第22章二次函数 提优验收卷-2025-2026学年人教版数学九年级上册（章节基础过关卷+单元提优验收卷+重难点易错题突破卷+月考期中期末仿真卷）

第22章二次函数提优验收卷 （时间：90分钟 满分：120分） 1． 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．（2024秋•凉州区期中）下列关于x的函数一定为二次函数的是（　　） A．y＝4x B．y＝5x2﹣3x C．y＝ax2+bx+c D．y＝x3﹣2x+1 2．（2025•杞县三模）已知抛物线y＝ax2+4ax（a＜0）经过点A（m，y1），B（m+1，y2），若0＜y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A． B． C．﹣4＜m≤﹣3 D．﹣3＜m＜﹣2 3．（2024秋•巩义市期末）将抛物线y＝x2﹣2x向上平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（　　） A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x+1）2+1 C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x﹣1）2+2 4．（2022秋•罗庄区期中）如图，使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　） A．18° B．28° C．37° D．58° 5．（2024秋•淮南月考）李同学在探究函数y＝﹣|﹣x2+x+5|的性质时，作出了如图所示的图象，请根据图象判断，当方程﹣|﹣x2+x+5|＝k有两个实数根时，常数k满足的条件是（　　） A．k＝0 B．或k＜0 C． D．或k＝0 6．（2024•郾城区校级模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，点M，N，P，Q在x轴上，若满足以下条件：①函数图象与x轴负半轴相交；②当x＜0，y随x的增大而减小，则坐标系的原点O可能是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 7．（2024秋•鼓楼区期末）已知二次函数的图象经过点（﹣1，0），（1，0），（2，m）且存在最高点．请在下列选项中选出一个m的值，使其所对应的函数图象最高点的纵坐标最小．（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 8．（2025•高新区校级三模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数，a≠0）的图象经过点（t﹣2，y1），（t，y2），则下列判断正确的是（　　） A．若a＜0，t＞2，则y1＜y2 B．若a＜0，t＜2，则y1＞y2 C．若a＞0，t＞2，则y1＜y2 D．若a＞0，t＜2，则y1＜y2 9．（2025•龙凤区二模）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．mn＝1 D． 10．（2024秋•姑苏区校级期中）在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线C1：y＝﹣（x+1）2+2平移到抛物线C2：y＝﹣（x﹣2）2﹣1，点P（m，n1），Q（m，n2）分别在抛物线C1，C2上． 甲：无论m取何值，都有n2＜0； 乙：若点P平移后的对应点为P′，则点P移动到点P′的最短路程为； 丙：当﹣3＜m＜1时，随着m的增大，线段PQ先变长后变短． 下列判断正确的是（　　） A．只有丙说得错 B．只有乙说得错 C．只有甲说得对 D．甲、乙、丙说得都对 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（2024秋•武威月考）点是抛物线y＝4x2上的一点，则b＝　 　 ． 12．（2024秋•蒙阴县期中）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是 　 　 ． 13．（2024秋•鹿城区校级月考）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共y万元，如果平均每月增长率为x，则营业额y与月平均增长率x之间的函数关系式为 　 ． 14．（2023•凤凰县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2经过平移得到抛物线y＝﹣x2﹣4x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 　 　 ． 15．（2024秋•津南区校级期中）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，以下4个结论：①abc＜0；②（a+c）2＜b2；③a+b＜m（am+b），其中m≠1；④4a+2b+c＞0．其中正确结论的有 　 　 ．（写序号） 16．（2023•宣恩期中）二次函数y＝x2的函数图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，A4，…都在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，B4，…都在二次函数y＝x2位于第一象限的图象上，且△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，△A0B1A1…都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则△A10B11A11的斜边长为 　 ． 三．解答题（本大题共6小题，共66分） 17．（8分）（2022秋•如皋市期中）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2m+3（m为常数）． （1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； （2）若A（m+2，y1），B（m﹣1，y2）两点在此抛物线上，比较y1与y2的大小； （3）已知点P（a﹣5，c），Q（2m+3+a，c）都在该抛物线上，求证：c≥10． 18．（10分）（2024秋•城中区校级月考）已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1）． （1）求a，k的值； （2）求△OAB的面积； （3）P是第四象限直线AB上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，当PM＝2时，求P的坐标． 19．（10分）（2025•鲁山县一模）如图，一小球（看作一个点）从斜坡OA上的点O处抛出，球的抛出路线可以用抛物线yx2+bx刻画，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡OA可以用直线yx刻画，若小球到达的最高点M的坐标为（4，m），解答下列问题： （1）求b和m的值． （2）小球落点为A，求点A的坐标． （3）在斜坡OA上的点B处有一棵树（树高看成线段且垂直于x轴），点B的横坐标为6，树高为2，小球能否飞过这棵树？请通过计算说明理由． 20．（12分）（2021•鹿城区校级一模）已知抛物线l：y＝﹣x2+bx经过点（4，0），点A，点B均在抛物线上，且AB∥x轴． （1）求b的值和抛物线的顶点坐标． （2）在第一象限内作一个矩形ABCD，点C，D落在x轴上．将抛物线l平移，使抛物线顶点落在矩形ABCD内部（包括顶点），新抛物线与y轴交点为（0，c），若AB＝2，请求出c的取值范围． 21．（12分）（2025•郑州二模）在河南中招体育考试中，洛阳某考点的乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2所示，分别建立平面直角坐标系xOy．小明通过测量得到球距离台面的高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据，发现在“直发式”模式下球的运动轨迹的函数表达式为y＝﹣0.01（x﹣4）2+3；在“间发式”模式下，球第一次接触台面的运动轨迹的函数表达式为y＝﹣0.42x+n，第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹的函数表达式为y＝﹣0.05（x﹣16）2+3.2． （1）求“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度． （2）设“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2，要使d1＝d2，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应上下调整多少？ 22．（14分）（2024•莲都区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）． （1）当a＝2时， ①若该函数图象的对称轴为直线x＝1，且过点（0，3），求该函数的表达式； ②若方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，求证：2b+8c≥﹣1； （2）若a，已知点M（2，2），点N（4，2）在平面直角坐标系中，当二次函数y＝ax2+bx+c的图象与线段MN有交点时，求a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章二次函数提优验收卷 （时间：90分钟 满分：120分） 1． 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．（2024秋•凉州区期中）下列关于x的函数一定为二次函数的是（　　） A．y＝4x B．y＝5x2﹣3x C．y＝ax2+bx+c D．y＝x3﹣2x+1 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可． 【详解】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意； B、是二次函数，故此选项符合题意； C、当a＝0时不是二次函数，故此选项不符合题意； D、不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2．（2025•杞县三模）已知抛物线y＝ax2+4ax（a＜0）经过点A（m，y1），B（m+1，y2），若0＜y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A． B． C．﹣4＜m≤﹣3 D．﹣3＜m＜﹣2 【分析】利用二次函数的性质可得抛物线y＝ax2+4ax（a＜0）开口向下，对称轴为x＝﹣2，令y＝0，求出抛物线与x轴的交点为（﹣4，0）和（0，0），再由抛物线经过点A（m，y1），B（m+1，y2），且0＜y1＜y2，结合二次函数的图象即可求解． 【详解】解：将抛物线解析式配方得y＝ax2+4ax＝a（x+2）2﹣4a（a＜0）， ∴抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2， 令ax2+4ax＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝0， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣4，0）和（0，0）， 由条件可知， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 3．（2024秋•巩义市期末）将抛物线y＝x2﹣2x向上平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（　　） A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x+1）2+1 C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x﹣1）2+2 【分析】根据上加下减先得到解析式，再化为顶点式即可得到答案； 【详解】解：∵y＝x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线y＝x2﹣2x向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣1+2，即y＝（x﹣1）2+1， 故选：C． 【点睛】本题考查函数的图象与几何变换．二次函数的三种形式，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 4．（2022秋•罗庄区期中）如图，使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　） A．18° B．28° C．37° D．58° 【分析】根据已知的三个点可以大致画出函数图象，并判断对称轴的位置在36和54之间即可选择答案． 【详解】解：根据题意可知抛物线的开口向上，由已知的三个点描点、连线得到函数的大致图象， 由图知抛物线的对称轴的位置在36和54之间，比36 稍大，大约37． 因此可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为37°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性，判断对称轴的位置是解题的关键． 5．（2024秋•淮南月考）李同学在探究函数y＝﹣|﹣x2+x+5|的性质时，作出了如图所示的图象，请根据图象判断，当方程﹣|﹣x2+x+5|＝k有两个实数根时，常数k满足的条件是（　　） A．k＝0 B．或k＜0 C． D．或k＝0 【分析】先求得顶点坐标，然后结合图象即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴顶点坐标为， 当﹣|﹣x2+x+5|＝k有两个实数根时， ∴或k＝0， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（2024•郾城区校级模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，点M，N，P，Q在x轴上，若满足以下条件：①函数图象与x轴负半轴相交；②当x＜0，y随x的增大而减小，则坐标系的原点O可能是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【分析】由条件①可确定y轴在抛物线与x轴的两个交点之间，由条件②可确定y轴在顶点左侧，进而求解． 【详解】解：∵函数图象与x轴负半轴相交， ∴y轴在抛物线与x轴的两个交点之间， ∴点N，P可能是原点， ∵当x＜0时，y随x的增大而减小， ∴y轴在抛物线顶点左侧， ∴点N可能是原点． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 7．（2024秋•鼓楼区期末）已知二次函数的图象经过点（﹣1，0），（1，0），（2，m）且存在最高点．请在下列选项中选出一个m的值，使其所对应的函数图象最高点的纵坐标最小．（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】由题意可知二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，m＜0，故可设设y＝a（x﹣1）（x+1），代入（2，m）得出a，即可得到顶点的纵坐标为y，根据y与m的关系式即可断． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点（﹣1，0），（1，0），（2，m）且存在最高点， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，m＜0， ∴设y＝a（x﹣1）（x+1）， 代入（2，m）得，m＝3a， ∴a， ∴y（x﹣1）（x+1）， ∴顶点的纵坐标为y， ∵0， ∴纵坐标y随m的增大而减小， ∵m＜0， ∴在四个选项中，m＝﹣1时，纵坐标的值最小， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数 的最值，二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意得出y与m的关系式是解题的关键． 8．（2025•高新区校级三模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数，a≠0）的图象经过点（t﹣2，y1），（t，y2），则下列判断正确的是（　　） A．若a＜0，t＞2，则y1＜y2 B．若a＜0，t＜2，则y1＞y2 C．若a＞0，t＞2，则y1＜y2 D．若a＞0，t＜2，则y1＜y2 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【详解】解：y＝ax2﹣2ax+c＝a（x2﹣2x）+c＝a（x﹣1）2+（c﹣a），抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点坐标（1，c﹣a）， ∴y1＝a（t﹣3）2+（c﹣a），y2＝a（t﹣1）2+（c﹣a）， ∴y2﹣y1＝4a（t﹣2）， A、若a＜0，t＞2时，y2＜y1，原说法错误，不符合题意， B、若a＜0，t＜2，2a（t﹣4）＞0，y1＜y2，原说法错误，不符合题意， C、若a＞0，t＞2，则y1＜y2，原说法正确，符合题意， D、若a＞0，t＜2，y2﹣y1＜0，即y2＜y1，原说法错误，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 9．（2025•龙凤区二模）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．mn＝1 D． 【分析】过点A作AM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N，利用二次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，C的坐标，易证△ADM≌△DCN（AAS），利用全等三角形的性质，可得出DN＝AM＝m，DM＝CN＝n，由MN＝DN+DM结合点A，C的纵坐标，即可求出m﹣n＝1． 【详解】解：过点A作AM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N，如图所示． ∵点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，且A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0）， ∴点A的坐标为（m，﹣m2+4），点C的坐标为（n，﹣n2+4）， ∴AM＝m，CN＝n． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝90°． ∵∠CDN+∠DCN＝90°，∠CDN+∠ADM＝180°﹣90°＝90°， ∴∠DCN＝∠ADM． 在△ADM和△DCN中， ， ∴△ADM≌△DCN（AAS）， ∴DN＝AM＝m，DM＝CN＝n， ∴MN＝DN+DM＝m+n＝（﹣n2+4）﹣（﹣m2+4）＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）， ∴m﹣n＝1． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、二次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，利用全等三角形的性质及各边之间的关系，找出m﹣n＝1是解题的关键． 10．（2024秋•姑苏区校级期中）在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线C1：y＝﹣（x+1）2+2平移到抛物线C2：y＝﹣（x﹣2）2﹣1，点P（m，n1），Q（m，n2）分别在抛物线C1，C2上． 甲：无论m取何值，都有n2＜0； 乙：若点P平移后的对应点为P′，则点P移动到点P′的最短路程为； 丙：当﹣3＜m＜1时，随着m的增大，线段PQ先变长后变短． 下列判断正确的是（　　） A．只有丙说得错 B．只有乙说得错 C．只有甲说得对 D．甲、乙、丙说得都对 【分析】求得抛物线C2的顶点即可判断甲说得对；由抛物线的解析式可知将抛物线C1：y＝﹣（x+1）2+2向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线C2：y＝﹣（x﹣2）2﹣1，即可求得点P移动到点P′的最短路程为3，即可判断乙说得对；由PQ＝|﹣（m+1）2+2+（m﹣2）2+1|＝|﹣6m+6|可知当﹣3＜m＜1时，PQ＝﹣6m+6，根据一次函数的性质即可判断丙说得对． 【详解】解：∵抛物线C2：y＝﹣（x﹣2）2﹣1开口向下，顶点为（2，﹣1）， ∴无论m取何值，都有n2＜0；故甲说得对； ∵将抛物线C1：y＝﹣（x+1）2+2的顶点为（﹣1，2），抛物线C2：y＝﹣（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1）， ∴将抛物线C1：y＝﹣（x+1）2+2向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线C2：y＝﹣（x﹣2）2﹣1， ∴点P移动到点P′的最短路程为3，故乙说得对； ∵PQ＝|﹣（m+1）2+2+（m﹣2）2+1|＝|﹣6m+6|， ∴当﹣3＜m＜1时，PQ＝﹣6m+6， ∴PQ随着m的增大而减小， ∴当﹣3＜m＜1时，随着m的增大，线段PQ由长变短，故丙说得不对． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（2024秋•武威月考）点是抛物线y＝4x2上的一点，则b＝　1　 ． 【分析】将点A的坐标代入函数表达式，即可求解． 【详解】解：点的坐标代入抛物线表达式得：． 故答案为：1． 【点睛】本题考查函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握函数图象上的点的坐标适合函数的解析式． 12．（2024秋•蒙阴县期中）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是 　﹣1＜x＜3　 ． 【分析】由二次函数的图象的对称性得抛物线与x轴的一个交点为（3，0），由x轴的上方的图象对应的函数值大于0，即可求解． 【详解】解：由添加可知：对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下， 抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）， ∴当﹣1＜x＜3时，y＞0； ∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜3， 故答案为：﹣1＜x＜3． 【点睛】本题考查了利用二次函数图象解不等式，会利用二次函数图象解不等式是解题的关键． 13．（2024秋•鹿城区校级月考）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共y万元，如果平均每月增长率为x，则营业额y与月平均增长率x之间的函数关系式为 　y＝200+200（1+x）+200（1+x）2　 ． 【分析】可先表示出二月份的营业额，那么二月份的营业额×（1+增长率）＝三月份的营业额，等量关系为：y＝一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：二月份的营业额为200×（1+x），三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加x为200×（1+x）×（1+x）， 则营业额y与月平均增长率x之间的函数关系式为：y＝200+200（1+x）+200（1+x）2． 故答案为：y＝200+200（1+x）+200（1+x）2． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出二次函数关系式，掌握求平均变化率的方法是解决问题的关键；注意本题的等量关系为3个月的营业额之和． 14．（2023•凤凰县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2经过平移得到抛物线y＝﹣x2﹣4x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 　8　 ． 【分析】确定出抛物线y＝﹣x2﹣4x的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于矩形的面积，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，∵y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4， ∴平移后抛物线的顶点坐标为（﹣2，4），对称轴为直线x＝﹣2， 当x＝﹣2时，y＝﹣x2＝﹣4， ∴平移后阴影部分的面积等于如图矩形的面积，2×4＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的矩形是解题的关键． 15．（2024秋•津南区校级期中）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，以下4个结论：①abc＜0；②（a+c）2＜b2；③a+b＜m（am+b），其中m≠1；④4a+2b+c＞0．其中正确结论的有 　①②④　 ．（写序号） 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，分别观察x＝2，x＝﹣1，x＝1时的函数值，进而对所得结论进行判断即可． 【详解】解：①根据图象可知：a＜0，c＞0， ∵对称轴在y轴右侧， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0， 当x＝1时，y＞0，即a+b+c＞0， ∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0， ∴（a+c）2＜b2， ∴所以②正确； ③当x＝1时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c，其中m≠1， ∴a+b+c＞am2+bm+c， ∴a+b＞am2+bm，也就是a+b＞m（am+b），故③错误． ④由对称知，当x＝2时的函数值与x＝0时的函数值相等，即y＝4a+2b+c＞0，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】此题主要考查了抛物线的图象与二次函数系数之间的关系，熟练掌握二次函数性质是关键． 16．（2023秋•宣恩县期中）二次函数y＝x2的函数图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，A4，…都在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，B4，…都在二次函数y＝x2位于第一象限的图象上，且△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，△A0B1A1…都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则△A10B11A11的斜边长为 　22　 ． 【分析】过点B1，B2，B3分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，E，分别写出直线A0B1、直线A1B2、直线A2B3的解析式，将它们分别与y＝x2联立，求得点B1，B2，B3的坐标，从而可得A0A1＝2，A1A2＝4，A2A3＝6，发现规律后，按照规律即可求得△A9B10A10的斜边长． 【详解】解：如图所示，过点B1，B2，B3分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，E， ∵△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3…△A9B10A10都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形， ∴∠B1A0A1＝∠B2A1A2＝∠B3A2A3＝45°， ∴A0B1所在直线的解析式为：y＝x， 由，得B1（1，1）， ∴A0A1＝2B1C＝2， ∴A1（0，2）， ∴直线A1B2为：y＝x+2， 由，得B2（2，4）， ∴A1A2＝2B2D＝4， ∴A2（0，6）， ∴直线A2B3为：y＝x+6， 由，得B3（3，9）， ∴A2A3＝2B3E＝6， …， 由上面A0A1＝2，A1A2＝4，A2A3＝6，可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜边长依次加2， ∴△A10B11A11的斜边长为2+10×2＝22， 故答案为：22． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数及等腰直角三角形等知识点的综合运用，同时也考查了解方程组，本题具有一定的综合性及难度． 三．解答题（本大题共6小题，共66分） 17．（8分）（2022秋•如皋市期中）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2m+3（m为常数）． （1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； （2）若A（m+2，y1），B（m﹣1，y2）两点在此抛物线上，比较y1与y2的大小； （3）已知点P（a﹣5，c），Q（2m+3+a，c）都在该抛物线上，求证：c≥10． 【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解． （2）由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据点A，B到对称轴的距离大小关系求解． （3）由点P，Q坐标可得抛物线对称轴，从而可得a的值，将点P坐标代入解析式并通过配方求解． 【详解】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣2m+3＝（x﹣m）2﹣2m+3， ∴抛物线顶点坐标为（m，﹣2m+3）． （2）∵y＝（x﹣m）2﹣2m+3， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m， ∵m﹣（m﹣1）＜m+2﹣m， ∴y1＞y2． （3）∵抛物线经过P（a﹣5，c），Q（2m+3+a，c）， ∴抛物线对称轴为直线xa+m﹣1， ∴m＝a+m﹣1， ∴a＝1，a﹣5＝﹣4， 将（﹣4，c）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2m+3得c＝16+8m+m2﹣2m+3＝（m+3）2+10， ∴c≥10． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 18．（10分）（2024秋•城中区校级月考）已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1）． （1）求a，k的值； （2）求△OAB的面积； （3）P是第四象限直线AB上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，当PM＝2时，求P的坐标． 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式即可求解； （2）由△OAB的面积OH×（xB﹣xA）2×（2+1）＝3，即可求解； （3）设点P（m，﹣m2），则点M（m，﹣m﹣2），则PM＝﹣m2﹣（﹣m﹣2）＝2，即可求解． 【详解】解：（1）∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1）， ∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1， ∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1）， ∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1； （2）由（1）知，抛物线和直线AB的表达式分别为：y＝﹣x2，y＝﹣x﹣2， 联立上述两个函数表达式得：﹣x2＝﹣x﹣2， 解得：x＝2， 则B的坐标为（2，﹣4）； 设直线AB交y轴于点H（0，﹣2）， 则△OAB的面积OH×（xB﹣xA）2×（2+1）＝3； （3）设点P（m，﹣m2），则点M（m，﹣m﹣2）， 则PM＝﹣m2﹣（﹣m﹣2）＝2， 解得：m＝0（舍去）或1， 即点P（1，﹣1）． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 19．（10分）（2025•鲁山县一模）如图，一小球（看作一个点）从斜坡OA上的点O处抛出，球的抛出路线可以用抛物线yx2+bx刻画，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡OA可以用直线yx刻画，若小球到达的最高点M的坐标为（4，m），解答下列问题： （1）求b和m的值． （2）小球落点为A，求点A的坐标． （3）在斜坡OA上的点B处有一棵树（树高看成线段且垂直于x轴），点B的横坐标为6，树高为2，小球能否飞过这棵树？请通过计算说明理由． 【分析】（1）依据题意，得 ，从而b＝4，可得抛物线的解析式为 ，又把x＝4代入解析式即可求出m的值； （2）依据题意，联立两解析式，即可求出交点A的坐标； （3）把x＝6分别代入 和 ，即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意，得 ， ∴b＝4． ∴抛物线的解析式为 ． ∴当x＝4时，． ∴b＝4，m＝8． （2）由题意，得， ∴解得或． ∴点A的坐标为 ． （3）由题意，当x＝6时，代入 ，得 y＝3； 当x＝6 时，代入 ，得 y＝6． ∵3+2＝5，且5＜6， ∴小球能飞过这棵树． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 20．（12分）（2021•鹿城区校级一模）已知抛物线l：y＝﹣x2+bx经过点（4，0），点A，点B均在抛物线上，且AB∥x轴． （1）求b的值和抛物线的顶点坐标． （2）在第一象限内作一个矩形ABCD，点C，D落在x轴上．将抛物线l平移，使抛物线顶点落在矩形ABCD内部（包括顶点），新抛物线与y轴交点为（0，c），若AB＝2，请求出c的取值范围． 【分析】（1）把点（4，0）代入y＝﹣x2+bx，利用待定系数法即可求得解析式，然后把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标； （2）根据题意求得A、B的坐标，即可求得D的坐标，根据A、D的坐标即可求得抛物线的解析式，令x＝0，与y轴的交点，求得c的值，根据图象即可求得符合题意的c的取值． 【详解】解：（1）∵抛物线l：y＝﹣x2+bx经过点（4，0）， ∴﹣16+4b＝0， ∴b＝4， ∴抛物线l为：y＝﹣x2+4x， ∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， ∴顶点坐标为（2，4）； （2）设A、B点的横坐标为x1，x2， ∵对称轴x＝2， ∴x1+x2＝4， ∵AB＝2， ∴x1﹣x2＝2， 由解得， 把x＝1代入y＝﹣x2+4x得y＝3， ∴A（3，3），B（1，3）， ∴D（3，0）， 当抛物线顶点移到点B时，y＝﹣（x﹣1）2+3， 令x＝0，则y＝2， ∴c＝2， 当抛物线顶点移到点D时，y＝﹣（x﹣3）2， 令x＝0，则y＝﹣9， ∴c＝﹣9， ∴﹣9≤c≤2． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得A、B的坐标是解题的关键． 21．（12分）（2025•郑州二模）在河南中招体育考试中，洛阳某考点的乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2所示，分别建立平面直角坐标系xOy．小明通过测量得到球距离台面的高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据，发现在“直发式”模式下球的运动轨迹的函数表达式为y＝﹣0.01（x﹣4）2+3；在“间发式”模式下，球第一次接触台面的运动轨迹的函数表达式为y＝﹣0.42x+n，第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹的函数表达式为y＝﹣0.05（x﹣16）2+3.2． （1）求“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度． （2）设“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2，要使d1＝d2，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应上下调整多少？ 【分析】（1）依据题意，令0＝﹣0.05（x﹣16）2+3.2，从而可得x1＝8，x2＝24，又把（8，0）代入y＝﹣0.42x+n，得0＝﹣0.42×8+n，可得n＝3.36，故y＝﹣0.42x+3.36，再令x＝0，则y＝3.36，故可判断得解； （2）依据题意，由（1）可知“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2＝24，则d1＝d2＝24，又设调整后“直发式”模式下球的运动轨迹的函数表达式为y＝﹣0.01（x﹣4）2+3+k，结合图象过（24，0），则0＝﹣0.01×（24﹣4）2+3+k，从而求出k后即可判断得解； 【详解】解：（1）由题意，令0＝﹣0.05（x﹣16）2+3.2， ∴x1＝8，x2＝24． 把（8，0）代入y＝﹣0.42x+n，得0＝﹣0.42×8+n， ∴n＝3.36． ∴y＝﹣0.42x+3.36． 又令x＝0， ∴y＝3.36． ∴“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度为3.36dm． （2）由（1）可知“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2＝24． ∴d1＝d2＝24． 又设调整后“直发式”模式下球的运动轨迹的函数表达式为y＝﹣0.01（x﹣4）2+3+k， 又图象过（24，0）， ∴0＝﹣0.01×（24﹣4）2+3+k． ∴k＝1． ∴要使d1＝d2，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应向上调整1dm． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 22．（14分）（2024•莲都区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）． （1）当a＝2时， ①若该函数图象的对称轴为直线x＝1，且过点（0，3），求该函数的表达式； ②若方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，求证：2b+8c≥﹣1； （2）若a，已知点M（2，2），点N（4，2）在平面直角坐标系中，当二次函数y＝ax2+bx+c的图象与线段MN有交点时，求a的取值范围． 【分析】（1）①当a＝2时，y＝2x2+bx+c，根据函数图象的对称轴为直线x＝1，且过点（0，3），得，即可解得函数的表达式为y＝2x2﹣4x+3； ②由方程2x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，知b2﹣8c＝0，得b2＝8c，故2b+8c＝2b+b2＝（b+1）2﹣1，即可得2b+8c≥﹣1； （2）求出y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a，知抛物线顶点为（2，﹣a），与x轴交点为（1，0），（3，0），当抛物线y＝ax2﹣4ax+3a过点M（2，2）时得a，画出图象可知当a时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与线段MN有交点；当抛物线y＝ax2﹣4ax+3a过点M（4，2）时，a，可得当a时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与线段MN有交点． 【详解】（1）①解：当a＝2时，y＝2x2+bx+c， ∵函数图象的对称轴为直线x＝1，且过点（0，3）， ∴， 解得， ∴函数的表达式为y＝2x2﹣4x+3； ②证明：∵方程2x2+bx+c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即b2﹣8c＝0， ∴b2＝8c， ∴2b+8c＝2b+b2＝（b+1）2﹣1， ∵（b+1）2≥0， ∴（b+1）2﹣1≥﹣1， ∴2b+8c≥﹣1； （2）解：∵a， ∴b＝﹣4a，c＝3a， ∴y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a， ∴抛物线顶点为（2，﹣a）， 在y＝ax2﹣4ax+3a中，令y＝0得x＝1或x＝3， ∴抛物线与x轴交点为（1，0），（3，0）， 当抛物线y＝ax2﹣4ax+3a过点M（2，2）时，2＝4a﹣8a+3a， 解得a， 如图： 根据|a|越大，抛物线y＝ax2+bx+c的开口越小及由图可知，当a时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与线段MN有交点； 当抛物线y＝ax2﹣4ax+3a过点M（4，2）时，2＝16a﹣16a+3a， 解得a， 如图： 由图可知，当a时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与线段MN有交点； 综上所述，当a或a时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与线段MN有交点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数与一元二次方程的关系，函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是数形结合思想的应用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$