第22章二次函数重点难点题型专项训练 (1)-2025-2026学年人教版数学九年级上册（章节基础过关卷+单元提优验收卷+重难点易错题突破卷+月考期中期末仿真卷）

第22章二次函数重点难点题型专项训练 重点一 二次函数的定义及解析式 1．（2024秋•肇源县月考）下列函数关系式中，二次函数的个数有（　　） （1）y＝3（x﹣1）2+1；（2）；（3）S＝3﹣2t2；（4）y＝x4+2x2﹣1；（5）y＝3x（2﹣x）+3x2；（6）y＝mx2+8． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：（1）y＝3（x﹣1）2+1是二次函数，故符合题意； （2），不是二次函数，故不符合题意； （3）S＝3﹣2t2是二次函数，故符合题意； （4）y＝x4+2x2﹣1不是二次函数，故不符合题意； （5）y＝3x（2﹣x）+3x2＝6x不是二次函数，故不符合题意； （6）y＝mx2+8，不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意； 综上所述，二次函数有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数． 2．（2024秋•曲阜市期中）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝2x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得新的抛物线对应的函数解析式为（　　） A．y＝2（x﹣3）2+1 B．y＝2（x+3）2+1 C．y＝2（x﹣3）2﹣1 D．y＝2（x+3）2﹣1 【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：根据平移法则和已知条件可得平移后的解析式为：y＝2（x+3）2﹣1． 故选：D． 【点睛】此题主要考查二次函数图象与几何变换，正解掌握平移规律是解题的关键． 3．按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y＝a（x﹣h）2经过点（﹣3，2），（﹣1，0），求该抛物线的解析式； （2）形状与y＝﹣2（x+3）2的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线解析式； （3）已知二次函数图象的顶点在x轴上，且图象经过点（2，﹣2）与（﹣1，﹣8），求此函数解析式． 【分析】（1）把两已知点的坐标代入y＝a（x﹣h）2得到关于a和h的方程组，然后解方程组求出a和h的值即可； （2）设顶点式y＝a（x﹣1）2，然后根据二次函数的性质确定a的值； （3）由于二次函数图象的顶点在x轴上，则可设顶点式y＝a（x﹣h）2，然后把两已知点的坐标代入得到关于a和h的方程组，然后解方程组求出a和h的值即可． 【详解】解：（1）根据题意得， 解得． 所以抛物线y（x+1）2； （2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2， 因为抛物线y＝a（x﹣1）2与y＝﹣2（x+3）2的图象形状相同，但开口方向不同， 所以a＝2， 所以所求抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2； （3）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2， 把（2，﹣2）与（﹣1，﹣8）代入得， 解得或． 所以抛物线的解析式为y（x﹣5）2或y＝﹣2（x﹣1）2． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 4．（2024秋•乌鲁木齐月考）已知一个二次函数的图象经过A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的对称轴和顶点P的坐标； （3）△ABP的面积为 　27　 ． 【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C（0，﹣8）代入可求得a＝1，将a的值代入可求得抛物线的解析式； （2）把解析式化成顶点式，即可求得对称轴和顶点坐标； （3）根据三角形面积公式求得即可． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），点C（0．﹣8）在抛物线上， ∴﹣8＝﹣8a． 解得：a＝1， ∴y＝x2﹣2x﹣8； （2）∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣9）； （3）． 故答案为：27． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 5．（2024秋•虹口区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（﹣1，16），C（0，10）三点． （1）求该函数解析式； （2）用配方法将该函数解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式． 【分析】（1）直接把A（1，0）、B（﹣1，16），C（0，10）代入y＝ax2+bx+c可得关于a、b、c的方程组，解可得a、b、c的值，进而可得函数解析式； （2）利用配方法将该函数解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式即可． 【详解】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（﹣1，16），C（0，10）三点， ∴， 解得， ∴该函数解析式为y＝﹣2x2﹣8x+10； （2）y＝﹣2x2﹣8x+10＝﹣2（x2+4x）+10＝﹣2（x2+4x+4﹣4）+10＝﹣2（x+2）2+18． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． 重点二 二次函数的图象和性质 6．（2023•汝南县一模）下列关于二次函数y＝﹣3x2+3x+6的图象和性质的叙述中，正确的是（　　） A．点（﹣1，4）在函数图象上 B．开口方向向上 C．对称轴是直线x＝1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小 【分析】将x＝﹣1代入解析式，得出（﹣1，0）在函数图象上，即可判断A选项，根据a＝﹣3＜0，可得抛物线开口向下，即可判断B选项，根据对称轴公式可得抛物线的对称轴为，即可判断C，D选项． 【详解】解：A．当x＝﹣1时，y＝﹣3﹣3+6＝0，则点（﹣1，0）不在函数图象上，故该选项不正确，不符合题意； B．∵a＝﹣3＜0，∴抛物线开口方向向下，故该选项不正确，不符合题意； C．∵y＝﹣3x2+3x+6的对称轴是直线，故该选项不正确，不符合题意； D．∵抛物线对称轴为直线，开口向下，则当x＞1时，y随x的增大而减小，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．（2024秋•肇源县期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+n与y＝mx2﹣nx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用一次函数的性质判定m、n的符号，进一步判定二次函数的开口方向和对称轴的位置进行判断． 【详解】解：若函数y＝mx+n经过一二三象限，m＞0，n＞0，则二次函数y＝mx2﹣nx的图象开口向上，对称轴x0，在y轴的右侧； 若函数y＝mx+n经过一二四象限，m＜0，n＞0，则二次函数y＝mx2﹣nx的图象开口向下，对称轴x0，在y轴的左侧； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．（2024秋•肇源县月考）在二次函数：①y＝2x2；②；③中，图象开口大小顺序用序号表示为　②＞③＞①　 ． 【分析】根据二次函数的性质可得，a的绝对值越大，开口越小，求解即可． 【详解】解：由题意知a1＝2，，， ∵|a1|＝2，，，即|a1|＞|a3|＞|a2|， ∴②＞③＞①． 故答案为：②＞③＞①． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象开口大小的影响因素是解题关键． 9．（2023秋•任城区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中自变量x和函数值y的部分对应值如表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 2 ﹣1 ﹣2 ﹣1 2 7 14 … （1）请直接写出抛物线的顶点坐标 　（1，﹣2）　 ； （2）请直接写出该抛物线的解析式 　y＝x2﹣2x﹣1　 ； （3）当y＞﹣1时，x的取值范围是 　x＜0或x＞2　 ； （4）当﹣2＜x＜2时，y的取值范围是 　﹣2≤y＜7　 ． 【分析】（1）根据抛物线的对称性，观察自变量和函数值y的部分对应值即可确定抛物线的顶点坐标 （2）利用待定系数法即可求出该抛物线的解析式； （3）根据抛物线的性质，结合表格数据，可写出当y＞﹣1时，x的取值范围； （4）求出 x＝﹣2和x＝2时，y的对应值，结合抛物线的性质即可写出y的取值范围． 【详解】解：（1）根据抛物线的对称性，顶点坐标为（1，﹣2）． （2）将x＝0，y＝﹣1，x＝1，y＝﹣2，x＝﹣1，y＝2代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得： ， 解得：， 故抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣1； （3）由y＝x2﹣2x﹣1知，抛物线开口向上，对称轴为x＝1，在对称轴的左侧y随着x的增大而减小，在对称轴的右侧y随着x的增大而增大， ∴由表格信息可知：当y＞﹣1时，x＜0或x＞2， 故答案为：x＜0或x＞2； （4）当x＝﹣2时，y＝x2﹣2x﹣1＝7， 当x＝2时，y＝﹣1， 又∵当x＝1，y的最小值为﹣2， ∴y的取值范围为：﹣2≤y＜7． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，从自变量x和函数值y的部分对应值中获取有用信息即可解题． 10．（2024秋•思明区校级期中）在平面直角坐标系中，设二次函数（m是实数）． （1）当m＝2时，若点A（8，n）在该函数图象上，求n的值． （2）小明说二次函数图象的顶点在直线上，你认为他的说法对吗？为什么？ （3）已知点P（a+1，c），Q（4m﹣5+a，c）都在该二次函数图象上，是否存在m，使得c存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把点A（8，n）代入解析式即可求得； （2）根据题意得出顶点是（2m，3﹣m），代入yx+3，即可判断小明说法正确； （3）由点P（a+1，c），Q（4m﹣5+a，c）的纵坐标相同，即可求得对称轴是直线，即可得出a+2m﹣2＝2m，求得a＝2，得到P（3，c），代入解析式即可得到 ．据此可做出判断． 【详解】解：（1）当m＝2时，， ∵A（8，n）在函数图象上， ∴n（8﹣4）2+1＝﹣7； （2）小明说法正确； 由题意得，顶点是（2m，3﹣m）， 当x＝2m时，， ∴顶点（2m，3﹣m）在直线上． 故小明说法正确； （3）∵P（a+1，c），Q（4m﹣5+a，c）都在二次函数的图象上， ∴对称轴是直线， ∴a+2m﹣2＝2m， ∴a＝2， ∴P（3，c）， ∴． ∴m时，c有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 11．（2023•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，0），（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上． （1）若y1＝y2，求y3的值； （2）若y3＜y1＜y2，求y3的取值范围． 【分析】（1）根据二次函数的图象与性质可知该抛物线对称轴为y轴，进而可知（﹣2，0），（2，y3）关于y轴对称，即可获得答案； （2）把（﹣2，0）代入y＝x2+bx+c，易得c＝2b+4，再将（2，y3）代入y＝﹣x2+bx+c，可得y3＝﹣4+2b+c＝4b；由题意可知抛物线开口向下且经过点（﹣2，0），对称轴为y轴，结合y2＞y1，y1＞y3可求得0＜b＜1，即可获答案． 【详解】解：（1）∵y1＝y2， ∴抛物线对称轴为y轴， ∵（﹣2，0），（2，y3）关于y轴对称， ∴y3＝0； （2）把（﹣2，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得0＝4﹣2b+c， ∴c＝2b+4， 把（2，y3）代入y＝﹣x2+bx+c，得y3＝﹣4+2b+c＝4b， 由题意可知抛物线开口向下且经过点（﹣2，0）， ∵y2＞y1， ∴， ∴b＞0， ∵y1＞y3， ∴， ∴b＜1， 综上所述，0＜b＜1， ∴0＜4b＜4， 即0＜y3＜4． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的图象与性质，熟练掌握相关知识并利用数形结合的思想分析问题是解题关键． 重点三 二次函数与一元二次方程、不等式的综合 12．（2023•徐汇区模拟）如果二次函数y＝x2+2x﹣m+2图象的顶点在x轴上，那么m的值是 　1　 ． 【分析】因为抛物线顶点在x轴上，故函数图象与x轴只有一个交点，根据Δ＝0，即可求出m的值． 【详解】解：∵抛物线y＝x2+2x﹣m+2的顶点在x轴上， ∴Δ＝22﹣4×（﹣m+2）＝0，即﹣4+4m＝0， 解得m＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题考查了二次函数图象与y轴交点个数与根的判别式的关系，要明确：Δ＞0时，图象与x轴有两个交点；Δ＝0，图象与x轴有一个交点；Δ＜0，图象与x轴无交点． 13．（2024秋•广汉市期中）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为（　　） A．x1＝3，x2＝﹣2 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝﹣3，x2＝3 D．x1＝3，x2＝1 【分析】由图知，抛物线与x轴交于（3，0），代入y＝x2﹣2x+m求出m的值，再解方程﹣x2﹣2x+m＝0即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点（3，0）， 将（3，0）代入y＝x2﹣2x+m，得0＝9﹣6+m， ∴m＝﹣3， ∴原方程为﹣x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题的关键． 14．（2024秋•朔州月考）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题． （1）求方程ax2＝﹣bx﹣c的解； （2）如果方程ax2+bx+c+m＝0无实数根，求m的取值范围． 【分析】（1）根据函数图象与x轴的交点坐标即可求解； （2）根据函数图象即可求解． 【详解】解：（1）观察函数图象可知，图象与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），与y轴的交点坐标为（0，6）， 将方程ax2＝﹣bx﹣c变形为ax2+bx+c＝0， 由图象可知方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1， ∴方程ax2＝﹣bx﹣c的解为x1＝﹣3，x2＝1； （2）若方程ax2+bx+c+m＝0无实数根， 则由图象可得﹣m＞8， ∴m＜﹣8． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，利用数形思想解答是解题的关键． 15．（2023秋•西城区校级月考）如图，已知过原点的抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0）． （1）求m的值和抛物线顶点M的坐标； （2）根据图象，直接写出不等式2x2+mx＞2x﹣4的解集． 【分析】（1）将点A（2，0）代入抛物线解析式即可求解； （2）观察图象可得出答案． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝2x2+mx过点A（2，0）， ∴2×22+2m＝0， 解得m＝﹣4， ∴y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2， ∴抛物线顶点M的坐标是（1，﹣2）． （2）直线y＝2x﹣4过点M，由图象可得不等式2x2+mx＞2x﹣4的解集为x＜1或x＞2． 【点睛】本题考查二次函数与不等式（组），二次函数和一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数和二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键． 难点一 二次函数的图象与字母系数的关系 16．（2022秋•新抚区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论： ①abc＜0； ②b2＞4ac； ③4a﹣2b+c＞0； ④3a+c＞0； ⑤b2﹣4a2＞2ac．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，可得a＞0，c＜0，再由对称轴是直线x＝﹣1，可得abc＜0，故①正确；再根据抛物线与x轴有2个交点，可得b2＞4ac，故②正确；观察图象得：当x＝﹣2时，y＜0，可得4a﹣2b+c＜0，故③错误；观察图象得：当x＝1时，y＞0，再由b＝2a，可得a+b+c＞0，故④正确；再由b2﹣4a2＝（b+2a）（b﹣2a）＝0，可得⑤正确，即可求解． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴a＞0，c＜0， ∵对称轴是直线x＝﹣1， ∴，即b＝2a＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，故②正确； 观察图象得：当x＝﹣2时，y＜0， 即4a﹣2b+c＜0，故③错误； 观察图象得：当x＝1时，y＞0， ∵b＝2a， ∴a+b+c＝3a+c＞0，故④正确； ∵b＝2a， ∴b﹣2a＝0， ∴b2﹣4a2＝（b+2a）（b﹣2a）＝0， ∵a＞0，c＜0， ∴2ac＜0， ∴b2﹣4a2＞2ac，故⑤正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 17．（2025•依安县校级二模）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc＞0；②c﹣a＝n；③b2＝4a（c﹣n）；④当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴以及与y轴的交点即可判断①；由x等于1时，y等于n，再利用对称轴公式即可判断②；根据已知条件得到方程ax2+bx+c＝n有两个相等的实数根，得到b2＝4a（c﹣n）即可判断③；根据抛物线的平移即可判断④；根据一元二次方程的判别式即可判断⑤． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴为x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①错误； ②当x＝1时，y＝n， ∴a+b+c＝n， ∵b＝﹣2a， ∴﹣a+c＝n，故②正确； ∵抛物线顶点坐标为（1，n）， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝n有唯一一个交点， 即方程ax2+bx+c＝n有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0， ∴b2＝4a（c﹣n），故③正确； ④∵ax2+（b+2）x＜0，即ax2+bx＜﹣2x， 根据图象可知：把抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象向下平移c个单位后图象过原点， 即可得抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的图象， ∴当x＜0时，ax2+bx＜﹣2x， 即ax2+（b+2）x＜0．故④正确； ⑤一元二次方程， ∴Δ＝（b）2﹣4ac， ∵a＜0，c＞0， ∴﹣4ac＞0， ∴Δ＝（b）2﹣4ac＞0， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根．故⑤正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是综合运用以上知识． 难点二 最值问题 18．（2023•泸县校级三模）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+a2+1，当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，且2≤x≤3时，y的最大值为10，则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C． D．±3 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由2≤x≤3时，y的最大值为10，可得x＝2时，y＝10，即可求出a． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+a2+1， ∴对称轴是直线x1， ∵当x≤﹣1时，y随x的增大而增大， ∴a＜0， ∵2≤x≤3时，y的最大值为10， ∴x＝2时，y＝4a﹣4a+a2+1＝10， ∴a＝﹣3或a＝3（不合题意舍去）． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解决此题的关键． 19．（2024秋•姑苏区校级月考）二次函数y＝ax2+6x+a的最小值是8，则a＝　9　 ． 【分析】根据题意：二次函数y＝ax2+6x+a的最小值是3，则判断二次函数的系数大于0，再根据公式y最小值列出关于a的一元二次方程，解得a的值即可． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2+6x+a的最小值是3， ∴a＞0， y最小值8， 整理，得a2﹣8a﹣9＝0， 解得a＝9或﹣1， ∵a＞0， ∴a＝9． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查二次函数的最值问题，熟知求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好是解题的关键． 20．（2024•雁塔区校级二模）点P（t，n）在以直线x＝1为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，则t﹣n的最大值等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的对称轴为直线x＝1，可得出a＝﹣2，将P（t，n）代入二次函数解析式中，可得出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵二次函数y＝x2+ax+4的对称轴为直线x＝1， ∴， ∴a＝﹣2， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+4， ∵点P（t，n）在二次函数y＝x2﹣2x+4的图象上， ∴n＝t2﹣2t+4， ∴， ∴当时，t﹣n取得最大值，最大值为， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键． 21．（2024秋•兴宁区校级期中）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对任意的0≤a＜b≤8，称W为a到b时y的值的“极差”（即a≤x≤b时y的最大值与最小值的差），L为a到b时x的值的“极宽”（即b与a的差值），则当L＝6时，W的取值范围是 　W　 ． 【分析】根据抛物线的一般式可得出对称轴和顶点坐标，然后根据L＝6，得出b＝a+6，即可得出0≤a＜a+6≤8，推出0≤a≤2和6≤a+6≤8，然后即可求出当a≤x≤a+6时y的最大值和最小值，然后根据0≤a≤2求出W的最大值和最小值即可求出范围． 【详解】解：根据题意可得：（x﹣3）2， ∴抛物线的对称轴x＝3，顶点坐标为（3，）， ∵L＝6，即b与a的差值为6， ∴b＝a+6， ∵0≤a＜b≤8，即0≤a＜a+6≤8， ∴0≤a≤2，则6≤a+6≤8， ∴当a≤x≤3时，y随x增大而增大，当3＜x≤a+6时，y随x的增大而减小， ∴当x＝3时，y有最大值，最大值为， 当x＝a+6时，y有最小值，最小值为（a+3）2， ∴W[（a+3）2]（a+3）2， 则对称轴a＝﹣3， ∴当0≤a≤2时，W随a的增大而增大， ∴当a＝0时，W有最小值，最小值为， 当a＝2时，W有最大值，最大值为， 综上所述：W； 故答案为：W． 【点睛】本题考查的主要是二次函数的最值，解题关键：一是求出a的取值范围，二是根据范围求出y的最大值和最小值． 22．（2022•宁波模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣2（a＜0）与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴． （2）当﹣1≤x≤4时，y的最大值是2．求当﹣1≤x≤4时，y的最小值． 【分析】（1）将x＝0代入解析式求点A坐标，由抛物线对称轴为直线x可得抛物线的对称轴． （2）由a＜0可得x＝2时y取最大值，从而可得a的值，进而求解． 【详解】解：（1）将x＝0代入y＝ax2﹣4ax﹣2得y＝﹣2， ∴点A坐标为（0，﹣2）， ∵y＝ax2﹣4ax﹣2， ∴抛物线对称轴为直线x2． （2）∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为直线x＝2， ∴当﹣1≤x≤4时，x＝2时y取最大值2， 将x＝2代入y＝ax2﹣4ax﹣2得y＝﹣4a﹣2＝2， 解得a＝﹣1， ∴y＝ax2﹣4ax﹣2＝﹣x2+4x﹣2， 将x＝﹣1代入y＝﹣x2+4x﹣2得y＝﹣1﹣4﹣2＝﹣7， ∴y的最小值为﹣7． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 23．（2024秋•北京期中）已知二次函数y＝x2+2bx﹣c（b、c为常数）． （1）当b＝1，c＝2时，求函数的最小值； （2）当4b+c＝0时，函数的最小值为﹣12，求二次函数的解析式． 【分析】（1）根据题意得到解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）根据4b+c＝0得出c＝﹣b，然后根据抛物线开口向上，最小值为﹣12得出关于b的方程，解方程求出b的值即可． 【详解】解：（1）当b＝1，c＝2时，二次函数解析式为y＝x2+2x﹣2＝（x+1）2﹣3， ∵1＞0， ∴当x＝﹣1时，函数有最小值，最小值为﹣3； （2）∵4b+c＝0， ∴c＝﹣4b， ∴二次函数解析式为y＝x2+2bx+4b＝（x+b）2+4b﹣b2， ∵1＞0， ∴当x＝﹣b时，y有最小值，最小值为4b﹣b2， ∵函数的最小值为﹣12， ∴4b﹣b2＝﹣12， 解得b1＝6，b2＝﹣2， ∴抛物线解析式为y＝x2+12x+24或y＝x2﹣4x﹣8． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，二次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章二次函数重点难点题型专项训练 重点一 二次函数的定义及解析式 1．（2024秋•肇源县月考）下列函数关系式中，二次函数的个数有（　　） （1）y＝3（x﹣1）2+1；（2）；（3）S＝3﹣2t2；（4）y＝x4+2x2﹣1；（5）y＝3x（2﹣x）+3x2；（6）y＝mx2+8． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024秋•曲阜市期中）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝2x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得新的抛物线对应的函数解析式为（　　） A．y＝2（x﹣3）2+1 B．y＝2（x+3）2+1 C．y＝2（x﹣3）2﹣1 D．y＝2（x+3）2﹣1 3．按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y＝a（x﹣h）2经过点（﹣3，2），（﹣1，0），求该抛物线的解析式； （2）形状与y＝﹣2（x+3）2的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线解析式； （3）已知二次函数图象的顶点在x轴上，且图象经过点（2，﹣2）与（﹣1，﹣8），求此函数解析式． 4．（2024秋•乌鲁木齐月考）已知一个二次函数的图象经过A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的对称轴和顶点P的坐标； （3）△ABP的面积为 　 ． 5．（2024秋•虹口区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（﹣1，16），C（0，10）三点． （1）求该函数解析式； （2）用配方法将该函数解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式． 重点二 二次函数的图象和性质 6．（2023•汝南县一模）下列关于二次函数y＝﹣3x2+3x+6的图象和性质的叙述中，正确的是（　　） A．点（﹣1，4）在函数图象上 B．开口方向向上 C．对称轴是直线x＝1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小 7．（2024秋•肇源县期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+n与y＝mx2﹣nx的图象可能是（　　） A．B． C． D． 8．（2024秋•肇源县月考）在二次函数：①y＝2x2；②；③中，图象开口大小顺序用序号表示为　 　 ． 9．（2023秋•任城区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中自变量x和函数值y的部分对应值如表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 2 ﹣1 ﹣2 ﹣1 2 7 14 … （1）请直接写出抛物线的顶点坐标 　 　 ； （2）请直接写出该抛物线的解析式 　 ； （3）当y＞﹣1时，x的取值范围是 　 　 ； （4）当﹣2＜x＜2时，y的取值范围是 　 　 ． 10．（2024秋•思明区校级期中）在平面直角坐标系中，设二次函数（m是实数）． （1）当m＝2时，若点A（8，n）在该函数图象上，求n的值． （2）小明说二次函数图象的顶点在直线上，你认为他的说法对吗？为什么？ （3）已知点P（a+1，c），Q（4m﹣5+a，c）都在该二次函数图象上，是否存在m，使得c存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 11．（2023•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，0），（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上． （1）若y1＝y2，求y3的值； （2）若y3＜y1＜y2，求y3的取值范围． 重点三 二次函数与一元二次方程、不等式的综合 12．（2023•徐汇区模拟）如果二次函数y＝x2+2x﹣m+2图象的顶点在x轴上，那么m的值是 　 　 ． 13．（2024秋•广汉市期中）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为（　　） A．x1＝3，x2＝﹣2 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝﹣3，x2＝3 D．x1＝3，x2＝1 14．（2024秋•朔州月考）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题． （1）求方程ax2＝﹣bx﹣c的解； （2）如果方程ax2+bx+c+m＝0无实数根，求m的取值范围． 15．（2023秋•西城区校级月考）如图，已知过原点的抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0）． （1）求m的值和抛物线顶点M的坐标； （2）根据图象，直接写出不等式2x2+mx＞2x﹣4的解集． 难点一 二次函数的图象与字母系数的关系 16．（2022秋•新抚区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论： ①abc＜0；②b2＞4ac；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤b2﹣4a2＞2ac．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 17．（2025•依安县校级二模）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc＞0；②c﹣a＝n；③b2＝4a（c﹣n）；④当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 难点二 最值问题 18．（2023•泸县校级三模）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+a2+1，当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，且2≤x≤3时，y的最大值为10，则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C． D．±3 19．（2024秋•姑苏区校级月考）二次函数y＝ax2+6x+a的最小值是8，则a＝　 　 ． 20．（2024•雁塔区校级二模）点P（t，n）在以直线x＝1为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，则t﹣n的最大值等于（　　） A． B． C． D． 21．（2024秋•兴宁区校级期中）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对任意的0≤a＜b≤8，称W为a到b时y的值的“极差”（即a≤x≤b时y的最大值与最小值的差），L为a到b时x的值的“极宽”（即b与a的差值），则当L＝6时，W的取值范围是 　 ． 22．（2022•宁波模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣2（a＜0）与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴． （2）当﹣1≤x≤4时，y的最大值是2．求当﹣1≤x≤4时，y的最小值． 23．（2024秋•北京期中）已知二次函数y＝x2+2bx﹣c（b、c为常数）． （1）当b＝1，c＝2时，求函数的最小值； （2）当4b+c＝0时，函数的最小值为﹣12，求二次函数的解析式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$