专题2.4 二次函数y=a(x-h)²与y=a(x-h)²+k的图像与性质（一课一练•培优分层精练）-2025-2026学年人教版九年级数学上册考点精讲与题型精练

专题2.4 二次函数y=a(x-h)²与y=a(x-h)²+k的图像与性质 （一课一练•培优分层精练） 两层必刷：基础巩固练+能力培优练 一、单选题 1．（24-25九年级上·吉林·期中）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，抛物线的顶点坐标为．根据顶点式写出顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线， 抛物线的顶点坐标是． 故选：A． 2．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知抛物线，下列说法错误的是（   ） A．开口方向向下 B．形状与相同 C．顶点是 D．函数最大值为4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，以及拋物线的开口方向的确定，是基础题，熟记性质是解题的关键． 根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、抛物线，抛物线开口向下，此选项正确； B、抛物线形状与相同，此选项正确； C、抛物线顶点坐标是，此选项错误； D、抛物线抛物线开口向下，顶点坐标是，函数有最大值为4，此选项正确． 故选：C． 3．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为，即， 故选：A． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）对于抛物线下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据抛物线的图像和性质进行判断即可． 【详解】解：抛物线， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， 故①③正确， 故选：B． 5．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数性质，根据抛物线解析式，得到抛物线开口向上，对称轴为．再比较各点横坐标到对称轴的距离，结合二次函数性质可知点到对称轴的距离越大其对应的值越大，即可解题． 【详解】解：抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为． 又 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． 由于开口向上，距离对称轴越远的点值越大．因此，． 故选C． 6．（24-25九年级下·山东青岛·期末）已知关于x的二次函数的图象经过，，，四点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象点的坐标特征由图象中存在，两个对称点可得是抛物线与x轴右侧交点，作出图象求解． 【详解】解：如图， 设点与关于抛物线对称轴对称， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）函数的图象如图所示，结合图象判断，下面结论错误的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，取得最大值3 D．当时，随的增大而减少 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，取得最大值3，对称轴为直线，抛物线的开口向下， ∴当时，随的增大而减少， 由图象可知当时，部分值大于0， 综上，错误的是B选项； 故选：B． 8．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 9．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）二次函数的最值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．题目已知的是二次函数顶点式，直接根据顶点式特征求解即可． 【详解】解：二次函数， 当时，函数有最小值，最小值为． 故答案为：． 10．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）已知二次函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是 ．（用“＜”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小． 先根据二次函数解析式可得抛物线的对称轴为，图象开口向下，由此可得抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大，再分别求得A、B、C三点到对称轴的距离，由此即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y取得最大值， ∴抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大， ∵，，，且， ∴． 故答案为：． 11．（23-24九年级上·广西梧州·期末）将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 根据平移规律计算即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位， 所得的抛物线为， 整理得； 故答案为：． 12．（24-25九年级下·全国·随堂练习）抛物线是由抛物线先向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度后得到的． 【答案】 左/上 2/5 上/左 5/2 【分析】根据题意，得，，故平移变换是一个向左平移2个单位，向上平移5个单位的变换，解答即可． 本题考查了二次函数的平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，，故平移变换是一个向左平移2个单位，向上平移5个单位的变换， 故抛物线是由抛物线先向左或上平移2个或5个单位长度，再向上或左平移5或2个单位长度后得到的． 故答案为：左或上，2或5，上或左，5或2． 13．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数定点式，对称轴为直线． 根据题意可得二次函数的对称轴为直线，进而可得，从而可得函数解析式，再把代入函数解析式可得y��的值． 【详解】解：由二次函数的性质可知，二次函数的图象的对称轴为直线． 根据题意可知，，解得， 即二次函数的解析式为， ∴当时，． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·北京海淀·期中）1.已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用抛物线的对称性质及开口方向，确定点，到对称轴的距离关系，从而比较大小即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴该抛物线的对称轴为直线，函数图象开口向上， ∴点关于直线，的对称点为， ∵， ∴或， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 15．（24-25九年级下·全国·随堂练习）已知函数． (1)指出它的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标以及函数的最大值或最小值． (2)当x取何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1)抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y有最大值2，无最小值 (2)当时，y随x的增大而减小 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式可得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；根据，在对称轴右侧，y随x的增大而减少可得答案． 【详解】（1）解：在函数中，， 所以抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为， 当时，y有最大值2，无最小值． （2）当时，y随x的增大而减小． 16．（24-25九年级下·全国·随堂练习）把抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线．试确定a，h，k的值． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移特点，得出，，，然后再求出，，即可． 【详解】解：∵抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线， ∴，，， ∴，，． 17．（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标． (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)a的取值范围是或 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标，二次函数的性质， 运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 把代入，根据顶点式得到顶点坐标； 分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 此时顶点坐标为． （2）解：的对称轴为直线， 分以下两种情况讨论： ①当时，如图①． ，且当时，y随x的增大而增大， ，解得． 又； ②当时，如图②． 由题意，得关于对称轴对称的点的坐标为． ，且当时，y随x的增大而减小， ，解得． 又． 综上所述，a的取值范围是或． 18．（24-25九年级上·河南漯河·期中）已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴； (2)完成下表： x … 1 3 5 … y … ______ ______ ______ ______ ______ … (3)在平面直角坐标系中描点画出抛物线的图象． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 (2)，，0，， (3)作图见详解 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的特点，计算函数值，描点连线作图，掌握二次函数顶点式的特点，代入求值，根据表格信息作图的方法是解题的关键． （1）根据二次函数的顶点坐标为，对称轴直线为，即可求解； （2）把自变量的值代入计算即可求解函数值； （3）根据表格信息，描点、连线即可求解． 【详解】（1）解：抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：把自变量的值代入求解， x … 1 3 5 … y … 0 … 故答案为：，，0，，； （3）解：根据表格信息，描点，连线，作图如下， 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）把抛物线向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后得到点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】抛物线的顶点坐标为， 把点向左平移2个单位，再向下平移5个单位得到点的坐标为， 所以平移后的抛物线解析式为． 故选B． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）是抛物线上三点，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握当开口向下时、离对称轴越近的点、函数值越大成为解题的关键． 根据抛物线确定开口方向及对称轴，判断各点离对称轴的距离，然后结合二次函数的增减性即可确定函数值的大小关系． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线．当开口向下时，离对称轴越近的点，函数值越大． ∵点的横坐标到对称轴的距离为；点的横坐标到对称轴的距离为；点的横坐标到对称轴的距离为． ∴， ∴． 故选B． 3．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）下列关于二次函数 （为常数）的结论，①该函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 的图像上，其中正确的有 （    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．通过分析二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及特定点代入，逐一验证各结论的正确性． 【详解】解：二次函数形状由二次项系数决定，原函数为，其二次项系数为，与的系数相同，故两函数图象形状相同，结论①正确； 对于，当时，即，该函数的图象一定经过点，结论②正确； 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，结论③错误； 的顶点坐标为，对于二次函数，当时，，即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确； 综上，正确结论为①②④，共3个， 故选：C． 4．（2025·江西·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，为抛物线上任意两点，当时，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由，得抛物线开口向上，分情况讨论：当时；当时；当时；即可解答． 【详解】解：因为，所以抛物线开口向上， 因为，所以位于的左侧，且， 当时满足，     所以，当时，，不满足题意； 当时，满足题意，此时； 当时，要满足条件，则点比点低，此时： ； 故选：A． 5．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，四个二次函数的图象中，分别对应的解析式是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次项系数大于零，开口向上，二次项系数小于零，开口向下，开口越小二次项系数的绝对值越大是解题的关键． 【详解】解：∵①②开口向上，③④开口向下， ∴，，，， 又∵①的开口小于②的开口，④的开口小于③的开口， ∴，， ∴∴， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25九年级下·广东惠州·阶段练习）把函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后图象的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后图象的函数解析式为：，即． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得抛物线的对称轴为，则抛物线与轴另一个交点为，再根据图象即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴抛物线的对称轴为， 由图象可知抛物线与轴的一个交点为， ∴关于对称的点为，即抛物线与轴另一个交点为， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知二次函数（为常数）．当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图，这些分别是当，，，时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的顶点，根据得到顶点坐标，再求顶点坐标满足的函数解析式即可． 【详解】解：∵顶点坐标为， ∴设，消去得， ∴它们的顶点坐标满足的函数解析式是， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，直线平行于轴，二次函数的图像与直线交于，两点，二次函数的图像与直线交于，两点，其顶点为，若，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键掌握二次函数的性质．设直线交轴于点，过点作二次函数的对称轴交于点，根据题意可得：，，进而得到，，求出，即可求解． 【详解】解：设直线交轴于点，过点作二次函数的对称轴交于点， ，，， ，， ，， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 10．（2025·广东珠海·一模）抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，勾股定理等．由抛物线的对称性求出点B的坐标，由抛物线的平移表示出点C的坐标，再根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：抛物线L的解析式为， 抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线L过两点， ， ， ，， 抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M， 设抛物线M的顶点， ，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得， 解得，， 点C的坐标为或 故答案为：或． 三、解答题 11．（24-25九年级上·吉林·期中）已知抛物线 ． (1)若此抛物线的顶点在直线 上，求的值； (2)若点 与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据抛物线的解析式可得抛物线的顶点坐标为，再代入一次函数解析式解答即可求解； （）根据抛物线的对称性可得点关于抛物线对称轴的对称点为，进而根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线 ， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵此抛物线的顶点在直线 上， ∴， 解得； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴的对称点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，． 12．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）若两个二次函数图象的顶点相同，开口大小相同，但开口方向相反，则称这两个二次函数为“对称二次函数”． (1)请写出二次函数的“对称二次函数”； (2)已知关于的二次函数和，若与互为“对称二次函数”，求函数的表达式，并求出当时，的最大值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（）根据“对称二次函数”的定义解答即可； （）把转化为顶点式，再根据“对称二次函数”的定义可得的解析式，进而根据二次函数的性质可得的最大值； 本题考查了二次函数的新定义，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：二次函数的“对称二次函数”是； （2）∵， 又∵与互为“对称二次函数”， ∴， ∴的对称轴为直线， ∵，且， ∴当时，． 13．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知抛物线． (1)当时，y随着x的增大而减小，求h的最小值； (2)已知A、B两点在x轴上，A点坐标为，B点坐标为，若抛物线与线段只有一个公共点，求h的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，根据二次函数的增减性求解即可； （2）分别求得抛物线经过、两点时的h值，结合二次函数的对称性求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵当时，y随着x的增大而减小， ∴，则h的最小值为1； （2）解：由题意得， 当抛物线经过点时， 解得或， 当抛物线经过点时， 解得或． 当时，抛物线同时经过点A和点B，不合题意， ， 则h的取值范围是，且． 14．（24-25九年级上·全国·课后作业）如下图，点在抛物线上，且在对称轴的右侧． (1)m的值为_______． (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段，分别记为．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的平移、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将代入得到，解得，再根据点P在对称轴的右侧可得； （2）先求出平移后抛物线的顶点坐标为；再求出平移前抛物线的顶点坐标，然后确定平移方式，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：将代入可得： ，解得：． 点P在对称轴的右侧， ， ． （2）解：平移后的抛物线的表达式为， 平移后的顶点的坐标为． 抛物线上， ∴平移前抛物线的顶点的坐标为， 胶片的平移过程为先向左平移3个单位，再向下平移4个单位， 点移动的最短路程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 二次函数y=a(x-h)²与y=a(x-h)²+k的图像与性质 （一课一练•培优分层精练） 两层必刷：基础巩固练+能力培优练 一、单选题 1．（24-25九年级上·吉林·期中）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知抛物线，下列说法错误的是（   ） A．开口方向向下 B．形状与相同 C．顶点是 D．函数最大值为4 3．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）对于抛物线下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 5．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·山东青岛·期末）已知关于x的二次函数的图象经过，，，四点，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）函数的图象如图所示，结合图象判断，下面结论错误的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，取得最大值3 D．当时，随的增大而减少 8．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 二、填空题 9．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）二次函数的最值是 ． 10．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）已知二次函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是 ．（用“＜”连接） 11．（23-24九年级上·广西梧州·期末）将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线为 ． 12．（24-25九年级下·全国·随堂练习）抛物线是由抛物线先向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度后得到的． 13．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为 ． 14．（24-25九年级上·北京海淀·期中）1.已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的值可以是 ．（写出一个即可） 三、解答题 15．（24-25九年级下·全国·随堂练习）已知函数． (1)指出它的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标以及函数的最大值或最小值． (2)当x取何值时，y随x的增大而减小？ 16．（24-25九年级下·全国·随堂练习）把抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线．试确定a，h，k的值． 17．（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标． (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，都有，求a的取值范围． 18．（24-25九年级上·河南漯河·期中）已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴； (2)完成下表： x … 1 3 5 … y … ______ ______ ______ ______ ______ … (3)在平面直角坐标系中描点画出抛物线的图象． 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）把抛物线向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）是抛物线上三点，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）下列关于二次函数 （为常数）的结论，①该函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 的图像上，其中正确的有 （    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·江西·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，为抛物线上任意两点，当时，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，四个二次函数的图象中，分别对应的解析式是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级下·广东惠州·阶段练习）把函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后图象的函数解析式为 ． 7．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为 ． 8．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知二次函数（为常数）．当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图，这些分别是当，，，时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是 ． 9．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，直线平行于轴，二次函数的图像与直线交于，两点，二次函数的图像与直线交于，两点，其顶点为，若，，，则点的坐标为 ． 10．（2025·广东珠海·一模）抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·吉林·期中）已知抛物线 ． (1)若此抛物线的顶点在直线 上，求的值； (2)若点 与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围. 12．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）若两个二次函数图象的顶点相同，开口大小相同，但开口方向相反，则称这两个二次函数为“对称二次函数”． (1)请写出二次函数的“对称二次函数”； (2)已知关于的二次函数和，若与互为“对称二次函数”，求函数的表达式，并求出当时，的最大值． 13．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知抛物线． (1)当时，y随着x的增大而减小，求h的最小值； (2)已知A、B两点在x轴上，A点坐标为，B点坐标为，若抛物线与线段只有一个公共点，求h的取值范围． 14．（24-25九年级上·全国·课后作业）如下图，点在抛物线上，且在对称轴的右侧． (1)m的值为_______． (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段，分别记为．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $