精品解析：吉林省吉林市亚桥中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

2024-2025学年度下学期阶段性检测 数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 据报道，我省今年前4个月货物贸易进出口总值为52860 000 000元人民币，比去年同期增长28.2%．其中52860000 000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（ ） A. 138° B. 121° C. 118° D. 112° 6. 如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 分解因式：_______． 8. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为_______． 9. 如图，在中，，，以点为圆心，线段的长为半径作，交的延长线于点，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 10. 已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为_______． 11. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴平行线交抛物线于点．为抛物线的顶点．若直线交直线于点，且为线段的中点，则的值为_____． 三、解答题（本大题共11题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中x=﹣1． 13. 一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字0，1，2，每个小球除数字不同外其余均相同，小华先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字、用画树状图（或列表）的方法，求小华两次摸出的小球上的数字之和是3的概率． 14. A、B两种型号的机器加工同一种零件，已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同，求A型机器每小时加工零件的个数． 15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点C在格点上． （1）在图①中，面积为； （2）在图②中，的面积为5 （3）在图③中，是面积为的钝角三角形． 16. 共享单车为大众出行提供了方便，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm．小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为90cm时骑着比较舒适，求此时CE的长．（结果精确到1cm）（参考数据：，，，） 17. 网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位：时）： 3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8 2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5 3.1 28 3.3 2.4 整理上面的数据，得到表格如下： 网上学习时间（时） 人数 2 5 8 5 样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 统计量 平均数 中位数 众数 数值 2.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）上表中的中位数的值为　 　，众数的值为　 　． （2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间． （3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数． 18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A、C在坐标轴上，反比例函数的图象分别与交于点和点E，且D为的中点． （1）求反比例函数的解析式和点E的坐标； （2）若一次函数与反比例函数的图象相交于D、E两点，直接写出不等式的解集． 19. 已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示． （1）_______，_______； （2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； （3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 20. 【探究问题】阅读并补全解题过程 如图①，在四边形中，，点E是边的中点，，求证：平分． 张某某同学受到老师说过的“有中点，延长加倍构造全等”的启发，延长交射线于点F，请你依据该同学的做法补全证明过程． 证明：延长交射线于点F． 【应用】如图②，在长方形中，将沿直线折叠，若点B恰好落在边的中点E处，直接写出的度数； 【拓展】如图③，在正方形中，E为边的中点，将沿直线折叠，点A落在正方形内部的点F处，延长交于点G，延长交于点H，若正方形的边长为4，直接写出的值． 21. 如图，在中，，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点C运动．同时，点Q也从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动．当点P到达点C时，P、Q两点同时停止运动．以为对角线作矩形，．设矩形和重叠部分的面积为，点P运动的时间为t秒． （1）线段的长为______（用含t的代数式表示）； （2）当点N落在上时，求t的值； （3）当点N在内部时，求S与t之间的函数关系式； （4）连接，当线段将矩形分成两部分面积比时，直接写出t的值． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交点坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）当点在此抛物线上，且抛物线在时，y随x的增大而减小，则m的值是__________； （3）点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点A的横坐标为m，点B的横坐标为．将此抛物线上A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G． ①当点A在x轴上方，图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； ②设点，点，将线段绕点D逆时针旋转后得到线段，连结，当和图象G有公共点时，直接写出m取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期阶段性检测 数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的概念，从正面看到的图形就是主视图，再根据小正方体的个数和排列进行作答即可． 【详解】正面看，其主视图为： 故选：A． 【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看所得到的图形，主视图是 从正面看所得到的图形，左视图时从左面看所得到的图形，熟练掌握知识点是解题的关键． 2. 据报道，我省今年前4个月货物贸易进出口总值为52860 000 000元人民币，比去年同期增长28.2%．其中52860000 000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：52860000000=， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接移项解一元一次不等式即可． 【详解】， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 4. 如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜边AB，求∠BAC的对边，选择∠BAC的正弦，列出等式即可表示出来． 【详解】在Rt△ABC中， , 即， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是根据解三角函数的定义，列出方程． 5. 如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（ ） A. 138° B. 121° C. 118° D. 112° 【答案】C 【解析】 【分析】由圆内接四边形的性质得，再由圆周定理可得． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于圆O， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键 6. 如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠BCA，进而求得∠ACD，由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，利用角平分线定义求解即可． 【详解】∵在中，， ∴， ∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°， 由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义和作法，熟练掌握等腰三角形的性质以及角平分线的尺规作图法是解答的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】原式提取公因式m即可得到结果． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了提公因式分解因式，正确找出公因式是解答本题的关键． 8. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为_______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据方程有两个相等的实数根，可得，计算即可． 【详解】关于x的方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，；熟练掌握知识点是解题的关键． 9. 如图，在中，，，以点为圆心，线段的长为半径作，交的延长线于点，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，证明，根据计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 10. 已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若；若，即可求解． 【详解】解：， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 若，当时，y随x的增大而减小， 此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意， 若，当时，函数值y最小，最小值为1， ∴， 解得：或（舍去）； 综上所述，a的值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 11. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点．为抛物线的顶点．若直线交直线于点，且为线段的中点，则的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据抛物线解析式求出点坐标和其对称轴，再根据对称性求出点坐标，利用点为线段中点，得出点坐标；用含的式子表示出点坐标，写出直线的解析式，再将点坐标代入即可求解出的值． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴，抛物线的对称轴为 ∴顶点坐标为，点坐标为 ∵点为线段的中点， ∴点坐标为 设直线解析式为（为常数，且） 将点代入得 ∴ 将点代入得 解得 故答案为2 【点睛】考核知识点:抛物线与坐标轴交点问题.数形结合分析问题是关键. 三、解答题（本大题共11题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中x=﹣1． 【答案】 【解析】 【详解】【分析】根据分式的加法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】 = = = =x+1， 当x=﹣1时，原式=﹣1+1=． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式化简求值的方法是解答本题的关键. 13. 一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字0，1，2，每个小球除数字不同外其余均相同，小华先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字、用画树状图（或列表）的方法，求小华两次摸出的小球上的数字之和是3的概率． 【答案】． 【解析】 【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式即可求出两次摸出的小球上的数字之和是3的概率． 【详解】列表得： 和 1 2 0 1 2 3 1 2 3 4 2 0 1 2 0 ∴=． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题的关键是要区分放回实验还是不放回实验． 14. A、B两种型号的机器加工同一种零件，已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同，求A型机器每小时加工零件的个数． 【答案】80． 【解析】 【分析】关键描述语为：“A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同”；等量关系为：400÷A型机器每小时加工零件的个数=300÷B型机器每小时加工零件的个数． 【详解】解：设A型机器每小时加工零件x个，则B型机器每小时加工零件（x﹣20）个． 根据题意列方程得：， 解得：x=80． 经检验，x=80是原方程的解． 答：A型机器每小时加工零件80个． 【点睛】考点：分式方程的应用． 15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点C在格点上． （1）在图①中，的面积为； （2）在图②中，的面积为5 （3）在图③中，是面积为的钝角三角形． 【答案】（1）如图所示，即为所求：（答案不唯一） （2）如图所示，即为所求：（答案不唯一） （3）如图所示，即为所求： 【解析】 【分析】（1）以为底，设边上的高为，依题意得，解得，即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可； （2）由网格可知，，以为底，设边上的高为，依题意得，解得，将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点； （3）作，过点作，交于格点，连接A、B、C即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 以为底，设边上的高为， 依题意得： 解得： 即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可， 答案不唯一； 【小问2详解】 由网格可知， 以为底，设边上的高为， 依题意得： 解得： 将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点， 答案不唯一， 【小问3详解】 如图所示， 作，过点作，交于格点， 由网格可知， ，， ∴是直角三角形，且 ∵ ∴． 【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关键是熟练利用网格作平行线或垂直． 16. 共享单车为大众出行提供了方便，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm．小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为90cm时骑着比较舒适，求此时CE的长．（结果精确到1cm）（参考数据：，，，） 【答案】24cm 【解析】 【分析】过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N，构造直角三角形，利用三角函数，求出BC，再用BC减去BE即可． 【详解】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N由题意可知MN=30cm， 当CN=90cm时，CM=60cm， ∴在Rt△BCM中，∠ABE=70°， ∴sin∠ABE=sin70°=， ∴BC≈64cm， ∴CE=BC-BE=64-40=24cm． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，将所给角放到直角三角形中，是解题的关键． 17. 网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位：时）： 3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8 2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4 整理上面的数据，得到表格如下： 网上学习时间（时） 人数 2 5 8 5 样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 统计量 平均数 中位数 众数 数值 2.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）上表中的中位数的值为　 　，众数的值为　 　． （2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间． （3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数． 【答案】（1）2.5，2.5；（2）估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间为43.2小时．（3）该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人． 【解析】 【分析】（1）把20个数据从小到大排列，即可求出中位数；出现次数最多的数据即为众数； （2）由平均数乘以18即可； （3）用总人数乘以每周网上学习时间超过2小时的学生人数所占的比例即可． 【详解】解：（1）从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4， ∴中位数的值为，众数为2.5； 故答案为2.5，2.5； （2）（小时）， 答：估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间为43.2小时． （3）（人）， 答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人． 【点睛】考核知识点：中位数，平均数，众数.理解定义和公式是关键. 18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A、C在坐标轴上，反比例函数的图象分别与交于点和点E，且D为的中点． （1）求反比例函数的解析式和点E的坐标； （2）若一次函数与反比例函数的图象相交于D、E两点，直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，反比例函数与一次函数的交点问题： （1）待定系数法求出反比例函数解析式，矩形的性质加上中点坐标公式求出点坐标进而得到点纵坐标，代入函数解析式求出点坐标即可； （2）图象法解不等式即可． 【小问1详解】 解：把代入函数解析式，得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵四边形是矩形，点为的中点， ∴轴，轴， ∴，， ∴点纵坐标为， 当时，， ∴； 【小问2详解】 由图象可知：不等式的解集为． 19. 已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示． （1）_______，_______； （2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； （3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 【答案】（1）2.6 （2）甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式（2≤x≤6） （3）300千米 【解析】 【分析】（1）先根据甲乙两车相遇时甲车行驶的路程除以速度可求出m的值，再用m的值加4即可得n的值； （2）由（1）得（2，200）和（6，440），再运用待定系数法求解即可； （3）先求出乙车的行驶速度，从而可求出行驶时间，代入函数关系式可得结论． 【小问1详解】 根据题意得，（时） （时） 故答案为：2.6； 【小问2详解】 由（1）得（2，200）和（6，440）， 设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为 则有：， 解得， 甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式（2≤x≤6） 【小问3详解】 甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为440-200=240千米， ∴乙车的速度为：240÷2=120（千米/时） ∴乙车行完全程用时为：440÷120=（时） ∵ ∴当时，千米， 即：当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为300千米 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象是解答本题的关键． 20. 【探究问题】阅读并补全解题过程 如图①，在四边形中，，点E是边的中点，，求证：平分． 张某某同学受到老师说过的“有中点，延长加倍构造全等”的启发，延长交射线于点F，请你依据该同学的做法补全证明过程． 证明：延长交射线于点F． 【应用】如图②，在长方形中，将沿直线折叠，若点B恰好落在边的中点E处，直接写出的度数； 【拓展】如图③，在正方形中，E为边的中点，将沿直线折叠，点A落在正方形内部的点F处，延长交于点G，延长交于点H，若正方形的边长为4，直接写出的值． 【答案】[探究问题]证明见解析；[应用] ；[拓展]1 【解析】 【分析】[探究问题]延长交射线于点F，证明，则，证明，则，，进而结论得证； [应用]如图②，延长交的延长线于，同理[探究问题]可得，，，则，由折叠的性质可知，，由，可得，证明是等边三角形，进而可求的度数； [拓展]如图③，连接，证明，则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】[探究问题]证明：延长交射线于点F， ∴， ∵， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴平分． [应用]解：如图②，延长交的延长线于， 同理[探究问题]可得，，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴的度数为； [拓展]解：如图③，连接， 由折叠的性质可知，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的值为1． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 21. 如图，在中，，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点C运动．同时，点Q也从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动．当点P到达点C时，P、Q两点同时停止运动．以为对角线作矩形，．设矩形和重叠部分的面积为，点P运动的时间为t秒． （1）线段的长为______（用含t的代数式表示）； （2）当点N落在上时，求t的值； （3）当点N在内部时，求S与t之间的函数关系式； （4）连接，当线段将矩形分成两部分面积比时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时，． （4）或 【解析】 【分析】（1）由速度和时间即可得出； （2）在中，，，可得，在中，，由得，，从而得出结果； （3）当点Q在上时，即，可表示出，，从而；当点Q在延长线上时，即，设交于点D，可得出，，从而求得，进一步得出结果； （4）当点Q在上，交于E时，可得出，根据，从而，从而得出，求得；当点Q在上时，交于O时，同理可得：点O是的中点，作于G，作于H，根据得出，从而得出，求得． 【小问1详解】 解：由题意知：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图1， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， 由得，， ∴； 【小问3详解】 解：如图2， 当点Q在上时，即， ，， ∴， 如图3， 当点Q在延长线时，即，设交于点D， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：如图4， 当点Q在上，交于E时，过点Q作交于点F， 由得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图5， 当点Q在延长线上时，交于O时， 同理可得：点O是的中点， 作于G，作于H， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，矩形的性质和判定，二次函数的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交点坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）当点在此抛物线上，且抛物线在时，y随x的增大而减小，则m的值是__________； （3）点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点A的横坐标为m，点B的横坐标为．将此抛物线上A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G． ①当点A在x轴上方，图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； ②设点，点，将线段绕点D逆时针旋转后得到线段，连结，当和图象G有公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①②或 【解析】 【分析】（1）根据函数对称轴计算公式可求出b，根据与轴交点可求出c，据此可得答案； （2）把点代入得，解得，，然后根据时，随的增大而减小，所以，即可得求解． （3）①先求出抛物线与x轴的交点坐标为，再求出顶点坐标，然后分当时，图象的最高点，图象的最低点为，当时， 则，此时最高点为A，最低点为B，当时，则，此时最高点为B，最低点为A，三种情况讨论求解即可； ②分点在点的上方和下方，两种情况，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线， ∴， ∴． ∵抛物线（为常数）与轴交点坐标为 ∴． ∴此抛物线对应的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵，，对称轴为直线， ∴抛物线的开口向下，当时，随的增大而减小， ∵点在此抛物线上， ∴， 解得，． ∵时，随的增大而减小， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①令，则， 解得：，， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为， ∵ ∴抛物线线顶点坐标为， ∵点在轴上方， 当时，图象的最高点，图象的最低点为， ∴， 解得或（舍去）； 当时， 则，此时最高点为A，最低点为B，不满足图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6； 当时，则，此时点在点左侧，不符合题意； 综上所述，； ②由题意，得：，，且，即：， 当点E在点D上方时，即，，如图， 当点与点重合时，则， 解得：，（舍去）， 点与点重合时，则， 解得：，（舍去）； ∴当时，和图象G有公共点； 当点E在点D下方时，即：，则：，如图， ∵线段绕点D逆时针旋转后得到线段， ∴， ∴F坐标为， 把代入，得 ， 解得：，（舍去）， 当点在线段上时，， 解得：，（舍去）； ∴当和图象有公共点时，． 综上，当和抛物线有公共点时， 的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质，抛物线图象与线段交点问题，熟练掌握抛物线图象与性质是解题的关键，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $