精品解析：吉林省名校调研系列卷2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

名校调研系列卷·九年级第四次月考试卷数学（人教版） 期末 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列四个图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解题的关键． 根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出． 【详解】解：A.该选项图案，既不是中心对称图形又不是轴对称图形，不符合题意； B. 该选项图案，是中心对称图形但不是轴对称图形，不符合题意； C. 该选项图案，既不是中心对称图形又不是轴对称图形，不符合题意； D. 该选项图案，既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 反比例函数的图象在（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、二象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是根据反比例函数中的符号判断图象所在象限． 由可知，反比例函数图象在第二、四象限，即可求解． 【详解】解：根据反比例函数图象的特征，， ∴图象位于第二、四象限， 故选：C． 3. 一元二次方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 此题可根据因式分解法求解方程． 【详解】解： ， 故选：C． 4. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由两条直线被三条平行线所截，可得，进行计算即可得出答案，熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解此题的关键． 【详解】解：两条直线被三条平行线所截， ， ，， ， ， 故选：B． 5. 如图，点A、B、C、D均在上，是的直径，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】，根据等腰三角形的性质求出，再由直径所对的圆周角是直角得到即可求出． 【详解】解：如图，连接BC， ∵，， ∴ ∵是的直径， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 6. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像及性质，掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①由图像开口向上可知，；抛物线与轴交于负半轴得，； ∴，该选项正确，符合题意； ②由顶点坐标可知对称轴为直线， ∴的对称点为， ∴当时，，该选项正确，符合题意； ③由顶点横坐标得，， ， 即，该选项错误，不符合题意； ④由对称轴可知，的对称点为， ∴由图象可知，当时，，该选项正确，符合题意； ∴正确选项为：①②④三个， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，直接根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们对应的角平分线之比是， 故答案为：． 8. 将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到； 故答案为：． 9. 如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为_______度． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键．观察图形可得，图形由六个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【详解】解：图形可看作由一个基本图形旋转6次所组成，故最小旋转角为 故答案为：60． 10. 已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为_________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，解一元二次方程得，结合三边关系得第三边的长，则第三边为8，再根据三角形的周长公式计算，即可求出答案． 【详解】解：， ， 解得， 三角形的两边长分别为4和6， 第三边的长， 即第三边的长， 第三边的长是一元二次方程的一个根， 第三边为8， 则三角形的周长为， 故答案为：18． 11. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，点在轴上，，则实数的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，正确理解反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．根据反比例函数k值几何意义进行解答即可． 【详解】解：如图，过点A作轴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， 故答案为：． 12. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为______°． 【答案】36 【解析】 【分析】连接OM，ON，根据多边形内角和公式求出度数，根据四边形内角和为，求出∠MON，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接OM，ON． ∵M，N，F分别是AE，AB，CD与⊙O的切点， ∴OM⊥AE，ON⊥AB， ∴∠OMA＝∠ONA＝90°， ∵∠A＝180°×(5-2)÷5＝108°， ∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣108°＝72°， ∴∠MFN＝∠MON＝36°， 故答案为：36． 【点睛】本题考查了正多边形的内角问题，切线的性质定理，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题关键． 13. 如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，垂足分别为A，B．若测得影长米，米，影长米，则楼高为______米． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得：，从而可得，再根据垂直定义可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴楼高为12米， 故答案为：12． 14. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，令，求出得到，由对称性可知，，据此可得答案． 【详解】解：在中，当时，或（舍去）， ∴， 由对称性可知，， ∴， 故答案为：22． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】由于方程无法通过因式分解法求解，因此选用公式法．先确定一元二次方程一般形式中、、的取值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式即可得到方程的解． 【详解】解：对于方程，，，， ∴判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 即方程的解为，． 16. 已知反比例函数（为常数，）的图象经过点． （1）求这个函数的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据函数的增减性，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴反比例函数的图象过一，三象限，在每一个象限内，随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值为；当时，有最小值为， ∴． 17. 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，证明：． 【答案】 证明：根据勾股定理，得，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，相似三角形的判定，由网格可知，，，，，，再利用三边对应成比例的两个三角形相似即可求证，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】略 18. 数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D，其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家人名”． （1）若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是__________； （2）若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式解答即可． （2）利用画树状图法解答即可． 本题考查了简单的概率公式，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【小问1详解】 小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的有2种， ∴小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率是． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），建立平面直角坐标系后，点的坐标是． （1）以原点为旋转中心，将绕点顺时针旋转90°后得到，画出，并写出点的对应点的坐标； （2）以原点为位似中心，在第一象限内把放大2倍后得到，画出，并写出点的对应点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，由图可知：． （2） 如图所示，即为所求，． 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—旋转和位似，熟练掌握旋转的性质，位似的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （2）根据位似的性质，画出，进而写出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点． （1）求y与x的函数关系式； （2）已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好15天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？ 【答案】（1）所求函数关系式为 （2）需要5台这样的挖掘机 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，x的值，再用x的值除以16即可得到答案． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 点在函数图象上， ， ， 所求函数关系式为． 【小问2详解】 解：当时，， ， ， 答：需要5台这样的挖掘机． 21. 如图，在中，点、分别在边、上，且，，，． （1）如果，求线段的长； （2）设的面积为2，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）通过证明，即可得到答案； （2）由线段的数量关系求出面积关系即可得到答案． 【小问1详解】 解：，， ， 且， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 22. 某网店以每个32元的价格购进了一批玩具，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个50元上涨到每个72元，此时每天可售出200个玩具． （1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率； （2）经过市场调查发现：销售单价每降价1元，每天多卖出10个，网店每个应降价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）； （2）每个应降价元，才能使每天利润达到最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键． （1）依据题意，设每次上涨的百分率为，再由题意列出关于 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）依据题意，设每个降价为元，可列出关于的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解． 【小问1详解】 解：由题意，设每次上涨的百分率为依题意，得： ， 解得：，（不合题意，舍去） ∴每次上涨的百分率为20%． 【小问2详解】 解：由题意，设每个降价为元，利润为： ， ∴当时，每天的最大利润为， ∴网店每个应降价10元，才能使每天利润达到最大，最大利润为元． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过，的分别交、于点、． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为2，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】（1） 证明：如图，连接，则， ， 是的平分线， ， ， ∴， ， ∴， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，利用等腰三角形的性质和角平分线证明，则，得到，又由是的半径，即可得到结论； （2）利用直角三角形的性质推出，，结合勾股定理求出，由计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ∴，， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理，扇形面积公式，含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 24. 问题情境 四边形是边长为5的菱形，连接．将绕点按顺时针方向旋转得到，点、旋转后的对应点分别为点、．旋转角为． 观察思考 （1）如图①，连接，当点第一次落在对角线上时，_______________； 探究证明 （2）如图②，当，且时，与交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； 拓展延伸 （3）如图③，连接，在旋转过程中，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）四边形是菱形，理由如下： 四边形是菱形， ， 由旋转的性质得：，， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （3）的长为 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、旋转的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和旋转的性质是解题的关键． （1）连接，根据菱形的性质得出，根据旋转的性质得出，进而可得是等边三角形，即可求解； （2）由菱形的性质得，再由旋转的性质得，，然后证四边形是平行四边形，结合，即可得出结果； （3）当时，则，证、、三点共线，即可得出的长． 【详解】解：（1）如图①，连接， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴， ∵将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即， 故答案为：． （2）略 （3）如图③，当时，则， ， ， ， ， ， ， ， 、、三点共线， ． 的长为． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图①，在中，，，，点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动．点从点出发，沿方向以相同速度向终点运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设的面积为（平方单位），点运动的时间为（秒）． （1）直接写出的长； （2）当以、、为顶点的三角形与相似时，求的值； （3）求与之间的函数关系式； （4）如图②，当点在线段上运动时，作线段的垂直平分线，直接写出的垂直平分线经过的直角顶点时的值． 【答案】（1） （2）或 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理即可求解； （2）先根据题意求出，接着分与两种情况讨论，即可求解； （3）分两种情况，当点在上时，作于点，先表示出的长，然后由 三角形的面积公式可求得函数的关系式；当点在上时，过点作，垂足为，先求得的长，最后由三角形的面积公式可求得函数的关系式； （4）由题意得，然后根据线段相等列方程求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ； 【小问2详解】 解：由题意可知：，， ， 如图所示， 当时， ， ∴， ， ， 解得：； 如图所示， 当时，， ， ， 解得：； 【小问3详解】 解：根据题意知先运动到终点，时间为， 当时， 作于点，则有， ， ， 即有：， ， ； 当，点在上时（时，不存在）， 如图所示，过点作，垂足为，则， ∵， ∴， ∴即， ∴， ∴的面积为， ∴与的函数关系式为； 【小问4详解】 解：如图，∵线段的垂直平分线经过的直角顶点， ∴， 过点作，垂足N． ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题是相似形的综合题，主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、锐角三角函数的定义、三角形的面积公式，解答本题主要应用了分类讨论的数学思想，根据题意画出符合题意得图形是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． （1）求抛物线的解析式； （2）当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； （3）当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； （4）当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）且 （3）或或 （4）存在，或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为，当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，即可求解； （3）点，矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4，当点M的纵坐标为时，，解得；当点M的纵坐标为时，，即可求解； （4）当点在点B的上方时，证明，得到，即可求解；当点在点B的下方时，同理可解． 【小问1详解】 解：抛物线经过原点， 抛物线的表达式为， 将点代入上式得，， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）中抛物线的解析式可知，抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为， 当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升， 即， 点B、M不重合， 故， 即且； 【小问3详解】 解：点，矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4， 当点M的纵坐标为时，， 解得； 当点M的纵坐标为时，， 解得：或， 综上，m的值为1或或； 【小问4详解】 解：存在，或，理由如下： 当点在点B的上方时，如图，设点， 过点B、M分别作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为H、G， 是以为斜边的等腰直角三角形， 则， ， ， ， ， ， 则点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得， 解得（舍去）或， 则； 当点在点B的下方时， 同理可得，点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得，， 解得：（不合题意的值已舍去）， 则， 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校调研系列卷·九年级第四次月考试卷数学（人教版） 期末 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列四个图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象在（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、二象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 3. 一元二次方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 如图，点A、B、C、D均在上，是的直径，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是________． 8. 将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_________． 9. 如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为_______度． 10. 已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为_________． 11. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，点在轴上，，则实数的值为_____． 12. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为______°． 13. 如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，垂足分别为A，B．若测得影长米，米，影长米，则楼高为______米． 14. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为______． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程：． 16. 已知反比例函数（为常数，）的图象经过点． （1）求这个函数的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 17. 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，证明：． 18. 数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D，其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家人名”． （1）若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是__________； （2）若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），建立平面直角坐标系后，点的坐标是． （1）以原点为旋转中心，将绕点顺时针旋转90°后得到，画出，并写出点的对应点的坐标； （2）以原点为位似中心，在第一象限内把放大2倍后得到，画出，并写出点的对应点的坐标． 20. 如图，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点． （1）求y与x的函数关系式； （2）已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好15天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？ 21. 如图，在中，点、分别在边、上，且，，，． （1）如果，求线段的长； （2）设的面积为2，求的面积． 22. 某网店以每个32元的价格购进了一批玩具，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个50元上涨到每个72元，此时每天可售出200个玩具． （1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率； （2）经过市场调查发现：销售单价每降价1元，每天多卖出10个，网店每个应降价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？ 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过，的分别交、于点、． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为2，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 24. 问题情境 四边形是边长为5的菱形，连接．将绕点按顺时针方向旋转得到，点、旋转后的对应点分别为点、．旋转角为． 观察思考 （1）如图①，连接，当点第一次落在对角线上时，_______________； 探究证明 （2）如图②，当，且时，与交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； 拓展延伸 （3）如图③，连接，在旋转过程中，当时，请直接写出线段的长． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图①，在中，，，，点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动．点从点出发，沿方向以相同速度向终点运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设的面积为（平方单位），点运动的时间为（秒）． （1）直接写出的长； （2）当以、、为顶点的三角形与相似时，求的值； （3）求与之间的函数关系式； （4）如图②，当点在线段上运动时，作线段的垂直平分线，直接写出的垂直平分线经过的直角顶点时的值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． （1）求抛物线的解析式； （2）当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； （3）当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； （4）当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $