精品解析：广西柳州市第二中学2026届高三上学期开学收心考试数学试题

柳州二中2023级高三上学期开学收心考数学科试题 试卷 满分：150分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 三个数，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知展开式常数项为15，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. -1 5. 等差数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 若实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，过点作渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率是 B. 已知随机变量服从二项分布，若，则 C. 已知随机变量服从正态分布，若，则 D. 已知随机事件A，B满足，则 10. 如图是棱长为2的正方体的平面展开图，其中是的中点，在这个正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 与平行 B. C. 直线、、中，任意两条都是异面直线 D. 过，，三点的平面截该正方体所得截面的面积为 11. 已知函数的极小值点为，则（ ） A. B. 上单调递减 C. 在上单调递增 D. 的最小值为0 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 如图，在某个城市中，M与N两地之间有整齐道路网，则从M地到N地的距离最近的走法共有______种． 13. 下表给出一个“直角三角形数阵”： 满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为（i，j∈N*)，则_____. 14. 已知函数，，，则的最小值是___． 四、解答题 15. 如图所示，在中，，是上的一点，平分，且. （1）若，求的长度； （2）求的取值范围. 16. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，． （1）证明：； （2）求二面角的正切值． 17. 已知函数，其中. （1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式； （2）讨论函数的单调性； （3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围. 18. 近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积（单位：亩） 1 2 3 4 5 管理时间（单位：月） 8 10 13 25 24 并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示: 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 （1）求出相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关？ （2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？ （3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望． 参考公式： 其中．临界值表： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6635 10.828 参考数据： 19. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为．点在线段上，且满足．当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的标准方程． （2）过点的直线交曲线于两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中在轴上方，，分别为，的中点． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳州二中2023级高三上学期开学收心考数学科试题 试卷 满分：150分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求出集合，再根据交集的定义即可得出答案. 【详解】由题意可知：，，所以. 故选：A 2. 三个数，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的性质求出的范围，即得解. 【详解】由题得， ，. 所以. 故选：A 【点睛】本题主要考查指数对数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3. 向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合向量平行的坐标表示，根据“”与“”的互相推出情况判断出属于何种条件即可. 【详解】先讨论充分性，当时，，，此时，，，充分性成立； 再讨论必要性，当时，，即，， ，解得或，必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知展开式的常数项为15，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项，再根据常数项为15，求得的值． 【详解】解：二项式的展开式的通项公式为， 令，求得，可得展开式中的常数项为， 由此求得， 故选：． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 5. 等差数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式列出方程组，求出公差，得到，进而利用裂项相消法求和. 【详解】设等差数列的公差为，则， 解得：，故， 故， 故. 故选：B 6. 若实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角换元有，即可求其最小值. 详解】由题设，令且， 所以，显然最小值为， 当且仅当，即时取最小值. 故选：D 7. 已知函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将函数化简为“一角一函数”形式，根据三角函数图象的平移变换求出函数的解析式，然后利用函数图象的对称性建立的关系式，求其最小值． 【详解】， 所以， 由题意可得，为偶函数，所以， 解得，又，所以的最小值为． 故选：A. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，过点作渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，计算出点到直线的距离，分析可得，可得出，进而可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示，点到直线的距离为， 连接，由双曲线的定义可得， 所以，， 当且仅当、、三点共线时，等号成立，故，可得， 所以，，因此，该双曲线的离心率为. 故选：B. 二、多选题 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率是 B. 已知随机变量服从二项分布，若，则 C. 已知随机变量服从正态分布，若，则 D. 已知随机事件A，B满足，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，根据超几何分布可计算判断；对B，由二项分布的均值和方差公式计算判断；对C，根据正态分布的对称性求出概率判断；对D，根据全概率和条件概率的计算公式求解. 【详解】对于A，从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为，故A错误； 对于B，，，解得，故B正确； 对于C，，则正态曲线的对称轴为，根据正态曲线的对称性可得，故C错误； 对于D，，， 所以，故D正确. 故选：BD. 10. 如图是棱长为2的正方体的平面展开图，其中是的中点，在这个正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 与平行 B. C. 直线、、中，任意两条都是异面直线 D. 过，，三点的平面截该正方体所得截面的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意还原正方形，根据几何性质以及异面的概念，结合共面判定与菱形性质，可得答案. 【详解】由题意还图可得 对于A，由，则，故A错误； 对于B，由，则，故B正确； 对于C，由，，则两两异面，故C正确； 对于D，取的中点为，连接，如下图： 由分别为的中点，则， 所以四边形为菱形，即共面，故菱形为所求截面， 易知，，则面积为，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数的极小值点为，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 的最小值为0 【答案】AB 【解析】 【分析】求导得，根据极小值点为，从而确定，进而可一一判断各选项. 【详解】因为， 则， 因为是的极小值点， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增. 所以，解得. 对于A，，即，A正确； 对于B，在上单调递减，B正确； 对于C，在上单调递增，C错误； 对于D，在上单调递减，没有最小值，D错误. 故选：AB 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 如图，在某个城市中，M与N两地之间有整齐的道路网，则从M地到N地的距离最近的走法共有______种． 【答案】15 【解析】 【分析】将题目转化为四个“横”字，两个“纵”字排成一列的问题，利用组合数的应用求解即可. 【详解】从M地到N地的最近走法为横向的道路走且仅走四段，纵向的道路走且仅走两段， 于是，它就等价于四个“横”字，两个“纵”字排成一列的问题． 由于是相同元素的排列，于是等价于从六个位置中任取四个填“横”，剩余两个填“纵”， 共有种方法． 故答案为：15 13. 下表给出一个“直角三角形数阵”： 满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为（i，j∈N*)，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】 先计算第一列形成的数列，再计算第20行形成的数列，得到答案. 【详解】设第一列形成的数列为，则是首项为，公差为的等差数列，故，. 设第20行形成的数列为，是首项为，公比为的等比数列，故. 即. 故答案为：. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用. 14. 已知函数，，，则的最小值是___． 【答案】 【解析】 【分析】由题干条件得到，，构造，求导得到其单调性，从而得到最小值，求出答案. 【详解】由函数，，，得，所以，， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也时最小值，最小值为， 即的最小值为． 故答案为： 四、解答题 15. 如图所示，在中，，是上的一点，平分，且. （1）若，求的长度； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将角化边，结合正弦定理以及角平分线可得，进而可求得、； （2）利用面积相等可得到，结合角的范围即可求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得：， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 因为平分，所以， 因为，所以，所以， 因为，，所以，得，所以； 【小问2详解】 因为，设， 所以， 因为，，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以 16. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，． （1）证明：； （2）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直及面面垂直的性质证明即可； （2）利用几何法，取中点，并连接、，结合条件证线线垂直，利用二面角定义解三角形即可， 【小问1详解】 依题意，面，且面， 所以，， 因为面面，面面，面，且， 所以面， 因为面， 所以. 【小问2详解】 取中点，并连接、. 因为，所以， 由勾股定理可知. 因为，所以； 则根据二面角定义可知是二面角的一个平面角， 且由图可知为锐角. 由（1），，面， 所以面， 又因为面， 所以， 设，可得，则， 即二面角的正切值为. 17. 已知函数，其中. （1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式； （2）讨论函数单调性； （3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义依次得到关于的方程，解之即可得解； （2）对求导，分类讨论和两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （3）利用（2）中结论，分析的单调性，从而将问题转化为在上的最大值，从而得到关于的不等式组，再利用恒成立问题的解法即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 又在点处的切线方程为， ，解得，则， 由切点在直线上，得，解得， 所以. 【小问2详解】 因为， 当时，，函数在上单调递增， 当时，令，得或； 令，得或； 所以在和上单调递增，和上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，和上单调递减； 【小问3详解】 因为，所以， 所以由（2）知，在上单调递减，在上单调递增， 故在上的最大值为和中的较大者， 因为对于任意的，不等式在上恒成立， 所以，即，得， 因为上述不等式组对任意的成立，所以，故. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 18. 近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积（单位：亩） 1 2 3 4 5 管理时间（单位：月） 8 10 13 25 24 并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示: 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 （1）求出相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关？ （2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？ （3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望． 参考公式： 其中．临界值表： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考数据： 【答案】（1）线性相关；（2）有；（3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）分别求出，，从而，，，求出，从而得到管理时间与土地使用面积线性相关． （2）完善列联表，求出，从而有的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性． （3）的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，由此能求出的分布列和数学期望． 【详解】解：依题意： 故 则， 故管理时间与土地使用面积线性相关． （2）依题意，完善表格如下： 愿意参与管理 不愿意参与管理 总计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 总计 200 100 300 计算得的观测值为 故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性． （3）依题意，的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 故 故的分布列为 X 0 1 2 3 P 则数学期望为 （或由，得 【点睛】本题主要考查相关系数的求法、独立检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法以及二项分布等． 19. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为．点在线段上，且满足．当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的标准方程． （2）过点的直线交曲线于两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中在轴上方，，分别为，的中点． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）设点是所求曲线上的一点，且，由，得到，将其代入圆的方程，即可求得曲线的标准方程； （2）（i）当直线的斜率存在且不为时，设直线方程为，联立方程组，求得，由直线的方程为，联立方程组，求得，求得直线的方程，得到过定点；当直线的斜率不存在时，求得直线过定点，即可求解； （ii）由（i），结合得到，令，结合的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：设点是所求曲线上的一点，且， 由轴于，则，因为，可得， 因为点是圆上任意一点，则，即， 即曲线的标准方程为. 【小问2详解】 解：（i）当直线的斜率存在且不为时，设直线方程为，且， 联立方程组，整理得， 可得，则， 所以点的坐标为， 因为直线与直线垂直，所以直线的方程为， 设， 联立方程组，整理得， 可得，则， 所以点的坐标为， 则直线的斜率为 ， 所以直线的方程为， 即， 令，解得，所以直线过定点； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，可得，则， 直线的方程为，可得，则，直线过定点， 综上可得，直线过定点. （ii）由（i）知，直线过定点，且， 可得，则 ， 令，则，则， 令在上为单调递增函数，当时，， 即时，面积取得最大值，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $