12．3　等腰三角形-- 12．4　逆命题和逆定理 同步练习 2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

12．3　等腰三角形-- 12．4　逆命题和逆定理 (时间：40分钟　　　满分：100分) 一、选择题(每小题4分，共24分) 1．将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若∠ABC＝∠ACB，AB＝10 cm，则AC的长为（A） A．10 cm B．11 cm C．12 cm D．13 cm 2．下列命题中，逆命题是真命题的为（D） A．若x>0，则x2>0 B．若a>0，b>0，则a＋b>0 C．全等三角形的面积相等 D．若a＝2，则a3＝8 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且AB＝10，BC＝8，CA＝6，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别为（A） A．2，2，2 B．3，3，3 C．4，4，4 D．2，3，5 4．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（D） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 5．如图，△ABC是等边三角形，CB＝CD，∠ABD＝12°，则∠ACD的度数为（B） A．36° B．24° C．34° D．48° 6．如图，在四边形ABCD中，DE和DF恰好分别垂直平分AB和BC，则下列结论中不正确的是（D） A．AD＝CD B．∠B＝∠A＋∠C C．∠EDF＝∠ADE＋∠CDF D．BE＝BF 二、填空题(每小题4分，共24分) 7．已知AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，则∠ADC＝90°. 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF.若∠CFE＝72°，则∠B＝54°. 9．三角形的三个内角分别为75°，80°，25°，现有一条直线将它分成两个等腰三角形，那么这两个等腰三角形的顶角度数分别为130°，80°. 10．如图，BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝150°. 11．如图，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC＝60°，BE＝3 cm，则AB＝6cm. 12．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，若AB＝8，AC＝4，则AE＝6. 三、解答题(共52分) 13．(16分)如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°. (1)尺规作图： ①作边AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点F； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；(要求：保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数． 解：(1)①②作图如图所示． (2)∵DF垂直平分AB， ∴DB＝DA，∴∠DAB＝∠B＝30°. ∵∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝110°， ∴∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝80°. ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE＝∠DAC＝40°. 14．(16分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BC交BC于点G，AD＝AB，连接BD.若∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F. (1)求证：△ABD是等边三角形； 证明：∵AB＝AC， AD⊥BC， ∠BAC＝120°. ∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝60°. ∵AD＝AB， ∴△ABD是等边三角形． (2)求证：BE＝AF. 证明：由(1)得△ABD是等边三角形． ∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD. ∴∠DBE＝∠DAF. ∵∠EDF＝60°＝∠ADB. ∴∠BDE＝∠ADF. 在△BDE和△ADF中， ∵∠DBE＝∠DAF，BD＝AD， ∠BDE＝∠ADF， ∴△BDE≌△ADF(ASA)． ∴BE＝AF. 15．(20分)如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE. (1)求∠CAD的度数； (2)求证：DE平分∠ADC； (3)若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． (1)解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°， ∴∠FAE＝90°－∠AEF＝40°， ∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝40°. (2)证明：过点E作EG⊥AD于点G， EH⊥BC于点H， ∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，∴EF＝EG， ∵BE平分∠ABC，EH⊥BC，∴EF＝EH， ∴EG＝EH，∴DE平分∠ADC. (3)解：∵S△ACD＝15， ∴AD·EG＋CD·EH＝15， 解得EG＝EH＝，∴EF＝EH＝， ∴S△ABE＝AB·EF＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12．3　等腰三角形-- 12．4　逆命题和逆定理 (时间：40分钟　　　满分：100分) 一、选择题(每小题4分，共24分) 1．将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若∠ABC＝∠ACB，AB＝10 cm，则AC的长为（ ） A．10 cm B．11 cm C．12 cm D．13 cm 2．下列命题中，逆命题是真命题的为（ ） A．若x>0，则x2>0 B．若a>0，b>0，则a＋b>0 C．全等三角形的面积相等 D．若a＝2，则a3＝8 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且AB＝10，BC＝8，CA＝6，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别为（ ） A．2，2，2 B．3，3，3 C．4，4，4 D．2，3，5 4．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 5．如图，△ABC是等边三角形，CB＝CD，∠ABD＝12°，则∠ACD的度数为（ ） A．36° B．24° C．34° D．48° 6．如图，在四边形ABCD中，DE和DF恰好分别垂直平分AB和BC，则下列结论中不正确的是（ ） A．AD＝CD B．∠B＝∠A＋∠C C．∠EDF＝∠ADE＋∠CDF D．BE＝BF 二、填空题(每小题4分，共24分) 7．已知AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，则∠ADC＝ . 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF.若∠CFE＝72°，则∠B＝ . 9．三角形的三个内角分别为75°，80°，25°，现有一条直线将它分成两个等腰三角形，那么这两个等腰三角形的顶角度数分别为 . 10．如图，BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝ . 11．如图，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC＝60°，BE＝3 cm，则AB＝ cm. 12．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，若AB＝8，AC＝4，则AE＝ . 三、解答题(共52分) 13．(16分)如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°. (1)尺规作图： ①作边AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点F； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；(要求：保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数． 14．(16分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BC交BC于点G，AD＝AB，连接BD.若∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F. (1)求证：△ABD是等边三角形； (2)求证：BE＝AF. 15．(20分)如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE. (1)求∠CAD的度数； (2)求证：DE平分∠ADC； (3)若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$