精品解析： 广东省河源市龙川第一实验学校2024-2025学年上学期八年级数学期末考试卷

2024-2025年度龙川第一实验学校月练四（期末） 八年级数学 满分：120分 一、选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角． B. 若数满足，则 C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 垂线段最短 2. 技术员分别从甲、乙两块小麦地中随机抽取1000株苗，测得苗高的平均数相同，方差分别为，，检测结果是乙地小麦比甲地小麦长得整齐，则a的值可以是（ ） A. 10 B. 13 C. 14 D. 16 3. 若正比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点P，根据图像可知，关于x和y的二元一次方程组的解是（　　） A. B. C. D. 5. 的平方根是（ ） A B. C. D. 6. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 小明得到育才学校数学课外兴趣小组成员的年龄情况统计如下表： 年龄（岁） 13 14 15 16 人数（人） 5 15 x 10-x 那么对于不同x的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是（　　） A. 众数，中位数 B. 中位数，方差 C. 平均数，中位数 D. 平均数，方差 8. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ） A. 1，4，5 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 2，2，4 9. 《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”设有x只鸡，y只兔，依题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为（ ） A. B. C. 17 D. 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 命题“两直线平行，同旁内角互补”的结论是___________． 12. 直线是由直线沿y轴向下平移_______________个单位长度得到的． 13. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演进比赛，其演讲形象、内容、效果三项得分分别是9分，8分，8分．若将三项得分依次按3∶4∶3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为__________分． 14. 若与互为相反数，则_________. 15. 如图，直线与轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点、，，…，与直线上的点，，，…，则的长为____________． 三、解答题（一）．（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 解方程组：． 18. 已知：如图，直线与直线分别交于点E、F，直线与直线交于点A，且，，试说明：，． 四、解答题（二）．（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级：86，94，79，84，71，90，76，83，90，87． 八年级：88，76，90，78，87，93，75，87，87，79． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ； A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 年级的学生； （2）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由． 20. 李明在某商场购买甲乙两种商品若干次（每次甲，乙两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，甲，乙两种商品同时打折，三次购买甲，乙两种商品的数量和费用情况如表所示： 购买甲商品的数量 购买乙商品的数量 购买总费用 第一次 5 5 900 第二次 6 7 1180 第三次 9 8 1064 （1）求甲、乙两种商品标价各是多少元？ （2）若李明第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？ 21. 阅读下列材料，然后回答问题． 已知平面内两点，则这两点间的距离可用下列公式计算： ． 例如：已知、，则这两点间的距离为， 特别地，如果两点所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或． （1）已知、，求A、B两点间的距离； （2）已知A、B两点在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为，求A、B两点间的距离； （3）已知顶点坐标分别为、、，你能判定的形状吗？请说明理由． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（a，b常数）． 例如，当时，． （1）当时， 　　； （2）若，求a和b的值； （3）如果组成数对的两个数x，y满足二元一次方程时，总有，求a、b的值 23. 某水果店销售甲、乙两种苹果，售价分别为25元、20元、甲种苹果的进货总金额y(单位：元)与甲种苹果的进货量x(单位：)之间的关系如图所示，乙种苹果的进价为14元． （1）求甲种苹果进货总金额y(单位：元)与甲种苹果的进货量x(单位：)之间的函数解析式；(不要求写出自变量的取值范围) （2）若该水果店购进甲、乙两种苹果共，并能全部售出，其中甲种苹果的进货量不低于，且不高于． ①求销售两种苹果所获总利润w(单位：元)与甲种苹果进货量x(单位：)之间的函数关系式，并给出总利润最大的进货方案； ②为回馈客户，水果店决定在总利润最大的前提下对两种苹果进行让利销售，甲、乙两种苹果的售价均降低a元，若所获总利润恰好为940元，则a的值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年度龙川第一实验学校月练四（期末） 八年级数学 满分：120分 一、选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角． B. 若数满足，则 C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用对顶角的定义、数的平方运算、平行的性质以及垂线段的性质、逐项判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、若数a、b满足，则或，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、垂线段最短，故原命题正确，符合题意； 故选：D． 2. 技术员分别从甲、乙两块小麦地中随机抽取1000株苗，测得苗高的平均数相同，方差分别为，，检测结果是乙地小麦比甲地小麦长得整齐，则a的值可以是（ ） A. 10 B. 13 C. 14 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据检测结果是乙地小麦比甲地小麦长得整齐，可得乙地的方差小于甲地的方差，由此即可得到答案． 【详解】解：∵检测结果是乙地小麦比甲地小麦长得整齐， ∴乙地的方差小于甲地的方差， ∴， ∴四个选项中，只有A选项中的数据符合题意， 故选A． 【点睛】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，熟知方差越小，越稳定是解题的关键． 3. 若正比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求解即可得出k的值． 【详解】解：由题意，将点代入， 可得：， 解得：． 故选：D． 4. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点P，根据图像可知，关于x和y的二元一次方程组的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程组与一次函数的关系． 根据两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解，即可得出答案． 【详解】解：∵直线和直线相交于点， ∴关于x和y的二元一次方程组的解是， 故选：B． 5. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根的定义，根据平方根的定义解答． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：C． 6. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和求出，则由角平分线的定义得到，进而可由三角形外角的性质得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∴， 故选：B． 7. 小明得到育才学校数学课外兴趣小组成员的年龄情况统计如下表： 年龄（岁） 13 14 15 16 人数（人） 5 15 x 10-x 那么对于不同x的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是（　　） A. 众数，中位数 B. 中位数，方差 C. 平均数，中位数 D. 平均数，方差 【答案】A 【解析】 【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案． 【详解】由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10-x=10， 则总人数为：5+15+10=30， 故该组数据的众数为14岁，中位数为：=14岁， 即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数， 故选A． 【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键． 8. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ） A. 1，4，5 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 2，2，4 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理，，则小的两个正方形的面积等于大正方形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形． 【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c， 由勾股定理，得， A、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：； B、∵2+3=5，则两直角边分别为：和，则面积为：； C、∵3+4≠5，则不符合题意； D、∵2+2=4，则两直角边分别为：和，则面积为：； ∵， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，以及正方形的性质进行解题． 9. 《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”设有x只鸡，y只兔，依题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找出等量关系．根据等量关系“鸡的只数兔的只数”和“2鸡的只数兔的只数”即可列出方程组． 【详解】解：设有x只鸡，y只兔， 由题意可得：， 故选：C． 10. 如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为（ ） A. B. C. 17 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可知时，点与点重合，得到，进而求出点从点运动到点所需的时间，进而得到点从点运动到点的时间，求出的长，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：由图象可知：时，点与点重合， ∴， ∴点从点运动到点所需的时间为； ∴点从点运动到点的时间为， ∴； 在中：； 故选C． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出的长，是解题的关键． 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 命题“两直线平行，同旁内角互补”的结论是___________． 【答案】同旁内角互补 【解析】 【分析】本题主要考查了命题题设的基本概念以及平行线的性质．题设是命题的前提条件，结论是前提条件得到的结果．理解题设和结论的概念是解题的关键．根据题设是前提条件，结论是前提条件得到的结果，即可得到答案． 【详解】解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”． 故答案为：同旁内角互补． 12. 直线是由直线沿y轴向下平移_______________个单位长度得到的． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．根据平移中解析式的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，可得出答案． 【详解】解：直线是由直线沿y轴向下平移个单位长度得到的． 故答案为：． 13. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演进比赛，其演讲形象、内容、效果三项得分分别是9分，8分，8分．若将三项得分依次按3∶4∶3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为__________分． 【答案】8.3 【解析】 【分析】按三项得分的比例列代数式再计算即可． 【详解】解：由题意得： 故答案： 【点睛】本题考查的是加权平均数的含义，掌握“求解加权平均数的方法”是解本题的关键． 14. 若与互为相反数，则_________. 【答案】0 【解析】 【分析】先根据互为相反数的和等于0列式，再根据非负数的性质列出二元一次方程组，最后解二元一次方程组求出的值． 【详解】解：与互为相反数， ， ， ②−①得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，以及二元一次方程组的解法，根据几个非负数的和等于0，则每一个算术都等于0列式是解题的关键． 15. 如图，直线与轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点、，，…，与直线上的点，，，…，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数字规律问题，解题的关键是根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出的长的规律，对于直线，令求出的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，同理求出，，，归纳总结即可得到的长． 详解】解：对于直线，令，求出，即， 轴， 的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 轴， 的横坐标为， 将代入直线中得：，即， 与的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 同理，，， 则的长为． 故答案为：． 三、解答题（一）．（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；根据二次根式的性质先化简为最简二次根式，然后根据二次根式的乘除进行计算，最后合并同类二次根式即可. 【详解】解：原式 17. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据加减消元法解答即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 原方程组的解为． 18. 已知：如图，直线与直线分别交于点E、F，直线与直线交于点A，且，，试说明：，． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，理解并掌握平行线的判定定理是解题关键．先证，可得，再证，可证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（二）．（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级：86，94，79，84，71，90，76，83，90，87． 八年级：88，76，90，78，87，93，75，87，87，79． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ； A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 年级的学生； （2）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由． 【答案】（1）85，87，七 （2）我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【小问1详解】 解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94， 根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为， 八年级10名学生的成绩中87分的最多，有3人，所以众数， A同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生； 故答案为：85，87，七； 【小问2详解】 解：我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好， 理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好． 20. 李明在某商场购买甲乙两种商品若干次（每次甲，乙两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，甲，乙两种商品同时打折，三次购买甲，乙两种商品的数量和费用情况如表所示： 购买甲商品的数量 购买乙商品的数量 购买总费用 第一次 5 5 900 第二次 6 7 1180 第三次 9 8 1064 （1）求甲、乙两种商品的标价各是多少元？ （2）若李明第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？ 【答案】（1）甲商品的标价是80元，乙商品的标价是100元 （2）商场是打7折出售这两种商品的 【解析】 【分析】（1）设甲商品的标价是元，乙商品的标价是元，利用总价单价数量，结合前两次购买的数量及总费用，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设商场是打折出售这两种商品的，利用总价单价数量，列出一元一次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设甲商品的标价是元，乙商品的标价是元， 依题意得：， 解得：， 答：甲商品的标价是80元，乙商品的标价是100元； 【小问2详解】 （2）设商场是打折出售这两种商品的， 依题意得：， 解得：， 答：商场是打7折出售这两种商品的． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 21. 阅读下列材料，然后回答问题． 已知平面内两点，则这两点间的距离可用下列公式计算： ． 例如：已知、，则这两点间的距离为， 特别地，如果两点所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或． （1）已知、，求A、B两点间的距离； （2）已知A、B两点在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为，求A、B两点间的距离； （3）已知的顶点坐标分别为、、，你能判定的形状吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）7 （3）直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用两点间的距离公式计算； （2）由于横坐标相同，所以、两点间的距离等于纵坐标差的绝对值； （3）先根据两点间的距离公式计算出、、，然后根据勾股定理的逆定理进行判断． 【小问1详解】 解：、， ； 【小问2详解】 、在平行于轴的同一条直线上，点的纵坐标为6，点的纵坐标为， ； 【小问3详解】 是直角三角形． 理由：， ， ， ，， ， 是直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（a，b为常数）． 例如，当时，． （1）当时， 　　； （2）若，求a和b的值； （3）如果组成数对的两个数x，y满足二元一次方程时，总有，求a、b的值 【答案】（1） （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1） 由题意可得 ：，再将代入即可求解； （2）由题意可得 ：，求出方程组的解即可； （3）由题意可得 ：，求解方程组即可． 【小问1详解】 当时，， 【小问2详解】 ， ， 解得：， ∴a和b的值分别为，； 小问3详解】 ， ， ， 化简得：， 解得：， ∴a和b的值分别为，． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键． 23. 某水果店销售甲、乙两种苹果，售价分别为25元、20元、甲种苹果的进货总金额y(单位：元)与甲种苹果的进货量x(单位：)之间的关系如图所示，乙种苹果的进价为14元． （1）求甲种苹果进货总金额y(单位：元)与甲种苹果的进货量x(单位：)之间的函数解析式；(不要求写出自变量的取值范围) （2）若该水果店购进甲、乙两种苹果共，并能全部售出，其中甲种苹果的进货量不低于，且不高于． ①求销售两种苹果所获总利润w(单位：元)与甲种苹果进货量x(单位：)之间的函数关系式，并给出总利润最大的进货方案； ②为回馈客户，水果店决定在总利润最大的前提下对两种苹果进行让利销售，甲、乙两种苹果的售价均降低a元，若所获总利润恰好为940元，则a的值为 ． 【答案】（1）y与x之间的函数解析式为 （2）①w与x之间的函数关系式为，甲、乙两种苹果各进货获得的总利润最大；②1.2 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及一次函数的增减性是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）①分、两种情况，根据“总利润甲种苹果总利润乙种苹果总利润”分别写出w与x之间的函数关系式，并根据一次函数的增减性和x的取值范围，分别求出w的最大值并比较大小即可； ②由①得到的总利润最大时对应x的值，根据“甲种苹果总利润乙种苹果总利润”列关于a的方程并求解即可． 【小问1详解】 解：当时，设y与x之间的函数解析式为为常数，且， 将坐标代入，得， 解得：， ∴； 当时，设y与x之间的函数解析式为为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得：， ∴． 综上，y与x之间的函数解析式为． 【小问2详解】 解：①当时，， ∵， ∴w随x的减小而增大， ∵， ∴当时，w值最大，； 当时，， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w值最大，， ． 答：w与x之间的函数关系式为，甲、乙两种苹果各进货获得的总利润最大． ②由①可知，当时，总利润最大． 根据题意，得， 解得：． 故答案为：1.2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $