的腐烂草莓），工作人员对所有礼盒进行检查后发现，每盒草莓中最多混入2个坏果，具体数据见表； 混入坏果的数量 0 1 2 盒数 12 （1）从24盒草莓礼盒中任意抽取了1盒，“盒中没有坏果”是 事件；（填“必然”“不可能”或“随机”） （2）从24盒草莓礼盒中任意抽取1盒，若抽出“盒中混入1个坏果”礼盒的概率为，求m、n值． 【答案】（1）随机；（2）， 【分析】本题考查事件的分类，已知概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）根据事件的分类方法，进行判断即可； （2）根据概率公式求出的值，再根据总盒数减去其它盒数求出的值即可． 解：（1）解：从24盒草莓礼盒中任意抽取了1盒，“盒中没有坏果”可能发生也可能不发生，是随机事件； 故答案为：随机； （2）解：由题意，得：， ∴， ∴． 19．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》等是我国古代数学的重要著作（依次记为，，）．为了让学生了解更多的数学文化，某中学开展了一次数学历史知识的拓展学习．若该校小红和小亮两名同学从上面三部中随机选择一部数学著作作为拓展学习内容． （1）小红选择《九章算术》的概率是________； （2）利用画树状图或列表的方法，求小红和小亮同时选中同一本数学著作的概率． 【答案】（1）；（2）（小红和小亮同时选中同一本数学著作） 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法是关键． （1）运用概率公式计算即可； （2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示，再根据概率公式计算即可． 解：（1）解：共有《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》3种结果可选择， ∴小红选择《九章算术》的概率是， 故答案为：； （2）解：运用列表法把所有等可能结果表示如下， ∴共有9种等可能结果，其中小红和小亮同时选中同一本数学著作的有，共3种， ∴（小红和小亮同时选中同一本数学著作）． 20．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求： （1）转动转盘，转出的数字不大于5的概率； （2）小追和小梦一起做游戏，现有两张分别写有4和5的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．小追说：“若这三条线段能构成等腰三角形，则我赢”，小梦说：“若这三条线段构成的三角形的周长小于13，则我赢”，请问这个游戏规则对双方公平吗？试通过计算说明理由． 【答案】（1）；（2）公平；理由见分析 【分析】本题考查了用概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）分别求出这三条线段能构成等腰三角形的概率和三条线段构成的三角形的周长小于13的概率，再进行比较即可得到答案． 解：（1）解：转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，不大于5的结果有4种， 转出的数字不大于5的概率； （2）解：公平；理由如下： 转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能构成等腰三角形的结果有2种， （能构成等腰三角形）； 构成的三角形的周长小于13的结果有2种， （构成的三角形的周长小于13）， 这个游戏规则对双方公平． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列为随机事件的是（   ） A．通常加热到时，水沸腾 B．任意画一个三角形，其内角和是 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．无论为何实数，结果一定为正数 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的分类，掌握可能发生也可能不发生的事件是随机事件成为解题的关键． 根据随机事件的定义逐项判断即可． 解：A．在标准大气压下，水加热到必然沸腾，属于必然事件，不是随机事件； B．三角形内角和恒为，不可能是，属于不可能事件，不是随机事件． C．经过交通信号灯路口时，可能遇到红灯、绿灯或黄灯，结果具有不确定性，符合随机事件的定义，符合题意； D．无论实数取何值，始终为正数，属于必然事件，不是随机事件． 故选C． 2．（2025·宁夏中卫·模拟预测）在一个不透明的布袋中装有蓝色、 白色两种小球共50个，小球除颜色外其他完全相 同．小明通过很多次摸球试验后，发现其中摸到蓝色球的频率稳定在左右，则口袋中蓝色球个数最接近（    ） A．10个 B．20个 C．30个 D．40个 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在其概率附近．已知摸到蓝色球的频率稳定在左右，因此蓝色球的数量等于总球数乘以概率． 解：由题意，总球数为50个，摸到蓝色球的概率约为． 因此，蓝色球的数量为：（个）， 故选：B 3．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在由4个边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，若随机向此正方形网格中投针，则落在内部的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式，熟练运用概率公式是解题的关键． 先求出三角形的面积，然后用概率公式计算． 解：正方形面积， 三角形的面积 ， 则落在内部的概率是． 故选：C． 4．（2025·贵州·二模）周末，小梅的爸爸想带她和弟弟到贵阳市黔灵山公园或花溪湿地公园游玩，爸爸将两个公园名称分别写在两张相同的卡片上，让姐弟俩随机抽取．弟弟随机抽取一张后，放回并混在一起，姐姐再随机抽取一张，姐姐和弟弟抽取的公园名称相同的概率是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率． 解：黔灵山公园、花溪湿地公园两个景点分别用、表示， 画树状图为： 共有4中等可能的结果，其中抽取的公园名称相同结果数为2， 所以抽取的公园名称相同的概率 故选：C ． 5．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）某马场有三匹马，按身体强壮程度分为上马，中马，下马，这三匹马随机住在三个不同的马厩，甲到该马场去租马，先到第一个马厩观察后不租，再到第二个马厩，若比第一个马厩的马强壮，就直接租第二个马厩的马，若比第一个马厩的马瘦弱，就租第三个马厩的马，按这种方式，甲租到上马的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列举法求概率．列举出所有三种马排列情况，再利用概率公式求解即可． 解：设上马为，中马为，下马为， 三种马排列情况共有，，，，，， 符合要求的有，，， 所以租到是A类即租到上马的概率为． 故选：A． 6．（24-25九年级上·河北邢台·期中）有四个盒子，随机从盒子中摸出1个球，摸出红球可能性最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了可能性.我们知道可能性指的是事件发生的概率，掌握以上知识是解题的关键； 本题分别求出4个选项中摸出红球的概率，然后进行比较，即可求解； 解：A、摸出红球的概率为； B、摸出红球的概率为； C、摸出红球的概率为； D、摸出红球的概率为； ∵， ∴A选项摸出红球可能性最大， 故选：A； 7．（2025·上海崇明·二模）学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如下表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（　　）（精确到） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，是解题的关键； 根据表格中的数据可知，针尖朝上频率在左右波动，据此可得出结论． 解：由题意可知，“针尖朝上”频率在左右波动， ∴根据以上实验数据可以估计出“针尖朝上”的概率约为． 故选：C． 8．（24-25七年级下·四川成都·期末）在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（　　） A．一个袋中有3个红球，7个白球，除颜色外都相同，随机取一球，取到红球 B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3 C．从分别标有1，1，2，2，3，4，5的7张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数概率 D．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀 【答案】D 【分析】此题考查了模拟实验，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 解：统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率， A、一个袋中有3个红球，7个白球，除颜色外都相同，随机取一球，取到红球的概率为，故此选项不符合题意； B、任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3的概率为，故此选项不符合题意； C、从分别标有1，1，2，2，3，4，5的7张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数概率的概率为，故此选项不符合题意； D、在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀的概率为，故此选项符合题意． 故选：D． 二、填空题 9．（24-25八年级上·北京平谷·期末）“若，则”这一事件是 （选填以下内容：不可能事件、必然事件、随机事件）． 【答案】必然事件 【分析】此题主要考查了必然事件概念以及二次根式的性质，根据二次根式的性质，结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于哪一种类别，即可解答． 解：∵， ∴， 则为必然事件， 故答案为：必然事件． 10．（2024九年级·全国·竞赛）某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 解：某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率是必然事件， ∴两个人出生月份相同的概率为， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·山东青岛·期中）综合实践课上，同学们利用一个口袋和6个除颜色外完全相同的球设计摸球游戏．若想使得摸到一个球是红球的概率是，则口袋中应放入 个红球． 【答案】2 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．设口袋中应放入个红球，根据摸到一个球是红球的概率是建立方程，解方程即可得． 解：设口袋中应放入个红球， 由题意得：， 解得， 故答案为：2． 12．（24-25八年级下·四川成都·期末）从四个数中选取一个作为的值，则满足不等式组的解集是，且分式方程有解的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，由一元一次不等式组解集的情况求参数的取值范围，由分式方程解的情况求参数的取值范围，先解不等式组，根据不等式组解集的情况可得，再解分式方程，由分式方程解的情况得，即得的取值范围为且，即可得符和条件的为的值共个，最后根据概率公式计算即可求解，由不等式组和分式方程解的情况求出的取值范围是解题的关键． 解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组的解集为， ∴， 解分式方程，得， ∵分式方程有解， ∴， 即， ∴， ∴的取值范围为且， ∴从四个数中选取一个作为的值，符和条件的有，共个， ∴从四个数中选取一个作为的值，满足条件的概率为， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，为三角形纸板的角平分线，，E为上一点，于点F，连接若，将一个飞镖随机投掷到该纸板上（假设飞镖一定落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，几何概率，先证明，得到，根据，，易求，设，则，进而求出，令，则，求出，进而求出，即可解答． 解：∵为三角形纸板的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴将一个飞镖随机投掷到该纸板上（假设飞镖一定落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 14．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图所示的正五边形的每个顶点为一个花坛，已知花坛分别种植了凌霄、三角梅，在花坛中随机种上凤仙花、木槿、月季（每个花坛中只能种植一种花卉且不重复），则凤仙花与木槿两种花卉相邻的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，由于花坛中已经种植了凌霄，花坛中已经种植了三角梅，则列举、、种植凤仙花、木槿、月季的可能结果，然后用概率公式即可求解，掌握列举法求概率的方法是解题的关键． 解：三个花坛种植花卉的等可能结果有6种，按顺序分别为 ①凤仙花、木槿、月季； ②风仙花、月季、木槿； ③木槿、凤仙花、月季； ④木槿、月季、凤仙花； ⑤月季、凤仙花、木槿； ⑥月季、木槿、风仙花． 其中凤仙花与木槿两种花卉相邻的结果共有4种， （凤仙花与木槿两种花卉相邻）． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，有一张平整的银杏叶平铺在的地面上，小惠同学为了了解该银杏叶的面积，进行了以下试验操作：先用一个边长为的正方形，将银杏叶围在其中；然后在正方形区域内随机投掷小针，记录小针投中银杏叶的次数（小针投在正方形区域外或投在边界上，则不计试验结果，重新投掷），随着试验次数增加，发现小针投中银杏叶的频率稳定在左右，根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用频率来估计概率，解一元一次方程，先计算正方形的面积，再建立方程求解即可，解题关键是理解频率与概率的关系与概率计算公式，明确题中银杏叶的面积与正方形的面积比等于概率是解题的关键． 解：正方形面积为：， 设该银杏叶的面积为，依题意得： ， 解得：， ∴估计该银杏叶的面积为， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·广东江门·期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查利用概率判断游戏公平性，熟练掌握列举法求概率是解题的关键，利用列表法表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可． 解：由题可列表如下： 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 由表知，共有9种等可能结结果，其中和为奇数的有4种结果，和为偶数的有5种结果， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 三、解答题 17．（24-25七年级下·广东茂名·期末）一个不透明的袋子中装有3个白球，9个红球，这些球除颜色外都相同，混合均匀后： （1）若从袋子中任意取出一个球，取出白球的概率为多少？ （2）若往袋子中放入若干个白球（与袋子中的白球完全相同），再取出相同数量的红球，从中任意取出一个球，使取出红球的概率是取出白球的，求放入了多少个白球． 【答案】（1）；（2）放入了5个白球 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有12种等可能的结果，其中取出白球的结果有3种，利用概率公式可得答案； （2）设放入了x个白球，则此时共有个白球，个红球，根据概率关系列出方程，求出x的值即可． 解：（1）解：由题意知，共有12种等可能的结果，其中取出白球的结果有3种， 取出白球的概率为； （2）解：设放入了x个白球， 则此时共有个白球，个红球， 从中任意取出一个球，取出红球的概率是取出白球的， ， 解得， 放入了5个白球． 18．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）龙眼南美食街是汕头美食网红打卡点之一，小云和小吉准备前去打卡品尝，她们决定在"A．潮汕生腌、B．腐乳鸡翅、C．手打牛肉丸、D．砂锅肠粉”这四种小吃中各自选择喜欢的美食进行品尝，假设选择每种小吃的可能性相同． （1）小云只选了一种，则她选择“A．潮汕生腌”的概率是________（直接填写答案） （2）若小吉选择了两种小吃，请用画树状图或列表的方法求出她选择的是“B．腐乳鸡翅”和“C．手打牛肉丸”的概率， 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据简单地概率公式，解答即可． （2）根据画树状图法，求概率解答即可． 本题考查了简单地概率公式，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 解：（1）解：根据题意，得她选择“A．潮汕生腌”的概率是， 故答案为：． （2）解：根据题意，画树状图如下： 一共有12种等可能性，其中选择的是“B．腐乳鸡翅”和“C．手打牛肉丸”的有2种等可能性． 故选择的是“B．腐乳鸡翅”和“C．手打牛肉丸”的概率，． 19．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）某校为了了解九年级学生的体质情况，组织全体九年级学生进行体能测试，并随机抽取部分同学的测试结果进行统计分析．体育老师将体能测试的最终结果分为A优秀，B良好，C合格，D不合格四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次随机抽取的学生共________人，并把条形统计图补充完整． （2）若该校九年级有900人，请估计该校体能测试不合格的总人数． （3）假定A等级样本中有2名女生，现准备从A等级样本中随机抽取2名同学，求抽取的同学恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）50，图见分析；（2）144人；（3） 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、用样本估计总体、画树状图或列表法求概率，理解题意，看懂统计图是解答的关键． （1）先由B等级的人数除以其所占百分比求得抽取人数，再求得A等级的人数，即可补全统计图； （2）用该校九年级总人数乘以样本中不合格人数所占比例即可求解； （3）根据A等级人数知，有3名男生，2名女生，画树状图，利用概率公式求解即可． 解：（1）解：由统计图可得，本次随机抽取的学生共（人）， A等级人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： （2）解：（人）， 答：估计该校体能测试不合格的总人数为144人； （3）解：由题意，A等级有3名男生，2名女生， 列表如下： 男 男 男 女 女 男 （男，男） （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，男） （女，女） 一共有20种等可能的结果，其中，恰好是一男一女的有12种， ∴抽取的同学恰好是一男一女的概率为． 20．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）从写有的四张卡片中选取一个作为的值，使一次函数的图象经过第三象限是一件不可能事件， （1）___________；与轴交点的坐标为___________，与轴交点的坐标为___________； （2）过点作线段，且，求直线的函数关系式． 【答案】（1），，；（2）或 【分析】本题考查了一次函数的性质，不可能事件，全等三角形的判定与性质等知识，截图的关键是： （1）根据一次函数的性质，不可能事件的定义求出a的值，得出函数解析式，即可求出A、B的坐标； （2）分C在直线的左侧和右侧讨论，然后根据全等三角形的判定与性质，待定系数法求解即可． 解：（1）解：当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限， 当时，直线的图象经过第一、二象限， 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限， 当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限， 又从写有的四张卡片中选取一个作为的值，使一次函数的图象经过第三象限是一件不可能事件， ∴， ∴函数解析式为， 当时，， 解得， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵，， ∴，， 当C在直线的右侧时，过C作轴于D， ∴， 又， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为； 当C在直线的左侧时，过C作轴于D， ∴， 又， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为； 综上，直线解析式为或． 【中考真题20题】 一、单选题 1．（2025·湖北·中考真题）在下列事件中，不可能事件是（   ） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【分析】本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然不会发生的事件，对各选项逐一分析. 解：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意； 选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，符合题意； 选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意； 选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意； 综上，只有选项B符合不可能事件的定义， 故选：B． 2．（2025·北京·中考真题）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率=事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 解：∵袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，从袋子中随机摸出一个球， ∴摸出的球是白球的概率是． 故选：A． 3．（2025·河北·中考真题）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据概率求数量，根据题意得出数字有个，数字有2个，则数字只有个，结合选项，即可求解． 解：正方体共6个面，向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为， ∴数字有个，数字有2个，则数字只有个 选项A中数字有2个，符合题意 故选：A． 4．（2025·辽宁·中考真题）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 解：列表如下： 红 黄 红 （红，红） （红，黄） 黄 （黄，红） （黄，黄） 共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种， ∴两次摸出的都是红球的概率为． 故选：C． 5．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定，用概率公式求概率，掌握正方形的判定方法和概率公式是解题的关键． 根据从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．再根据概率公式求解即可． 解：从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形． ∴，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为． 故选：A． 6．（2025·贵州·中考真题）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：（  ） 抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在附近，即可得出答案． 解：当抛掷次数较小时（如20次、60次等），频率波动较大（、等），当次数增加到500次及以上时，频率稳定在，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为． 故选：B． 二、填空题 7．（2025·贵州·中考真题）一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 由红球的个数及球的总数，根据概率的计算公式即可． 解：∵一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，每个球除颜色外都相同， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率是， 故答案为：． 8．（2025·新疆·中考真题）不透明袋子中有3个红球、2个白球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查求概率，根据概率公式直接进行计算即可． 解：由题意，得：； 故答案为：． 9．（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次方程的定义可得，则且，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到且的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 列表如下： 1 2 1 2 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为， 故答案为：． 10．（2024·青海西宁·中考真题）在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有，，，，，随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是 ． 【答案】/0.4 【分析】此题考查了简单概率的计算．熟练掌握概率的意义和计算方法是解题的关键．概率是随机事件发生可能性大小的数值，计算方法是在n次等可能结果的一次试验中事件A包含其中的m种结果，A事件发生的概率为． 在5个二次根式中，，是最简二次根式，再由概率公式求解即可． 解：在，，，，这5个二次根式中，，是最简二次根式，有2个， ∴随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是， 故答案为：． 11．（2022·重庆·中考真题）一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查画树状图或列表法求概率，解题的关键是画出所有的情况，再用概率公式进行求解． 根据题意画出树状图，再利用概率公式进行求解． 解：画树状图为 由此可得，一共有9种等可能的情况，两次摸出的球都是“红球”的有4种， ∴两次摸出的球都是“红球”的概率为． 故答案为： 12．（2025·北京·中考真题）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商 分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为 万元． 【答案】 【分析】本题考查列举等可能的结果，根据表格列举出增长量的变化是解题关键． （1）分别计算各经销商销售完第2台比第1台的利润的增长量，比较即可得答案； （2）分别求出一家分配时、四家分配时、三家分配时、两家分配时的最大利润，比较即可得答案． 解：（1）当时， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， ∵， ∴应向经销商分配2台设备． （2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为经销商的万元， 当分配给多家销售时： 当分配四家时，最大利润为（万元）， 当分配给三家时，最大利润为（万元）， 当分配给两家时，最大利润为（万元）或（万元）， 综上所述：企业可获得的总利润的最大值为万元． 故答案为：， 三、解答题 13．（2025·山东青岛·中考真题）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有4张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同．将这4张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张．利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 解：画树状图如下： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中抽取到的两张卡片中有“生”的结果数有6种， ∴抽取到的两张卡片中有“生”的概率是． 14．（2025·吉林·中考真题）在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动需分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成．请用画树状图或列表的方法，求参与者小顺和小利被分配到同一组的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到参与者小顺和小利被分配到同一组的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 解：列表如下： 小顺小利 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中参与者小顺和小利被分配到同一组的结果数有3种， ∴参与者小顺和小利被分配到同一组的概率为． 15．（2025·江苏扬州·中考真题）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． （1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 解：（1）解：∵有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子， ∴选中“乒乓球”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果数有4种， ∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是． 16．（2025·湖南长沙·中考真题）2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．论坛聚焦美育与阅读融合．为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等级式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．） 等级 频数 频率 A m B C n D 6 根据图表中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了______名学生的成绩；表中______，______； （2）在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为______度； （3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率． 【答案】（1）；（2）；（3）见分析， 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图信息关联问题，以及概率问题，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据频数分布表求出总人数即可求解； （2）根据A等级所占比例即可求解； （3）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 解：（1）解：由频数分布表可得，总人数为：（人）； ∴，， 故答案为： （2）解：“A等”所对应的扇形的圆心角为：， 故答案为： （3）解：记“选出的2名学生恰好来自同一个班级”为事件A，设一班的2名学生为甲和乙，二班的2名学生为丙和丁，画出树状图： 一共有种等可能的结果，其中事件A包含4种可能的结果． ． 17．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点． （1）求t的值； （2）直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l； （3）在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． 【答案】（1）；（2），见详解；（3） 【分析】本题考查了概率公式，反比例函数的性质，一次函数的性质，画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把代入进行计算，得； （2）先得出，再代入直线，求出，即可求出l与y轴交点的坐标，再由两点确定一条直线画出直线的函数图象； （3）先得出格点共有个，分别是再分析得出格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，最后运用概率公式列式计算，即可作答． 解：（1）解：∵曲线过点． ∴； （2）解：由（1）得， 故， ∵直线也经过点P， ∴把代入，得， 解得， ∴； 令，则， ∴l与y轴交点的坐标为； 直线l的函数图象，如图所示； （3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是， ∵曲线， 则， ∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上， 即该格点在曲线G上的概率． 18．（2025·四川凉山·中考真题）某校计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，抽取部分学生对最喜爱的书籍（A类为文学，B类为科普，C类为体育，D类为其他）进行调查（每人只能选择一项）．根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图： 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查的总人数是_______人； （2）补全条形统计图，并求出C类所对应的扇形的圆心角为_______度； （3）现从喜欢文学的2名男生和2名女生中，随机抽取2名参加“中华魂”演讲比赛．请用列表法或画树状图法，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）50；（2）图见分析，；（3） 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率，求扇形统计图中圆心角度数，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用类人数除以所占的比例求出总人数即可； （2）求出类人数，补全条形图，用360度乘以C类人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （3）根据题意，画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 解：（1）解：（人）； 故答案为：50； （2）类人数为：（人）；补全条形图如图： C类所对应的扇形的圆心角为； 故答案为：； （3）由题意，画出树状图如下： 共12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种， ∴． 19．（2025·云南·中考真题）九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院．游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．若，则组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院；若，则组学生到乙敬老院，组学生到甲敬老院． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）画树状图，得到共有种等可能的结果； （2）根据树状图得到的结果有种，利用概率公式计算即可． （1）解：根据题意画树状图如下， 共有共种等可能的结果； （2）解：由树状图得，的结果有种， 组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率． 20．（2025·黑龙江绥化·中考真题）2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 12 9 根据以上信息回答： （1）这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图． （2）若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 【答案】（1）40，，见分析；（2）见分析， 【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，准确理解题意是解题的关键． （1）先根据D组的人数和百分比求出抽查的总人数，再利用乘以组的的百分比即可求出扇形统计图中的圆心角度数，再求出C组的人数并补全统计图即可； （2）画出树状图或列表法得到所有等可能情况，用概率公式求出答案即可． 解：（1）解：这次抽查的志愿者共有：（人）， 扇形统计图中的圆心角度数是， C组的人数为（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：40， （2）解：设2名男志愿者分别记作、，2名女志愿者分别记作、 根据题意可以画出如下的树状图 列表法如下图 由树状图法或列表法可以看出共有12种结果出现的可能性相等，选中的2名女志愿者担任组长的是和的情况有两种. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$