精品解析：广东省梅州市兴宁市宋声学校2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

兴宁市宋声学校九年级期末考试数学试卷 说明：1．考试范围：上册第一章～下册第二章． 2．考试时间120分钟，满分120分． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示的正六棱柱，其主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列三角函数中，值为 的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一元二次方程 有两个相等的实数根，则m的值是（ ） A. 2 B. C. D. 4. 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中有，，，四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6. 关于函数，下列描述错误的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 函数最大值是 D. 当时，y随x的增大而增大 7. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米． A. B. C. D. 8. 如图，小李与小陈做“石头，剪刀，布”的猜拳游戏，规定当两人出拳的手指数之和为奇数时小李获胜，则小李获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y=，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ） A. 2m B. 6m C. 8m D. 10m 10. 如图，正方形中，点分别在上，，经过对角线的中点O，若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在一个不透明袋子中，装有2个红球和一些白球，这些球除颜色外其他都一样，如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，那么白球的个数是________． 12. 若两个相似多边形的对应边长分别为和，则它们的面积比为______． 13. 小明同学利用如图所示的电路探究电流I与电阻R的关系．已知电源电压保持不变，实验用到的电阻阻值和测得的电流如下表所示： 电阻R（单位：Ω） 5 10 15 20 25 电流I（单位：A） 实验结束后，小明同学发现电流I和电阻R之间是一种数学函数模型，请写出I和R之间函数关系式：______． 14. 如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约______m（结果取整数）．（参考数据：，，） 15. 若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是______． 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 17. 如图，在中，点D，E，G分别在边上，，线段，相交于点F，且，求证：平分． 18. 《义务教育劳动课程标准（年版）》要求中学生学会做家务，劳动教育中包含在学校劳动，也包含家庭中的家务劳动，小林家的厨房有三个调料罐，标签已经模糊不清了，分别装有白糖、盐、生粉，由于三种调料都为白色，外观非常接近，小林误认为三罐调料都是食盐，一天，小林独自下厨炒菜． （1）小林在煎鸡蛋的时候，想要放一些盐，从中随机取一个调料罐，加入调料少许，放入调料正确的概率是________； （2）若小林一共烧制煎鸡蛋，炒青菜两道菜，两道菜分别随机取用一次其中的一瓶调料，请用画树状图求两道菜都放入了食盐的概率． 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，点E是矩形的边上的一点，且． （1）尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）试判断四边形的形状，并说明理由． 20. 如如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点．已知，． （1）若，求的值： （2）连接，若，求的长． 21. 图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到） （1）求“大碗”的口径的长； （2）求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，） 五、解答题(三)：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间满足关系式． （1）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元? （2）设销售这种文具每天获利w(单位：元)，当销售单价为多少元时，每天获利最大：最大利润是多少元? 23. 已知二次函数经过两定点（点在点的左侧），顶点为． （1）求定点的坐标； （2）把二次函数的图象在直线下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原二次函数位于直线上方的部分的组合图象记作图象，求向上翻折部分的函数解析式； （3）在（2）中，已知的面积为8． ①当时，求图象中的取值范围； ②若直线与图象从左到右依次交于四点，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴宁市宋声学校九年级期末考试数学试卷 说明：1．考试范围：上册第一章～下册第二章． 2．考试时间120分钟，满分120分． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示的正六棱柱，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据从正面得到的视图是主视图，从正面来观察就可以得到正六棱柱的主视图． 【详解】解：从正面来观察，主视图是由三个矩形组成的，即 故选：A． 2. 下列三角函数中，值为 的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值直接判断． 【详解】解：，，，， 故选：D． 3. 若一元二次方程 有两个相等的实数根，则m的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据题意可得出，代入即可求出m的值． 【详解】一元二次方程 有两个相等的实数根， ， 解得：． 故选：B． 4. 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．连接，并延长与的延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接，并延长与的延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：D． 5. 如图，在平面直角坐标系中有，，，四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，在第一象限内随的增大而减小，用平滑的曲线连接发现点不在函数的图象上 【详解】解：在第一象限内随的增大而减小，用平滑的曲线连接发现点不在函数的图象上 故选C 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例数图象的性质是解题的关键． 6. 关于函数，下列描述错误的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 函数最大值是 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：函数为， 则，开口向下，A正确，不符合题意； 对称轴为，B正确，不符合题意； 顶点坐标为， 又∵开口向下 ∴函数有最大值为，C正确，不符合题意； ∵，开口向下，对称轴为 ∴当时，y随x的增大而减小，D错误，符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 7. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：D． 8. 如图，小李与小陈做“石头，剪刀，布”的猜拳游戏，规定当两人出拳的手指数之和为奇数时小李获胜，则小李获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意列出表格是解题的关键． 【详解】解：将小李与小陈的出拳情况的手指数之和列为下表： 石头 剪刀 布 石头 0 2 5 剪刀 2 4 7 布 5 7 10 则共有9种情况，其中两人出拳的手指数之和为奇数的情况有4种， 小李获胜的概率为． 故选：B． 9. 如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y=，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ） A. 2m B. 6m C. 8m D. 10m 【答案】D 【解析】 【分析】根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可． 【详解】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离， ∴令y=0，则=0， 整理得：x2-8x-20=0， 解得：x1=10，x2=-2（舍去）， ∴该同学此次投掷实心球的成绩为10m， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题． 10. 如图，正方形中，点分别在上，，经过对角线的中点O，若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，可得，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，则可得，利用三角形外角和定理，即可得到的值． 【详解】解：四边形是正方形， ， 经过对角线的中点O， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角和定理，斜边上的中线等于斜边的一半，熟知上述性质是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在一个不透明袋子中，装有2个红球和一些白球，这些球除颜色外其他都一样，如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，那么白球的个数是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了概率的定义．解题的关键与难点在于理解概率的定义，求出球的总数．随机摸出一个球是红球的概率是，可以得到球的总个数，进而得出白球的个数． 【详解】解：设红、白球总共n个，记摸出一个球是红球为事件A， ， 白球有个 故答案为：． 12. 若两个相似多边形的对应边长分别为和，则它们的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的面积的比等于相似比平方是解题的关键． 根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答即可求出结果． 【详解】解：∵两个相似多边形的对应边长分别为和， ∴两个相似多边形的相似比为， ∴它们的面积比为． 故答案为： 13. 小明同学利用如图所示的电路探究电流I与电阻R的关系．已知电源电压保持不变，实验用到的电阻阻值和测得的电流如下表所示： 电阻R（单位：Ω） 5 10 15 20 25 电流I（单位：A） 实验结束后，小明同学发现电流I和电阻R之间是一种数学函数模型，请写出I和R之间函数关系式：______． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题主要考查了实际问题与反比例函数，根据电阻R和电流I的值的乘积为6恒定不变，且当电阻R不断增大时，电流I不断减小，则可以判断R和I符合反比例函数． 【详解】解：根据表格可知：， 即电阻R和电流I的值的乘积为6恒定不变， 且当电阻R不断增大时，电流I不断减小 故电阻R和电流I符合反比例函数． ∴或或 故答案为：或或 14. 如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约______m（结果取整数）．（参考数据：，，） 【答案】21 【解析】 【分析】根据解直角三角形及等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴共需钢材约为； 故答案为21． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键． 15. 若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．由题意可知，根据m的范围即可确定n的范围． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象开口向上，顶点为，对称轴是直线， ∵到y轴的距离小于2， ∴， 而， 当， 当时，， ∴n的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解： ，，， ， 所以 ， 即，． 17. 如图，在中，点D，E，G分别在边上，，线段，相交于点F，且，求证：平分． 【答案】 证明：∵，， ∴， ， ∵ ， ， 平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，角平分线的判定等知识．先利用两角分别对应相等即可证明，得出，再根据两边对应成比例及夹角相等证明，再由其性质和角平分线的定义得平分． 【详解】略 18. 《义务教育劳动课程标准（年版）》要求中学生学会做家务，劳动教育中包含在学校劳动，也包含家庭中的家务劳动，小林家的厨房有三个调料罐，标签已经模糊不清了，分别装有白糖、盐、生粉，由于三种调料都为白色，外观非常接近，小林误认为三罐调料都是食盐，一天，小林独自下厨炒菜． （1）小林在煎鸡蛋的时候，想要放一些盐，从中随机取一个调料罐，加入调料少许，放入调料正确的概率是________； （2）若小林一共烧制煎鸡蛋，炒青菜两道菜，两道菜分别随机取用一次其中的一瓶调料，请用画树状图求两道菜都放入了食盐的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有种等可能的结果，其中两次都用的食盐只有种结果，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 ∵调料罐分别装有白糖、盐、生粉， ∴要放一些盐的概率为：， 故答案为：． 【小问2详解】 画树状图如下： 一共有种等可能结果，其中两次都用的食盐只有种结果， ∴两道菜都放入了食盐的概率为． 【点睛】此题考查了用画树状图法求概率，解题的关键理解树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件． 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，点E是矩形的边上的一点，且． （1）尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 如图所示： （2） 四边形是菱形； 理由：∵矩形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合角平分线的定义可得，则，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 20. 如如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点．已知，． （1）若，求的值： （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）20 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，得出点坐标即可得出答案； （2）首先表示出，点坐标，进而利用反比例函数图象的性质求出点坐标，然后利用勾股定理即可求得的长． 【小问1详解】 解：作，垂足为， ，， ． 在中，，， ， ， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， 【小问2详解】 解：如图， 设点的坐标为， ，， ， 由（1）知，， ，两点的坐标分别为：，． 点，都在反比例函数的图象上， ， ， 点的坐标为：， ． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，反比例函数图象的性质，坐标与图形的性质，数形结合是解答本题的关键． 21. 图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到） （1）求“大碗”的口径的长； （2）求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，） 【答案】（1）“大碗”的口径的长为； （2）“大碗”的高度的长为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）证明四边形是矩形，利用，代入数据计算即可求解； （2）延长交于点，求得，利用正切函数的定义得到，求得的长，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 答：“大碗”的口径的长为； 【小问2详解】 解：延长交于点，如图， ∵矩形碗底， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 答：“大碗”的高度的长为． 五、解答题(三)：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间满足关系式． （1）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元? （2）设销售这种文具每天获利w(单位：元)，当销售单价为多少元时，每天获利最大：最大利润是多少元? 【答案】（1）销售单价为元； （2）当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据每天的获利=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据每天的获利每件的利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：根据题意得： ， 整理得：， 解得：(不合题意，舍去)， 答：销售单价为元； 【小问2详解】 解：根据题意得： ， ， ∴当时，随的增大而增大， ， ∴当时，取得最大值，最大值为： ， ∴关于的函数关系式为：， 当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 23. 已知二次函数经过两定点（点在点的左侧），顶点为． （1）求定点的坐标； （2）把二次函数的图象在直线下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原二次函数位于直线上方的部分的组合图象记作图象，求向上翻折部分的函数解析式； （3）在（2）中，已知的面积为8． ①当时，求图象中的取值范围； ②若直线与图象从左到右依次交于四点，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数与x轴交点坐标，二次函数的图像和性质，翻折的性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）将原函数可化为，令，即可得到定点坐标； （2）根据翻折的性质即可得到解析式； （3）①根据自变量的取值范围，结合图象求出最值即可； ②根据题意确定图象与直线交于点，与直线交于点，然后表示出，，根据题意列方程解题即可． 【小问1详解】 原函数可化为， 可得该函数图象恒过两点，， 故定点为． 【小问2详解】 解：∵直线就是x轴， ∴折叠即为沿x轴向上折叠， ∴解析式为； 【小问3详解】 ①∵ ∴对称轴，代入得 的面积为8， ． ∴图象向上翻折部分的函数解析式为． ，顶点在之间的图象上，该段抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，；当时，的最小值为0． 在图象中，的取值范围为． ②若直线与图象从左到右依次交于四点， ∴图象与直线交于点，可得， ∴ ∵与直线交于点， ∴，则． ， ，即， 两边平方解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $