湖南省长沙市长郡中学2026届高三暑假作业暨开学模拟检测数学试题

2026届高三暑假作业暨开学模拟检测 数学 (本试卷共4页,时量120分钟,满分150分) 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)】 1.已知函数f(x)=n(ax+2)在区间(1,2)上单调递减,则实数a的取值范围是( A.a<0 B.-1≤a<0 C.-1<a<0 D.a2-1 2.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的 卡片放人同一信封,则不同的方法共有( A.12种 B.18种 C.36种 D.54种 3.已知直线l1:ax+(a+2y+2=0与l2:x+y+1=0平行,则实数的值为( A.-1或2 B.或2 C.2 D.-1 4.已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E,F分别在边AD,BC上,且AE=1,BF=3,如图所示, 沿EF将四边形AEFB翻折成AEFB/,设二面角B/-EF-D的大小为a,在翻折过程中,当二面角 B/-CD-E取得最大角,此时sina的值为( G.3@ 3 3 5.已知实数a,be(1,+oo),且2(a+b)=e2+2nb+1,e为自然对数的底数,则( A.1<b<a B.a<b<2a C.2a<b<e D.e<b<e2a 6.若a-log2V3,b=log1√6,c=Hog63,则( A.a=b=c B.a<b<c C.b<c<a D.c<b<a 7.已知等差数列{an}的前项和为Su,对任意n∈N,“数列{Sn}为递增数列”是“数列{an}为递增数 列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 数学试题(第1页,共4页) 8.已知四面体ABCD的顶点均在半径为√5的同一球面上,且AB=2CD=4,则该四面体体积的最大值 为( A.2√2 B.3 C.4 D.32 二、选择题(本大题共3个小题,每小题6分,共18分。在每个小题给出的选项中,有多 项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.过点P(2,2)作圆C:(x+2)+(y+2)=r2(>0)的两条切线,切点分别为A,B,下列结论正确的是 A.0<r<22 B.若 PAB为直角三角形,则r=4 C. PAB外接圆的方程为x 2+y 2=4 D.直线AB的方程为4x+4y+16-2=0 10.已知曲线Csin(x+2y)=2x-y,P(xo:Yo)为曲线C上任一点,则下列说法中正确的有( A.曲线C与直线y=x+1恰有四个公共点B.曲线C与直线y=2x-1相切 C.yo是关于x,的函数 D.x是关于y的函数 11.已知曲线C:x-2√反+y=0,下列结论正确的是( A.曲线C关于直线x=1对称 B.曲线C上恰好有4个整点(即横,纵坐标均是整数的点) C.曲线C上存在一点P,使得P到点(1,O)的距离小于1 D.曲线C所围成区域的面积大于4 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知5x2y2+y=1(xyeR),则x2+y2的最小值是 13.写出与圆x+y=1和(x-3)+y-4)子=16都相切的一条直线的方程 14若实数x,y满足(x+Vx2+4)y+√2+4)=4,则+2y的最小值为 四、解答题(本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分)已知函数x)=x+A(安一xAe), (1)当x>1时,不等式fx)<0恒成立,求A的最小值: (②设数列a-n∈N),其前m项和为S,证明:S-S+学>h2 数学试题(第2页,共4页) 16.(本小题满分15分)如图,在四棱锥P-ABCD中, PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形, BC/AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,PC=V2,EF分别为PDBE的中点. (1)证明:P,A,C,F四点共面: (2)求直线DF与平面PAC所成角的正弦值. 17.(本小题满分15分)某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛,规则如下:棋 手的初始分为200,每局比赛,棋手胜加100分:平局不得分:棋手负减100分.当棋手总分为0时,挑战失 败,比赛终止;当棋手总分为时,挑战成功、比赛终止;否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、 负的概率分别为.子..且各局比赛相互独立 4'4'2 (1)求两局后比赛终止的概率: (2)在3局后比赛终止的条件下,求棋手挑战成功的概率: (3)在挑战过程中,棋手每胜1局,获奖5千元.记(们≥10)局后比赛终止且棋手获奖1万元的概率为 P(n,求P(m)的最大值. 数学试题(第3页,共4页) 18.(本小题满分17分) 正方体ABCD-AB1CD1的棱长为4,E、F分别为A,D,C,B,中点,CG=3GC: (I)求证:GF⊥平面FBE: (2)求平面FBE与平面EBG夹角的余弦值: (3)求三棱锥D-FBE的体积, D 19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=(x-1nx. (1)已知函数fx)=(x-1)mx的图象与函数g(x)的图象关于直线x=-1对称,试求g(x: (2)证明fx)≥0: (3)设x,是f(x)=x+1的根,证明:曲线y=nx在点A(x,nxo)处的切线也是曲线y=e的切线. 数学试题(第4页,共4页) 2026新高三入学检测（CJ） 数学参考答案解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查对数函数的单调性与复合函数的单调性，属于中档题． 由题意可得在上单调递减，且恒成立，则，求解即可． 【解答】 解：因为在上单调递增，且函数在区间上单调递减， 所以在上单调递减，且恒成立． 所以，解得． 故选B． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查分步计数原理，组合与组合数公式，属于中档题． 首先从个信封中选一个放，，再从剩下的个数中选个放在一个信封中，剩下的放入最后一个信封，根据分步乘法计数原理可得结果． 【解答】 解：由题意可知，本题是一个分步计数问题， 先从个信封中选一个放标号为，的卡片，有种不同的选法， 再从剩下的个数中选两个放一个信封，有种不同的选法， 余下卡片放入最后一个信封， 共有种不同的方法． 故选B． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用两条直线平行求参数的值，考查了推理能力与计算能力，要注意重合的特殊情况，属于基础题． 由题意知，即，解得，经过验证即可得出． 【解答】解：由题意知，即，即，解得或． 经过验证可得：时两条直线重合，舍去． ． 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二面角，是较难题． 过  作  的垂线交  与  ，交  于  ，  于  ，然后利用定义法可得  为二面角  的平面角，设  ，可得  ，  ，从而  ，然后求函数最大值时的  值即可． 【解答】 解：过作的垂线交与，交于，交延长线于点， 设  在平面  内的投影为 ，则  在直线  上， 过作的垂线，垂足为 ，则为二面角的平面角， 设 ，由题意  ，  ， 则  ， 由 ，，得 ， 所以 ， 所以  ， 令  ，可得  ，则  ， 所以，当  ，即 ，也即 时，取到最大值  ， 此时  最大，即二面角  取得最大角． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数单调性以及构造函数的思想，属于中档题． 由题意构造函数，求导可判断函数的单调性，即可求解． 【解答】 解：因为，所以， 令，则，当时，， 则在上单调递增，且，所以， 当时，，所以， 所以，所以，即， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，即，综上，． 6.【答案】  【解析】【分析】 考查对数的大小比较，对数函数的单调性及均值不等式的应用，属于中档题． 【解答】解：，， ， ，， 又，都大于，．， 故选：． 7.【答案】  【解析】解：对于充分性：当时，单调递增，但不是单调递增的， 所以“数列为递增数列”不能推出“数列为递增数列”，充分性不成立； 对于必要性：当时，单调递增，但不是单调递增的， 所以“数列为递增数列”不能推出“数列为递增数列”，必要性不成立； 所以“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的既不充分也不必要条件． 故选：． 8.【答案】  【解析】解：方法一：因为，， 所以球心到中点的距离为，到中点的距离为， 从而中点在以为球心，以为半径的球面上运动， 中点在以为球心为半径的球面上运动， 当，，三点共线且在线段上时，取最大值， ， 此时，若平面，则； 若不垂直于平面， 则，到平面的距离和小于，从而四面体体积小于 当，，三点不共线时，由于在以为球心为半径的球面上运动， 所以到直线的距离小于，从而， ，到平面的距离和小于等于，从而， 所以四面体体积的最大值为． 故选：． 方法二：设球心为，的外心为，圆半径为，的中点为， 设，， 则，，，， 所以， 所以到的距离， 设与的距离为， 则， ， ， 设，下证， 即证， 从而， 于是， 由柯西不等式， 上式左， 从而，故面积最大值为， 从而四面体体积最大值为． 故选：． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查圆的方程和直线方程的综合应用，属于较难题． 利用圆的标准方程，以及点与圆的位置关系，逐项判断即可． 【解答】 解：因为圆的圆心为，半径为， 当点在圆外时，才可以作条切线， 所以，即，故A错误； 为直角三角形，则四边形为正方形， 所以，解得，故B正确； 外接圆的圆心为的中点，即为，半径为，又，，，四点共圆，所以外接圆的方程为，故C错误； 将和相减即得直线的方程， 所以直线的方程为，故D正确． 故选BD． 10.【答案】  【解析】解：选项A：联立曲线与直线， 代入得：， 令，即有， 则问题转化为函数和函数的图像有几个交点的问题， 作函数和的图像； 因为，则，则由图像可得有个交点，故A错误； 选项B：设 即有，当，则， 由图象可知和相切，故B正确； 选项C，若是关于的函数，则对，存在唯一的使得， 取，则，即， 即考虑，和的图象有几个交点， 作图，显然当时，， 结合图象可知，当取时，对应了个值，故C错误； ：若是关于的函数，则对，存在唯一的使得， 令，则，恰有一根， 令， 即，恰有一根， 设， 则，故函数单调递减，且，则是函数的唯一零点， 故，恰有一根，故D正确． 故选BD． 11.【答案】  【解析】解：方法一：，代入则，即曲线不是关于对称，故A错误； ，整点，，，共个，故B正确； 设，，，故C错误； 如图，，， 曲线所围成区域的面积大于，故D正确； 方法二：对于，在曲线上，关于的对称点，而，不在曲线上， 曲线不关于直线对称，故A错误； 对于，由， 当时，； 当时，； 当时，，舍； 当时，也舍； 当时，； 曲线上恰有个整点及，故B正确； 对于，设为曲线上的点，， 到的距离，故C错误； 对于，曲线关于轴对称，考察曲线在第一象限与轴围成的面积，为曲线第一象限上任一点，在曲线上， ，也在曲线上，且时， ，当且仅当或时取等号， 始终在上方，即在直线上方； 且时，， 当且仅当时取等号，始终在直线上方， 曲线所围区域面积，故D正确． 故选：． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式求最值，考查转化思想和化简运算能力． 方法一、由已知求得，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值； 方法二、由，运用基本不等式，计算可得所求最小值． 【解答】 解：方法一、由，可得， 由，可得， 则 ，当且仅当，时，等号成立， 可得的最小值为； 方法二、， 故， 当且仅当，即，时取得等号， 可得的最小值为． 故答案为：． 13.【答案】或或  【解析】【分析】 本题考查了圆与圆的公切线问题，涉及圆与圆的位置关系、点到直线的距离等知识，属较难题． 方法设直线方程为，利用点到直线的距离公式可求出与的关系，然后再进行后面的求解可得． 方法求出两圆间的位置关系，然后再利用数形结合进行求解可得． 【解答】 解：方法显然直线的斜率不为，不妨设直线方程为， 于是化简得， 化简得，，于是或， 再结合解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，，填一条即可 方法设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线的方程为， 直线与直线的交点为，设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 14.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查函数的最值问题、等比数列的性质等知识，考查考生的化归与转化能力及分析问题、解决问题的能力属于中档题． 解法一：利用等比数列相关知识求出，代入根据二次函数求出最值； 解法二：利用， 可求出，进而求出结果． 【解答】 解：解法一  ， ，，成等比数列， 设公比为， 则 ， ， 故的最小值为． 解法二  ， ， 同理， ， ， 故的最小值为． 故答案为． 15.【答案】解：由，得， 当时，方程的，因式在区间上恒为负数， 所以时，，函数在区间上单调递减， 又，所以函数在区间上恒成立； 当时，方程有两个不等实根，且满足， 所以函数的导函数在区间上大于零，函数在区间上单调递增， 又，所以函数在区间上恒大于零，不满足题意； 当时，在区间，函数在区间上恒为正数， 所以在区间上恒为正数，不满足题意； 综上可知：若时，不等式恒成立，的最小值为． 由第知：若时，， 若，则，即成立， 将换成，得成立，即， 以此类推，得，， 上述各式相加，得， 又， 所以．  【解析】本题考查利用导数研究函数的最值，以及不等式的恒成立问题，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想以及推理论证、运算求解能力，属于中档题． 求导可得，分，及三种情况讨论，结合恒成立，得出的最小值； 利用可得成立，进而得到，再类推，累加即可得证． 16.【答案】解：如图：取中点，连接，． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以； 又四边形是直角梯形，且，， 所以四边形为正方形，所以； 在中，，，由得：． 所以，，两两垂直． 以为原点，建立如图空间直角坐标系： 则，，，，， 因为为中点，所以，因为为中点，所以， 则，， 所以． 因为，所以四点共面． 因为，，， 设平面的法向量为， 则，取， 设直线与平面所成的角为， 则．   【解析】本题考查了四点共面，直线与平面所成角的向量求法，属于一般题． 取中点，连接，，先证，，两两垂直，再建立空间直角坐标系，用向量的方法证四点共面． 求平面的 法向量，用空间向量求直线与平面所成的角的大小． 17.【答案】解：设第局比赛甲胜为事件，第局比赛甲平为事件，第局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或分比赛终止， 当棋手得分为分，则局均负，即 当棋手得分为分，则局先平后胜，即， 因为，互斥， 所以 ， 所以两局后比赛终止的概率为； 设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件， 因为 ， ， 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ， 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 因为局获奖励万元，说明甲共胜局， 当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种 当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种 则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ， 所以， ， 因为，所以， 所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：证明：法一：在正方形中， 由条件易知， 所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，， 平面，平面； 法二：如图以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，所以， 易知，则也是平面的一个法向量，平面； 同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 所以 令，则，即， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为； 由知平面，又平面，， 易知， 又，则点到平面的距离为， 所以， 故三棱锥的体积．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：因为的图象与的图象关于直线对称， 所以， 又 ， 所以， 令，则， 所以 ， 因此； 证明： 解法：当时，且， 此时， 当时，且， 此时， 故综上； 解法：， 令， 在上恒成立， 故在上单调递增， 即在上单调递增， 当时，； 当； 因此在上单调递减， 在上单调递增， 故； 证明： 不妨取曲线上的一点， 设在处的切线即是在处的切线， 则，得， 则的坐标， 由于， 所以， 则有 ， 综上可知，直线的斜率等于在处的切线斜率和在处的切线斜率， 所以直线既是曲线在点处的切线也是曲线的切线．   【解析】本题考查利用导数解证明不等式，求曲线上一点的切线方程，属于较难题． 由，得，再利用换元法求； 分区间讨论各因式的符号或利用导数证明； 取曲线上的 一点，设在处的切线即是在处的切线，证明直线的斜率等于在处的切线斜率和在处的切线斜率即可． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026届高三暑假作业暨开学模拟检测 数学 （本试卷共4页，时量120分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.将标号为，，，，，的张卡片放入个不同的信封中，若每个信封放张，其中标号为，的卡片放入同一信封，则不同的方法共有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3.已知直线：与：平行，则实数的值为(    ) A. 或 B. 或 C. D. 4.已知在矩形中，，，，分别在边，上，且，，如图所示，沿将四边形翻折成，设二面角的大小为，在翻折过程中，当二面角取得最大角，此时的值为(    ) A. B. C. D. 5.已知实数，且，为自然对数的底数，则(    ) A. B. C. D. 6.若，，，则(    ) A. B. C. D. 7.已知等差数列的前项和为，对任意，“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.已知四面体的顶点均在半径为的同一球面上，且，则该四面体体积的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.过点作圆：的两条切线，切点分别为，，下列结论正确的是 A. B. 若为直角三角形，则 C. 外接圆的方程为 D. 直线的方程为 10.已知曲线，为曲线上任一点，则下列说法中正确的有(    ) A. 曲线与直线恰有四个公共点 B. 曲线与直线相切 C. 是关于的函数 D. 是关于的函数 11.已知曲线，下列结论正确的是(    ) A. 曲线关于直线对称 B. 曲线上恰好有个整点即横，纵坐标均是整数的点 C. 曲线上存在一点，使得到点的距离小于 D. 曲线所围成区域的面积大于 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知，则的最小值是   13.写出与圆和都相切的一条直线的方程    14.若实数，满足，则的最小值为    四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知函数． 当时，不等式恒成立，求的最小值； 设数列，其前项和为，证明：． 16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，分别为的中点． （1）证明：四点共面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17.（本小题满分15分）某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分平局不得分棋手负减分当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止否则比赛继续已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为，，，且各局比赛相互独立． （1）求两局后比赛终止的概率 （2）在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率 （3）在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元记局后比赛终止且棋手获奖万元的概率为，求的最大值． 18.（本小题满分17分） 正方体的棱长为，分别为中点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 19.（本小题满分17分）已知函数． （1）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，试求； （2）证明； （3）设是的根，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线． 数学试题 （第1页，共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$