12.4.2 线段垂直平分线（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

该初中数学导学案聚焦线段垂直平分线的性质与判定，通过知识链接回顾定义及对称性，结合新知预习的作图操作与证明活动，搭建新旧知识桥梁，引导学生从直观操作过渡到逻辑推理。 以合作探究为主线，通过性质探究中的操作发现与判定探究中的逆命题分析培养几何直观和推理意识，例题融入实际应用问题体现模型意识，分层习题与方法总结助力学生构建知识体系，提升解决问题能力。

12.5 逆命题与互逆定理 2.线段垂直平分线 学习目标： 1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法；（重点） 2.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．（难点） 自主学习 一、知识链接 1.经过线段________并且______于这条线段的________，叫做这条线段的垂直平分线. 2.线段是轴对称图形，它的对称轴是它的 线. 二、新知预习 操作：如图，已知线段AB，作直线MN的垂直平分线段AB. 问题：（1）设两弧线的一个交点为P，量出AP，PB的长度，它们有什么关系？ （2）用学过的方法证明AP与BP的关系． 合作探究 一、探究过程 探究点1：线段垂直平分线的性质 问题 通过上述“操作”，你认为线段的垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离，有什么特点？ 【要点归纳】线段垂直平分线上的点到线段两端的距离________. 例1如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D.若 △DBC的周长为35cm，则BC的长为(　　) A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm 【方法总结】利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 例2 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC. 【要点归纳】三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离_______. 【变式题】某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？在图中作出购物中心的位置． 例3如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F.若BE⊥AE，求证： (1)FC＝AD； (2)AB＝BC＋AD. 【方法总结】证明线段相等的常用方法：1.由全等得对应线段相等；2.由线段垂直平分线的性质得出线段相等. 探究点2：线段垂直平分线的判定 问题 写出垂直平分线性质定理的逆命题，你认为它是真命题还是假命题？ 【要点归纳】到线段两端距离________的点在这条线段的______________上. 例4 如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线. 二、课堂小结 线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线的性质与判定 线段垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离______. 证明线段相等 当堂检测 1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 第1题图 第2题图 第3题图 2.小明做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH，ED=FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是 . 3.如图，△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，∠A=50°，则∠BDC= °. 4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D，求证：BE+DE＝AC． 5.如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD＝DE，若AB+BD＝DC，求证：点E在线段AC的垂直平分线上． 6.如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系． 拓展提升 7.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O． （1）找出图中相等的线段； （2）OE，OF分别是点O到∠CAD两边的距离，试说明它们的大小有什么关系? 参考答案 自主学习 一、知识链接 1.中点 垂直 直线 2.垂直平分 二、新知预习 操作：如图所示： 问题：（1）AP=BP． （2）由作图知MN垂直平分AB，设MN与AB相交于点C，所以AC=BC，∠ACP=∠BCP，又因为CP=CP，所以△ACP≌△BCP.所以AP=BP . 合作探究 一、探究过程 探究点1： 【要点归纳】相等 例1 C 例2 证明：∵点P是边AB，BC的垂直平分线的交点，∴PA=PB，PB=PC，∴PA=PB=PC． 【要点归纳】相等 【变式题】解：如图，连接AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于两点，连接这两点即得AB的垂直平分线；同理连接BC，作出BC的垂直平分线，两条直线交于点P，则点P就是购物中心的位置. 例3 证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE=EC．∵在△ADE与△FCE中，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC=AD． （2）∵△ADE≌△FCE，∴AE=EF，AD=CF，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB=BF=BC+CF，∵AD=CF，∴AB=BC+AD． 探究点2： 【要点归纳】相等 垂直平分线 例4 证明：∵OE平分∠AOB，∴∠COE=∠DOE．∵EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠OCE=∠ODE=90°.在△OCE和△ODE中，∴△OCE≌△ODE（AAS），∴OC=OD，又∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线． 二、课堂小结 相等 当堂检测 1. B 2.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 3.100 4.证明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵ED⊥AB，BE平分∠ABC，∴CE＝DE，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵AC＝AE+CE，∴BE+DE＝AC． 5.证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，又∵BD＝DE，∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，∴AB＝AE，∴AB+BD＝AE+DE，又∵AB+BD＝DC，∴DC＝AE+DE，∴DE+EC＝AE+DE.∴EC＝AE，∴点E在线段AC的垂直平分线上． 6.解：AD垂直平分EF.理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD．在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF，∴AD为EF的垂直平分线，即AD垂直平分EF． 7.解：（1）∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD. （2）OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，，∴△AOC≌△AOD（SSS），∴∠CAO＝∠DAO，又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴∠AEO=∠AFO，又∵AO=AO，∴△AOE≌△AOF（AAS），∴OE＝OF． 学科网（北京）股份有限公司 $