专题 2.3 等腰三角形的性质定理（知识梳理 + 题型精析 +同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（浙教版 2024）

专题 2.3 等腰三角形的性质定理 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点引入： 1 知识点（一）等腰三角形性质定理1 2 【题型1】利用“同一个三角形中，等边对等角”求值 3 【题型2】利用“同一个三角形中，等边对等角”证明 3 知识点（二）等腰三角形性质定理1推论 5 【题型3】利用“等边三角形的各个内角都等于60°”求值 5 【题型4】利用“等边三角形的各个内角都等于60°”证明 6 知识点（三）等腰三角形性质定理2 8 【题型5】利用“等腰三角形三线合一”求值 8 【题型6】利用“等腰三角形三线合一”证明 9 二．同步练习 10 【基础巩固（16题）】 10 【能力提升（20题）】 14 【中考真题6题】 19 一．知识梳理与题型分类精析 知识点引入： 【例题1】（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）课前预习是学习数学最有效的方法之一，请你认真阅读以下例题的做法： 例：求证：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等角对等边”） 已知：如图，在中，． 求证：． 证明：作底边上的中线， ∵是中线， ∴， 在与中， ∴， ∴． 请你仿照以上例题的方法，并写出求证与证明： 题目：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”） 已知： 求证： 证明： 知识点（一）等腰三角形性质定理1 等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。这个定理也可以说成在同一个三角形中，等边对等角。 数学语言：如图1，在中， （已知） （在同一个三角形中，等边对等角） 图1 【题型1】利用“同一个三角形中，等边对等角”求值 【例题2】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）中，，的垂直平分线交、于、． （1）若的周长为，求的长；（2）若，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点M，N，作直线分别交，于点D，E；再以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点F，G；分别以点F，G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点Q，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，D是上一点，连接，将沿所在的直线折叠，点B落在点处，连接，若，且平分，则的度数为 【题型2】利用“同一个三角形中，等边对等角”证明 【例题3】（24-25七年级下·上海青浦·期中）已知：如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且，．求证：． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）小明在学习“等腰三角形两底角相等”时，他猜想“等腰三角形底角的平分线相等”．请补全已知、求证，并进行证明，验证小明的猜想． 已知：如图，在中，__________ 求证：__________ 证明： 【变式2】（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）已知：如图，在△与△中，°，，、、三点在同一直线上，连接、．以下四个结论：①，②，③，④△≌△，其中正确的个数（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3】（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，在中，，D为边上一点，过D作，分别与相交于点E和点F． （1）求证：；（2）若，求证：． 知识点（二）等腰三角形性质定理1推论 等腰三角形性质定理1推论：等边三角形的各个内角都等于60°。 数学语言：如图2，在中， （已知） （在同一个三角形中，等边对等角） 图2 【题型3】利用“等边三角形的各个内角都等于60°”求值 【例题4】（24-25八年级上·天津·期中）如图，已知是等边三角形中边上一点，将沿直线翻折得到，连接并延长交直线于点． （1）若，则　 　． （2）若，　 　；　 　； （3）当点在运动过程中，设，求． 【变式1】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在等边三角形中，边上的中线，、分别是线段、上的一个动点，在点，运动的过程中，的最小值是 ． 【题型4】利用“等边三角形的各个内角都等于60°”证明 【例题5】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）（1）如图1，已知，以为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：． （2）如图2，已知，以为边分别向外作正方形和正方形，连接，猜想与有什么数量关系？并说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，和均为等边三角形，且两个三角形在线段同侧，①；②；③；④，则上述结论中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【变式2】（2025·四川成都·模拟预测）如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，添加下列条件后不能判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·四川成都·期末）补充完成下列推理过程： 如图，在等边中，是边上一点，以为边向上作等边，连接． 求证：． 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴（ ）． 即（ ）． 在和中， ∵ ∴（ ）． ∴（ ）． ∵是等边三角形， ∴． ∴（ ）． ∴（ ）． 【例题6】（2023·北京房山·一模）下面是证明等腰三角形性质定理“三线合一”的三种方法，选择其中一种完成证明． 等腰三角形性质定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简记为：三线合一）． 方法一： 已知：如图，中，，平分． 求证：，． 方法二： 已知：如图，中，，点为中点． 求证：，． 方法三： 已知：如图，中，，． 求证：， 知识点（三）等腰三角形性质定理2 等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一。 数学语言：如图3，在中，, ； ；。 图3 【题型5】利用“等腰三角形三线合一”求值 【例题7】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，于点，垂直平分，交于点，交于点，且． （1）若，求的度数；（2）若的周长为，，求的长． 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若周长最小时，的度数为 ． 【题型6】利用“等腰三角形三线合一”证明 【例题8】（24-25九年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且． （1） 求证：； （2）连接，判断与的位置关系并说明理由． （3）求证：． 【变式1】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西延安·期末）如图，在中，，，，，点G为与的交点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）等腰三角形一个角等于，则它的底角是（   ） A． B． C． D．或 3．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 5．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，则（   ）度． A．10 B．15 C．20 D．25 6．（24-25七年级下·河北张家口·期末）某平板电脑支架如图所示，其中，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（    ） A．减小 B．增大 C．减小 D．增大 二、填空题 7．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，垂直平分线段，则的度数为 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点．则的度数为 ． 9．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，等边与关于直线对称，且的边长为3，为线段上一动点，则的最小值是 ． 10．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为 ． 11．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，已知点是边的中点，点在边上，沿线段折叠，使点落在边的点处，若，则的度数为 ． 12．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，的平分线过点，与交于点，若，则的度数为 °． 三、解答题 13．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，平分，垂直平分，分别交，于点，，与平行吗？ 解：平分（已知） _____（角平分线定义） 垂直平分 _____（_____） （_____） _____（等量代换） （______） 14．（24-25八年级上·广西钦州·阶段练习）如图，是等边三角形，是延长线上一点，连接，以为一边作等边，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 15．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点N，交的延长线于点M，若． （1）求的度数； （2）如果将（1）中的度数改为，其余条件不变，再求的度数； （3）你发现有什么样的规律性，试证明之． 16．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． （1）求线段的长； （2）若，求的度数； （3）连接，，，若的周长为，求线段的长． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，，，的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图；在中，是的角平分线，下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25七年级下·山西临汾·期末）若等腰三角形的一个外角为，则其底角度数为（    ） A． B． C．或 D． 5．（24-25七年级下·山东烟台·期末）在中，．用无刻度的直尺和圆规在内部作一个角，下列四种作图方法中能使等于的有（    ）        A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 6．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（ ） A． B． C．1 D． 7．（24-25七年级下·吉林长春·期末）图①，在四边形中，，，点E、F分别是、上的动点．如图②， 作点A关于、的对称点N、M，连结，交于点E，交于点F，连结、，所得的的周长最小，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图所示，是等边三角形，，，则的周长为 ． 9．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在等边三角形中，，，交于点F，则 ． 10．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在等腰中，，，在边AC上任取一点，延长BC到，使，得到，此时的度数为 ；在边上任取一点，延长到，使，得到……按此做法继续下去，则的度数为 ． 11．（2025·浙江温州·三模）如图，已知四边形中，，平分，点E在边上且，连接，若，，，则，，之间的数量关系是 ． 12．（24-25七年级下·江苏·期末）如图，中，，，D，E，F分别是上的动点，连接，当的值最小时，的度数为 ． 13．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，小湘在中按以下步骤作图： ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别与，交于点B，C； ②分别以点B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P，作射线； ③再以点P为圆心，长为半径作弧，分别交，于点E，F，连接交射线于点D，并作射线交于点G． 按照小湘的作图过程，若，则 ． 14．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为 ． 15．（24-25八年级上·广东江门·期中）已知等边中，点，分别在边，上，把沿直线翻折，使点落在点处，，分别交边于点，，若，则的度数为 ． 16．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点，分别是边，边上的动点，将沿直线翻折，点的对点恰好落在边上，若是等腰三角形，那么的度数为 ． 三、解答题 17．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，点，分别在，边上，，，连接． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 18．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分． （1）求证：； （2）求的度数． 19．（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，是中线，作关于的轴对称图形． （1）直接写出和的位置关系； （2）连接，写出和的数量关系，并说明理由； （3）当，时，在上找一点P，使得点P到点C与到点E的距离之和最小，求的面积． 20．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，点是边上一点（不与、重合），连接，以为一边在右侧作，使，，连接． （1）试判断与的数量关系，并说明理由； （2）①若，求的度数． ②若，请直接写出与之间的数量关系__________． （3）若平分，且，求的长． 【中考真题6题】 一、单选题 1．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·甘肃武威·中考真题）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 4．（2022·四川自贡·中考真题）如图，△是等边三角形， 在直线上，．求证： ． 5．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 6．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． （1）求的度数； （2）若，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.3 等腰三角形的性质定理 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点引入： 1 知识点（一）等腰三角形性质定理1 3 【题型1】利用“同一个三角形中，等边对等角”求值 3 【题型2】利用“同一个三角形中，等边对等角”证明 6 知识点（二）等腰三角形性质定理1推论 9 【题型3】利用“等边三角形的各个内角都等于60°”求值 10 【题型4】利用“等边三角形的各个内角都等于60°”证明 12 知识点（三）等腰三角形性质定理2 19 【题型5】利用“等腰三角形三线合一”求值 19 【题型6】利用“等腰三角形三线合一”证明 22 二．同步练习 26 【基础巩固（16题）】 26 【能力提升（20题）】 38 【中考真题6题】 57 一．知识梳理与题型分类精析 知识点引入： 【例题1】（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）课前预习是学习数学最有效的方法之一，请你认真阅读以下例题的做法： 例：求证：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等角对等边”） 已知：如图，在中，． 求证：． 证明：作底边上的中线， ∵是中线， ∴， 在与中， ∴， ∴． 请你仿照以上例题的方法，并写出求证与证明： 题目：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”） 已知： 求证： 证明： 【分析】根据题意写出已知和证明，然后过点A作，垂足为D， 根据证明求解即可． 解：已知：如图，在△ABC中，已知． 求证：． 证明：过点A作，垂足为D， 在与中， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确理解题意、作出合适的辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 知识点（一）等腰三角形性质定理1 等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。这个定理也可以说成在同一个三角形中，等边对等角。 数学语言：如图1，在中， （已知） （在同一个三角形中，等边对等角） 图1 【题型1】利用“同一个三角形中，等边对等角”求值 【例题2】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）中，，的垂直平分线交、于、． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）° 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段的垂直平分线的性质证明，求出，根据，求出的长； （2）设，根据线段的垂直平分线的性质证明，得到的度数，根据等腰三角形的性质用表示出的度数，根据三角形内角和定理列出方程，解方程得到答案． 解：（1）解：是线段的垂直平分线， ， 的周长为， ，又， ； （2）设， ， ， ， ， ， ， 则， 解得． 则． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点M，N，作直线分别交，于点D，E；再以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点F，G；分别以点F，G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点Q，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图——基本作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．分别求出，再利用三角形的外角的性质求解． 解：由作图可知垂直平分线段， ， ， ， 平分， ， ， ， 故选： 【变式2】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，D是上一点，连接，将沿所在的直线折叠，点B落在点处，连接，若，且平分，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、角平分线的定义、等边对等角、三角形内角和定理，由折叠的性质可得，，由角平分线的定义可得，由等边对等角结合三角形内角和定理计算可得，最后再由平角的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：由折叠的性质可得：，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型2】利用“同一个三角形中，等边对等角”证明 【例题3】（24-25七年级下·上海青浦·期中）已知：如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．等边对等角，得到，三角形的外角，推出，进而证明，即可得证． 解：证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）小明在学习“等腰三角形两底角相等”时，他猜想“等腰三角形底角的平分线相等”．请补全已知、求证，并进行证明，验证小明的猜想． 已知：如图，在中，__________ 求证：__________ 证明： 【答案】见分析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，由等腰三角形的性质可得，进而由角平分线的定义可得，再根据可证，据此即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 解：已知：如图，在中，，，平分和交，于点F，E， 求证： 证明：∵， ∴， 又∵，平分和， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式2】（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）已知：如图，在△与△中，°，，、、三点在同一直线上，连接、．以下四个结论：①，②，③，④△≌△，其中正确的个数（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是证明，即可判断④；根据全等三角形的性质即可判断①；结合等腰直角三角形的性质即可判断②和③． 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴，故结论④正确； ∴，，故结论①正确； ∵，， ∴，故结论③正确； ∴， ∴，故结论②正确； ∴正确的个数是． 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，在中，，D为边上一点，过D作，分别与相交于点E和点F． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质： （1）根据三角形的内角和定理和平角的定义，即可得出结论； （2）证明，即可得证； 解：（1）证明：∵，， ∴； （2）由（1）知：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴. 知识点（二）等腰三角形性质定理1推论 等腰三角形性质定理1推论：等边三角形的各个内角都等于60°。 数学语言：如图2，在中， （已知） （在同一个三角形中，等边对等角） 图2 【题型3】利用“等边三角形的各个内角都等于60°”求值 【例题4】（24-25八年级上·天津·期中）如图，已知是等边三角形中边上一点，将沿直线翻折得到，连接并延长交直线于点． （1）若，则　 　． （2）若，　 　；　 　； （3）当点在运动过程中，设，求． 【答案】（1）；（2），；（3）． 【分析】本题考查了翻折的性质，等边对等角，等边三角形的性质，掌握这些性质是解题的关键． （）根据等边三角形的性质得，然后通过折叠性质可得，从而求解； （）根据等边三角形的性质得，则有，又，则，再由三角形的外角定理求解； （）同（）理求解． 解：（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用．根据等边三角形性质，三角形外角性质，以及等腰三角形性质得到，同理即可求出． 解：是等边三角形， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在等边三角形中，边上的中线，、分别是线段、上的一个动点，在点，运动的过程中，的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，等边三角形的性质，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论． 连接，由题意可得，将转化为，当点，点，点三点共线，且时，值最小，即的值最小． 解：如图：连接， 是等边三角形，是中线， 垂直平分， ， 当点，点，点三点共线，且时，值最小，即的值最小． 此时：是等边三角形，，， ， 即的最小值是， 故答案为：． 【题型4】利用“等边三角形的各个内角都等于60°”证明 【例题5】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）（1）如图1，已知，以为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：． （2）如图2，已知，以为边分别向外作正方形和正方形，连接，猜想与有什么数量关系？并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）．理由见分析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别以A、B为圆心，以的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则即为所求；同理作出；由等边三角形的性质得到，再证明，即可证明． （2）由正方形的性质得到，再证明，即可得到． 解：（1）如图所示，即为所求； 证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即． ∴． ∴． （2）．理由如下： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即． ∴． ∴． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，和均为等边三角形，且两个三角形在线段同侧，①；②；③；④，则上述结论中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等边三角形的性质． 先根据等边三角形的性质得到，，，则，则根据“”可证明，从而可对①进行判断；再证明，则可根据“”判断，从而可对②进行判断，所以，接着根据“”证明，从而可对③进行判断；由于不是等边三角形，为等边三角形，从而可对④进行判断． 解：和均为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ，所以①正确； ， ， ， 在和中， ， ，所以②正确； ， 在和中， ， ，所以③正确； ， 不是等边三角形， 而为等边三角形， 与不能全等，所以④错误． 故选：B． 【变式2】（2025·四川成都·模拟预测）如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，添加下列条件后不能判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断． 解：是等边三角形， ，， A、由，得到，由SAS判定≌，故A不符合题意； B、由，得到，由AAS判定≌，故B不符合题意； C、由ASA判定≌，故C不符合题意； D、和分别是CD和AE的对角，不能判定≌，故D符合题意． 故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·四川成都·期末）补充完成下列推理过程： 如图，在等边中，是边上一点，以为边向上作等边，连接． 求证：． 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴（ ）． 即（ ）． 在和中， ∵ ∴（ ）． ∴（ ）． ∵是等边三角形， ∴． ∴（ ）． ∴（ ）． 【答案】；；；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键． 根据等边三角形性质得，，，进而得，由此可依据“”判定和全等得，然后根据“内错角相等，两直线平行”，即可得出结论． 解：证明：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴． 即． 在和中， ∵ ∴． ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【例题6】（2023·北京房山·一模）下面是证明等腰三角形性质定理“三线合一”的三种方法，选择其中一种完成证明． 等腰三角形性质定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简记为：三线合一）． 方法一： 已知：如图，中，，平分． 求证：，． 方法二： 已知：如图，中，，点为中点． 求证：，． 方法三： 已知：如图，中，，． 求证：， 【答案】证明见分析 【分析】三种方法证明，利用全等三角形的性质即可证明结论． 解：证明：方法一：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，； 方法二：∵点为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，； 方法三：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． 【点拨】本题主要考查了三线合一定理的证明，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 知识点（三）等腰三角形性质定理2 等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一。 数学语言：如图3，在中，, ； ；。 图3 【题型5】利用“等腰三角形三线合一”求值 【例题7】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，于点，垂直平分，交于点，交于点，且． （1）若，求的度数； （2）若的周长为，，求的长． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识的应用是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质推出，，由等腰三角形的性质推出，，由三角形的外角性质得到，由直角三角形的性质求出，即可得到的度数； （2）由（1）知，，得到，因此，求出，得到，即可求出的长． 解：（1）解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（）知，， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形三线合一，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据三线合一，得到平分，进而求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出即可． 解：∵在中，，点E为中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若周长最小时，的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接得出，，得到，当在同一条直线上时，最小，最小值为，即可求解． 解：如图，连接， ∵垂直平分， ， ，， ∴， ∵为定值，两点之间线段最短， ∴当在同一条直线上时，最小， 即的周长最小， ，点是的中点， ， ∴， ∴． 故答案为： ． 【题型6】利用“等腰三角形三线合一”证明 【例题8】（24-25九年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且． （1）求证：； （2）连接，判断与的位置关系并说明理由． （3）求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2），理由见分析；（3）证明见分析． 【分析】此题考查平行线了的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”等知识，推导出，，进而证明是解题的关键． （）由得，而，，即可根据“”证明； （）连接由，，得，则，由全等三角形的性质得，则； （）由全等三角形的性质得，所以，而 ，则． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：连接，，理由， ∵，， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴； （3）证明：由（）得， ∴， ∴， 由（）得， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 证明和全等得，进而根据等腰三角形“三线合一”性质得，，据此可对选项A，进行判断；再根据，得，据此可对选项D行判断；由于根据已知条件无法判定，由此即可得出答案． 解：在和中， ， ， ， 是的平分线， ， 是等腰三角形， 又是等腰的顶角的平分线， ，， 故选项A，B正确，不符合题意； ， 是等腰三角形， 又， ， 故选项D正确，不符合题意； 根据已知条件无法判定， 选项C错误，符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·陕西延安·期末）如图，在中，，，，，点G为与的交点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三线合一等知识．根据平行线的性质得到，故①符合题意；，根据余角的性质得到，故③符合题意；根据等量代换得出，故②符合题意；根据已知条件无法证明，故④不符合题意． 解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∴，故②正确； ∴平分， ∵，要使，则， ∵平分，但不一定与相等， ∴无法证明，故④不符合题意． 故答案为：①②③． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一． 直接根据等腰三角形三线合一得到垂直平分，作答即可． 解：∵，， ∴由等腰三角形三线合一可知垂直平分， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）等腰三角形一个角等于，则它的底角是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，等腰三角形中，已知一个角为，需分该角为顶角或底角两种情况讨论，结合三角形内角和定理求解底角． 解：当为顶角时： 底角之和为，因底角相等，故每个底角为． 当为底角时：等腰三角形两底角相等，故另一底角也为． 故选D． 3．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．由等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 解：与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得，平分，从而判断B与C正确；由等腰三角形等边对等角的性质可判断A正确；根据已知条件不能判断D正确． 解：∵中，，D是中点 ∴，即平分， 故A、B、C三项正确， D不正确． 故选：D． 5．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，则（   ）度． A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形外角和性质的应用． 已知，则可根据等腰三角形的性质得到几组相等的角，从而可推出与之间的关系，再根据三角形外角的性质即可求得的度数． 解：， ， ， ， ． 故选：B． 6．（24-25七年级下·河北张家口·期末）某平板电脑支架如图所示，其中，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（    ） A．减小 B．增大 C．减小 D．增大 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，则可得，由此即可得． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴增大，则减小， 故选：A． 二、填空题 7．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，垂直平分线段，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形性质、线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，先求出，通过证明得出，即可求出结论． 解：， ， 垂直平分线段， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点．则的度数为 ． 【答案】 【分析】题考查了作角平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握基本作图是解决问题的关键． 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再利用基本作图得到，然后根据三角形外角性质计算出的度数． 解：， ， 由作图过程得平分， ， ． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，等边与关于直线对称，且的边长为3，为线段上一动点，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当A、D、三点共线时，最小，此时． 解：解∶如图，连接， 由对称性质可知，． ． ． ． ．， ∴当A、D、三点共线时，最小，此时． 故答案为：6． 10．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为 ． 【答案】110 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据三线合一得到，利用等边对对角得到，再根据求解，即可解题． 解：在中，，D为的中点， ，即， ，， ， ； 故答案为：． 11．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，已知点是边的中点，点在边上，沿线段折叠，使点落在边的点处，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及其推论，弄清题目中角的关系是解题的关键． 先证出，进而证出，再由可求出的度数． 解：是边的中点， ， 是由折叠得到的， ，， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，的平分线过点，与交于点，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和，等边对等角，全等三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合角平分线的定义得，运用等边对等角，得，结合全等三角形的性质，得，再进行角的整理，即可得的度数． 解：∵，的平分线过点，与交于点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ∴， ∴ 故答案为： 三、解答题 13．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，平分，垂直平分，分别交，于点，，与平行吗？ 解：平分（已知） _____（角平分线定义） 垂直平分 _____（_____） （_____） _____（等量代换） （______） 【答案】见分析 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直平分线的性质，等边对等角，平行线的判定， 先根据角平分线的定义求出，再根据垂直平分线的性质，等边对等角，得出，即可求得，可得答案． 解：平分（已知）， （角平分线定义）， 垂直平分， （垂直平分线上的点到线段两端点的距离 ）， （等边对等角）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 14．（24-25八年级上·广西钦州·阶段练习）如图，是等边三角形，是延长线上一点，连接，以为一边作等边，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用全等三角形的性质解决问题． （1）证明，根据即可证明． （2）由，得到，然后进行求解即可． 解：（1）证明：∵，为等边三角形， ∴． 则 ∴． ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 15．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点N，交的延长线于点M，若． （1）求的度数； （2）如果将（1）中的度数改为，其余条件不变，再求的度数； （3）你发现有什么样的规律性，试证明之． 【答案】（1）；（2）；（3）的垂直平分线与底边的延长线所夹的锐角等于的一半； 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质． （1）先求出，则， 即可求得答案； （2）先求出，则， 即可求得答案； （3）的垂直平分线与底边的延长线所夹的锐角等于的一半.先求出，则，即可求得答案. 解：（1）解：， ， 。 （2），， ， ， （3）规律：的度数等于顶角度数的一半， 证明：， ∴， ∴， ∵， ∴， 的度数等于顶角度数的一半. 16．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． （1）求线段的长； （2）若，求的度数； （3）连接，，，若的周长为，求线段的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质得出，再根据即可得出结论； （2）先根据三角形的内角和求得，再根据等腰三角形的性质可得，进而计算即可； （3）先根据线段垂直平分线的性质得出，再由的周长为，求出的长，进而得出结论． 解：（1）解：∵直线分别是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的周长为，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∴， ∴． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，掌握等边三角形每边上的中线、高和对角的角平分线相互重合是解题的关键． 根据题意画出图形，结合等边三角形的性质和三角形内角和可求得答案． 解：如图，为等边三角形，、分别为、边上的中线，交于点， ∵为等边三角形，、分别为、边上的中线， ∴平分， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，，，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出，进而根据等腰三角形的性质和外角的性质得出，最后根据三角形内角和为180度求解即可． 解：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图；在中，是的角平分线，下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定，等腰三角形的角平分线，底边上的中线，底边的高相互重合． 由于，利用等边对等角，等腰三角形三线合一定理，可知，，，从而，无法证明，进而求解即可． 解：∵在中，是的角平分线， ∴ ∴，，，故①②④正确； ∴，故⑤正确； 无法证明，故③错误． 综上所述，正确的有4个． 故选：C． 4．（24-25七年级下·山西临汾·期末）若等腰三角形的一个外角为，则其底角度数为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了外角，等腰三角形的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 等腰三角形的一个外角为，需分情况讨论该外角对应的是顶角还是底角的外角，进而求出底角的度数． 解：当顶角的外角为时， ∴顶角为， ∴等腰三角形两底角之和为：， ∵等腰三角形两底角相等， ∴等腰三角形的底角度数为； 当底角的外角为， ∴等腰三角形的底角为：； 综上，底角可能为或， 故选：C． 5．（24-25七年级下·山东烟台·期末）在中，．用无刻度的直尺和圆规在内部作一个角，下列四种作图方法中能使等于的有（    ）        A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【分析】本题主要考查作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、三角形的内角和、等边对等角． 根据角平分线的尺规作图、直角三角形的性质，逐一判断即可． 解：A．此选项是作直角的平分线，则，符合题意； B．此选项是作锐角的平分线，则，不符合题意； C．此选项是作，由得，符合题意； D．此选项是作两个锐角的平分线，由得， ，符合题意； 综上所述，共有3种符合题意． 故选B． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交的延长线于点，利用全等三角形判定证出，得到，，再证出，得到，再利用线段和差即可求出的长． 解：作交的延长线于点， 是边长为3的等边三角形， ，， ， ， ，， ， 又， ， ，， 又，， ， ， ． 故选：A． 7．（24-25七年级下·吉林长春·期末）图①，在四边形中，，，点E、F分别是、上的动点．如图②， 作点A关于、的对称点N、M，连结，交于点E，交于点F，连结、，所得的的周长最小，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，先由题意可得，由轴对称的性质结合等边对等角可得，，由三角形外角的定义及性质结合三角形内角和定理可得，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵在四边形中，，， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得：，， ∴，， ∵，，， ∴， 由可得：， 故选：A． 二、填空题 8．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图所示，是等边三角形，，，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查等边三角形的性质，熟练掌握三线合一是解题的关键．根据三线合一（等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合 ）的性质和等边三角形的性质来求解即可． 解：∵是等边三角形，， ∴为中点，即． ∵， ∴； ∵等边三角形三边相等，即， ∴的周长为． 故答案为：12． 9．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在等边三角形中，，，交于点F，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，证明，得到，再根据即可得到答案． 解：在等边三角形中， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在等腰中，，，在边AC上任取一点，延长BC到，使，得到，此时的度数为 ；在边上任取一点，延长到，使，得到……按此做法继续下去，则的度数为 ． 【答案】 /62度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，找出每个等腰三角形中底角的规律是解题的关键．根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，可得，再根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得，，，按此规律，即可求出的度数． 解：，， ， ∴， ， ， ， ， 同理，， ∴． 故答案为：，． 11．（2025·浙江温州·三模）如图，已知四边形中，，平分，点E在边上且，连接，若，，，则，，之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据得，证明和全等得，，设，则，再证明得，得到①，再根据，得②，①+②即可得出答案． 解：，， ， 平分， ， 在和， ， ， ，， 设， 则， ，， ， ， ，， ， 即①， ， 即②， ②+①，得：， 故答案为： 12．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，中，，，D，E，F分别是上的动点，连接，当的值最小时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形，垂线段最短，三角形内角和定理，三角形的外角性质．作关于的对称线段，作点关于的对称点，过点作的垂线，垂足为，交于点，交于点，由垂线段最短知的最小值为线段的长，求得，利用直角三角形的性质求得，进一步计算即可求解． 解：作关于的对称线段，作点关于的对称点，过点作的垂线，垂足为，交于点，交于点， ∵，， ∴， 由垂线段最短知的最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，小湘在中按以下步骤作图： ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别与，交于点B，C； ②分别以点B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P，作射线； ③再以点P为圆心，长为半径作弧，分别交，于点E，F，连接交射线于点D，并作射线交于点G． 按照小湘的作图过程，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的作法及性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和与外角的性质．如图，连接，根据题意得出，确定，再证明，结合角平分线及三角形外角的定义求解即可． 解：连接，如图所示： 由作图得：， ， ， ， 由作图得：平分， ， ， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质三线合一、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点F，根据题意证明，得，即可求得答案． 解：作交的延长线于点F， 是的角平分线， ，， ， 是等腰直角三角形，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：16． 15．（24-25八年级上·广东江门·期中）已知等边中，点，分别在边，上，把沿直线翻折，使点落在点处，，分别交边于点，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、角形的内角和定理等知识点，掌握折叠后的对应角相等及三角形内角和定理是解题关键． 由题意可得，由折叠可知，又，所以，，最后根据角的和差即可解答． 解：∵三角形为等边三角形， ∴． 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点，分别是边，边上的动点，将沿直线翻折，点的对点恰好落在边上，若是等腰三角形，那么的度数为 ． 【答案】或或． 【分析】本题考查直角三角形中的折叠问题，等腰三角形性质，分类讨论．由，，得，分三种情况讨论：①当时，可得；进而求出．由即可求解，同理可求当时，③当时． 解：∵，， ∴， 分三种情况讨论： ①当时， ∴， ∴； 由折叠可知：， ∴， ②当时，如图： ∴， ∴； 由折叠可知：， ∴， ③当时，如图： ∴， ∴， ∴； 由折叠可知：， ∴， 综上所述，为或或． 故答案为：或或． 三、解答题 17．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，点，分别在，边上，，，连接． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先根据等腰三角形的两底角相等及三线合一性质得到，，再证明，得到，即得答案； （2）设，根据等腰三角形的两底角相等，可得，，，再根据三角形内角和定理列方程求解即可． 解：（1）证明：，， ，， ， ， ， ， 即； （2）解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 18．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质结合题意可得，由角平分线的定义可得，利用得出； （2）证明，由全等三角形的性质结合等边三角形的性质可得，最后再由全等三角形的性质即可得解． 解：（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 19．（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，是中线，作关于的轴对称图形． （1）直接写出和的位置关系； （2）连接，写出和的数量关系，并说明理由； （3）当，时，在上找一点P，使得点P到点C与到点E的距离之和最小，求的面积． 【答案】（1）；（2），见分析；（3）8 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称性图形的性质，全等三角形的性质和判定， 对于（1），根据对称性得出答案； 对于（2），先根据等腰三角形的性质得，再根据对称性得，可得答案； 对于（3），连接交于点P，此时的值最小，再证明，可得，然后根据面积公式可得答案． 解：（1）解：． ∵关于对称， ∴； （2）解：连接EC．结论：． 理由：∵是中线，， ∴． ∵关于对称， ∴， ∴； （3）解：连接交于点P，此时的值最小． ∵，，， ∴， 由题意，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 20．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，点是边上一点（不与、重合），连接，以为一边在右侧作，使，，连接． （1）试判断与的数量关系，并说明理由； （2）①若，求的度数． ②若，请直接写出与之间的数量关系__________． （3）若平分，且，求的长． 【答案】（1），见分析；（2）①；②；（3） 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）证明，即可得到； （2）①由等腰三角形的性质求得，由求得，据此求解即可；②由，得，而，，可证明，得，则，因为，，所以； （3）求得，利用等腰三角形的性质求解即可． 解：（1）解：， 理由：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②， 理由：， ， 同理，， ， ， ，，且， ； （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【中考真题6题】 一、单选题 1．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，可得．由题意得，，再根据可得答案． 解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． 故选：C． 2．（2023·甘肃武威·中考真题）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案． 解：∵是等边的边上的高， ∴， ∵， ∴， 故选C 【点拨】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键． 3．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，即可求解． 解：∵， ∴， 即， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、解答题 4．（2022·四川自贡·中考真题）如图，△是等边三角形， 在直线上，．求证： ． 【答案】详见分析 【分析】由等边三角形的性质以及题设条件，可证△ADB≌△AEC，由全等三角形的性质可得． 解：证明：∵△是等边三角形， ∴AB=AC，∠ABC=∠ACB， ∴∠ABD=∠ACE， 在△ADB和△AEC中， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴． 【点拨】本题考查等边三角形的性质、补角的性质、全等三角形的判定和性质，综合性强，但是整体难度不大． 5．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出，，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得证． 解：∵是等边三角形， ∴，， 又， ∴， ∴． 6．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可. （1）由题意得，根据是的角平分线即可求解； （2）求出，得到；求出．．推出．即可求解； 解：（1）解：， ． 由作图可知，是的角平分线， ． （2）解：在中，由三角形内角和定理得， ， ， 在中，， ． ． ． ． ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$