专题2.1 二次函数y=ax²与y=ax²+c的图像与性质（一课一讲•考点题型精讲）-2025-2026学年九年级数学上册考点精讲与题型精练（人教版）

专题2.1 二次函数y=ax²与y=ax²+c的图像与性质 （一课一讲·考点题型精讲） 3大知识点梳理+2大易错点分析+10大常考题型精练+中考真题小练 · 理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式； · 会用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念； · 掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)的图象的性质，掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)之间的关系. 要点一、二次函数的概念 （1）二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： （a≠0） （a≠0） （a≠0） （a≠0），其中 （a≠0） 【注意】如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小. （2）二次函数解析式的表示方法 一般式：（a，b，c为常数，a≠0）； 顶点式：（a，h，k为常数，a≠0）； 两根式：（a≠0，，是抛物线与x轴两交点的横坐标）（或称交点式）. 【注意】任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 要点二、二次函数y=ax2(a≠0)的图象及性质 （1）二次函数y=ax2(a≠0)的图象 用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如下图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. （2）二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法 用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确. 【注意】 二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c（a≠0）的图象． 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. （3）二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质 　　二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而增大； x<0时，y随x增大而减小. 当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而减小； x<0时，y随x增大而增大. 当x=0时，y最大=0 【注意】顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴. 要点三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质 （1）二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象 （2）二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质 关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y轴 y轴 函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当时， 当时， （3）二次函数y=ax2（a≠0）与y=ax2+c（a≠0）之间的关系：（上加下减） y=ax2（a≠0）的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到y=ax2+c（a≠0）的图象. 【注意】 抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同． 函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)． 抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已． 易错点一、未弄清抛物线开口大小与a值的关系 错因分析：│a│与开口大小的反比关系‌，│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴. 【典例】如图，这是四个二次函数的图象，则a，b，c，d的大小关系为 ． 易错点二、二次函数自变量取值范围的确定（难点） 错因分析：在解关于一元二次函数的应用题时，一定不要忘记确定二次函数自变量的取值范围，否则在接下来的求解中可能会出现结果取舍不当出错. 【典例】如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为便于进出，开了3道宽均为1米的门．设花圃的一边为米，面积为平方米，求与之间的函数解析式，并求自变量的取值范围．    题型一、列二次函数关系式 1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东江门·期中）两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ． 4．（2025·湖北孝感·一模）某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 题型二、二次函数的识别 5．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级下·全国·随堂练习）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，4， D．，，1 题型三、根据二次函数的定义求参数 9．（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 10．（24-25九年级上·广东惠州·期中）若函数是关于x的二次函数，则（　　） A． B．1 C．1或 D．2 11．（24-25九年级下·全国·随堂练习）若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 12．（24-25九年级上·广东云浮·期中）若函数表示是的二次函数，则的值为 ． 题型四、二次函数y＝ax2的性质 13．（24-25九年级下·全国·随堂练习）关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．它的形状是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它的顶点在原点处，坐标为 14．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）若拋物线的开口向上，则m的值可能为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 15．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知是二次函数，且函数图象有最高点，求的值（   ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列关于二次函数的说法：①图像是一条抛物线；②图像开口向上；③函数的最大值是0；④一定过；⑤对称轴是x轴；⑥y随x增大而增大，其中正确的有 个． 题型五、二次函数y＝ax2的图像 17．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，小明在该直角坐标系中又画了二次函数，，的图像，则a，b，c，d的大小关系 ． 题型六、二次函数y＝ax2中y值的大小比较 21．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知点均在抛物线上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·广东汕头·期末）若点，在抛物线上，则的大小关系为： （填“”或“”） 23．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为 ． 24．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）若点，，都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 题型七、二次函数y＝ax2图像与性质的综合应用 25．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，，若抛物线经过区域（包括边界），则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 26．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 27．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 28．（24-25九年级上·贵州黔南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围为 ． 题型八、二次函数y=ax2+c的性质 29．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）抛物线的顶点在（   ） A．y轴上 B．x轴上 C．原点 D．第二象限 30．（2025·上海·模拟预测）抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 31．（24-25九年级上·福建福州·期中）若抛物线的开口向上，则的取值范围是 ． 32．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）对于二次函数，当时，的取值范围是 ． 题型九、二次函数y=ax2+c的图像 33．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 35．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，点，和点，分别在和的图像上．若点，的横坐标均为，点，的横坐标均为4，则线段，与两条抛物线围成的阴影部分的面积是 ． 36．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图像经过点． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并写出此函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴及y随x的变化情况； (2)当时，y的取值范围是多少？ 题型十、二次函数y=ax2+c中y值的大小比较 37．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）若二次函数的图像经过点、，则、的大小关系（   ） A． B． C． D．不能确定 38．（2025·广东珠海·三模）若点都在二次函数图象上，则（　　） A． B． C． D． 39．（2025·河南驻马店·二模）点 是抛物线 上的点，且 ，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 40．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为 ． （2023·安徽·中考真题）下列函数中，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． （2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． （2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． （2023·江苏镇江·中考真题）二次函数的最大值为 ． （2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ． （2023·广东广州·中考真题）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“<”或“>”或“=”） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 二次函数y=ax²与y=ax²+c的图像与性质 （一课一讲·考点题型精讲） 3大知识点梳理+2大易错点分析+10大常考题型精练+中考真题小练 · 理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式； · 会用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念； · 掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)的图象的性质，掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)之间的关系. 要点一、二次函数的概念 （1）二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： （a≠0） （a≠0） （a≠0） （a≠0），其中 （a≠0） 【注意】如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小. （2）二次函数解析式的表示方法 一般式：（a，b，c为常数，a≠0）； 顶点式：（a，h，k为常数，a≠0）； 两根式：（a≠0，，是抛物线与x轴两交点的横坐标）（或称交点式）. 【注意】任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 要点二、二次函数y=ax2(a≠0)的图象及性质 （1）二次函数y=ax2(a≠0)的图象 用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如下图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. （2）二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法 用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确. 【注意】 二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c（a≠0）的图象． 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. （3）二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质 　　二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而增大； x<0时，y随x增大而减小. 当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而减小； x<0时，y随x增大而增大. 当x=0时，y最大=0 【注意】顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴. 要点三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质 （1）二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象 （2）二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质 关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y轴 y轴 函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当时， 当时， （3）二次函数y=ax2（a≠0）与y=ax2+c（a≠0）之间的关系：（上加下减） y=ax2（a≠0）的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到y=ax2+c（a≠0）的图象. 【注意】 抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同． 函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)． 抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已． 易错点一、未弄清抛物线开口大小与a值的关系 错因分析：│a│与开口大小的反比关系‌，│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴. 【典例】如图，这是四个二次函数的图象，则a，b，c，d的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图， ，直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，， ， 故答案为：． 易错点二、二次函数自变量取值范围的确定（难点） 错因分析：在解关于一元二次函数的应用题时，一定不要忘记确定二次函数自变量的取值范围，否则在接下来的求解中可能会出现结果取舍不当出错. 【典例】如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为便于进出，开了3道宽均为1米的门．设花圃的一边为米，面积为平方米，求与之间的函数解析式，并求自变量的取值范围．    【答案】 【分析】注意实际场景中数量间关系，得，且，求解得自变量取值范围，根据矩形面积公式求函数关系式． 【详解】解：由题意，，，且，解得，， 于是 ， ∴． 【点睛】本题考查列二次函数关系式，不等式组的求解，由几何图形及实际场景确定数量间的关系是解题的关键． 题型一、列二次函数关系式 1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为，即可求解． 【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为， ∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·广东江门·期中）两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数关系式，求出另一个正方形的边长为，再由正方形面积公式计算即可得解，求出另一个正方形的边长为是解此题的关键． 【详解】解：∵其中一个正方形的边长为， ∴其中一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的边长为， ∵第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为， ∴面积之和为， 故选：C． 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9月份的楼盘出售均价为元，则10月份的楼盘出售均价为元，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 4．（2025·湖北孝感·一模）某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 【答案】(1) (2)售价的取值范围是 (3)能，60元 【分析】本题主要考查求函数解析式、不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据日销售利润、售价、进价、销售量的关系列出函数关系式为即可； （2）由题意，，则，解得：，再结合要保证盈利即可解答； （3）根据（1）所得的关系式，列一元二次方程求解并结合（2）的条件即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得： 日销售利润与的函数关系式为． （2）解：由题意，， 则，解得：， 要保证盈利 售价的取值范围是． （3）解：由， 则，解得：（舍去）或． 答：当定价为60元时，日销售利润为1600元． 题型二、二次函数的识别 5．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握定义是解决问题的关键．根据二次函数定义进行分析即可． 【详解】解：A、是二次函数，故此选项符合题意； B、中x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、中x的次数为，故此选项不符合题意； D、，x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 6．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，判断各选项是否为二次函数，需满足形如且为整式函数的条件． 【详解】解：选项A：此为一次函数（最高次数为1），不符合二次函数定义，排除； 选项B：二次函数需满足，但题目未限定的取值（如时为一次函数），因此不一定是二次函数，排除； 选项C：，展开得：， 符合，且为整式函数，因此一定是二次函数； 选项D：，含分式项（即），非整式函数，不符合二次函数定义，排除． 故选：C． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数的定义，可得答案． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、，当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 8．（24-25九年级下·全国·随堂练习）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，4， D．，，1 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 先将二次函数整理成一般形式，再根据定义解答即可. 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为. 故选：B. 题型三、根据二次函数的定义求参数 9．（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，求出即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， 且， 解得：， 故选：B． 10．（24-25九年级上·广东惠州·期中）若函数是关于x的二次函数，则（　　） A． B．1 C．1或 D．2 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数． 根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解： 是关于x的二次函数， |且， 解得：． 故选：A． 11．（24-25九年级下·全国·随堂练习）若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，掌握二次函数的定义是解题关键． 根据二次函数的定义得到，，即可求出m的值． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得或， ∵二次项系数不为0， ∴， ∴， 综上所述：m的值为4． 故答案为：4． 12．（24-25九年级上·广东云浮·期中）若函数表示是的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，由二次函数的定义得出，，计算即可得解，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数表示是的二次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 题型四、二次函数y＝ax2的性质 13．（24-25九年级下·全国·随堂练习）关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．它的形状是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它的顶点在原点处，坐标为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象、性质、最值．根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的图象是一条抛物线，故选项A正确， 该函数图象开口向上，关于y轴对称，故选项B正确， 图象的顶点是抛物线的最低点，故选项C错误， 图象的顶点坐标是，故选项D正确， 故选：C． 14．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）若拋物线的开口向上，则m的值可能为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的开口向上，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴， ∴m的值可能为3． 故选：C． 15．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知是二次函数，且函数图象有最高点，求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义及图象的性质，根据二次函数的定义和开口方向的条件，即可确定k的值． 【详解】解：∵是二次函数，且函数图象有最高点， ∴二次函数图象开口向下， ∴，且， 解得：，且 或 ， ∴， 则的值为． 故选：D． 16．（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列关于二次函数的说法：①图像是一条抛物线；②图像开口向上；③函数的最大值是0；④一定过；⑤对称轴是x轴；⑥y随x增大而增大，其中正确的有 个． 【答案】3 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握的图象和性质是关键．根据二次函数的性质逐条进行判断即可． 【详解】解：关于二次函数的说法： ①图像是一条抛物线,故①正确； ②∵ ∴图像开口向上； 故②正确； ③∵ ∴图像开口向上； ∵顶点为， ∴函数的最小值是0； 故③错误； ④∵顶点为， ∴一定过； 故④正确； ⑤对称轴是y轴； 故⑤错误， ⑥∵，对称轴为轴， ∴图像开口向上； ∴当时，y随x增大而增大，故⑥错误， 综上可知，正确的有①②④，共3个， 故答案为：3 题型五、二次函数y＝ax2的图像 17．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象．熟练正确二次函数的图象是解题的关键． 根据图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴图象为， 故选：D． 18．（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向，的绝对值越大，开口越小，根据此规律判断即可． 【详解】解：∵由图像可知，开口向上，并且开口小于的开口， ∴ ∵由图像可知，开口向下，并且开口小于的开口， ∴ 又 ∴ ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 19．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，找到两个临界位置是解题关键．先将点，代入求出的值，再结合函数图象求解即可得． 【详解】解：将点代入抛物线得：，解得， 将点代入抛物线得：， 如图，若抛物线与线段恰有一个公共点， 则的取值范围是， 故选：D． 20．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，小明在该直角坐标系中又画了二次函数，，的图像，则a，b，c，d的大小关系 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，在中，的值越大，函数图像越靠近轴，开口越小，时，开口向上，时，开口向下，据此判断即可得答案． 【详解】解：∵，，的图像开口向上，的图像开口向下， ∴，，，， ∵，，的图像开口依次增大， ∴， ∴． 故答案为： 题型六、二次函数y＝ax2中y值的大小比较 21．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知点均在抛物线上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数值的比较，属于基础题型．根据二次函数的性质解答，即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点均在抛物线上，且， ∴． 故选：B 22．（24-25九年级上·广东汕头·期末）若点，在抛物线上，则的大小关系为： （填“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质， 根据题意抛物线的对称轴和开口方向，再比较x的值可得答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是y轴，开口向下， ∴当时，函数值y随着x的增大而减小． ∵， ∴． 故答案为：． 23．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小．根据函数解析式得到对称轴为y轴，且离对称轴越远函数值越小，再求出三个点到y轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点，，都在函数的图象上， 且， ∴， 故答案为：． 24．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）若点，，都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式判断出开口方向和对称轴，再判断出离对称轴越远函数值越大即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为y轴， ∴离y轴越远函数值越大， ∵， ∴， 故选：A． 题型七、二次函数y＝ax2图像与性质的综合应用 25．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，，若抛物线经过区域（包括边界），则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数 二次项系数决定了抛物线开口的方向和开口的大小，，开口向上，，开口向下，的绝对值越大，开口越小，据此分两种情况讨论即可． 【详解】解：如图所示： 分两种情况进行讨论： 当时，抛物线经过点时，，抛物线的开口最小，取得最大值，抛物线经过区域（包括边界），的取值范围是：； 当时，抛物线经过点时，，抛物线的开口最小，取得最小值，抛物线经过区域（包括边界），的取值范围是：； 综上，抛物线经过区域（包括边界），则a的取值范围是或， 故选：B． 26．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键． 将分别代入和，即可得出求出，长度，根据得出，从而得出a的值，然后得到表达式为，然后求出与的值进而求解即可． 【详解】解：把代入中得，， ∴ ∴A的横坐标为，B横坐标为 ∴ 把代入得，， ∴ ∴C的横坐标为，D横坐标为 ∴ ∵， ∴ ∴（负值舍去） ∴表达式为， ∵把直线向上平移个单位，得到直线 ∴把代入中得，， ∴ ∴ 把代入得，， ∴ ∴ ∴． 故选：A． 27．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方形的性质、二次函数的性质．过点作轴于点，设，由四边形是正方形，且点在轴上，得，得出是等腰直角三角形，推出，即，解得（舍去）或，求出，由勾股定理可求出． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 设， ∵四边形是正方形，且点在轴上， ∴， ∴, ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：4． 28．（24-25九年级上·贵州黔南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【详解】解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为，，， ∴， 当抛物线经过点时，则， 当抛物线经过时，， 观察图象可知， 故答案为：． 题型八、二次函数y=ax2+c的性质 29．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）抛物线的顶点在（   ） A．y轴上 B．x轴上 C．原点 D．第二象限 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质．根据抛物线的顶点式确定顶点坐标，进而判断其位置即可. 【详解】解：抛物线的顶点为， 顶点在轴上， 故选：A． 30．（2025·上海·模拟预测）抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了根据二次函数经过的象限确定字母系数的符号，解题关键是利用数形结合思想求解． 先确定抛物线的开口方向，再确定与轴的交点位置来确定的符号． 【详解】解：∵抛物线一定不经过第一、二象限， ∴抛物线的开口方向下，抛物线在第三、四象限， ∴，可排除选项，； ∴抛物线与的交点在负半轴，或过原点， ∴，可排除， 故选：B ． 31．（24-25九年级上·福建福州·期中）若抛物线的开口向上，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的开口向上，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴； 故答案为：． 32．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）对于二次函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是轴，结合，得出的取值范围是，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口方向向下，对称轴为直线，即对称轴是轴， 此时在时，有最大值，且， ∵，且， ∴在时，有最小值，且， ∴的取值范围是， 故答案为：． 题型九、二次函数y=ax2+c的图像 33．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，根据二次函数的开口方向和与y轴的交点位置分别判定a的符号，以及对称轴是y轴，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：函数的对称轴为y轴， A、抛物线开口向上，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； B、抛物线开口向上，则，与y轴交于负半轴，则，即，但是对称轴不是y轴，不符合题意； C、抛物线开口向下，则，与y轴交于负半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； D、抛物线开口向下，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者一致，且对称轴是y轴，符合题意； 故选：D． 34．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出，从而得出二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得解． 【详解】解：∵正比例函数，随的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意； 联立得：， 则， 故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意； 故选：D． 35．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，点，和点，分别在和的图像上．若点，的横坐标均为，点，的横坐标均为4，则线段，与两条抛物线围成的阴影部分的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．依据题意，分别连接、，从而若点A，C的横坐标均为，点B，D的横坐标均为4，进而可得轴，又上面的抛物线为向下平移可得4个单位可得下面的抛物线，从而，可得四边形为平行四边形，结合平移的性质，从而阴影部分的面积为平行四边形的面积，进而得解． 【详解】解：如图，分别连接、． ∵若点A，C的横坐标均为，点B，D的横坐标均为4， ∴轴． 又∵上面的抛物线为向下平移可得4个单位可得下面的抛物线， ∴． ∴四边形为平行四边形． 又由平移可得， ∴阴影部分的面积为平行四边形的面积． 故答案为：24． 36．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图像经过点． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并写出此函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴及y随x的变化情况； (2)当时，y的取值范围是多少？ 【答案】(1)图像见解析，函数图像的开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴．当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 (2)当时，y的取值范围是 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． （1）利用二次函数的解析式的特点和点的坐标，画出图像即可，再利用图像解决问题即可． （2）利用图像分析当时，y的取值范围，需要看图分析：当时，y取得最小值；当时，y取得最大值，且最大值为2．从而得到答案． 【详解】（1）解： 将代入得即解得：． 列表： … 0 1 2 … … 2 2 … 描点画出函数的图像，如图所示． 此函数图像的开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴．当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． （2）根据图像分析可得，若，则当时，y取得最小值，且最小值为-2， 当时，y取得最大值，且最大值为2． 所以当时，y的取值范围是． 题型十、二次函数y=ax2+c中y值的大小比较 37．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）若二次函数的图像经过点、，则、的大小关系（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象性质，比较二次函数上两点的函数值，利用二次函数的函数图象的开口方向向下，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，进行分析，即可作答． 【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为轴（即）， 则点到对称轴的距离为3，点到对称轴的距离为4， 则开口向下，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， ∵ ∴， 故选：C． 38．（2025·广东珠海·三模）若点都在二次函数图象上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数解析式可得在轴右侧，随的增大而增大，即可得到答案． 【详解】解：二次函数， 二次函数图象开口向上，对称轴为轴， 在轴右侧，随的增大而增大， ， ， 故选：A． 39．（2025·河南驻马店·二模）点 是抛物线 上的点，且 ，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的图象和性质，先判断出抛物线开口方向及对称轴，再根据点到对称轴的距离判断函数值的大小． 【详解】解：中 抛物线开口向下，对称轴为y轴，抛物线上离对称轴越远的点，函数值越小， ， ， 故选：C． 40．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的增减性．由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为轴，图象开口向上，离对称轴越远，函数值越大，据此求解即可． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为轴，开口向上， 可知，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴． 故答案为：． （2023·安徽·中考真题）下列函数中，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，，对称轴为直线， 当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； B. ，，对称轴为直线， 当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意； C. ，，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； D. ，，的值随值的增大而减小，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键． （2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． （2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可． 【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：    当时，则，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点， ∴， 解得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键． （2023·江苏镇江·中考真题）二次函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的顶点式确定二次函数的最大值． 【详解】解：∵二次函数的表达式为， ∴当时，二次函数取得最大值，为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． （2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． （2023·广东广州·中考真题）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“<”或“>”或“=”） 【答案】 【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：的对称轴为y轴， ∵， ∴开口向上，当时， y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$