专题 2.1 图形的轴对称（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（浙教版 2024）

专题2.1 图形的轴对称 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）轴对称图形定义 1 【题型1】轴对称图形识别 1 【题型2】性质引入 2 知识点（二）轴对称性质1： 2 【题型3】利用轴对称性质求值证明 3 知识点（三）轴对称性质2： 3 【题型4】利用轴对称性质求值证明 4 知识点（四）折叠性质 4 【题型5】利用轴对称性质解决折叠问题 5 知识点（五）将军饮马问题 6 【题型6】利用轴对称性质解决最值问题 6 【题型7】利用轴对称性质解决综合问题 7 二．同步练习 8 【基础巩固（18题）】 8 【能力提升（16题）】 13 【中考真题6题】 18 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）轴对称图形定义 如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点叫作对称点。 【题型1】轴对称图形识别 【例题1】（24-25八年级上·全国·课后作业）下列图形是轴对称图形吗？你是怎样判别的？对于各轴对称图形，你能找出对称轴吗？有哪些方法？ 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期末）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A． B． C．纳米 D．微云人工智能 【变式2】（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）2025年4月1日，“古蜀瑰宝——三星堆与金沙”文物特展在广东横琴文化艺术中心盛大开幕，吸引了众多文化爱好者的目光，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】性质引入 【例题2】如图1，沿折叠得到，连接交于点，求证：是的垂直平分线。 证明：由折叠可知： （全等三角形对应边相等，对应角相等） （三线合一） 图1 由【例题1】我们得到： 知识点（二）轴对称性质1： 对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。 【题型3】利用轴对称性质求值证明 【例题3】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，是由经过轴对称变换得到的，直线是对称轴． （1）与全等吗？ （2）分别找出点关于直线的对称点，如果点在内，那么点关于直线的对称点一定在内吗？ （3）连接，线段与直线有什么关系？ 【变式1】（23-24八年级上·吉林·期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． （1）图中点的对应点是点______，的对应边是______； （2）若，，求的度数． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，线段与关于直线对称，连与直线相交于点，则线段 （填＞、、）． 由【例题3】和关于直线对称，我们得么两个图形关于某条直线对称，具有以下性质： 知识点（三）轴对称性质2： 轴对称定义：叠后能够互相重合,这样的图形改变叫作图形的轴对称，这条直线也叫作对称轴。 轴对称性质2：成轴对称的两个图形是全等图形。 【题型4】利用轴对称性质求值证明 【例题4】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点（与共线），下列结论中错误的是（  ） A． B．垂直平分， C．与面积相等 D．直线、的交点不一定在上 【变式1】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知，D为内一点，且，若点D关于的对称点分别记作点E，F，连接，则的面积为 ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长． 知识点（四）折叠性质 折叠是一种常见的轴对称变换，对比轴对称具折叠有以下性质： （1）折叠前后图形全等，对应边、对应角分别相等；（2）折痕所在的直线是对称轴，垂直平分折叠后重合的对应点连线；（3）折叠不改变图形形状和大小，仅改变位置；（3）对称轴上的点到对应重合点的距离相等。 【题型5】利用轴对称性质解决折叠问题 【例题5】（24-25七年级下·河北邢台·期末）问题情境： 数学活动课上，嘉嘉，淇淇两位同学用一张长方形纸带做折纸游戏．已知长方形纸带的边，将一个含角的三角板按如图所示的方式放置（点始终在边上），将纸片沿折痕折叠，点在上，使点，，在同一条直线上，点，的对应点分别为，． 操作探究： （1）如图1，的度数为______． （2）如图2，将一个含角（）的三角板按如图所示的方式放置（两三角板的直角顶点重合），在三角板绕点旋转的过程中，当时，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图，四边形为一张长方形纸片，点E、F分别为、边上一点，将这张纸片沿折叠，使点B、C分别落在点M、N的位置，的对应边与交于点G，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）将一个长方形纸条折叠两次，第一次将长方形纸条向上翻折，记点，的对应点分别为，，折痕为，且交于点（如图1）；第二次将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，（如图2）．若，则 ． 知识点（五）将军饮马问题 “将军饮马” 是初中几何中经典的最短路径问题模型，其核心思路基于轴对称的性质（即 “两点之间，线段最短”）。解决问题的本质是把“折”转化成“直”的问题。 如图①所示，在直线同侧有两个不同的点、,在直线上取一点，使和最小; 方法：过点作关于直线的对称点，连接，如图②，由对称性质得到，得到; 在直线取一点，连接、，如图③由， 点为所求。 【题型6】利用轴对称性质解决最值问题 【例题6】（23-24八年级上·山东济宁·期末）已知直线同侧有两点． （1）在直线上求作一点，使最小（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）在直线上求作一点，使最大； （3）在（1）和（2）的条件下，若，，求的最小值． 【变式1】（24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的最小值是 ． 【变式2】（23-24八年级下·福建福州·开学考试）如图，，点P是内的定点，且．若点M、N分别是射线、上异于点O的动点，则周长的最小值是 ． 【题型7】利用轴对称性质解决综合问题 【例题7】（23-24八年级上·广东珠海·期末）在中，，求证：． （1）如图1，小明以“折叠”为思路：将沿折叠，使点C落在边的点D处．然后可以证明，试写出小明的证明过程； （2）在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图2中设计一种不同于小明的证明方法（要求有必要的辅助线和证明过程）． 【变式1】（24-25七年级下·山东聊城·期中）数学兴趣小组在对一张长方形纸张进行折叠的时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的系列问题进行研究探索． （1）如图1，将一张长方形纸张按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后，在同一直线上，已知，求的度数； （2）如图2，长方形纸条中，，．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图3，将折痕折到处，点落在处． ①如图3，若，则_____； ②如图3，判断和有怎样的位置关系，并说明理由． 【变式2】（24-25七年级下·山东·期末）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： （1）的长为______；（用含t的代数式表示） （2）当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； （4）设点P到的距离为，求y与t之间的关系式． 二．同步练习​ 【基础巩固（18题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·广东·专题练习）下面图形中，对称轴数量最多的是（ ）． A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，和关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段的垂直平分线；②直线m被线段垂直平分；③.其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，中，D点在上，将D点分别以、为对称轴，画出对称点E、F，并连接、，根据图中标示的角度，的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．（2025·山西吕梁·二模）如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图1所示是中国古代的一种打击乐器编钟．老师绘制了从正面看到的编钟形状的一部分．如图2所示，操作如下：将四边形沿直线翻折．点A，B的对应点分别为，其中点A，E，三点在同一条直线上．则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的 ． 8．（18-19七年级上·山东烟台·期中）如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点．下列结论：①；②；③；④，其中说法错误的是 ． 9．（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    10．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，点、分别是AB，BC上的动点，则的最小值为 ． 11．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图、将长方形纸片沿折叠，点、分别落在点、处，与相交于点，如果，则 度 12．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，"，点E、F分别在射线上，，的面积为10，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，则 的面积最小值为 ． 13．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落在四边形的外部的位置，且与点在直线的异侧，折痕为，已知．若保持的一边与平行，则的度数为 ． 14．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）一张矩形纸片，若如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为 ．若如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为 ． 三、解答题 15．（24-25七年级下·陕西·期末）如图，定点P在的内部，定点N在边上，请在上找一点M，连接，，使得的周长最小． 16．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，与相交于点，，． （1）求证：； （2）与是否成轴对称？若是，请用无刻度的直尺画出对称轴；若不是，请说明理由． 17．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题:（用直尺画图，保留痕迹） （1）格点（顶点均在格点上）的面积为_____________； （2）画出格点关于直线对称的； （3）在上找一点P使得周长最小． 18．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，求的度数． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广东河源·期中）社区准备在红旗街道旁设立一个读书亭方便居民区A，B阅读交流，要使A，B两小区到读书亭的距离之和最小，则读书亭C的位置应该在（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，是的角平分线，点E，F分别是，上的动点，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）如图，将长方形沿对角线折叠，使点落在点处，与交于点．则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，如图，将一长方形纸片沿着对折（点在线段上，点在线段上）使点落在点，若与互为“伙伴角”，的度数（   ） A． B．或 C．或 D．或 二、填空题 7．（23-24八年级上·重庆永川·期中）一张三角形纸片部分如图所示，将折叠，为折痕，A点落在的位置，若，则 ． 8．（24-25七年级下·山西临汾·期末）如图，与关于直线成轴对称，与关于直线成轴对称，．若，则 ． 9．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，中，，，，点为斜边上一任意点，连接，将点关于直线作轴对称变换得到点，连接，，则面积的最大值为 ． 10．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在正方形中，点，分别是，上的点，将四边形沿直线折叠后，点A落在线段上点处．若正方形的边长为，则图中阴影部分的周长为 cm． 11．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，，于F，将沿翻折至，联结并延长，在射线上取点D使得，若，，，则 ．    12．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，中，，，点D是射线上一动点，将沿折叠，得到，当与的边平行时，则的度数为 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）如图，在中，点D为上一点，将沿翻折得到，与相交于点F，若平分，，． （1）求证：； （2）求的度数． 14．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图1，折叠长方形，使得点、折叠后分别落在点、处． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）如图2，当落在边上时，与交于点，且． ①写出、与的数量关系，并说明理由； ②若点是内任意一点，连接、、，讨论与的大小关系，并说明理由． 15．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）已知在中，． （1）如图1，点P在内，且是点P分别关于，的对称点，连接，则________． （2）如图2，在（1）的基础上，若是点P关于的对称点，求的度数． （3）如图3，若点P在的外部（靠近边），点P关于直线，，的对称点分别为，分别连接，若，求的度数． 16．（24-25七年级下·河北保定·期末）转化策略 数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，很多问题的解决都用到了转化策略，转化是解决数学问题的一种重要策略．相信你也经历过“理解问题——拟定计划——实施计划——回顾反思”的思考和解决问题的过程，感悟到转化策略在问题解决过程中起着重要作用． 问题提出 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 问题解决 （1）如图，直线l的两侧分别有A、B两点，请你在直线l上确定一个点C，使最短； （2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如图2，请你用尺规作图在直线l上求出C点的位置；（不写作法，保留作图痕迹） （3）为了说明（2）中点C的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线l上另外取点C，连接，，说明即可，请你借助（2）中所作的图说明道理； 类比探究 （4）如图3，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处．请分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短，并说明道理．（辅助线用虚线，最短路径用实线表示．） 反思提炼 （5）回顾本题的解决过程，你有哪些感悟？ 【中考真题6题】 一、单选题 1．（2025·黑龙江绥化·中考真题）下列数学符号是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北·中考真题）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（    ） A．5 B．6 C．6.5 D．7 二、填空题 4．（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 三、解答题 5．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．             图1                                           图2                                      图3 （1）直接写出的值； （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（    ） 图4 A．         B． C．         D． （3） 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 规格（单位：cm） 单价（单位：元） 3 5 20 现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用． （要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用） 6．（2025·甘肃兰州·中考真题）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下： 操作步骤与演示图形 如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②． → 折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④． → 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤． → 将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥． → 将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧． 解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点作出点； 任务二：在图⑥中作出折痕． （2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 图形的轴对称 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）轴对称图形定义 1 【题型1】轴对称图形识别 1 【题型2】性质引入 3 知识点（二）轴对称性质1： 3 【题型3】利用轴对称性质求值证明 3 知识点（三）轴对称性质2： 6 【题型4】利用轴对称性质求值证明 6 知识点（四）折叠性质 8 【题型5】利用轴对称性质解决折叠问题 8 知识点（五）将军饮马问题 11 【题型6】利用轴对称性质解决最值问题 11 【题型7】利用轴对称性质解决综合问题 15 二．同步练习 19 【基础巩固（18题）】 19 【能力提升（16题）】 32 【中考真题6题】 49 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）轴对称图形定义 如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点叫作对称点。 【题型1】轴对称图形识别 【例题1】（24-25八年级上·全国·课后作业）下列图形是轴对称图形吗？你是怎样判别的？对于各轴对称图形，你能找出对称轴吗？有哪些方法？ 【分析】把图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形 解：这四个图形都是轴对称图形； 判断一个图形是否是轴对称图形，就是看是否存在一条直线，使得这个图形的一部分沿着这条直线折叠，能够和另外一部分互相重合； 能找出对称轴，找一条直线，再沿这条直线折叠，使其直线两旁的部分能够互相重合即可； 各图形的对称轴如下图所示： 【点拨】本题考查轴对称图形的特征，关键是理解该知识点 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期末）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A． B． C．纳米 D．微云人工智能 【答案】D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 解：A，B，C不是轴对称图形，D是轴对称图形， 故选： 【变式2】（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）2025年4月1日，“古蜀瑰宝——三星堆与金沙”文物特展在广东横琴文化艺术中心盛大开幕，吸引了众多文化爱好者的目光，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；根据轴对称图形的概念逐个判断即可． 解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【题型2】性质引入 【例题2】如图1，沿折叠得到，连接交于点，求证：是的垂直平分线。 证明：由折叠可知： （全等三角形对应边相等，对应角相等） （三线合一） 图1 由【例题1】我们得到： 知识点（二）轴对称性质1： 对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。 【题型3】利用轴对称性质求值证明 【例题3】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，是由经过轴对称变换得到的，直线是对称轴． （1）与全等吗？ （2）分别找出点关于直线的对称点，如果点在内，那么点关于直线的对称点一定在内吗？ （3）连接，线段与直线有什么关系？ 【答案】（1）与全等；（2）点关于直线的对称点分别是点；点关于直线的对称点一定在内；（3）线段被直线垂直平分 【分析】（1）根据对称轴图形的性质即可求解； （2）根据对称轴图形的性质即可求解； （3）根据对称轴图形的性质即可求解； 解：（1）解：与关于直线对称， ∴， ∴， ∴与全等． （2）解：∵与关于直线对称， ∴点关于直线的对称点分别是点，点关于直线的对称点一定在内． （3）解：∵与关于直线对称，且点的对称点是点， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离， ∴线段被直线垂直平分． 【点拨】本题主要考查轴对称图形的定义，性质，掌握成轴对称的两个图形中任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到；一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的；成轴对称图形的对应点的连线被对称轴垂直平分等知识是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·吉林·期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． （1）图中点的对应点是点______，的对应边是______； （2）若，，求的度数． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握性质，准确计算． （1）本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可． （2）本题根据轴对称性质推出，从而得出，最后根据即可解题． （1）解：由题意可得：图中点的对应点是点，的对应边是， 故答案为：，． （2）解：， ， ， ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，线段与关于直线对称，连与直线相交于点，则线段 （填＞、、）． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称图形中对应点所连线段被对称轴垂直平分这一性质． 根据线段与关于直线对称这一条件，利用轴对称性质判断与的关系． 解：因为线段与关于直线对称，点与点是关于这条直线的对应点， 根据轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线， 所以直线是线段的垂直平分线，点O在对称轴上，即． 故答案为：． 由【例题3】和关于直线对称，我们得么两个图形关于某条直线对称，具有以下性质： 知识点（三）轴对称性质2： 轴对称定义：叠后能够互相重合,这样的图形改变叫作图形的轴对称，这条直线也叫作对称轴。 轴对称性质2：成轴对称的两个图形是全等图形。 【题型4】利用轴对称性质求值证明 【例题4】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点（与共线），下列结论中错误的是（  ） A． B．垂直平分， C．与面积相等 D．直线、的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．据对称轴的定义，与关于直线对称，P为上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系． 解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴，垂直平分，，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确； 直线、关于直线对称，因此交点一定在上，D错误； 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知，D为内一点，且，若点D关于的对称点分别记作点E，F，连接，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及三角形的面积，熟知轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质得出及，再结合三角形的面积公式即可解决问题． 解：如图所示， ∵点D关于的对称点分别记作点E，F， ∴， 又∵， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长． 【答案】7 【分析】先根据轴对称的性质可得，据此可得，再利用两个三角形的周长的差可得BC的长，进而得出CE的长． 本题考查了轴对称的性质，掌握其性质是解题的关键． 解：点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E， ， ， ∵的周长为18，的周长为32， ∴， ， 知识点（四）折叠性质 折叠是一种常见的轴对称变换，对比轴对称具折叠有以下性质： （1）折叠前后图形全等，对应边、对应角分别相等；（2）折痕所在的直线是对称轴，垂直平分折叠后重合的对应点连线；（3）折叠不改变图形形状和大小，仅改变位置；（3）对称轴上的点到对应重合点的距离相等。 【题型5】利用轴对称性质解决折叠问题 【例题5】（24-25七年级下·河北邢台·期末）问题情境： 数学活动课上，嘉嘉，淇淇两位同学用一张长方形纸带做折纸游戏．已知长方形纸带的边，将一个含角的三角板按如图所示的方式放置（点始终在边上），将纸片沿折痕折叠，点在上，使点，，在同一条直线上，点，的对应点分别为，． 操作探究： （1）如图1，的度数为______． （2）如图2，将一个含角（）的三角板按如图所示的方式放置（两三角板的直角顶点重合），在三角板绕点旋转的过程中，当时，求的度数． 【答案】（1）；（2）的度数为或． 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质． （1）利用邻补角的性质求得，再利用折叠的性质得，据此求解即可； （2）分两种情况讨论，当点在直线的上方时，利用平行线的性质求得，进一步计算即可求解；当点在直线的下方时，记直线交于点，同理求解即可． 解：（1）解：∵， ∴， 由折叠的性质得， ∴， 故答案为：； （2）解：当点在直线的上方时， ∵，， ∴， ∵， ∴； 当点在直线的下方时，记直线交于点， 同理， ∴， 综上，的度数为或． 【变式1】（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图，四边形为一张长方形纸片，点E、F分别为、边上一点，将这张纸片沿折叠，使点B、C分别落在点M、N的位置，的对应边与交于点G，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，延长，交于点P，根据平行线的性质以及折叠的性质解答即可． 解：延长，交于点P，如图所示： 由题意得，，，， ， ， ． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）将一个长方形纸条折叠两次，第一次将长方形纸条向上翻折，记点，的对应点分别为，，折痕为，且交于点（如图1）；第二次将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，（如图2）．若，则 ． 【答案】/124度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，在图1中由平行线的性质可得，，则由折叠的性质可得，据此求出，则由折叠的性质可得答案． 解：根据题意，，， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴， 由折叠的性质可得． 故答案为：． 知识点（五）将军饮马问题 “将军饮马” 是初中几何中经典的最短路径问题模型，其核心思路基于轴对称的性质（即 “两点之间，线段最短”）。解决问题的本质是把“折”转化成“直”的问题。 如图①所示，在直线同侧有两个不同的点、,在直线上取一点，使和最小; 方法：过点作关于直线的对称点，连接，如图②，由对称性质得到，得到; 在直线取一点，连接、，如图③由， 点为所求。 【题型6】利用轴对称性质解决最值问题 【例题6】（23-24八年级上·山东济宁·期末）已知直线同侧有两点． （1）在直线上求作一点，使最小（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）在直线上求作一点，使最大； （3）在（1）和（2）的条件下，若，，求的最小值． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）9 【分析】本题考查了轴对称，以及含30度角的直角三角形的特征，正确确定如何使线段的和最小是关键． （1）要使最短，根据同一平面内线段最短，可知要作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于P； （2）根据三角形两边之差小于第三边，当点A，B，Q三点共线时，最大，延长交直线l于Q； （3）过点A作交直线l于G，根据直角三角形的性质，得到，进而得到，即可得出结果． 解：（1）解：如图所示，作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于P， 即点P为所求； （2）解：如图所示，延长交直线l于Q， 即点Q为所求； （3）解：如图，过点A作交直线l于G， 由（1）（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 的最小值为9． 【变式1】（24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】9.6 【分析】本题考查了轴对称路径最短问题，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．，推出，可得、、共线，由，，可知、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题理解转化思想是解题的关键． 解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴ ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小，最小值， ， ， ∴的最小值为9.6． 故答案为：9.6． 【变式2】（23-24八年级下·福建福州·开学考试）如图，，点P是内的定点，且．若点M、N分别是射线、上异于点O的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查最短路径问题，正确做出图形是解题关键． 作点P关于的对称点，作点P关于的对称点，连接，则的长就是周长的最小值；通过对称性可知是等边三角形． 解：作点P关于的对称点，作点P关于的对称点，连接，，， ∴， ∴，的长就是周长的最小值； 在中，，， ∴， ∵， ∴, 故答案为：4． 【题型7】利用轴对称性质解决综合问题 【例题7】（23-24八年级上·广东珠海·期末）在中，，求证：． （1）如图1，小明以“折叠”为思路：将沿折叠，使点C落在边的点D处．然后可以证明，试写出小明的证明过程； （2）在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图2中设计一种不同于小明的证明方法（要求有必要的辅助线和证明过程）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了翻折变换，三角形外角定义，解决本题的关键是掌握翻折的性质． （1）由折叠的性质得，根据为的外角，即可解决问题； （2）将沿折叠，使点落在的延长线上的点处，由折叠的性质得，再根据为的外角，即可解决问题． 解：（1）证明：由折叠的性质得， 为的外角， ， ， 即； （2）证明：将沿折叠，使点落在的延长线上的点处，    由折叠的性质得， 为外角， ， ， 即． 【变式1】（24-25七年级下·山东聊城·期中）数学兴趣小组在对一张长方形纸张进行折叠的时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的系列问题进行研究探索． （1）如图1，将一张长方形纸张按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后，在同一直线上，已知，求的度数； （2）如图2，长方形纸条中，，．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图3，将折痕折到处，点落在处． ①如图3，若，则_____； ②如图3，判断和有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②，理由见分析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，折叠的性质，熟知平行线的性质与判定定理和折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质和平角的定义可得，据此可得答案； （2）①由折叠的性质和平角的定义可求出的度数，再由平行线的性质即可得到答案；②根据折叠的性质和平行线的性质可证明，，再证明，推出，则可证明． 解：（1）解：由折叠的性质可得由题意知，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴； ②．理由如下： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·山东·期末）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： （1）的长为______；（用含t的代数式表示） （2）当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； （4）设点P到的距离为，求y与t之间的关系式． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，；（4） 【分析】（1）根据线段的和差列式即可； （2）根据线段垂直平分线的性质，列方程即可得到结论； （3）根据平行线的性质得到 ，根据线段垂直平分线的性质得到 ，根据全等三角形的性质即可得到结论； （4）连接，过点C作，垂足为F，根据三角的面积即可得到结论. 解：（1）解：∵， ， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∵点B在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∵点D，E关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：连接，过点C作，垂足为F， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点拨】本题几何变换综合题，考查了轴对称的性质，一元一次方程，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 二．同步练习​ 【基础巩固（18题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟悉掌握轴对称的特点是解题的关键． 根据轴对称图形的特点逐一判断即可． 解：A，B，D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；C图形是轴对称图形，故C符合题意； 故选：C． 2．（2025七年级上·广东·专题练习）下面图形中，对称轴数量最多的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称变换，正确得出每个图形的对称轴是解题的关键． 分别作出各个图形的对称轴，进行比较即可得到答案． 解：A．有3条对称轴； B．有4条对称轴； C．有无数条对称轴； D．有6条对称轴； 故选：C． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，和关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段的垂直平分线；②直线m被线段垂直平分；③.其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称的性质．根据轴对称的定义和性质解答：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）；轴对称图形的对应线段、对应角相等． 解：∵与关于直线l对称， ∴，所以，故③说法正确； ∴直线m是线段的垂直平分线，故①说法正确； ∴直线m也是线段的垂直平分线，不会被线段垂直平分，故②说法错误； 故选：C． 4．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，中，D点在上，将D点分别以、为对称轴，画出对称点E、F，并连接、，根据图中标示的角度，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，关键是利用轴对称的性质解答．连接，利用轴对称的性质得出，，再根据三角形内角和定理得出，再根据即可得出答案． 解：连接，    ∵D点分别以、为对称轴，对称点E、F， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 5．（2025·山西吕梁·二模）如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识，如图所示，由反射性质得到，再由平行线性质、对顶角相等确定，最后数形结合表示出即可得到答案．数形结合，掌握反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识是解决问题的关键． 解：如图所示： 由反射性质可知，， ， ，则， ， ， ， ， ， 故选：B． 6．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图1所示是中国古代的一种打击乐器编钟．老师绘制了从正面看到的编钟形状的一部分．如图2所示，操作如下：将四边形沿直线翻折．点A，B的对应点分别为，其中点A，E，三点在同一条直线上．则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠的性质，根据翻折的性质可得，判断A，B，C都正确，选项D不一定成立，即可得到答案． 解：∵将四边形沿直线l翻折．点A，B的对应点分别为， ∴， ∴选项A，B，C都正确； 选项D不一定成立，故选项D符合题意； 故选：D． 二、填空题 7．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的 ． 【答案】轴对称变换 【分析】本题考查了全等三角形的性质，全等变换，解题关键是能够识别全等三角形理解全等变换的概念； 由全等三角形的性质及全等变换的意义直接解答即可． 解：∵， 有图可知：，， ， ∴这两个全等三角形属于全等变换中轴对称变换， 故答案为：轴对称变换． 8．（18-19七年级上·山东烟台·期中）如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点．下列结论：①；②；③；④，其中说法错误的是 ． 【答案】② 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，全等三角形的性质与判定，由轴对称的性质即可得①④正确，再证明可得③正确，由现有条件无法证明②，据此可得答案． 解：∵直线是四边形的对称轴，点是直线上的点， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， 根据现有条件无法证明， ∴正确的有①③④，错误的有②， 故答案为：②． 9．（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    【答案】 【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数．利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 10．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，点、分别是AB，BC上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查作轴对称，两点之间，线段最短，垂线段最短，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 作E关于的对称点F，作关于的对称，连接根据两点之间，线段最短，得点D为的交点，继而，根据垂线段最短，当时，取得最小值，即可解答． 解：作E关于的对称点F，作关于的对称，连接如图，有 ，点F在上，，，， ∴，根据两点之间，线段最短，得点D为的交点． 当时，根据垂线段最短，此时取得最小值． ∵， ∴， 即， 解得， 则的最小值为． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图、将长方形纸片沿折叠，点、分别落在点、处，与相交于点，如果，则 度 【答案】40 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，解答的关键是明确折叠过程中哪些角的大小相等．由折叠的性质可得，，由平行线的性质可求得，从而可求得，根据三角形的内角和可求得，再由对顶角相等即可解． 解：由折叠得：，， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：40． 12．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，"，点E、F分别在射线上，，的面积为10，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，则 的面积最小值为 ． 【答案】 /度 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，连接，过点作交的延长线于，，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 解：如图，连接，过点作交的延长线于， ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 故答案为：；． 13．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落在四边形的外部的位置，且与点在直线的异侧，折痕为，已知．若保持的一边与平行，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】根据题意，当，，三种情况，结合平行线的性质，折叠的性质解答即可． 本题考查了折叠，平行线的性质，角的计算，熟练掌握折叠性质，平行线的性质是解题的关键． 解：∵将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落在四边形的外部的位置， ∴当时，经过折叠在上，不符题意， 当时，则， 根据折叠的性质，得； 当时，根据折叠的性质，得， 过点D作， 则， 故，， 故 故答案为：或． 14．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）一张矩形纸片，若如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为 ．若如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为 ． 【答案】 /90度 /12度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角定义，角的和差， 根据折叠的性质得，再根据平角定义可得答案再根据折叠得，即可得，进而得出，然后求出，最后根据得出答案． 解：根据折叠的性质得， ∵， ∴， 即， ∴； 根据折叠得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25七年级下·陕西·期末）如图，定点P在的内部，定点N在边上，请在上找一点M，连接，，使得的周长最小． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，作点P关于直线的对称点，连接交于M，则点M即为所求． 解：如图所示，作点P关于直线的对称点，连接交于M，则点M即为所求； 由轴对称的性质可得， 则， 故当三点共线时，有最小值，即此时最小，则的周长最小． 16．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，与相交于点，，． （1）求证：； （2）与是否成轴对称？若是，请用无刻度的直尺画出对称轴；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）与成轴对称，理由见分析 【分析】本题考查作图——复杂作图、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）结合全等三角形的判定证明即可． （2）结合全等三角形的性质、轴对称的性质，分别延长相交于点，作直线即可． 解：（1）证明：在和中， ， ； （2）解：与成轴对称． 如图，分别延长相交于点，作直线， 则直线即为所求． 17．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题:（用直尺画图，保留痕迹） （1）格点（顶点均在格点上）的面积为_____________； （2）画出格点关于直线对称的； （3）在上找一点P使得周长最小． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题主要考查网格与图形的变化，掌握网格求几何图形面积，对称轴图形及其性质求线段最短的方法是解题的关键． （1）根据网格求几何图形面积的计算方法即可求解； （2）根据轴对称图形的性质作图即可； （3）根据对称轴图形的性质，两点之间线段最短的方法即可求解． 解：（1）解：， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵的周长为，的值是定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 如图，连接交于点， ∴根据两点直线，线段最短得到，此时的值最小时， ∴点P即为所求． 18．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质．先根据翻折性质得出，再得到角的等量关系，求解． 解：沿翻折到的位置， ． 将沿翻折到的位置， ， ． ， ． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 解：是轴对称图形，故选项A不符合题意； 是轴对称图形，故选项B不符合题意； 不是轴对称图形，故选项C符合题意； 是轴对称图形，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·广东河源·期中）社区准备在红旗街道旁设立一个读书亭方便居民区A，B阅读交流，要使A，B两小区到读书亭的距离之和最小，则读书亭C的位置应该在（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．先作点关于街道的对称点，再根据三角形的两边之和大于第三边，得出，再进行边的等量代换，即可作答． 解：如图：作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点， ， ， 在街道上任取除点以外的一点，连接，，， ， 在中，两边之和大于第三边， ， ， 点到两小区送奶站距离之和最小． 故选：C． 3．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是是解题关键．根据折叠得出，，再由三角形内角和和平角定义求出．根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得由此即可得答案． 解：由折叠可知：，， ∴，． ∴， 又∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，是的角平分线，点E，F分别是，上的动点，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，轴对称最值问题，直角三角形的性质等知识，过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接，可证得，所以，由“直角三角形两锐角互余”可得，所以，由此可得结论． 解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接，如图， 此时最小． ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）如图，将长方形沿对角线折叠，使点落在点处，与交于点．则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，根据平行线的性质，折叠的性质逐一排除即可，掌握折叠的性质是解题的关键． 解：、由长方形得，， ∴， 由折叠性质可知， ∴，即，选项A正确，不符合题意； 、不能说明，选项B错误，符合题意， 、由长方形得，， ∴， 由折叠性质可知， ∴，选项B正确，不符合题意； 、由折叠性质可知，选项D正确，不符合题意； 故选：． 6．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，如图，将一长方形纸片沿着对折（点在线段上，点在线段上）使点落在点，若与互为“伙伴角”，的度数（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了折叠性质，角度和差运算，由折叠性质可知，，又与互为“伙伴角”，则，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：由折叠性质可知，， ∵与互为“伙伴角”， ∴， ∴或， ∵， ∴， 则或， ∴或， 故选：． 二、填空题 7．（23-24八年级上·重庆永川·期中）一张三角形纸片部分如图所示，将折叠，为折痕，A点落在的位置，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了四边形内角和定理以及邻补角的性质，熟练掌握四边形内角和定理是解题的关键．由翻折的性质得到，根据四边形内角和定理得到，再利用邻补角的性质求出答案． 解：将折叠，为折痕，A点落在的位置，若， ， 在四边形中，， ， ． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·山西临汾·期末）如图，与关于直线成轴对称，与关于直线成轴对称，．若，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理、平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由轴对称的性质得，，，推出，利用平行线的性质求出，进而得出，再利用三角形内角和定理即可求解． 解：由轴对称的性质得，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：40． 9．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，中，，，，点为斜边上一任意点，连接，将点关于直线作轴对称变换得到点，连接，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称，垂线段最短，作交的延长线于点H，则，然后根据三角形的面积公式求解即可． 解：作交的延长线于点H，则． ∵点B关于直线作轴对称变换得到点 E， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在正方形中，点，分别是，上的点，将四边形沿直线折叠后，点A落在线段上点处．若正方形的边长为，则图中阴影部分的周长为 cm． 【答案】12 【分析】本题考查了翻折变换，根据翻折变换的性质得出图中阴影部分的周长为，掌握相关知识是解题的关键． 解：正方形的边长为， ∴， ∵将四边形沿直线折叠，使点A落在点处， ∴，，， ∴图中阴影部分的周长为： ， 故答案为：12． 11．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，，于F，将沿翻折至，联结并延长，在射线上取点D使得，若，，，则 ．    【答案】 【分析】由翻折的性质可知，，，先利用“”证明，得到，，再利用“”证明，得到，进而得到，即可求出． 解：由翻折的性质可知，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， , 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了翻折的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 12．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，中，，，点D是射线上一动点，将沿折叠，得到，当与的边平行时，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查折叠，三角形的内角和，邻补角，平行线的性质，正确作出图形是解题的关键． 分类讨论：①当时，②当时，逐一分析，即可解答． 解：由沿折叠，得到，有 ，， ∴，， ∴， ①当时，如图， 有， ∴， ∴， ∴． ②当时，如图， 有， ∴， ∴， 故答案为：或． 三、解答题 13．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）如图，在中，点D为上一点，将沿翻折得到，与相交于点F，若平分，，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2）． 【分析】本题考查三角形内角和，折叠的性质，角平分线的性质，对顶角相等． （1）利用三角形内角和求出，再利用折叠和角平分线的性质证明，即可证明； （2）利用三角形内角和求出，再利用对顶角相等证明，再利用三角形内角和即可求出． 解：（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，且， ∴． 14．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图1，折叠长方形，使得点、折叠后分别落在点、处． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）如图2，当落在边上时，与交于点，且． ①写出、与的数量关系，并说明理由； ②若点是内任意一点，连接、、，讨论与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见分析；（2）①，理由见分析；②当点P在的角平分线上时，；当点P在的角平分线左侧时，；当点P在的角平分线右侧时，；理由见分析 【分析】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质以及三角形外角的性质， （1）直接根据解答，即可； （2）①结合折叠的性质可证明，从而得到，即可解答；②分三种情况：当点P在的角平分线上时；当点P在的角平分线左侧时；当点P在的角平分线右侧时，结合全等三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，即可求解． 解：（1）解：，理由如下： 如图， 由折叠的性质得：， ∴； （2）解：①，理由如下： 由折叠的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当点P在的角平分线上时，；当点P在的角平分线左侧时，；当点P在的角平分线右侧时，；理由如下： 如图，作的角平分线交于点Q， ∴， 当点P在的角平分线上时， ∵，，， ∴， ∴； 当点P在的角平分线左侧时，延长交于点M，交于点N，连接， ∵，，， ∴， ∴， 由三角形外角的性质得：，， ∴，即， ∴； 当点P在的角平分线右侧时，延长交于点J，交于点K，连接， ∵，，， ∴， ∴， 由三角形外角的性质得：，， ∴，即， ∴； 综上所述，当点P在的角平分线上时，；当点P在的角平分线左侧时，；当点P在的角平分线右侧时，． 15．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）已知在中，． （1）如图1，点P在内，且是点P分别关于，的对称点，连接，则________． （2）如图2，在（1）的基础上，若是点P关于的对称点，求的度数． （3）如图3，若点P在的外部（靠近边），点P关于直线，，的对称点分别为，分别连接，若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了轴对称的性质． （1）由轴对称的性质可知，进而可得的度数； （2）由轴对称的性质可知，则，，求出，即可求出的度数； （3）同（2）得，，根据角的和差计算即可． 解：（1）解：∵是点P分别关于，的对称点， ∴， ∵ ∴ 故答案为： （2）解：因为分别为点P关于AB，BC的对称点， 所以由轴对称可知， 所以． 同理可得． 因为， 所以， 所以； （3）解：同（2）可得，， 所以． 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 16．（24-25七年级下·河北保定·期末）转化策略 数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，很多问题的解决都用到了转化策略，转化是解决数学问题的一种重要策略．相信你也经历过“理解问题——拟定计划——实施计划——回顾反思”的思考和解决问题的过程，感悟到转化策略在问题解决过程中起着重要作用． 问题提出 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 问题解决 （1）如图，直线l的两侧分别有A、B两点，请你在直线l上确定一个点C，使最短； （2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如图2，请你用尺规作图在直线l上求出C点的位置；（不写作法，保留作图痕迹） （3）为了说明（2）中点C的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线l上另外取点C，连接，，说明即可，请你借助（2）中所作的图说明道理； 类比探究 （4）如图3，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处．请分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短，并说明道理．（辅助线用虚线，最短路径用实线表示．） 反思提炼 （5）回顾本题的解决过程，你有哪些感悟？ 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析；（4）见分析；（5）见分析 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，正确画出图形是解题关键． （1）直接连接交直线l于点C即可； （2）作A关于l的对称点，连接交l于点C即可； （3）根据轴对称性的性质得出，，然后根据“两点之间，线段最短”得出，即可得证； （4）作P关于的对称点，关于的对称点，连接交于E，于F即可； （5）利用轴对称的性质可以解决最短问题． 解：（1）如图，点C即为所求； （2）如图，点C即为所求； （3）连接， ∵、关于对称， ∴，， ∴，， ∴； （4）如图，点E、F即为所求， （5）感悟：利用轴对称的性质可以解决最短问题． 【中考真题6题】 一、单选题 1．（2025·黑龙江绥化·中考真题）下列数学符号是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的概念是解题的关键； 根据轴对称图形的定义：如果将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，即可解答. 解： 选项中的数学符号是轴对称图形的是，其它的都不是； 故选：D. 2．（2024·河北·中考真题）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D． 解：由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 3．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（    ） A．5 B．6 C．6.5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称图形的性质得到，，从而 从而即可解答． 解：由折叠可得，， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题 4．（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 解：根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 三、解答题 5．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．            图1                                             图2                                      图3 （1）直接写出的值； （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（    ） 图4 A．        B． C．        D． （3） 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 规格（单位：cm） 单价（单位：元） 3 5 20 现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用． （要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用） 【答案】（1）2；（2）C；（3）见分析． 【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由折叠和题意可知，，，四边形是正方形，得到，即，即可求解； （2）根据几何体的展开图即可求解； （3）由题意可得，每张型号卡纸可制作10个正方体，每张型号卡纸可制作2个正方体，每张型号卡纸可制作1个正方体，即可求解． 解：（1）解：如图： 上述图形折叠后变成： 由折叠和题意可知，，， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴， ∴的值为：． （2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反， ∴C选项符合题意， 故选：C． （3）解： 卡纸型号 型号 型号 型号 需卡纸的数量（单位：张） 1 3 2 所用卡纸总费用（单位：元） 58 根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为，则要制作一个边长为的正方体的展开图形为： ∴型号卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图： 型号卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图： 型号卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图： ∴可选择型号卡纸2张，型号卡纸3张，型号卡纸1张，则 （个）， ∴所用卡纸总费用为： （元）． 6．（2025·甘肃兰州·中考真题）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下： 操作步骤与演示图形 如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②． → 折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④． → 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤． → 将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥． → 将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧． 解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点作出点； 任务二：在图⑥中作出折痕． （2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________． 【答案】（1）见分析；（2）50 【分析】本题考查轴对称图形的性质，尺规作图——作垂直平分线，作角平分线，平行线的性质，读懂题意是解题的关键． （1）任务一：连接，作的垂直平分线m，过点P作直线m的垂线，交边于点A，以点A为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，则点为所求； 任务二：作出与所成夹角的角平分线，即为折痕； （2）根据三等分线得到，再由平行线的性质即可求解． 解：（1）任务一：如图，点为所求． 任务二：如图，折痕为所求． （2）如图， 由题意可知，是的三等分线， ∴， ∵， ∴， ∴与相交所成的锐角是． 故答案为：50 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$