精品解析：河北省保定市河北保定师范附属学校2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题

保师附校2024～2025年度第一学期期末质量监测 七年级数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷时，将答案用黑色水笔直接写在答题卡相应位置上． 3．本试卷共8页，满分为120分，考试时间为120分钟． 一、单选题（本大题共12小题，共36分，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 5的倒数是( ) A. B. C. 5 D. 2. 目前全世界人口约8010000000人，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某校有2000名学生，要想了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，在全校学生注册学号中，随意抽取100个学号，调查这些学号对应的学生．下列说法错误的是（ ） A. 此次调查为抽样调查 B. 总体是2000名学生 C. 样本是每一名学生对五类电视节目的喜爱情况 D. 样本容量是100 4. 四个有理数，，，，其中最小的数是（ ） A. B. C. D. 5. 李老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述． 小明：这个代数式是一个四次三项式； 小红：这个代数式的最高次项系数为； 小华：这个代数式的常数项是5． 如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（ ） A. B. C. D. 6. “如图是一个正方形，把此正方形沿虚线减去一个角，得到一个五边形，则这个五边形的周长______原来正方形的周长，理由是______”此题中横线上应填写的正确答案是（ ） A. 大于，两点之间线段最短 B. 小于，两点之间线段最短 C. 大于，垂线段最短 D. 小于，垂线段最短 7. 若有理数、满足，则代数式的值为（ ） A. 9 B. 6 C. D. 8. 计算（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是线段的中点，点在上，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 学校智拓课堂上，几位同学用相同大小的正方体积木拼搭组合体．如图所示，1个正方体积木恰好可以从1个空白位置通过，那么下列组合体中无法从空白部分通过的是（ ） A. B. C. D. 11. 一名快递员需要在规定时间内开车将快递送到某地，若快递员开车每分钟行驶，则早到；若快递员开车每分钟行驶，则要迟到．关于嘉嘉和淇淇所列的方程，下列判断正确的是（ ） 嘉嘉：设快递员所行驶的总路程为，则； 淇淇：设规定时间为，则 A. 只有嘉嘉的正确 B. 只有淇淇的正确 C. 嘉嘉、淇淇的都正确 D. 嘉嘉、淇淇的都不正确 12. 如图，每个小正方形的面积均为1． 已知一个草垛（按如图所示的阶梯方式摆放）的最底端有2024个类似小正方体的草堆，则该草垛共有（ ）个草堆． A. 12144 B. 4098600 C. 1025156 D. 4094552 二、填空题（共4小题，共12分，每小题3分） 13. 若与是同类项，则的值是______． 14. 按照如图所示的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数都互为相反数，那么________． 15. 若关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为______． 16. 如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是______． 三、解答题（共8小题，共72分，17题12分，18题8分，19题8分，20题8分，21题8分，22题8分，23题10分，24题10分） 17. 计算： （1）①； ②． （2）小明在做解方程．作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是． ①小明猜想“■”部分是2．请你算一算的值； ②小明翻看了书后的答案，发现此方程的解与方程的解相同，请你算一算被污染的常数应是多少？ 18. 老师写出一个整式（其中、为常数，且表示为系数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算． （1）甲同学给出了，请按照甲同学给出的数值化简整式； （2）乙同学给出了一组数据，最后计算的结果为．则乙同学给出、的值分别是______，______：（请直接写出、的值） （3）丙同学给出了、的一组数，使计算的最后结果与的取值无关，则丙同学给出、的值分别是______，______；（直接写出、的值） 19. 小明在电脑显示屏上画出了一条数轴，数轴上的点表示，小明设计了一个电脑程序：点，分别从点同时出发，每按一次键盘，点沿数轴向右移动2个单位长度，同时点沿数轴向左移动1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点，的位置如图所示，在数轴上点，表示的有理数分别是，． （1）第______次按键后，点正好到达原点； （2）第6次按键后，求比大多少？ （3）在按键过程中，当点与原点的距离为2个单位长度时，求的值； 20. 劳动是一切幸福的源泉．为了初步了解学生的劳动教育情况，某校对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间分为如下四组（A：；B：；C：；D：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数为________人，扇形统计图中的值为________； （2）补全条形统计图；（要求在条形图上方表明人数） （3）请计算扇形统计图中“C”组所在扇形的圆心角的度数； （4）已知该校九年级有1000名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？ 21. 我校体育组决定购买羽毛球和羽毛球拍若干．甲、乙两家体育用品商店出售同一品牌同一规格的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每个定价8元，羽毛球拍每副定价80元、现两家商店都在搞促销活动：甲店每出售一副球拍赠2个羽毛球；乙店球拍和羽毛球均按九折优惠．若体育组需购副球拍，300个羽毛球．根据题意完成下列问题． （1）购买方案一：全部到甲商店购买，需付款______元；购买方案二：全部到乙商店购买，需付款______元；（用含的代数式表示） （2）当取何值时，两种方案所需费用相等？ （3）当，请根据甲、乙两商店的促销信息，判断是否有比（1）中两个方案更优惠的购买方法，如果有，写出方案并列式求出所需费用；如果没有，请说明理由． 22. 【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______，______； （2）关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈次方都等于1： C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：______； （4）计算： 23. 把正整数1，2，3，4……，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，从左到右分别称为第1列、第2列、……．用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A、B、C、D．设A＝x． （1）在图1中，2018排在第　 　行第　 　列；排在第m行第n列的数为　 　，其中m≥1，1≤n≤8，且都是正整数；（直接写出答案） （2）若A+2B+3D＝357，求出C所表示的数； （3）在图（2）中，被阴影覆盖的这些数的和能否为4212？如果能，请求出这些数中最大的数，如果不能，请说明理由． 24. 如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为、两点，两脚脚跟位置分别为、两点，定义、、、平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． （1）如图2，、、三点共线，点、重合，，则 ； （2）如图3，、、三点共线，且，平分，求的大小； （3）第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然、、三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为 ； （4）第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线） ① 运动停止时， ； ② 请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保师附校2024～2025年度第一学期期末质量监测 七年级数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷时，将答案用黑色水笔直接写在答题卡相应位置上． 3．本试卷共8页，满分为120分，考试时间为120分钟． 一、单选题（本大题共12小题，共36分，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 5的倒数是( ) A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的意义可直接进行求解． 【详解】解：5的倒数是； 故选A． 【点睛】本题主要考查倒数，熟练掌握求一个数的倒数是解题的关键． 2. 目前全世界人口约8010000000人，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解： 用科学记数法表示为． 故选：D． 3. 某校有2000名学生，要想了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，在全校学生注册学号中，随意抽取100个学号，调查这些学号对应的学生．下列说法错误的是（ ） A. 此次调查为抽样调查 B. 总体是2000名学生 C. 样本是每一名学生对五类电视节目的喜爱情况 D. 样本容量是100 【答案】B 【解析】 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义进行判断即可，本题考查了抽样类型以及总体、个体、样本、样本容量的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A、本题中，采用的调查方法是抽样调查，故该选项是正确的，不符合题意； B、总体是2000名学生对五类电视节目的喜爱情况，故该选项是不正确的，符合题意； C、样本是每一名学生对五类电视节目的喜爱情况，故该选项是正确的，不符合题意； D、样本容量是100，故该选项是正确的，不符合题意． 故选：B． 4. 四个有理数，，，，其中最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可，熟练掌握相关方法是解题关键． 【详解】解：根据有理数比较大小方法可得，， ∴最小的数是， 故选：． 5. 李老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述． 小明：这个代数式是一个四次三项式； 小红：这个代数式的最高次项系数为； 小华：这个代数式的常数项是5． 如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式的定义，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项，根据多项式的相关概念逐项判断即可得解． 【详解】解：A、是一个四次三项式，高次项系数为，常数项是5，故不符合题意； B、是一个五次三项式，故不符合题意； C、是一个四次三项式，高次项系数为，常数项是，故不符合题意； D、是一个四次三项式，高次项系数为，常数项是，故符合题意； 故选：D． 6. “如图是一个正方形，把此正方形沿虚线减去一个角，得到一个五边形，则这个五边形的周长______原来正方形的周长，理由是______”此题中横线上应填写的正确答案是（ ） A. 大于，两点之间线段最短 B. 小于，两点之间线段最短 C. 大于，垂线段最短 D. 小于，垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查线段的性质，解题的关键是正确理解“两点之间线段最短”的意义．据此解答即可． 【详解】解：如图，五边形的周长为， 正方形的周长为， 在中，， ∴， 即五边形的周长小于正方形的周长，理由是两点之间线段最短． 故选：B． 7. 若有理数、满足，则代数式的值为（ ） A. 9 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是非负数的性质，求得代数式的值，求得a，b的值是解题的关键． 依据非负数的性质可求得a，b的值，然后可代入计算即可． 【详解】解：∵有理数a、b满足， ∴． ∴． 故选：A． 8. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握乘法、乘方的运算定义，准确计算是解题的关键． 根据乘法的定义：个相加表示为，根据乘方的定义：个相乘表示为，由此求解即可． 【详解】解：， 故选： D． 9. 如图，是线段的中点，点在上，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段中点和线段的长度关系进行计算，算出和的长，即可解答． 【详解】解：∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查线段的计算，解题的关键是掌握线段中点的性质和线段的计算方法． 10. 学校智拓课堂上，几位同学用相同大小的正方体积木拼搭组合体．如图所示，1个正方体积木恰好可以从1个空白位置通过，那么下列组合体中无法从空白部分通过的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向观察物体和几何体，关键是学会观察仔细． 根据图示可知，可以看到并排个小正方形的几何体，可以从空白位置通过，据此求解． 【详解】解：A．从上面看观察可以自到两个并非正方形，所以可以通过，故此项不符合题意； B．从上面，前面和左面观察到的都是个正方形，所以无法通过，故此项符合题意； C．人侧面观察可以看到两个并排的正方形，所以可以通过，故此项不符合题意； D．从上面看观察可以自到两个并非正方形，所以可以通过，故此项不符合题意． 故选：B． 11. 一名快递员需要在规定时间内开车将快递送到某地，若快递员开车每分钟行驶，则早到；若快递员开车每分钟行驶，则要迟到．关于嘉嘉和淇淇所列的方程，下列判断正确的是（ ） 嘉嘉：设快递员所行驶的总路程为，则； 淇淇：设规定时间为，则 A. 只有嘉嘉的正确 B. 只有淇淇的正确 C. 嘉嘉、淇淇的都正确 D. 嘉嘉、淇淇的都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】根据规定时间相等列方程，根据总路程相等列方程解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握列方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：设快递员所行驶的总路程为， 则； 设规定时间为，则． 只有淇淇的正确． 故选：B． 12. 如图，每个小正方形的面积均为1． 已知一个草垛（按如图所示的阶梯方式摆放）的最底端有2024个类似小正方体的草堆，则该草垛共有（ ）个草堆． A. 12144 B. 4098600 C. 1025156 D. 4094552 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，分析等式规律题时，观察等式的两边的特征，解答的关键是由所给的图形分析出存在的规律．分析所给的等式，等式左边是连续的偶数之和，右边是两个连续整数的乘积，进行求解即可． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ， ∴第个等式：， ∴当最底端有2024个类似小正方体的草堆时，； 故选C． 二、填空题（共4小题，共12分，每小题3分） 13. 若与是同类项，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类项，根据同类项的定义可得，，求出的值即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 按照如图所示的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数都互为相反数，那么________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的特征是正确判断的前提，根据正方体表面展开图的特征，得出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴，， ∴， 故答案为：4． 15. 若关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查换元法解一元一次方程，根据题意，易得的解为，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴的解为：； ∴； 故答案为：． 16. 如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．分四种情况：时， 时，时，时，再根据角的和差进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“幸运线”， ∵， ； ②当时，射线是的“幸运线”， ∵， ， ； ③当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； ④当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（共8小题，共72分，17题12分，18题8分，19题8分，20题8分，21题8分，22题8分，23题10分，24题10分） 17. 计算： （1）①； ②． （2）小明在做解方程．作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是． ①小明猜想“■”部分是2．请你算一算的值； ②小明翻看了书后的答案，发现此方程的解与方程的解相同，请你算一算被污染的常数应是多少？ 【答案】（1）①；② （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等． （1）①根据乘法分配律进行计算即可； ②根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）①代入，解方程即可； ②设被污染的常数为y，求出方程的解，代入，解关于y的方程即可． 【小问1详解】 解：① ； ② ； 【小问2详解】 解：①由题意得：， 解得：； ②设被污染的常数为y， 解方程， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 将代入污染的方程得， 解得：， ∴被污染的常数应是． 18. 老师写出一个整式（其中、为常数，且表示为系数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算． （1）甲同学给出了，请按照甲同学给出的数值化简整式； （2）乙同学给出了一组数据，最后计算的结果为．则乙同学给出、的值分别是______，______：（请直接写出、的值） （3）丙同学给出了、的一组数，使计算的最后结果与的取值无关，则丙同学给出、的值分别是______，______；（直接写出、的值） 【答案】（1） （2）； （3）6； 【解析】 【分析】本题考查的是整式的加减运算，多项式的值与某字母的值无关，理解题意，正确的合并同类项是解本题的关键． （1）直接将a、b的值代入整式，然后再化简即可． （2）原整式与计算结果比较对应的二次项、一次项系数，即可求得a、b的值． （3）根据计算结果与x的取值无关可知，二次项与一次项的系数均为0，据此可求得a、b的值． 【小问1详解】 解：将代入原整式： 故化简后的整式为：． 【小问2详解】 解： ， ∵最后计算的结果为， ∴， 解得：． 【小问3详解】 解：∵， 且计算结果与x的取值无关， ∴二次项与一次项系数均为0，即 解得：． 19. 小明在电脑显示屏上画出了一条数轴，数轴上的点表示，小明设计了一个电脑程序：点，分别从点同时出发，每按一次键盘，点沿数轴向右移动2个单位长度，同时点沿数轴向左移动1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点，的位置如图所示，在数轴上点，表示的有理数分别是，． （1）第______次按键后，点正好到达原点； （2）第6次按键后，求比大多少？ （3）在按键过程中，当点与原点的距离为2个单位长度时，求的值； 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的平移，有理数的混合运算； （1）根据题意可得点到原点的距离为为单位长度，即可求解； （2）求出点的值，即可求解； （3）分两种情况讨论：当点在原点的右侧时，当点在原点的左侧时，即可求解． 【小问1详解】 解：表示的点． 点到原点的距离为为单位长度， ， 即第次按键后，点正好到达原点； 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意得：，， ， 即第次按键后，比大； 【小问3详解】 当点在原点的右侧，且与原点的距离为个单位长度时，， 此时按键次数是次， 则； 当点在原点的左侧，且与原点的距离为个单位长度时，， 此时按键次数是次， 则； 综上所述，的值为或． 20. 劳动是一切幸福的源泉．为了初步了解学生的劳动教育情况，某校对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间分为如下四组（A：；B：；C：；D：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数为________人，扇形统计图中的值为________； （2）补全条形统计图；（要求在条形图上方表明人数） （3）请计算扇形统计图中“C”组所在扇形的圆心角的度数； （4）已知该校九年级有1000名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？ 【答案】（1）50，30 （2） 补全条形统计图如下： （3） （4）500人 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图，扇形统计图，能从统计图中获取有用信息是解题的关键． （1）将组的人数除以其所占百分比即可求出本次抽取的学生人数；将组人数除以本次抽取的学生人数，再乘以100即可求出； （2）先求出组的人数，再补全条形统计图即可； （3）拿乘以C组的占比即可； （4）用样本估计总体的思想可估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生人数； 【小问1详解】 解：本次抽取的学生人数为：（人； ， 故答案为：50，30； 【小问2详解】 解：组人数为：（人； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解：（人， 估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有500人． 21. 我校体育组决定购买羽毛球和羽毛球拍若干．甲、乙两家体育用品商店出售同一品牌同一规格的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每个定价8元，羽毛球拍每副定价80元、现两家商店都在搞促销活动：甲店每出售一副球拍赠2个羽毛球；乙店球拍和羽毛球均按九折优惠．若体育组需购副球拍，300个羽毛球．根据题意完成下列问题． （1）购买方案一：全部到甲商店购买，需付款______元；购买方案二：全部到乙商店购买，需付款______元；（用含的代数式表示） （2）当取何值时，两种方案所需费用相等？ （3）当，请根据甲、乙两商店的促销信息，判断是否有比（1）中两个方案更优惠的购买方法，如果有，写出方案并列式求出所需费用；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）， （2）30 （3）当去甲商店买球拍，去乙商店购买剩余的羽毛球时更优惠，所需费用为5440元 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，正确的列出代数式和一元一次方程，是解题的关键： （1）根据两种优惠方案，列出代数式即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可； （3）去甲商店买球拍，去乙商店买羽毛球，求出费用即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：到甲商店购买，需付款（元） 到乙商店购买，需付款：（元） 故答案为：，； 【小问2详解】 由题意，得： 解得： 故当时，两种方案所需费用相等； 【小问3详解】 有；去甲商店买球拍，去乙商店买羽毛球 当时：方案一费用： 元 方案二费用为：元 当去甲商店买球拍，去乙商店买羽毛球时，所需费用为：元 答：当去甲商店买球拍，去乙商店购买剩余的羽毛球时更优惠，所需费用为5440元． 22. 【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______，______； （2）关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈次方都等于1： C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：______； （4）计算： 【答案】（1）1，；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查含乘方有理数的混合运算、新定义，理解除方的定义是解题关键． （1）根据题意，计算出所求式子的值即可； （2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题； （3）根据题意，可以计算出所求式子的值． （4）根据题意，可以计算出所求式子的值． 【详解】解：（1）， ； 故答案为：1，． （2）A、∵，所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确； B、∵多少个1相除都等于1，对于任何正整数，1的圈n次方都等于1；正确； C、，故，错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．正确； 故选C； （3）， 故答案为：； （4） ． 23. 把正整数1，2，3，4……，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，从左到右分别称为第1列、第2列、……．用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A、B、C、D．设A＝x． （1）在图1中，2018排在第　 　行第　 　列；排在第m行第n列的数为　 　，其中m≥1，1≤n≤8，且都是正整数；（直接写出答案） （2）若A+2B+3D＝357，求出C所表示的数； （3）在图（2）中，被阴影覆盖的这些数的和能否为4212？如果能，请求出这些数中最大的数，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）253，2；8m+n﹣8；（2）77；（3）这些数的和不能为4212，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）每行8个数，2018＝8×252+2，2018排在第253行第2列；第m行第8列数为8m，第m行第n列为8m+n﹣8； （2）设A＝x，可以依据A、B、C、D四个数排列的规律依次用含x的代数式表达，再根据题意列方程求解即可； （3）根据题意列方程求出x，如果x为正整数，并且不在第6、7、8列，才能符合题目要求． 【详解】解：（1）∵2018＝8×252+2，2018排在第253行第2列；根据数字排列规律：第m行最后一列数字为8m，∴排在第m行第n列的数为8m+n﹣8； 故答案为253，2；8m+n﹣8； （2）由题意得：A＝x，B＝x+24，C＝x+27，D＝x+3， ∵A+2B+3D＝357， ∴x+2（x+24）+3（x+3）＝357， 解得：x＝50， ∴C＝x+27＝50+27＝77． （3）这些数的和不能为4212； ∵被阴影覆盖的这些数的和＝x+1+x+2+x+8+x+9+x+10+x+11+x+16+x+17+x+18+x+19+x+25+x+26＝12x+162 若12x+162＝4212，则x＝337.5不是正整数，不符合题意． 故答案为（1）253，2；8m+n﹣8；（2）77；（3）这些数的和不能为4212，理由见解析. 【点睛】本题考查规律型问题、代数式、一元一次方程，解题的关键是理解题意，学会探究规律、利用规律解决问题，学会构建方程解决问题． 24. 如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为、两点，两脚脚跟位置分别为、两点，定义、、、平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． （1）如图2，、、三点共线，点、重合，，则 ； （2）如图3，、、三点共线，且，平分，求的大小； （3）第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然、、三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为 ； （4）第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线） ① 运动停止时， ； ② 请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系为 ． 【答案】（1） （2） （3） （4）；当时，；当时， 【解析】 【分析】本题考查了角的和差运算，一元一次方程的应用； （1）由，，三点共线，可得出，再由，即可求出； （2）由，设，根据、O、三点共线，则，得出，再根据，即可求解； （3）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （4）①算出运动停止时间，求出运动的角度，进而求出度数； ②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点，，三点共线前和点，，三点共线后，分别求解即可； 【小问1详解】 ∵，，三点共线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， 设， ∵平分， ∴， ∵、O、三点共线，则， ∴， 解得：， ∴ 【小问3详解】 这个定值是，理由， ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴的值为定值，这个定值是； 【小问4详解】 ∵， ∴，， 设运动时间为，则，则， ①运动停止时，即时，旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点，，三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $