期末易错压轴题型（26易错+8压轴）（专项训练）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（苏科版）

期末易错压轴题型（26易错+8压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、一元二次方程的定义 易错题型二、一元二次方程的一般式 易错题型三、利用一元二次方程求参数 易错题型四、解一元二次方程 易错题型五、根据判别式判断一元二次方程根的情况 易错题型六、一元二次方程的根与系数的关系 易错题型七、解分式方程 易错题型八、圆的基本概念 易错题型九、圆心角的概念 易错题型十、判断确定圆的条件 易错题型十一、圆周角的概念 易错题型十二、判断点与圆的位置关系 易错题型十三、利用垂径定理求值 易错题型十四、利用弧、弦、圆心角的关系求解 易错题型十五、三角形外接圆的概念 易错题型十六、画圆(尺规作图) 易错题型十七、判断直线和圆的位置关系 易错题型十八、有关切线的概念 易错题型十九、圆和圆的位置关系 易错题型二十、正多边形和圆 易错题型二十一、求弧长 易错题型二十二、求扇形面积 易错题型二十三、求圆锥的侧面积 易错题型二十四、平均数、中位数与众数 易错题型二十五、求方差 易错题型二十六、等可能条件下的概率 压轴题型一、根的判别式的压轴题型 压轴题型二、弧长和扇形的面积 压轴题型三、垂径定理及应用 压轴题型四、正多边形与圆的综合 压轴题型五、切线判定与性质综合 压轴题型六、一元二次方程的实际综合应用 压轴题型七、圆锥侧面上最短路径问题 压轴题型八、圆的综合问题 易错题型一、一元二次方程的定义 1．（25-26九年级上·江苏南京·期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程解答此题即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B、方程化为，故是一元二次方程，符合题意； C、方程化为，即，是一元一次方程，故不是一元二次方程，不符合题意； D、方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，，求解即可，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知关于x的方程． （1）当为何值时，方程是一元二次方程； （2）当为何值时，方程是一元一次方程． 【答案】（1）a≠±3；（2）a=－3 【分析】（1）由一元二次方程的定义得到：a2﹣9≠0，由此可以求得a的值； （2）根据一元一次方程的定义得到：a2﹣9=0，由此可以求得a的值． 【详解】（1）∵关于x的方程，是一元二次方程，∴a2﹣9≠0，解得：a≠±3； （2）∵关于x的方程，是一元一次方程，∴a2﹣9=0且a－3≠0，解得：a=－3． 【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义．注意，一元一次方程的未知数的系数不等于零，一元二次方程的二次项系数不等于零． 易错题型二、一元二次方程的一般式 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．3，，9 B．3，， C．3，5，9 D．3，5， 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程化为一般形式，即可直接读出二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：原方程为，展开左边括号得：， 将右边移到左边，得：， 则二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 故选B． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查一元二次方程化为一般形式，掌握一元二次方程化为一般形式是解题的关键． 先通过去括号、移项、合并同类项、然后同时除以二次项的系数得到二次项系数是1的一元二次方程，再确定二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】解： ， 所以该方程的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是． 故答案为：1；；． 6．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 先把一元二次方程化成一般式，然后根据二次项、一次项、常数项的定义解答即可． 【详解】解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 9 4 1 2 易错题型三、利用一元二次方程求参数 7．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．1 B．2 C．－1 D．－2 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程解的概念，掌握知识点是解题的关键． 由于是方程的一个根，直接代入方程即可求解a的值． 【详解】解：将代入方程，得 ， 解得． 故选A． 8．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若是一元二次方程，的一个根，则m的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 将代入方程，利用方程根的定义求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：15． 9．（2025·江苏无锡·一模）如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 【答案】(1)是凤凰方程，理由见解析 (2) 【分析】（）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义判断即可； （）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义得到关于的方程解答即可； 本题考查了一元二次方程的解，理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：是凤凰方程，理由如下： 由方程可得，，，， ∴， ∴一元二次方程是凤凰方程； （2）解：由方程得，，，， ∵是关于的凤凰方程， ∴， ∴． 易错题型四、解一元二次方程 10．（2025·江苏南京·一模）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 通过变量代换，将新方程转化为已知方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设，则新方程化为， ∵方程的解为，， ∴或， 解得或， ∴新方程的解为，． 故选：B． 11．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）用配方法解方程，首先移项得，然后配方，化简得，再通过降次转化为两个一元一次方程求解，那么这里的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键 根据配方法，一次项系数的一半即为b的值，据此即可解答． 【详解】解：， 移项得， 配方时，加上一次项系数8的一半的平方，即 ，得： ，即 ． 因此，b的值为4． 故答案为4． 12．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）下面是小昊同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．…第一步 移项，合并同类项，得．…第二步 系数化为1，得．…第三步 任务： (1)小昊的解法从第_______步开始出现错误； (2)此题的正确结果是_______． (3)用因式分解法解方程：． 【答案】(1)一 (2)， (3)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据解题过程结合等式的性质即可解答； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得：小昊的解法从第一步开始出现错误； （2）解： ∴或 ∴，； （3）解： ∴或 ∴，． 易错题型五、根据判别式判断一元二次方程根的情况 13．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）关于x的一元二次方程的根的情况，正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个正根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，通过计算判别式Δ的值，判断一元二次方程的根的情况． 【详解】∵ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 14．（2025九年级上·江苏常州·专题练习）定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，例如，若 为实数是关于的方程，则它的根的情况为： ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义，先根据新定义得到，整理得到，再利用根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 15．（25-26九年级上·江苏常州·月考）已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且）． (1)若，求x的值； (2)若，求证：方程总有实数根． 【答案】(1)x的值为1或 (2)见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式， 对于（1），先得出一元二次方程的一般形式，再根据因式分解法求解即可； 对于（2），求出，再整理可得结果，然后根据结果判断即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴x的值为1或； （2）证明：∵， ∴， ∴ ， ∴方程总有实数根． 易错题型六、一元二次方程的根与系数的关系 16．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若方程的两个实数根分别为，则的值是（    ） A． B． C．-3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是牢记“在一元二次方程中，两根之积”． 直接利用一元二次方程根与系数的关系：两根之积等于常数项除以二次项系数． 【详解】解：∵方程中，，， ∴． 故选：A． 17．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）已知关于的一元二次方程的两根为和2，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．直接根据根与系数的关系求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根为和2， ∴． ∴． 故答案为：． 18．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． (2)若，是原方程的两根，且．求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解、根与系数的关系，熟练掌握利用判别式判断方程解的情况、根与系数的关系是解题的关键． （1）通过计算判别式，方程总有两个不相等的实数根进行证明即可； （2）由韦达定理得，，代入，求出m的值即可． 【详解】（1）证明：判别式为 ， 则无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由韦达定理得，， 由于， 则， 解得， 因此m的值为． 易错题型七、解分式方程 19．（2025·江苏徐州·模拟预测）将分式方程去分母，整理后得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程中的去分母化简．先确定最简公分母，方程两边同乘公分母去分母，再整理得到整式方程，最后判断选项即可． 【详解】解：由题意知，分式方程的分母分别为x和，最简公分母是各分母的乘积，即， 因此，方程两边同乘，得：， 展开合并同类项得到：， 故选：D． 20．（25-26九年级上·江苏南京·期中）用换元法解方程时，如果设，那么变形后的整式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是换元法解方程，通过换元法，将分式方程中的复杂分式用新变量表示，从而简化方程，转化为整式方程求解． 【详解】解：设 ，则 ， 代入原方程 得 ． 方程两边乘 （）得 ， 移项得 ． 故答案为： 21．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）解分式方程： 【答案】 【分析】本题考查解可化成一元二次方程的分式方程，先去分母变成整式方程，再解整式方程，最后检验下结论即可． 【详解】解：方程两边同乘得：， 整理得， ， 解得， 检验，当时，，不是方程的解； 当时，，是方程的解； ∴原分式方程的解为． 易错题型八、圆的基本概念 22．（24-25九年级上·江苏徐州·开学考试）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点有半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本性质以及勾股定理，熟练掌握基本性质是解题关键． 先求出半径，再利用勾股定理求出的长度，再根据，代入式子即可得到答案． 【详解】解：设，，可得圆的半径， ∴， 在直角三角形中，， ∵， ∴， 故选：D． 23．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，则 ． 【答案】/15度 【分析】此题考查了圆的有关性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用． 由在中，，可得，可得，由即可求得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 24．（2025九年级上·江苏常州·专题练习）如图所示，是的直径，图中的弦有哪些？哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？ 【答案】图中的弦有，，，图中的劣弧有，，图中的优弧有， 【分析】根据弦，优弧，劣弧的定义求解即可，连接圆上任意两点的线段叫做弦；所对圆心角大于的圆弧叫作优弧；所对圆心角小于的圆弧叫作劣弧． 【详解】解：图中的弦有，，， 图中的劣弧有，， 图中的优弧有，． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，弦、优弧、劣弧的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 易错题型九、圆心角的概念 25．（24-25九年级上·江苏常州·期中）下图中是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心角的概念：圆心角是指在中心为O的圆中,过弧AB两端的半径构成的∠AOB, 称为弧AB所对的圆心角进行判断. 【详解】解：A、不是圆心角，故不符合题意； B、不是圆心角，故不符合题意； C、是圆心角，故符合题意； D、不是圆心角，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键． 26．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，弧弧，，点在上，连接，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了同圆中等弧所对的圆心角相等，圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 如图，连接，则，根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 27．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 易错题型十、判断确定圆的条件 28．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，已知线段，，经过点A，B，以的长为半径能画出圆的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握确定圆的条件是解题关键．先画出的垂直平分线为直线，再以点为圆心、的长为半径画弧交直线于两点，则这两个点即为所求圆的圆心，据此解答即可得． 【详解】解：如图，直线是的垂直平分线，以点为圆心、的长为半径画弧交直线于两点，则这两个点即为所求圆的圆心． 所以经过点，以的长为半径能画出2个圆， 故选：B． 29．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，确定圆心，作的垂直平分线交于点，连接，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， 故答案为：． 30．（2025·江苏苏州·二模）如图，已知．    (1)尺规作图：作的外接圆；（不要求写作法） (2)若，，求的外接圆半径是___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形外接圆的性质可知的外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等进而作三边的垂直平分线即可； （2）根据圆周角定理可知，再根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：∵的外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等， ∴作三角形三边的垂直平分线，三条垂直平分线的交点即为的外接圆的圆心， ∴即为所求，    （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴， 即的外接圆半径是， 故答案为．      【点睛】本题考查了三角形外接圆的尺规作图，圆周角定理，勾股定理，掌握三角形外接圆的性质是解题的关键． 易错题型十一、圆周角的概念 31．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，是的直径，弦与交于点E，连结，，设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连结，由是的直径，得，则，而，且，，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：连结， 是的直径， ， ， ∴， ，且，， ， ， 故选：A 32．（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图，四边形内接于，，连接，，则钝角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据四边形内接于，得，再结合圆周角定理，得，即可作答． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 33．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，从直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形； (1)求被剪掉的部分的面积； (2)如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查扇形与圆的面积计算，扇形弧长的计算，割补法求面积，以及扇形所围成的圆锥与扇形之间的关系，掌握扇形与圆的面积，弧长公式是解决本题的关键． （1）由图可知当扇形圆心角为时，的连线过圆心O，连接，，进而可证为等腰直角三角形，通过勾股定理可计算出扇形半径，进而计算出扇形面积，用圆形铁皮面积减扇形面积即为所求； （2）根据扇形半径可求出扇形上弧长，再根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求解． 【详解】（1）解： 如图所示，连接，， 当扇形圆心角为时，的连线过圆心O， ∵（为同圆的半径），， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 所以扇形面积为：， 圆形铁皮面积为：， ∴减掉部分面积为：； （2）解：由剪下来的扇形的半径为， ∴扇形弧长为：， ∴围成圆锥的底面半径为：． 易错题型十二、判断点与圆的位置关系 34．（24-25九年级上·河北沧州·月考）已知的直径为10，为射线上的三个点，，，，则（　　） A．点在 内 B．点在上 C．点在 外 D．点在上 【答案】D 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】解：∵的直径为10， ∴的半径为5， ∵，， ∴点A在外，点B 在 内，点C在 上． 故选：D 35．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）如图，在中，，，以点为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是 ． 【答案】点在内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，由题意并结合即可得解，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，以点为圆心，为半径画圆，且， ∴， ∴点与的位置关系是点在内， 故答案为：点在内． 36．（24-25九年级上·西藏林芝·期中）如图，在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆，其中，． (1)请写出方程表示的圆的半径和圆心的坐标； (2)判断原点和第（1）问中圆的位置关系． 【答案】(1)半径为5，圆心 (2)在圆上 【分析】（1）根据题目所给的“在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆”即可直接得出答案； （2）将原点的坐标代入，即可判断出点与圆的位置关系． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆， 将化成， 表示的圆的半径为5，圆心的坐标为； （2）解：将原点代入， 左边右边， 原点在表示的圆上． 【点睛】此题主要考查对未学知识以新定义形式出现的题型，读懂题意，根据新定义解决问题是本题的关键． 易错题型十三、利用垂径定理求值 37．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，线段是的直径，弦，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由线段是的直径，弦，根据垂径定理的即可求得，然后由圆周角定理，即可求得答案． 【详解】解：∵线段是的直径，弦， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 38．（2025九年级·宁夏·专题练习）如图，在中，半径垂直弦于点D，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理得，在中，利用余弦的定义求． 【详解】解：半径垂直弦于点D， ，， ． 故答案为：． 39．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D， 连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求残片所在圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)7.5 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆心的位置的确定，勾股定理： （1）作的垂直平分线交的延长线于点O，即可； （2）连接，设圆的半径为r，则，，再由垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：如图，连接， 设圆的半径为r，则，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即圆的半径为 易错题型十四、利用弧、弦、圆心角的关系求解 40．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，是的直径，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握定理以及推论是解题的关键．根据在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角相等，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 41．（24-25九年级上·江苏常州·期中）将按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，若阴影部分的面积为2，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查图形的面积，由图形可知按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，阴影部分占其中一份，即的面积是阴影部分的面积的八倍，据此数量关系计算即可． 【详解】解：按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，且阴影部分的面积为2， 的面积为， 故答案为：． 42．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）小滨和小江在研究与圆有关的问题时发现：“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．”进一步思考后，两位同学提出了这样的想法：这四对量中，如果有一对量存在倍数关系，其余三对量是否也会相应的存在倍数关系？因此，在如图所示的中，他们提出了如下猜想：小滨：若，则．小江：若，则．请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 【答案】小滨的猜想是正确的，小江的猜想是错误的；理由见解析 【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系．根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系以及三角形三边关系进行解答即可． 【详解】解：小滨的猜想是正确的，小江的猜想是错误的；理由： 小滨：如图1，作的平分线， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； 小江：如图2，取的中点E，连接并延长交于点D， 由垂径定理可知，， ∴， ∵，即，而， ∴， ∴， ∴． 易错题型十五、三角形外接圆的概念 43．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外 C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，确定圆的条件以及勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴圆心在直线上， 设其圆心坐标为， 则，即， 由勾股定理得， 解得， ∴这条圆弧所在圆的圆心为， 半径为， ∵， ∴点在这条圆弧所在圆上， ∵， ∴原点在这条圆弧所在圆内， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 44．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，，则外接圆的圆心 .    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，作和的垂直平分线，它们的交点为的外接圆的圆心，然后根据坐标系直接写出的外接圆的圆心坐标． 【详解】解：如图所示：点P即为外接圆的圆心；      所以点的坐标为． 故答案为：． 45．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）是的外接圆，P是上一点．    (1)请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中的平分线； (2)结合图②，说明你这样画的理由． 【答案】(1)画图见解析 (2)理由见解析 【分析】（1）如图①，连接，即为所求角平分线；如图②，连接并延长，与交于点D，连接，即为所求角平分线； （2）由得到，再利用等弧所对的圆周角相等可得结论． 【详解】（1）解：如图①，连接，即为所求角平分线； ∵， ∴， ∴平分； 如图②，连接并延长，与交于点D，连接，即为所求角平分线， ∵，点O为外接圆圆心， ∴， ∴， ∴， ∴平分；    （2）∵，点O为外接圆圆心， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 【点睛】此题主要考查了基本作图以及圆心角、弧、弦的关系，等弧所对的圆周角相等等知识，熟练利用圆心角、弧、弦的关系得出是解题关键． 易错题型十六、画圆(尺规作图) 46．（2025·湖北宜昌·模拟预测）已知直线l及直线l外一点P．如图， （1）在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点； （2）连接PA，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q； （3）作直线PQ，连接BP． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） A．AP＝BQ B．PQ∥AB C．∠ABP＝∠PBQ D．∠APQ+∠ABQ＝180° 【答案】C 【分析】根据作图过程即可判断． 【详解】解：∵ ∴AP＝BQ， ∴PQ∥AB，∠PAB＝∠QBA， ∴∠APQ+∠PAB＝180°． ∴∠APQ+∠ABQ＝180°． 所以A、B、D选项正确，C选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图，解决本题的关键是熟练利用圆周角定理． 47．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是 ．（填序号）    【答案】③ 【分析】根据过直线外一点作这条直线的垂线，及线段中垂线的做法，圆周角定理，分别作出直角三角形斜边上的垂线，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；即可作出判断. 【详解】①、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B,交BC于点D,根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°,进而得出AD⊥BC,根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的； ②、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的； ③、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似; ④、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的； 故答案为:③. 【点睛】此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 48．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，点C是线段上一点，直线，垂足为点C．    (1)在直线l上作一点P，使（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作出的垂直平分线与交于点O，然后以O为圆心，为半径画圆，于l交于点P即可； （2）解法一：设，，然后证明出，根据相似三角形的性质得到，整理后求出，然后求解即可； 解法二：设，，由得到，然后整理求出，然后求解即可． 【详解】（1）如图所示，点P即为所求．    （2）解法一：设，， 由（1）可知，， ，， ， ， ，即， 整理得，， 解得，， ， 解法二：设，， 由（1）可知，， ，即， 整理得，， 解得，， ． 【点睛】此题考查了圆直径的性质，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，求正弦值等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 易错题型十七、判断直线和圆的位置关系 49．（24-25九年级上·广东广州·月考）如图，中，以点A为圆心，r为半径作，当时，与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了由三角函数解直角三角形，直线和圆的位置关系等知识，根据中，， ，求出的值，比较与半径的大小，即可得出与的位置关系．利用勾三角函数解求出是解题的关键． 【详解】解：∵中，， ， ∴ ∵， ∴， 当时，与的位置关系是：相切， 故选：B． 50．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，，P为上一点，且，以点Р为圆心，长为半径作圆，则该圆与直线的位置关系为 . 【答案】相交 【分析】过点P作于点D，根据直角三角形的性质求出的长，进而可得出结论． 【详解】过点P作于点D， ∵，P为上一点，且， ∴, ∴∴以P为圆心，长为半径的圆与直线的位置关系是相交． 故答案为：相交． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,当时，直线与圆相交是解答此题的关键． 51．（24-25九年级上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式：，例如，求点到直线的距离． 解：由直线知：，，，所以到直线的距离为， 根据以上材料，解决下列问题： (1)求点到直线的距离； (2)在（1）基础上，若以点为圆心，半径为2作圆，请直接写出直线与圆的位置关系． 【答案】(1)1 (2)直线与圆的位置关系是相交 【分析】（1）根据题中给出的点到直线的距离公式求解即可； （2）根据圆心到直线的距离小于半径即可判断出直线与圆相交． 【详解】（1）解：点到直线的距离． （2）解：∵点到直线的距离为1， 的半径为2， ∴直线与圆的位置关系是相交． 【点睛】本题考查了新定义问题，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握点到直线的距离的求法． 易错题型十八、有关切线的概念 52．（2025九年级·江苏常州·专题练习）如图，点A，B，D在上，，的延长线交直线于点，且，连接，则直线与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题主要考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系，及圆的切线的判定，解题的关键是掌握上述知识点． 先利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出，再求，可得结论． 【详解】解：， ． ， ， ． 是的半径， 是的切线，即直线与的位置关系为相切． 故选：B． 53．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，交于D，，垂足为E，请你添加一个条件，使是的切线，你所添加的条件是 ． 【答案】或 【分析】结合，只需，根据是的中点，只需即可；要使，则连接，只需，根据等腰三角形的三线合一即可． 【详解】解：若添加BD=CD，理由如下： 如图，连接OD， ∵BD=CD，OA=OB， ∴OD∥AC， ∵， ∴DE⊥OD， ∵交于D， ∴是的切线； 若添加AB=AC，理由如下： 如图，连接AD， ∵是的直径， ∴∠ADB=90°， ∴点D是BC的中点， ∵OA=OB， ∴OD∥AC， ∵， ∴DE⊥OD， ∵交于D， ∴是的切线． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了切线的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握切线的判定定理，三角形的中位线定理是解题的关键． 54．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，是斜边上的中线，以为直径作，分别交、于点、，过点作，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）连接，证出，证明即可； （2）连接，证明，再由勾股定理求得，最后三角形的面积公式求得结果． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，为斜边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 为的切线； （2）解：如图，连接， ，，是斜边上的中线， ， 为直径， ， ， ， ， ． 易错题型十九、圆和圆的位置关系 55．（24-25九年级上·广东惠州·月考）如图，， 的圆心 ， 在直线 上， 的半径为 ， 的半径为 ，． 以 的速度沿直线 向右运动， 后停止运动．在此过程中， 与 没有出现的位置关系是（    ） A．外切 B．相交 C．内切 D．内含 【答案】D 【分析】先求出后，两圆的圆心距为1cm，结合两圆的半径差即可得到答案． 【详解】解：∵ 的半径为 ， 的半径为 ，． 以 的速度沿直线 向右运动， 后停止运动． ∴后，两圆的圆心距为1cm，此时两圆的半径差为， ∴此时两圆内切， ∴在此过程中， 与 没有出现的位置关系是：内含， 故选D． 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，掌握，则两圆外切，，则两圆外切，是关键． 56．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，已知⊙A、⊙B、⊙C两两相切，连接圆心构成△ABC，如果AC=3，BC=5，AB=6，那么⊙C的半径长为 . 【答案】1 【分析】根据相切两圆的性质得到，,,利用数量关系即可求解. 【详解】依题意得，, ∴ 故填：1. 【点睛】此题主要考查圆相切的关系，解题的关键是熟知相切两圆的性质. 57．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）． (1)试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式； (2)问点A出发后多少秒两圆相切？ 【答案】(1) (2)3秒或秒或11秒或13秒 【分析】（1）因为A以每秒2厘米的速度自左向右运动，所以此题要分两种情况讨论：当点A在点B的左侧时，圆心距等于11减去点A所走的路程；当点A在点B的右侧时，圆心距等于点A走的路程减去11； （2）根据两圆相切时，两圆的半径与圆心距的关系，分4种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得∶当时，点A在点B的左侧，此时函数表达式为； 当时，点A在点B的右侧，此时函数表达式为． 所以点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式为； （2）解：两圆相切可分为如下四种情况：   ①当两圆第一次外切，由题意得， 解得； ②当两圆第一次内切，由题意得， 解得； ③当两圆第二次内切，由题意得， 解得； ④当两圆第二次外切，由题意得， 解得． 所以，点A出发后3秒或秒或11秒或13秒两圆相切． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是能够将移动的过程中两圆的位置关系全部考虑到，难度不大． 易错题型二十、正多边形和圆 58．（2025九年级·山东枣庄·学业考试）如图，与正六边形的边分别交于点F、G，则对的圆周角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形内角与外角．首先求得正六边形的内角的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，即， ∴． 故选：C． 59．（2025·陕西咸阳·一模）如图，是半径为3的正八边形的外接圆，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的外接圆， 先求出中心角，再根据勾股定理可得答案． 【详解】解：连接，如图所示， ∵这个多边形是正八边形， ∴， ∴． 在中，， ∴． 故答案为：． 60．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”． (1)角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为，将正n边形的“接近度”定义为．于是越小，该正n边形就越接近于圆， ①若，则该正n边形的“接近度”等于 ． ②若，则该正n边形的“接近度”等于______． ③当“接近度”等于______．时，正n边形就成了圆． (2)边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为．分别计算时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？ 【答案】(1)①120；②18；③0 (2)时，；时，，当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆 【分析】（1）①根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解；②根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解；③根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解； （2）结合正多边形的外接圆的半径与正多边形的中心到各边的距离构造的直角三角形，求解即可． 【详解】（1）解：①当时， ， ∴“接近度”等于； 故答案为：120 ②当时， ， ∴“接近度”等于； 故答案为：18 ③∵越小，该正n边形就越接近于圆， ∴当时，该正n边形就成了圆， 此时， ∴； 故答案为：0 （2）解：如图，当时，为正的外接圆，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，为正六边形的外接圆，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆． 【点睛】此题考查了正多边形与其外接圆的关系．解此题的关键是注意数形结合思想的应用． 易错题型二十一、求弧长 61．（2025·河北唐山·二模）某公路急转弯处是一段圆弧，其俯视图如图，汽车在转弯时起点为A，终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，汽车在从A到B行驶的过程中转角为，若圆弧的半径，则这段圆弧的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的切线的性质，四边形内角和，弧长公式，掌握圆的相关性质是解题关键．由切线的性质可得，从而得出，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：过点A、B的两条切线相交于点C， ， ， ， ， 这段圆弧的长为， 故选：A． 62．（24-25九年级上·甘肃临夏·期中）随着时代的进步，汽车的普及，现在的汽车设计可以说是日新月异，出现了极具前瞻性的设计，其中很重要的一个组成部分就是车门设计．好的车门主要体现在它的防撞性能、密封性能、开合便利性等．如图，某汽车车门的底边长为，车门打开后的最大角度为，若将一扇车门打开，则这扇车门底边扫过区域的最大路径长是 .　 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长计算公式的运用，求车门底边扫过区域的最大路径长，由汽车车门的底边长是半径，车门侧开后的最大角度是圆心角，根据弧长计算公式计算即可，熟记弧长计算公式是解答本题的关键． 【详解】解： ， 答：这扇车门底边扫过区域的最大路径长是． 故答案为： 63．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，以为直径的交于点D，与的延长线交于点E，的切线与垂直，垂足为点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)π 【分析】（1）连接，根据是的切线，可得，即可得，则有，根据，可得，问题得解； （2）根据，，可得，问题随之得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，求解圆弧的长度以及平行线的性质等知识，掌握切线的性质是解答本题的关键． 易错题型二十二、求扇形面积 64．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是的两条切线，A，B是切点，，的半径为3．则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，扇形的面积公式，三角函数的定义，熟练掌握切线的性质是解题的关键．连接，根据切线的性质得到，根据已知条件得到，根据扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选：D． 65．（2025·广东广州·一模）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 ．     【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】解：∵，点，分别为，的中点， ∴，， ∴，， ∴花窗的面积为 故答案为：． 66．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，AB是⊙O的弦，半径，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA，DE，BE． (1)若，求∠AOD的度数； (2)若，，求扇形OAD的面积． 【答案】(1)60° (2) 【分析】（1）根据垂径定理得到，，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD=∠BOD，然后根据圆心角和圆周角的关系得到∠BOD=2∠DEB，从而得到∠AOD的度数． （2）根据cos∠CDA=,得出∠CDA=60°，即△AOD为等边三角形，求出扇形半径，再利用扇形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）∵OD⊥AB， ∴ ∴∠AOD=∠BOD 又∵对于，∠BOD=2∠DEB=60°， ∴∠AOD=60°． （2）∵CD=2，AD=4， ∴cos∠CDA=， ∴∠CDA=60°，又∵OA=OD， ∴△AOD为等边三角形， ∴OA=AD=4， ∴． 【点睛】本题考查了圆和扇形的综合运用，熟练掌握垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理和扇形的面积公式是解题的关键． 易错题型二十三、求圆锥的侧面积 67．（24-25九年级上·广东中山·月考）如图，一个几何体的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为（   ）.    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算，也考查了三视图．根据三视图得到这个几何体为圆锥，且圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式求解． 【详解】解：这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4， 所以这个几何体的侧面展开图的面积． 故选：B． 68．（2025·云南昆明·三模）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线长，则圆锥形纸杯的全面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，由题意可得底面圆的周长为，底面圆的面积为，再根据圆锥的侧面积公式进行求解即可，掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵直径长为， ∴底面圆的周长为，， ∵母线长， ∴圆锥形纸杯的侧面积， ∴， 则圆锥形纸杯的全面积为， 故答案为：． 69．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ． (1)求圆锥的高； (2)求所需铁皮的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥的母线、高和底面圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理即可求解； （2）根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，圆锥的母线长是扇形的半径进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，设为圆锥的高，为圆锥的母线，为底面圆的半径， ∴，，， ∴有中， ∴圆锥的高为． （2）圆锥的底面周长为：， ∵圆锥的底面周长是侧面展开得到的扇形的弧长， ∴扇形的弧长为， ∴扇形的面积为， ∴所需铁皮的面积为． 【点睛】本题考查圆锥的计算．正确理解圆锥的高、母线与底面圆的半径构成直角三角形，圆锥的侧面与它的侧面展开图扇形之间的关系是解决本题的关键，要正确理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 易错题型二十四、平均数、中位数与众数 70．（24-25九年级上·福建泉州·期末）清溪中学欲招聘一名数学教师，从笔试、面试两个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行测试，测试成绩（单位：分）如下表所示： 测试项目 甲 乙 丙 笔试 80 74 85 面试 85 90 80 根据实际需要，学校将笔试和面试两项成绩按的比例确定最后成绩，请通过计算说明谁将被录用． 【答案】乙将被录用，见解析 【分析】本题考查了加权平均数的应用； 根据题意先算出甲、乙、丙笔试和面试成绩的加权平均数，再进行比较，即可得出答案． 【详解】解：甲的平均成绩：（分）， 乙的平均成绩：（分）， 丙的平均成绩：（分）， ， 乙将被录用． 71．（24-25九年级上·河北张家口·期末）某校开展了“学习新思想，做好接班人”主题阅读活动周，王老师在八年级的学生中随机调查了20名学生在活动周的阅读文章篇数，并将数据绘制成如图所示的扇形统计图． (1)这20名学生在活动周的阅读文章篇数的众数是_____篇，中位数是_____篇； (2)估计该校八年级学生在活动周阅读文章的平均篇数． 【答案】(1)4； (2)估计该校八年级学生在活动周阅读文章的平均篇数为篇． 【分析】本题考查扇形统计图、加权平均数、中位数和众数． （1）根据众数、中位数的意义求解即可； （2）根据加权平均数的定义计算即可． 【详解】（1）解：学生的阅读篇数出现次数最多的是4篇，占次， 因此众数是4篇； 阅读篇数3篇和4篇，刚好占， 则中位数是篇； 故答案为：4；； （2）解：由题意可得：（篇）， 答：估计该校八年级学生在活动周阅读文章的平均篇数为篇． 72．（24-25九年级上·福建厦门·期中）某小学积极倡导阳光体育运动，提高小学生身体素质，开展跳绳比赛，若规定标准数量为每人每分钟100个，表一为该校一年级40人参加跳绳比赛的情况． 表一 跳绳个数与标准效量的差值 人数 (1)该校一年级人跳绳个数的众数是 个： (2)该校一年级人一分钟内平均每人跳绳多少个？ 【答案】(1) (2) 【分析】】本题考查了正负数的意义，众数以及加权平均数，掌握相关定义与计算公式是解题的关键． （1）根据正负数的意义以及众数的定义解答即可； （2）根据加权平均数公式计算即可． 【详解】（1）规定标准数量为每人每分钟100个， 一年级人跳绳个数中出现次数最多的是，故众数为； 故答案为：． （2）解： （个）， 答：该校一年级人一分钟内平均每人跳绳个 易错题型二十五、求方差 73．（2025九年级上·江苏常州·专题练习）为了从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击成绩进行了测试，次打靶命中的环数如下： 甲：，，，，； 乙：，，，，． (1)将下表填写完整． 平均数 中位数 方差 甲 乙 (2)根据以上信息，若你是教练，你会选择谁参加射击比赛，理由是什么 【答案】(1)，， (2)选择甲，理由见解析 【分析】本题主要考查了平均数、中位数及方差： （1）依据平均数、中位数及方差的计算方法进行计算； （2）依据甲的方差小，成绩较稳定，即可得到结论． 【详解】（1）解：甲平均数为， 乙的环数排序后为：，，，，，故中位数为； 甲的方差为：； （2）解：选择甲．理由： 甲、乙两人成绩的平均数和中位数相同，但甲的方差小，成绩较稳定． 74．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）北京时间8月5日分，巴黎奥运射击男子25米手枪速射决赛正式开始，中国选手李越宏40枪得到32分，领先第二名7分，拿到金牌，在连续两届奥运会获得铜牌后，终于圆梦，这也是中国射击本届奥运会的第五枚金牌，也是中国代表团的第20枚金牌，比赛分为8轮，每轮5枪，9.7环以上视为命中，命中1枪得1分．李越宏的8轮成绩分别为5分，3分，4分，2分，4分，5分，4分，5分 (1)李越宏的8轮成绩的众数为 ； (2)求李越宏8轮得分的方差． 【答案】(1)5和4 (2)李越宏轮得分的方差为分 【分析】本题考查了众数，方差，平均数，熟练掌握方差公式是解题的关键． （）根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数求解即可； （）先求得数据的平均数，再利用方差公式求解即可． 【详解】（1）解：李越宏的8轮成绩分别为5分，3分，4分，2分，4分，5分，4分，5分， 其中数据5和4各出现了3次，且出现次数最多， ∴众数为5和4， 故答案为：5和4； （2）解：∵平均得分为：（分）， ∴ （分）， 答：李越宏轮得分的方差为分． 75．（24-25九年级上·山东青岛·单元测试）某篮球队对运动员进行3分球投篮成绩测试，每人每天投3分球10次，对甲、乙两名队员在五天中进球的个数统计结果如下： 队员 每人每天进球数 甲 10 6 10 6 8 乙 7 9 7 8 9 经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2． (1)求乙进球的平均数和方差； (2)现在需要根据以上结果，从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员去？为什么？ 【答案】(1)平均数为8；方差为； (2)选乙合适．见解析 【分析】本题考查了方差、平均数，掌握它们的计算方法以及方差越大，波动越大，成绩越不稳定；方差越小，波动越小，成绩越稳定是解题的关键． （1）根据平均数和方差的定义计算即可； （2）根据方差越大，波动越大，成绩越不稳定；方差越小，波动越小，成绩越稳定进行解答． 【详解】（1）解：乙进球的平均数为：； 乙进球的方差：； （2）解：∵，，两人进球的平均数相同， ∴， 乙成绩稳定，选乙合适． 易错题型二十六、等可能条件下的概率 76．（2025九年级上·江苏常州·专题练习）某超市举办抽奖活动，规则如下：在一个不透明的箱子里放入红、黄、蓝三种颜色的小球若干（除颜色外完全相同），顾客随机摸出一个球，摸到红球中一等奖，黄球中二等奖，蓝球中三等奖．超市宣称“三种奖项的中奖概率均为”．请你分析该宣称是否一定成立，并说明超市如何操作才能让宣称成立． 【答案】不一定成立，要让宣称成立，超市的操作是：在箱子中放入数量相等的红、黄、蓝三种颜色的小球（且摸球前充分摇匀，确保每个球被摸到的可能性相等） 【分析】本题考查了概率的应用，明确 “概率 = 所求情况数与总情况数的比值”是解题的关键． 宣称不一定成立：概率由球数占比决定，球数不等则概率，让宣称成立：放数量相等的红、黄、蓝球． 【详解】解：该宣称不一定成立，抽奖的中奖概率由每种颜色小球的数量占总数量的比例决定： 只有当三种颜色的小球数量相等时，摸出每种颜色球的可能性才相等，概率才都为；若三种颜色的小球数量不同（如红球1个、黄球2个、蓝球3个），则可能性不等，中奖概率也不同，就不都是； 要让宣称成立，超市的操作是：在箱子中放入数量相等的红、黄、蓝三种颜色的小球（且摸球前充分摇匀，确保每个球被摸到的可能性相等）． 77．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）某中学自成立以来，学校以“责任”、“担当”、“敬业”、“奉献”的校训为精神支柱，狠抓五项管理、严格落实双减及课后服务，努力办人民满意的教育．小明将“责任”、“担当”、“敬业”、“奉献”，制成质地、颜色、大小完全一样的四张硬纸板卡片，将这4张卡片洗匀后背面朝上放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取另一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求出两次抽到卡片上的文字是“敬业”、“奉献”的概率（提醒：卡片名称可用字母表示）． 【答案】 【分析】本题考查了用列表法或树状图求概率，先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次抽到卡片上的文字含有“敬业”、“奉献”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：记“责任”、“担当”、“敬业”、“奉献”这4张卡片分别为， 画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两次抽到卡片上的文字含有“敬业”、“奉献”的结果数为2， 所以两次抽到卡片上的文字含有“敬业”、“奉献”的概率． 78．（25-26九年级上·四川成都·月考）为了让学生体验民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：五谷画，彩陶，剪纸，排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查每位学生必选且只能选一个课程，根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图．根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)此次被调查的学生总人数为______；扇形统计图中______； (2)补全条形统计图； (3)甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． 【答案】(1)160人； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得此次被调查的学生总人数；用条形统计图中C的人数除以此次被调查的学生总人数再乘以可得，即可得a的值． （2）求出选择B的人数，补全条形统计图即可． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选到同一个课程的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：此次被调查的学生总人数为（人），， ． 故答案为：160人；． （2）选择B的人数为． 补全条形统计图如图1所示． （3）列表如下： A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中两人恰好选到同一个课程的结果有4种， 两人恰好选到同一个课程的概率为． 压轴题型一、根的判别式的压轴题型 1．（24-25九年级上·广东阳江·期中）课本知识，关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： (1)初步探究：判断方程是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由； (2)拓展应用：求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)过程见解析 【分析】本题考查了“勾系一元二次方程”，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点，读懂题意是解题的关键． （1）根据“勾系一元二次方程”的定义直接判断即可； （2）根据及根的判别式，再利用完全平方的非负性来判断即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， 方程是“勾系一元二次方程”； （2）证明：是关于的“勾系一元二次方程”， ， 关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期中）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)关于的代数式的不动值是_______． (2)判断关于代数式是否有不动值，若有请求出，没有则说明理由． (3)已知关于的代数式． ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式的不动值至少有一个是整数，求出正整数的值． 【答案】(1)4或 (2)没有不动值，理由见解析 (3)①；②1或3或5 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）根据可得只需要判断出方程是否有解即可； （3）①根据题意可得关于的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可； ②根据题意可得方程，解方程可得或，再根据方程的解至少有一个为整数即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，则， ∴， ∴或， 解得或， ∴关于的代数式的不动值是4或； （2）解：关于代数式没有不动值，理由如下： 当时，则， ∴， ∴原方程无解， ∴不成立， ∴关于代数式没有不动值； （3）解：①∵关于的代数式仅有一个不动值， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ②当时，则， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵原代数式的不动值至少有一个是整数， ∴或是整数， ∴a的值可以是1或3或5． 3．（25-26九年级上·江苏南京·月考）新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． (1)下列方程一定是“美好方程”的是______（直接填序号）； ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程方， ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数k，使得始终在函数的图象上？若存在，直接写出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①③ (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）先计算根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案； （2）①计算出根的判别式，即可证明结论；②利用因式分解法解一元二次方程，得到，再根据一次函数图像上点的坐标特征，即可求出k的值． 【详解】（1）解：①，，故符合题意； ②，，故不符合题意； ③，，故符合题意； 故选：①③； （2）①证明：∵， ∴， ∴此方程一定是“美好方程”； ②解：∵， ∴， 始终在函数的图象上， ， ， 因为对于任意m值式子都要成立， ， ， ∴存在实数k，使得始终在函数的图象上， k的值为1． 4．（25-26九年级上·辽宁锦州·月考）阅读与思考： 求解二元一次方程组，需要消元把它转化为一元一次方程来解；求解一元二次方程，需要降次把它转化为两个一元一次方程来解；它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解，，．再如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，，∵且，∴不是原方程的解，∴原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了特殊方程的解法，根据方程的特点转化为学过的方程是解题的关键． （1）先把方程左边分解因式，再求解即可； （2）分两种情况：和，分别计算即可． 【详解】（1）解： 或 ∵， ∴无实数根， ∴原方程的解为； （2）解：当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为， 解得：（不合题意，舍去），； ∴原方程的根是，． 5．（24-25九年级上·山西运城·期中）阅读与思考 下面是数学老师写的小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务． 通过学习我们知道一元二次方程（，a，b，c为常数），当时，一元二次方程的根与系数有着密切的关系，我和同学们一起研究了两类特殊一元二次方程的根，得出了这两类方程根与系数之间的关系，分析如下： 第一类，当时，根据方程根的概念可知方程必有一个根为1，那么另一个根是多少呢？我们用下面的方法进行分析： ∵ ∴ ∴ ∴该方程有实数根 ∴ ∴方程可变形为 ∴或 ∴， ∴当时，一元二次方程的两个实数根为， 第二类，当时，同理可以求出这类方程的实数根…… 任务： (1)小论文中，将方程变形为，然后求出方程的根，这种解方程的方法是（） A．因式分解法；B．公式法；C．配方法；D．直接开平方法 (2)请参照小论文中的求解方法，将第二类方程的求解过程补充完整； (3)通过小论文的学习，请你直接写出一个一元二次方程，使其有一根为． 【答案】(1)A (2)见解析 (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程的解及用因式分解法解一元二次方程，熟知用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据所给解题方式可知，使用的是因式分解法． （2）根据所给解题方法，补充完整解题过程即可． （3）按要求写出满足要求的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由所给解方程的方法可知， 这种解方程的方法是因式分解法． 故选：A． （2）解：由题知， ， ， ， 该方程有实数根， ， 方程可变形为， 或， ， 当时，一元二次方程的两个实数根为． （3）解：一元二次方程有一根为， 则， ，，便是一组符合要求的取值， 这个一元二次方程可以为（答案不唯一）． 压轴题型二、弧长和扇形的面积 6．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，求花窗的面积．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积，正确表示花窗的面积是解题的关键. 根据花窗的面积为求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点C，D分别是的中点， ， ， ∴花窗的面积为． 7．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，点在上，在的延长线上取一点，连接，使． (1)求证：直线是的切线． (2)若，则图中阴影部分图形的面积为___________．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质，扇形面积公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）连接．由是直径，可得，再证，从而有，即可证明； （2）阴影部分的面积即为的面积减去扇形的面积． 【详解】（1）解：证明：连接， 是直径， ， ，， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，为的直径，弦于点，连接，，，为的中点，且． (1)求的长． (2)当时，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题以圆为几何背景，考查了中位线定理、垂径定理、勾股定理等知识点．熟记定理内容是解题关键． （1）由题意可得且，结合“垂径定理”可得，，据此即可求解； （2）由“垂径定理”可得，，解直角三角形即可求解； （3）连接，在求出线段的长度即可． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵F为中点，O为中点， ∴且， ∵， ∴， ∵于点E， ∴， ∴； （2）解：∵弦于点E， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：连接， ∵，， ∴， ∴． 在， ∵，，， ∴，， ∴阴影部分的面积． 9．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，以等腰的一腰为直径作，交底边于点，交腰于点，过点作腰的垂线，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)当时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的有关性质，切线的判定与性质等，解题关键是能够根据题意作出适当的辅助线． （1）连接，证，即可得到结论； （2）连接，，．证明是等边三角形，得，，，；证明，根据求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． 是直径， ，即， 又， ， 又， ， 又， ， 是圆的半径， 是的切线． （2）解：，， 是等边三角形，，， 又， ， 又， 在中，， 由勾股定理得， 中，，； 如图，连接，，． 直径， ，， 又， ，， ，， ，， ． 10．（25-26九年级上·江苏南京·期中）（1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为，弧长为的扇形，则该纸筒的侧面积为____； （2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），其中的长为的长为的长为．求扇环的面积： （3）如图②，梯形面积为，扇环面积为，且等于的长，等于的长，，则______（选填“”、“”或“”）． 【答案】（1）54；（2）；（3） 【分析】本题考查了扇形的面积，扇形面积计算公式为或（其中圆心角是，圆的半径为R的扇形面积为S，l为扇形的弧长）．也考查了弧长公式和梯形的面积公式． （1）直接利用扇形的面积公式计算即可； （2）设，根据弧长公式得到，进而求出，再利用扇形的面积公式得到扇环的面积，则可计算出扇环的面积； （3）设梯形的高为h，由（2）得，根据梯形的面积公式得到，然后利用，即可得到结论． 【详解】解：（1）该纸筒的侧面积为； 故答案为：54； （2）设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴扇环的面积为 ， ∵， ∴扇环的面积为； （3）设图形的高为h， 由（2）得， ∵等于的长，等于的长， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 压轴题型三、垂径定理及应用 11．（24-25九年级上·江苏徐州·月考）圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．如图是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径． 【答案】拱门所在圆的半径是13分米． 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理．连接，根据垂径定理求得分米，设圆的半径为分米，则分米，米，根据勾股定理即可求得，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵过圆心，为的中点， ∴， ∵分米，C为的中点， ∴分米， 设圆的半径为x分米，则分米， ∵分米， ∴分米， 在中，由勾股定理， ∴， ∴， 即拱门所在圆的半径是13分米． 12．（24-25九年级上·山东济宁·期末）圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（精确到0.1）    【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作于点，连接，根据垂径定理可得，再在中，根据勾股定理解得的值，进而获得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，    ∴，， ∵， ∴， ∵直径为， ∴， 在中，根据勾股定理， 可得， ∴， ∴水的最大深度为． 13．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为． (1)求圆弧形拱桥的半径； (2)当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施． 【答案】(1)； (2)不需要采取紧急措施，过程见解析． 【分析】本题考查勾股定理和垂径定理，熟练应用垂径定理是解题的关键． （1）设为，通过勾股定理求得，最后算出，即可得到答案； （2）根据（1）知半径，根据勾股定理求得的值，再根据垂径定理求得的长，与对比得出结论． 【详解】（1）解：设圆弧所在圆的圆心为，连结，，如图所示， ， 设，则半径， 已知，， 则半径，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 则半径， 故半径为． （2）解：由（1）得圆弧半径， 当时，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 则， ， 不需要采取紧急措施． 14．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，若，为水面截线，，为桌面截线，． (1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查了垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理的内容和正确作出辅助线是解题的关键． （1）由题意作出图形，由垂径定理和勾股定理即可得出答案； （2）作出垂径，由垂径定理和勾股定理可得出弦长，根据题意即可得出答案． 【详解】（1）解：， 如图，连接， 为圆心，，， ， ， ， 在中， ， ， 的长为； （2）过作，连接， 由题得，， 在中，， ， ， 水面截线减少了． 15．（2025·陕西西安·二模）【问题提出】 （1）如图①，在等腰直角中，，为等边三角形，，则线段BD的长为___________； 【问题解决】 （2）如图②，在等腰直角中，，以AC为直径作半圆O，点D为上一动点，求点B、D之间的最大距离； 【问题探究】 （3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角以及弓形BDC组成，其中，点E为BC的中点，，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到的最大距离． 【答案】（1）；（2）；（3）小明的说法正确，见解析， 【分析】（1）连接BD，交AC于点E，根据题意BD是AC的垂直平分线，通过解直角三角形解出BE与DE的长，两者相加即可解题． （2）结合图形，可知B，O，D三点共线时，BD有最大值，根据解直角三角形解出BO的长，加上半圆的半径，即可解答． （3）作辅助线如图，证明，即说明小明的说法正确；可知弓形的圆心在上，当通过勾股定理求出半径的长度，再算出的长，即可解答． 【详解】解：（1） 如图，连接BD交AC于点E ， 是等腰直角三角形，为等边三角形， ，, 在与中，      ， ， ，， 根据三线合一，可得垂直平分， ， ， ， ，， ． （2）如图②，连接BO并延长交于点D，则此时BD最大． 在上取一点异于点D的点，连接、． 在中，， ， ，即． 最大 在等腰直角中，，O为AC的中点， 且． ． ． 点B、D之间的最大距离为．                                  （3）小明的说法正确．                          如图③，过点A作BC的平行线AF，延长DE交AF于点F． 点E为BC中点，， 所在的圆的圆心O在直线DF上． 设圆O半径为r，连接BO． 在中，， 且， ，得． 连接AO并延长交于点，则为最大距离． 在中，，且， 小明的说法正确．                                   在中，． ． ． 点A到的最大距离为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 压轴题型四、正多边形与圆的综合 16．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）尺规作图： (1)如图1，作已知圆的一条直径； (2)如图2，作等边三角形，使其是的内接三角形． （要求：仅用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹．） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了用无刻度直尺作图，等边三角形的判定与性质，度角对的弦是直径，垂径定理，同弧对的圆周角相等等知识，理解并掌握对应知识点是解题的关键． （1）法一：在圆中作弦，作弦的垂直平分线交圆于点C和点D，连接即可； 法二：在圆中作弦，过点F作弦的垂线交圆于点G，连接即可； （2）法一：在中作直径，作半径的垂直平分线交圆于点B和点C，连接，即可； 法二：在中作直径，以D为圆心，为半径作交于点B和点C，连接，即可． 【详解】（1）解：直径如图所示； （2）解：如图所示，即为所求． 17．（25-26九年级上·江苏常州·期末）在圆内接正六边形中，分别交于点． (1)如图①，求证：点三等分； (2)如图②，过点作的垂线，垂足为，以点为圆心，的长为半径作圆；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（2）所作图形中，求证：是所作圆的切线． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先由正六边形的性质、等腰三角形的性质得到相关角度，再由两个三角形全等的判定定理得到，则，进而由等边三角形的判定定理得到是等边三角形，由全等三角形性质及等边三角形性质即可得到，从而得证； （2）由尺规作图，过点作线段的垂直平分线即可得到答案； （3）过点作，垂足为，连接，如图所示，由切线的判定方法求证即可得到答案． 【详解】（1）证明：在圆内接正六边形中，，， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ∴点三等分； （2）解：如图所示： 、即为所求； （3）证明：过点作，垂足为，连接，如图所示： 则， 由（1）知， ， ， ， 为所作圆的半径， 是所作圆的切线． 【点睛】本题考查圆与多边形综合，涉及圆的基本性质、圆内接正六边形性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、尺规作图-作垂直平分线、圆的切线的判定等知识，熟记圆与多边形相关性质是解决问题的关键． 18．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，的半径为r，六边形是圆的内接正六边形，四边形是正方形．    (1)求正六边形与正方形的面积比； (2)连接，求度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定与性质． （1）根据正多边形的性质证明是边长为r的等边三角形，可表示出正六边形的面积以及正方形的面积，求比值即可； （2）根据，可得出三角形是等腰三角形，结合，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是边长为r的等边三角形， ∴． 正方形的面积为，正六边形的面积为， ∴正六边形与正方形的面积比为； （2）解：∵， ∴是等腰三角形． ∵， ∴， ∴． 19．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径，老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示： (1)通过计算（结果保留根号与）． （Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为______； （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______； （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______． (2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形与圆、勾股定理，解题的关键是理解三个正方形摆放． （1）（Ⅰ）连接正方形的对角线，利用勾股定理求出的长即可； （Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可； （Ⅲ）找出过三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可； （2）连接，延长交于点P，则，P为中点，设，则，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：（Ⅰ）如下图，连接， ， （）， 图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为； （Ⅱ）如下图， 三个正方形的边长均为4， 三点在以O为圆心，以为半径的圆上， （）， 图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为； （Ⅲ）如下图所示， ， 是过三点的圆的直径， ， 为圆心， 的半径为， （）， 图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为； （2）如下图，为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接，延长交于点P，则，P为中点，       设，则， 则有：， 解得：， 则， 圆形硬纸板的直径是． 20．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）点O是边长为m的正多边形的中心，将一块足够长，圆心角为的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转． 若正多边形为正三角形，扇形的圆心角时，通过观察或测量，得到如图1、2中，正三角形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度均为m； (1)若正多边形为正方形，扇形的圆心角时， ①如图3，求正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度； ②如图4，正方形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明； (2)若正多边形为正五边形，如图5，当扇形纸板的圆心角为多少度时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值m． 【答案】(1)①；②，见解析 (2)度 【分析】（1）①根据正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为的长作答即可； ②如图1，连接，证明，则，，然后作答即可； （2）如图2，连接，根据，计算求解即可． 【详解】（1）①解：由题意知，， ∴正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为； ②解：正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为，证明如下； 如图1，连接， ∵为正方形的中心， ∴，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为； （2）解：如图2，连接， ∵正五边形， ∴， ∴当扇形纸板的圆心角为时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值m． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握正多边形与圆，旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 压轴题型五、切线判定与性质综合 21．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理： （1）连接，由，得到，结合，推出，再根据为的直径，得到，进而得到即，即可证明结论； （2）延长交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证； （2）由（2）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）证明：延长交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （3）解：由（2）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 22．（24-25九年级上·广西柳州·期中）如图，点在上，过点，分别与交于，过作于． (1)求证：是的切线； (2)若与相切于点，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）连接连接，由，，得，则，所以，即可证明是的切线； （2）连接连接，可证明四边形是正方形，则，设，则，由勾股定理得，求得半径r即可． 【详解】（1）证明：连接，则． ． ， ． ． ． ， ． ． 是的半径，且， 是的切线． （2）解：连接， 与相切于点， ． ． 四边形是矩形， ． 四边形是正方形． ． 设， ， ． ． ． 解得（不符合题意，舍去）． 故的半径为3． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的判定与性质，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 23．（2025·江苏南京·二模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，的顶点均为格点，在边上找到一点M，连接，使； (2)在图②中，点A、B、O均为格点，过点B作的切线； (3)在图③中，点A、B、O均为格点，在上找到点M和点N（点M和点N均不与点A重合），作，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，切线的性质与判定，三角形内角和定理，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键． （1）取格点M，连接，则点M即为所求； （2）取格点E，作直线，则直线即为所求，可证明； （3）取格点F，连接交于M，设与交于N，连接，则即为所求．可证明． 【详解】（1）解：如图所示，取格点M，连接，则点M即为所求； （2）解：如图所示，取格点E，作直线，则直线即为所求； （3）解：如图所示，取格点F，连接交于M，设与交于N，连接，则即为所求． 24．（24-25九年级上·四川绵阳·月考）已知，如图，中，，点在边上，是的外接圆，，． (1)证明：与相切； (2)如图1，连接，若，求长度； (3)如图2，作，与交于点，与交于点，若，求长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）作直径与交于点H，由圆周角定理得到，由等腰三角形的三线合一得到，，再根据平行即可得到，继而求证； （2）设半径为，由勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，解得：，则，证明，则，在中，，在中，； （3）解：连接，与交于点，显然四边形是平行四边形，则，导角得到，而在平行四边形中，，而，导角则，故，由中位线得到，则，，． 【详解】（1）证明：作直径与交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 而是直径， ∴与相切； （2）解：连接， 设半径为， ∵， ∴， ∵在中，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵在中，由勾股定理得： ∴， 解得：， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴在中，， 在中，则， ∴； （3）解：连接，与交于点 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平分， 即， 又， ∴， 而在平行四边形中，， 而， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 又点为中点，点为中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，弧、弦之间的关系，平行四边形的判定与性质，综合性很强，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键． 25．（2025·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于两点A和B，其中点A在上．给出如下定义：若线段的垂直平分线与相交，且两交点之间的距离为d，则称点B是点A的“d关联点”． (1)如图1，点． ①在点，，中，点______是点A的“d关联点”，其中d=______； ②若点C是点A的“1关联点”，则点C的横坐标的最大值为______； (2)直线与x轴，y轴分别交于点M，N．对于线段MN上任意一点P，都存在上的点Q，使得点P是点Q的“t关联点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①，；②； (2) 【分析】(1) ①依次作出对应的垂直平分线，可知的垂直平分线与相交，且其垂直平分线的解析式为，对应的； ②作等边，轴于点，以点为圆心，长为半径作圆，若点为点的“1关联点”，则的垂直平分线与半径为的圆相切，点与点关于中心对称，由，，可得，此即点横坐标的最大值； (2)根据“关联点”的定义和垂径定理，再运用勾股定理即可分别求得PQ的极值即可得出t的取值范. 【详解】（1）解∶ ①依次作出对应的垂直平分线， 的垂直平分线与相交， 点．， 线段中点坐标为， ， ， ， ， ， ， 设直线为， 得， 解得， 其垂直平分线的解析式为， 对应的； ②如图，作等边，轴于点，以点为圆心，长为半径作圆， 若点为点的“1关联点”，则的垂直平分线与半径为的圆相切，点与点关于中心对称， ， ， ， ， ， 可得， 此即点横坐标的最大值为； 故答案为∶①，； ②； （2）解： 如图，点是点的“关联点”，的垂直平分线与相交，截得的线段是， 则，则，， 则， 即点的“关联点”距离点的最远距离为， 当点在上运动时，点随之运动，则点的“关联点”最远的位置，在以点为圆心，为半径的圆上， 对于固定的点而言，距离点最近的“关联点”不需要分析，事实上，如图所示， 弦长，点关于点的对称点，即为距离点最近的“关联点”， 点是上的点，点是点的“关联点”，则点最远处依然是在一个圆上，圆的半径为，结合已知，点与点的距离最远，因此，需要使得点在以为半径的圆内即可， 又， 得， 解得（舍负）， 据此可得的最大值为， 直线且，直线与坐标轴的交点，，可知，上任意一点，在上都可以找到一点，使得线段的垂直平分线与相交，且被所截得线段长恰好为，由已知，，且的弦长最大为直径，所以可得， 如图，当线段与相切时， 设点即为切点，此时，圆上任意一点为，线段的垂直平分线经过圆心，被截得的弦长即为直径，长度为2，矛盾；线段与没有交点，则； 综上所述，可得， 【点睛】本题是圆的综合题，考查了最值问题，垂径定理，轴对称的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握新概念“关联点”是解题的关键． 压轴题型六、一元二次方程的实际综合应用 26．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度？ 【答案】8米 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键是正确列出方程．本题可以利用平移的思想得到一个邻边长为和的长方形，列出方程求解即可． 【详解】解：设车道的宽度为 依题意得： 解得： 经检验不符合题意，舍去 答：停车场内车道的宽度为8米． 27．（25-26九年级上·广东佛山·月考）年第十五届全运会在广东、香港、澳门三地举办，全运会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”公仔爆红．据统计“喜洋洋”“乐融融”公仔套装在某电商平台月份的销售量是万套，月份的销售量是万套． (1)求该平台这两个月销售量的月均增长率； (2)某店铺将进货价为元的“喜洋洋”“乐融融”公仔套装以元售出，每天能销售套．为了推广宣传，同时尽快减少库存，商家决定采取适当的降价措施．调查发现，这款套装的售价每降低元，平均每天就能多售出套．商家要想平均每天盈利元，每套公仔应降价多少元？ 【答案】(1)该平台这两个月销售量的月均增长率为； (2)每套公仔应降价元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （）设该平台这两个月销售量的月均增长率为，得，然后解方程并检验即可； （）设每套公仔应降价元，得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设该平台这两个月销售量的月均增长率为， 由题意得：， 解得，（舍去）， 答：该平台这两个月销售量的月均增长率为； （2）解：设每套公仔应降价元， 由题意得：， 解得，， ∵尽快减少库存， ∴， 答：每套公仔应降价元． 28．（24-25九年级上·重庆九龙坡·月考）九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 (2)60分钟 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 29．（24-25九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】(1)10% (2)2500000张 【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量=总结单价，即可求出结论； 【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 30．（25-26九年级上·广西南宁·期中）在中，，，，点从点开始向点以的速度运动，同时，点从点开始向点以的速度运动，当点运动到点后停止，点也随之停止运动， (1)设的运动时间为，则的长度为_____（用含的式子表示） (2)若的面积为，求的运动时间； (3)的面积能否为？若能，请求出的运动时间；若不能，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了动点问题、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意即可解题； （2）设运动时间为，用代数式表示出的面积，进而解方程即可； （3）根据题意列出方程，发现无解，即可解题． 【详解】（1）解：由题意知，； 故答案为：； （2）解：设运动时间为，由（1）得：，则， 列方程得：， 解得：，， ∵且， ∴， ∴； 的运动时间为； （3）解：不能，理由如下： 若面积为，则可列方程得：， 解得：， ∵， ∴不合题意， ∴面积不能为． 压轴题型七、圆锥侧面上最短路径问题 31．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面．求该圆锥的高． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥、矩形的性质，解题关键在于理解圆锥的侧面展开图与圆锥底面圆之间的关系，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 根据题意可得的长度与的周长相等，设，则，列出方程求解，再根据为圆锥的母线，圆锥的高，圆锥的底面半径构成直角三角形，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设，则， 根据题意，得， 解得，则， 即圆锥的母线长为，底面圆的半径为， ∴圆锥的高为． 32．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，从直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形； (1)求被剪掉的部分的面积； (2)如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查扇形与圆的面积计算，扇形弧长的计算，割补法求面积，以及扇形所围成的圆锥与扇形之间的关系，掌握扇形与圆的面积，弧长公式是解决本题的关键． （1）由图可知当扇形圆心角为时，的连线过圆心O，连接，，进而可证为等腰直角三角形，通过勾股定理可计算出扇形半径，进而计算出扇形面积，用圆形铁皮面积减扇形面积即为所求； （2）根据扇形半径可求出扇形上弧长，再根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求解． 【详解】（1）解： 如图所示，连接，， 当扇形圆心角为时，的连线过圆心O， ∵（为同圆的半径），， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 所以扇形面积为：， 圆形铁皮面积为：， ∴减掉部分面积为：； （2）解：由剪下来的扇形的半径为， ∴扇形弧长为：， ∴围成圆锥的底面半径为：． 33．（25-26九年级上·山东泰安·月考）如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则： (1)求出围成的圆锥的侧面积； (2)求出该圆锥的高． 【答案】(1) (2)圆锥的高为 【分析】此题考查求圆锥的侧面积、底面半径，勾股定理，熟记扇形的面积计算公式及弧长计算公式是解题的关键： （1）利用扇形面积公式计算即可求出圆锥的侧面积； （2）先求出圆锥的底面半径，然后可得圆锥的高和母线以及底面的半径组成直角三角形，再根据勾股定理求解． 【详解】（1）解：圆锥的侧面积是． （2）解：扇形的弧长是， ∴底面半径为， ∵圆锥的高和母线以及底面的半径组成直角三角形， ∴圆锥的高， ∴该圆锥的高为． 34．（25-26九年级上·河南安阳·月考）图中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图１），制作这种外包装需要用如图２所示的等腰三角形材料，其中，，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合，圆锥底面圆的直径为． (1)求图1中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图2中阴影部分）的面积．（结果保留π） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆锥与扇形的关系，扇形弧长公式，等腰直角三角形的性质，掌握“圆锥底面圆周长=扇形弧长”是解题关键． （1）利用“圆锥底面圆周长=扇形弧长”，结合扇形圆心角，代入弧长公式求出母线AE 的长． （2）先求等腰直角三角形的面积，再求扇形的面积，用三角形面积减去扇形面积得到阴影部分面积． 【详解】（1）解：根据题意，圆锥底面圆周长与长度一致， 故， 可得， 即． （2）由条件可得， 故． 35．（2025·福建福州·二模）综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． (1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长______；（填“相等”或“不相等”）若，则______． (2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形，请用含r，l的式子表示． (3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草㡌，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 【答案】(1)相等，6 (2) (3)不够长；理由见解析 【分析】（1）根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由，则解答即可． （2）根据题意，得圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得到等式，变形表示即可． （3）根据（2）得，得到，计算最短，继而得到，比较解答即可． 【详解】（1）解：根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由，则， 解得， 故答案为：相等，6． （2）解：根据题意，得圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得， 解得． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴够长． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开，弧长公式，扇形与底面圆的关系，勾股定理，熟练掌握展开图的意义是解题的关键． 压轴题型八、圆的综合问题 36．（24-25九年级上·贵州六盘水·月考）如图，是的直径，C，D 是上两点，连接，，平分，交延长线于点 E． (1)写出图中与相等的一个角： ； (2)求证：是的切线； (3)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见详解 (3) 【分析】（1）由角平分线的定义，即可求解； （2）由等腰三角形的判定与性质，以及三角形外角性质得，由同弧所对的圆周角相等得，结合平行线的性质得，即可得证； （3）由正弦函数得，， ，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：平分， ， 故答案为：；（答案不唯一） （2）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （3）解：的半径为5， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， 解得：， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆的基本性质，等腰三角形判定及性质，勾股定理，一般角的正弦函数等；掌握切线的判定方法，能熟练利用，勾股定理，一般角的正弦函数进行求解是解题的关键． 37．（2025·陕西咸阳·一模）（1）如图1，是的外接圆，点D是外的一点，连接，．求证：； （2）如图2，在一块的规划地上，设计者想让规划面积增大一倍：作法如下：在边上找一个点F，点F正好在点E的正下方（），分别作点F关于、的对称点G、H，连接、、，，．则五边形就是增大一倍的图形．设计者想在G，H之间修一条笔直的小路方便游客赏花．已知米，平方米．请问小路长度的最大值是多少？ 【答案】（1）见解析，（2）30米 【分析】本题考查了三角形外角性质，勾股定理，圆周角的定理以及对称性质，三角形面积公式等知识，解题的关键是利用相关性质进行角度转化和线段关系推导． （1）连接，利用三角形外角性质和同弧所对圆周角相等来证明角度大小关系； （2）先根据三角形面积公式求出的长度，再利用米，根据当最大时，最大，通过计算求得小路长度的最大值． 【详解】（1）证明：如图，连接 ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平方米，且米， ∴米， 由对称性可知是等腰三角形，米， 当最大时，最大， 此时，， ∴点E轨迹在平行于的直线l上，距距离米， ∴最大时是与直线l相切，以为弦的圆的弦切角， ∴当为等腰三角形时，最大， 此时米，米， ∴，∴，∴， ∴， 过点E作于点K， ∴，米，∴米， ∴最大为30米． 38．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）线段上有一动点（点不与点重合），在线段的中垂线上（上方）有一点，使得，以为圆心，为半径的圆，叫线段的关联圆． 如图，点，，为线段的关联圆． (1)，，，四个点中，在线段的关联圆上的点有______； (2)线段在轴上，其中点，，若线段上所有点都在线段的关联上，求的取值范围； (3)直线与线段的关联圆相切，直接写出的取值范围______． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 或 【分析】本题考查了“圆的定义”“切线的判定”的知识点，根据关联圆的定义，判断出点的运动轨迹是一个四分之一圆弧，通过数形结合的思想，找到题目中的关联圆的运动情况，结合图象判断临界位置的图象并求解是解题关键． （1）由定义可知，的圆心，始终满足，所以点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动，因为点是点与上的点组成线段的中垂线上的点，故点的横坐标范围为，画出对应图象，因为点也在上，因此判断这四个点与点，点的距离是否可以满足情况，结合图象即可求出在线段的关联圆上的点． （2）同（1）理，因为点的运动轨迹是四分之一圆弧，结合图象判断，当点在点正上方时，与x轴的交点的横坐标最小，当与x轴的交点与点，三点共线时，与x轴的交点的横坐标最大，所以可以找到与x轴的交点的取值范围的临界位置，从而确定t的取值范围，解题时因为圆的对称性，注意分类讨论． （3）同（2）理，结合图象，问题可转化为点到直线的距离为2时，b的取值范围，结合图象判断，当点在点正上方时，b最小，当与直线垂直时，b最大，求出这两种临界位置时b的值，从而确定t的取值范围，解题时因为圆的对称性，注意分类讨论． 【详解】（1）由定义可知， ∴点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动． 又点是点与上的点组成线段的中垂线上的点， 如图，作出点的运动轨迹，当点与点重合时，；当点与点重合时，． ∴点的横坐标范围为． 对于点，点与点的距离为，与点的距离为． ∵，∴在圆弧上存在点，使得，即点在关联圆上． 对于点，点与点的距离为， ∴在圆弧上存在点，使得，即点在关联圆上． 对于点，由图象可知，显然，故点不在关联圆上． 对于点，，∴的最小值为． 又点与点的距离为，， ∴在圆弧上存在点，使得，即点在关联圆上． 故答案为：，，． （2）∵与x轴有2个交点， ∴分两种情况讨论． 第一种：在点与x轴的右方交点（交点记为点）处，如图所示． 当时，点与x轴的右方交点为最小值，记为点． ∴． 解得，或（舍去）． 记点与x轴的右方交点取最大值时的点为，则． ∴． 解得，或（舍去）． 由题意，得∴． 第二种：在点与x轴的左方交点（交点记为点）处，如图所示． 当时，点与x轴的左方交点为最小值，记为点． 由第一种可知，此时． 当时，点与x轴的左方交点为最大值，记为点． ∴． 解得（舍去），或． 由题意，得∴． 综上，或． （3）分两种情况讨论： 第一种：直线在点的上方，如图所示． 当时，直线与相切位置达到最低处，记切点为点． ∴，． 解得，或（舍去）． 记直线与相切位置达到最高处时的切点为点， 则，． ∴，． 解得，或（舍去）． ∴． 第二种：直线在点的下方，如图所示． 当时，直线与相切位置达到最低处，记切点为点． 由第一种情况可知，此时． 当直线与相切位置达到最高处时，切点为点， 代入，得解得． ∴． 综上，或． 39．（2025·江苏徐州·三模）某教室内的桌子皆为同一款多功能桌，4张此款桌子可紧密拼接成中间有圆形镂空的大圆桌，上视图如图1所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，其中大圆的半径为80公分，小圆的半径为20公分，且任两张相邻桌子接缝的延长线皆通过圆心． 为了有效运用教室空间，老师考虑了图2及图3两种拼接此款桌子的方式．这两种方式皆是将2张桌子的一边完全贴合进行拼接A、B两点为图2中距离最远的两个桌角，C、D两点为图3中距离最远的两个桌角，且与2张桌子的接缝相交于G点，G为中点． 请根据上述信息及图2、图3中的标示回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释： (1)的长度为多少公分？ (2)判断与的长度何者较大？请说明理由． 【答案】(1)30公分 (2)，见解析 【分析】（1）由，可求得公分，再根据中点性质即可求得答案； （2）根据为大圆的直径可得公分，再根据勾股定理可得公分，进而可得公分，比较160与的大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：大圆的半径为80公分，小圆的半径为20公分， 公分， 为中点， 公分； 答：的长度为30公分． （2）解：，理由如下： 由题意得：大圆的直径公分， 如图3，延长、交于点O，延长、交于点，则公分， （公分）， （公分）， ， ， （公分）， ， ， 即 【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，中点性质等，难度适中，构造直角三角形是解题关键． 40．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）【学习心得】 （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______． 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，，求的度数； 【方法迁移】 （3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； 【问题拓展】 （4）①如图4①，已知矩形为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，求的长． 【答案】（1）45；（2）；（3）见解析；（4）①；② 【分析】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、垂径定理等知识． （1）由圆周角定理可得出答案； （2）取的中点O，连接．由直角三角形的性质证明点A、B、C、D共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； （3）作出等边三角形，由圆周角定理作出图形即可； （4）①在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案；②作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．由圆周角定理及勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）是的圆心角，是的圆周角，， ； 故答案为：45； （2）如图2，的中点O，连接． ， ， ， ∴点A、B、C、D共圆， ， ， ； （3）作图如下：由图知，；同理． （4）①． 在上截取，连接，以为直径作，交于E，交于F，连接，过圆心O作于H且交圆O于G，过G作的切线交于K，交于Q，如图所示： ， ， 的半径为，即， ∵， ， ， ， ， ，即， ∴满足的点恰好有两个，则的取值范围为， 故答案为：； ②如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接． ， ． 在中，， ． ，O为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，， ， ． $期末易错压轴题型（26易错+8压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、一元二次方程的定义 易错题型二、一元二次方程的一般式 易错题型三、利用一元二次方程求参数 易错题型四、解一元二次方程 易错题型五、根据判别式判断一元二次方程根的情况 易错题型六、一元二次方程的根与系数的关系 易错题型七、解分式方程 易错题型八、圆的基本概念 易错题型九、圆心角的概念 易错题型十、判断确定圆的条件 易错题型十一、圆周角的概念 易错题型十二、判断点与圆的位置关系 易错题型十三、利用垂径定理求值 易错题型十四、利用弧、弦、圆心角的关系求解 易错题型十五、三角形外接圆的概念 易错题型十六、画圆(尺规作图) 易错题型十七、判断直线和圆的位置关系 易错题型十八、有关切线的概念 易错题型十九、圆和圆的位置关系 易错题型二十、正多边形和圆 易错题型二十一、求弧长 易错题型二十二、求扇形面积 易错题型二十三、求圆锥的侧面积 易错题型二十四、平均数、中位数与众数 易错题型二十五、求方差 易错题型二十六、等可能条件下的概率 压轴题型一、根的判别式的压轴题型 压轴题型二、弧长和扇形的面积 压轴题型三、垂径定理及应用 压轴题型四、正多边形与圆的综合 压轴题型五、切线判定与性质综合 压轴题型六、一元二次方程的实际综合应用 压轴题型七、圆锥侧面上最短路径问题 压轴题型八、圆的综合问题 易错题型一、一元二次方程的定义 1．（25-26九年级上·江苏南京·期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知关于x的方程． （1）当为何值时，方程是一元二次方程； （2）当为何值时，方程是一元一次方程． 易错题型二、一元二次方程的一般式 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．3，，9 B．3，， C．3，5，9 D．3，5， 5．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 6．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 易错题型三、利用一元二次方程求参数 7．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．1 B．2 C．－1 D．－2 8．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若是一元二次方程，的一个根，则m的值为 ． 9．（2025·江苏无锡·一模）如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 易错题型四、解一元二次方程 10．（2025·江苏南京·一模）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）用配方法解方程，首先移项得，然后配方，化简得，再通过降次转化为两个一元一次方程求解，那么这里的值为 ． 12．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）下面是小昊同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．…第一步 移项，合并同类项，得．…第二步 系数化为1，得．…第三步 任务： (1)小昊的解法从第_______步开始出现错误； (2)此题的正确结果是_______． (3)用因式分解法解方程：． 易错题型五、根据判别式判断一元二次方程根的情况 13．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）关于x的一元二次方程的根的情况，正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个正根 D．没有实数根 14．（2025九年级上·江苏常州·专题练习）定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，例如，若 为实数是关于的方程，则它的根的情况为： ． 15．（25-26九年级上·江苏常州·月考）已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且）． (1)若，求x的值； (2)若，求证：方程总有实数根． 易错题型六、一元二次方程的根与系数的关系 16．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若方程的两个实数根分别为，则的值是（    ） A． B． C．-3 D．2 17．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）已知关于的一元二次方程的两根为和2，则 ． 18．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． (2)若，是原方程的两根，且．求m的值． 易错题型七、解分式方程 19．（2025·江苏徐州·模拟预测）将分式方程去分母，整理后得（   ） A． B． C． D． 20．（25-26九年级上·江苏南京·期中）用换元法解方程时，如果设，那么变形后的整式方程为 ． 21．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）解分式方程： 易错题型八、圆的基本概念 22．（24-25九年级上·江苏徐州·开学考试）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点有半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，则 ． 24．（2025九年级上·江苏常州·专题练习）如图所示，是的直径，图中的弦有哪些？哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？ 易错题型九、圆心角的概念 25．（24-25九年级上·江苏常州·期中）下图中是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，弧弧，，点在上，连接，则 ． 27．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 易错题型十、判断确定圆的条件 28．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，已知线段，，经过点A，B，以的长为半径能画出圆的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 29．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是 ． 30．（2025·江苏苏州·二模）如图，已知．    (1)尺规作图：作的外接圆；（不要求写作法） (2)若，，求的外接圆半径是___________． 易错题型十一、圆周角的概念 31．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，是的直径，弦与交于点E，连结，，设，，，则（ ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图，四边形内接于，，连接，，则钝角的度数是 ． 33．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，从直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形； (1)求被剪掉的部分的面积； (2)如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 易错题型十二、判断点与圆的位置关系 34．（24-25九年级上·河北沧州·月考）已知的直径为10，为射线上的三个点，，，，则（　　） A．点在 内 B．点在上 C．点在 外 D．点在上 35．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）如图，在中，，，以点为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是 ． 36．（24-25九年级上·西藏林芝·期中）如图，在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆，其中，． (1)请写出方程表示的圆的半径和圆心的坐标； (2)判断原点和第（1）问中圆的位置关系． 易错题型十三、利用垂径定理求值 37．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，线段是的直径，弦，，则等于（   ） A． B． C． D． 38．（2025九年级·宁夏·专题练习）如图，在中，半径垂直弦于点D，若，，则 ． 39．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D， 连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求残片所在圆的半径． 易错题型十四、利用弧、弦、圆心角的关系求解 40．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，是的直径，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 41．（24-25九年级上·江苏常州·期中）将按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，若阴影部分的面积为2，则的面积为 ． 42．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）小滨和小江在研究与圆有关的问题时发现：“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．”进一步思考后，两位同学提出了这样的想法：这四对量中，如果有一对量存在倍数关系，其余三对量是否也会相应的存在倍数关系？因此，在如图所示的中，他们提出了如下猜想：小滨：若，则．小江：若，则．请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 易错题型十五、三角形外接圆的概念 43．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外 C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为 44．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，，则外接圆的圆心 .    45．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）是的外接圆，P是上一点．    (1)请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中的平分线； (2)结合图②，说明你这样画的理由． 易错题型十六、画圆(尺规作图) 46．（2025·湖北宜昌·模拟预测）已知直线l及直线l外一点P．如图， （1）在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点； （2）连接PA，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q； （3）作直线PQ，连接BP． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） A．AP＝BQ B．PQ∥AB C．∠ABP＝∠PBQ D．∠APQ+∠ABQ＝180° 47．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是 ．（填序号）    48．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，点C是线段上一点，直线，垂足为点C．    (1)在直线l上作一点P，使（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的值． 易错题型十七、判断直线和圆的位置关系 49．（24-25九年级上·广东广州·月考）如图，中，以点A为圆心，r为半径作，当时，与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 50．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，，P为上一点，且，以点Р为圆心，长为半径作圆，则该圆与直线的位置关系为 . 51．（24-25九年级上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式：，例如，求点到直线的距离． 解：由直线知：，，，所以到直线的距离为， 根据以上材料，解决下列问题： (1)求点到直线的距离； (2)在（1）基础上，若以点为圆心，半径为2作圆，请直接写出直线与圆的位置关系． 易错题型十八、有关切线的概念 52．（2025九年级·江苏常州·专题练习）如图，点A，B，D在上，，的延长线交直线于点，且，连接，则直线与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 53．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，交于D，，垂足为E，请你添加一个条件，使是的切线，你所添加的条件是 ． 54．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，是斜边上的中线，以为直径作，分别交、于点、，过点作，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 易错题型十九、圆和圆的位置关系 55．（24-25九年级上·广东惠州·月考）如图，， 的圆心 ， 在直线 上， 的半径为 ， 的半径为 ，． 以 的速度沿直线 向右运动， 后停止运动．在此过程中， 与 没有出现的位置关系是（    ） A．外切 B．相交 C．内切 D．内含 56．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，已知⊙A、⊙B、⊙C两两相切，连接圆心构成△ABC，如果AC=3，BC=5，AB=6，那么⊙C的半径长为 . 57．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）． (1)试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式； (2)问点A出发后多少秒两圆相切？ 易错题型二十、正多边形和圆 58．（2025九年级·山东枣庄·学业考试）如图，与正六边形的边分别交于点F、G，则对的圆周角的大小为（    ） A． B． C． D． 59．（2025·陕西咸阳·一模）如图，是半径为3的正八边形的外接圆，连接，则的长为 ． 60．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”． (1)角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为，将正n边形的“接近度”定义为．于是越小，该正n边形就越接近于圆， ①若，则该正n边形的“接近度”等于 ． ②若，则该正n边形的“接近度”等于______． ③当“接近度”等于______．时，正n边形就成了圆． (2)边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为．分别计算时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？ 易错题型二十一、求弧长 61．（2025·河北唐山·二模）某公路急转弯处是一段圆弧，其俯视图如图，汽车在转弯时起点为A，终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，汽车在从A到B行驶的过程中转角为，若圆弧的半径，则这段圆弧的长为（   ） A． B． C． D． 62．（24-25九年级上·甘肃临夏·期中）随着时代的进步，汽车的普及，现在的汽车设计可以说是日新月异，出现了极具前瞻性的设计，其中很重要的一个组成部分就是车门设计．好的车门主要体现在它的防撞性能、密封性能、开合便利性等．如图，某汽车车门的底边长为，车门打开后的最大角度为，若将一扇车门打开，则这扇车门底边扫过区域的最大路径长是 .　 63．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，以为直径的交于点D，与的延长线交于点E，的切线与垂直，垂足为点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 易错题型二十二、求扇形面积 64．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是的两条切线，A，B是切点，，的半径为3．则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 65．（2025·广东广州·一模）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 ．     66．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，AB是⊙O的弦，半径，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA，DE，BE． (1)若，求∠AOD的度数； (2)若，，求扇形OAD的面积． 易错题型二十三、求圆锥的侧面积 67．（24-25九年级上·广东中山·月考）如图，一个几何体的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为（   ）.    A． B． C． D． 68．（2025·云南昆明·三模）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线长，则圆锥形纸杯的全面积为 ．（结果保留） 69．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ． (1)求圆锥的高； (2)求所需铁皮的面积（结果保留）． 易错题型二十四、平均数、中位数与众数 70．（24-25九年级上·福建泉州·期末）清溪中学欲招聘一名数学教师，从笔试、面试两个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行测试，测试成绩（单位：分）如下表所示： 测试项目 甲 乙 丙 笔试 80 74 85 面试 85 90 80 根据实际需要，学校将笔试和面试两项成绩按的比例确定最后成绩，请通过计算说明谁将被录用． 71．（24-25九年级上·河北张家口·期末）某校开展了“学习新思想，做好接班人”主题阅读活动周，王老师在八年级的学生中随机调查了20名学生在活动周的阅读文章篇数，并将数据绘制成如图所示的扇形统计图． (1)这20名学生在活动周的阅读文章篇数的众数是_____篇，中位数是_____篇； (2)估计该校八年级学生在活动周阅读文章的平均篇数． 72．（24-25九年级上·福建厦门·期中）某小学积极倡导阳光体育运动，提高小学生身体素质，开展跳绳比赛，若规定标准数量为每人每分钟100个，表一为该校一年级40人参加跳绳比赛的情况． 表一 跳绳个数与标准效量的差值 人数 (1)该校一年级人跳绳个数的众数是 个： (2)该校一年级人一分钟内平均每人跳绳多少个？ 易错题型二十五、求方差 73．（2025九年级上·江苏常州·专题练习）为了从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击成绩进行了测试，次打靶命中的环数如下： 甲：，，，，； 乙：，，，，． (1)将下表填写完整． 平均数 中位数 方差 甲 乙 (2)根据以上信息，若你是教练，你会选择谁参加射击比赛，理由是什么 74．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）北京时间8月5日分，巴黎奥运射击男子25米手枪速射决赛正式开始，中国选手李越宏40枪得到32分，领先第二名7分，拿到金牌，在连续两届奥运会获得铜牌后，终于圆梦，这也是中国射击本届奥运会的第五枚金牌，也是中国代表团的第20枚金牌，比赛分为8轮，每轮5枪，9.7环以上视为命中，命中1枪得1分．李越宏的8轮成绩分别为5分，3分，4分，2分，4分，5分，4分，5分 (1)李越宏的8轮成绩的众数为 ； (2)求李越宏8轮得分的方差． 75．（24-25九年级上·山东青岛·单元测试）某篮球队对运动员进行3分球投篮成绩测试，每人每天投3分球10次，对甲、乙两名队员在五天中进球的个数统计结果如下： 队员 每人每天进球数 甲 10 6 10 6 8 乙 7 9 7 8 9 经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2． (1)求乙进球的平均数和方差； (2)现在需要根据以上结果，从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员去？为什么？ 易错题型二十六、等可能条件下的概率 76．（2025九年级上·江苏常州·专题练习）某超市举办抽奖活动，规则如下：在一个不透明的箱子里放入红、黄、蓝三种颜色的小球若干（除颜色外完全相同），顾客随机摸出一个球，摸到红球中一等奖，黄球中二等奖，蓝球中三等奖．超市宣称“三种奖项的中奖概率均为”．请你分析该宣称是否一定成立，并说明超市如何操作才能让宣称成立． 77．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）某中学自成立以来，学校以“责任”、“担当”、“敬业”、“奉献”的校训为精神支柱，狠抓五项管理、严格落实双减及课后服务，努力办人民满意的教育．小明将“责任”、“担当”、“敬业”、“奉献”，制成质地、颜色、大小完全一样的四张硬纸板卡片，将这4张卡片洗匀后背面朝上放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取另一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求出两次抽到卡片上的文字是“敬业”、“奉献”的概率（提醒：卡片名称可用字母表示）． 78．（25-26九年级上·四川成都·月考）为了让学生体验民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：五谷画，彩陶，剪纸，排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查每位学生必选且只能选一个课程，根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图．根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)此次被调查的学生总人数为______；扇形统计图中______； (2)补全条形统计图； (3)甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． 压轴题型一、根的判别式的压轴题型 1．（24-25九年级上·广东阳江·期中）课本知识，关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： (1)初步探究：判断方程是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由； (2)拓展应用：求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期中）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)关于的代数式的不动值是_______． (2)判断关于代数式是否有不动值，若有请求出，没有则说明理由． (3)已知关于的代数式． ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式的不动值至少有一个是整数，求出正整数的值． 3．（25-26九年级上·江苏南京·月考）新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． (1)下列方程一定是“美好方程”的是______（直接填序号）； ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程方， ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数k，使得始终在函数的图象上？若存在，直接写出k的值；若不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·辽宁锦州·月考）阅读与思考： 求解二元一次方程组，需要消元把它转化为一元一次方程来解；求解一元二次方程，需要降次把它转化为两个一元一次方程来解；它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解，，．再如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，，∵且，∴不是原方程的解，∴原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： (1)； (2)． 5．（24-25九年级上·山西运城·期中）阅读与思考 下面是数学老师写的小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务． 通过学习我们知道一元二次方程（，a，b，c为常数），当时，一元二次方程的根与系数有着密切的关系，我和同学们一起研究了两类特殊一元二次方程的根，得出了这两类方程根与系数之间的关系，分析如下： 第一类，当时，根据方程根的概念可知方程必有一个根为1，那么另一个根是多少呢？我们用下面的方法进行分析： ∵ ∴ ∴ ∴该方程有实数根 ∴ ∴方程可变形为 ∴或 ∴， ∴当时，一元二次方程的两个实数根为， 第二类，当时，同理可以求出这类方程的实数根…… 任务： (1)小论文中，将方程变形为，然后求出方程的根，这种解方程的方法是（） A．因式分解法；B．公式法；C．配方法；D．直接开平方法 (2)请参照小论文中的求解方法，将第二类方程的求解过程补充完整； (3)通过小论文的学习，请你直接写出一个一元二次方程，使其有一根为． 压轴题型二、弧长和扇形的面积 6．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，求花窗的面积．（结果保留π） 7．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，点在上，在的延长线上取一点，连接，使． (1)求证：直线是的切线． (2)若，则图中阴影部分图形的面积为___________．（结果保留） 8．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，为的直径，弦于点，连接，，，为的中点，且． (1)求的长． (2)当时，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 9．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，以等腰的一腰为直径作，交底边于点，交腰于点，过点作腰的垂线，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)当时，求图中阴影部分的面积． 10．（25-26九年级上·江苏南京·期中）（1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为，弧长为的扇形，则该纸筒的侧面积为____； （2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），其中的长为的长为的长为．求扇环的面积： （3）如图②，梯形面积为，扇环面积为，且等于的长，等于的长，，则______（选填“”、“”或“”）． 压轴题型三、垂径定理及应用 11．（24-25九年级上·江苏徐州·月考）圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．如图是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径． 12．（24-25九年级上·山东济宁·期末）圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（精确到0.1）    13．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为． (1)求圆弧形拱桥的半径； (2)当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施． 14．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，若，为水面截线，，为桌面截线，． (1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 15．（2025·陕西西安·二模）【问题提出】 （1）如图①，在等腰直角中，，为等边三角形，，则线段BD的长为___________； 【问题解决】 （2）如图②，在等腰直角中，，以AC为直径作半圆O，点D为上一动点，求点B、D之间的最大距离； 【问题探究】 （3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角以及弓形BDC组成，其中，点E为BC的中点，，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到的最大距离． 压轴题型四、正多边形与圆的综合 16．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）尺规作图： (1)如图1，作已知圆的一条直径； (2)如图2，作等边三角形，使其是的内接三角形． （要求：仅用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹．） 17．（25-26九年级上·江苏常州·期末）在圆内接正六边形中，分别交于点． (1)如图①，求证：点三等分； (2)如图②，过点作的垂线，垂足为，以点为圆心，的长为半径作圆；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（2）所作图形中，求证：是所作圆的切线． 18．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，的半径为r，六边形是圆的内接正六边形，四边形是正方形．    (1)求正六边形与正方形的面积比； (2)连接，求度数． 19．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径，老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示： (1)通过计算（结果保留根号与）． （Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为______； （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______； （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______． (2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． 20．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）点O是边长为m的正多边形的中心，将一块足够长，圆心角为的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转． 若正多边形为正三角形，扇形的圆心角时，通过观察或测量，得到如图1、2中，正三角形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度均为m； (1)若正多边形为正方形，扇形的圆心角时， ①如图3，求正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度； ②如图4，正方形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明； (2)若正多边形为正五边形，如图5，当扇形纸板的圆心角为多少度时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值m． 压轴题型五、切线判定与性质综合 21．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； 22．（24-25九年级上·广西柳州·期中）如图，点在上，过点，分别与交于，过作于． (1)求证：是的切线； (2)若与相切于点，求的半径． 23．（2025·江苏南京·二模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，的顶点均为格点，在边上找到一点M，连接，使； (2)在图②中，点A、B、O均为格点，过点B作的切线； (3)在图③中，点A、B、O均为格点，在上找到点M和点N（点M和点N均不与点A重合），作，使． 24．（24-25九年级上·四川绵阳·月考）已知，如图，中，，点在边上，是的外接圆，，． (1)证明：与相切； (2)如图1，连接，若，求长度； (3)如图2，作，与交于点，与交于点，若，求长度． 25．（2025·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于两点A和B，其中点A在上．给出如下定义：若线段的垂直平分线与相交，且两交点之间的距离为d，则称点B是点A的“d关联点”． (1)如图1，点． ①在点，，中，点______是点A的“d关联点”，其中d=______； ②若点C是点A的“1关联点”，则点C的横坐标的最大值为______； (2)直线与x轴，y轴分别交于点M，N．对于线段MN上任意一点P，都存在上的点Q，使得点P是点Q的“t关联点”，直接写出t的取值范围． 压轴题型六、一元二次方程的实际综合应用 26．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度？ 27．（25-26九年级上·广东佛山·月考）年第十五届全运会在广东、香港、澳门三地举办，全运会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”公仔爆红．据统计“喜洋洋”“乐融融”公仔套装在某电商平台月份的销售量是万套，月份的销售量是万套． (1)求该平台这两个月销售量的月均增长率； (2)某店铺将进货价为元的“喜洋洋”“乐融融”公仔套装以元售出，每天能销售套．为了推广宣传，同时尽快减少库存，商家决定采取适当的降价措施．调查发现，这款套装的售价每降低元，平均每天就能多售出套．商家要想平均每天盈利元，每套公仔应降价多少元？ 28．（24-25九年级上·重庆九龙坡·月考）九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 29．（24-25九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 30．（25-26九年级上·广西南宁·期中）在中，，，，点从点开始向点以的速度运动，同时，点从点开始向点以的速度运动，当点运动到点后停止，点也随之停止运动， (1)设的运动时间为，则的长度为_____（用含的式子表示） (2)若的面积为，求的运动时间； (3)的面积能否为？若能，请求出的运动时间；若不能，请说明理由 压轴题型七、圆锥侧面上最短路径问题 31．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面．求该圆锥的高． 32．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，从直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形； (1)求被剪掉的部分的面积； (2)如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 33．（25-26九年级上·山东泰安·月考）如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则： (1)求出围成的圆锥的侧面积； (2)求出该圆锥的高． 34．（25-26九年级上·河南安阳·月考）图中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图１），制作这种外包装需要用如图２所示的等腰三角形材料，其中，，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合，圆锥底面圆的直径为． (1)求图1中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图2中阴影部分）的面积．（结果保留π） 35．（2025·福建福州·二模）综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． (1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长______；（填“相等”或“不相等”）若，则______． (2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形，请用含r，l的式子表示． (3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草㡌，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 压轴题型八、圆的综合问题 36．（24-25九年级上·贵州六盘水·月考）如图，是的直径，C，D 是上两点，连接，，平分，交延长线于点 E． (1)写出图中与相等的一个角： ； (2)求证：是的切线； (3)若的半径为5，，求的长． 37．（2025·陕西咸阳·一模）（1）如图1，是的外接圆，点D是外的一点，连接，．求证：； （2）如图2，在一块的规划地上，设计者想让规划面积增大一倍：作法如下：在边上找一个点F，点F正好在点E的正下方（），分别作点F关于、的对称点G、H，连接、、，，．则五边形就是增大一倍的图形．设计者想在G，H之间修一条笔直的小路方便游客赏花．已知米，平方米．请问小路长度的最大值是多少？ 38．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）线段上有一动点（点不与点重合），在线段的中垂线上（上方）有一点，使得，以为圆心，为半径的圆，叫线段的关联圆． 如图，点，，为线段的关联圆． (1)，，，四个点中，在线段的关联圆上的点有______； (2)线段在轴上，其中点，，若线段上所有点都在线段的关联上，求的取值范围； (3)直线与线段的关联圆相切，直接写出的取值范围______． 39．（2025·江苏徐州·三模）某教室内的桌子皆为同一款多功能桌，4张此款桌子可紧密拼接成中间有圆形镂空的大圆桌，上视图如图1所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，其中大圆的半径为80公分，小圆的半径为20公分，且任两张相邻桌子接缝的延长线皆通过圆心． 为了有效运用教室空间，老师考虑了图2及图3两种拼接此款桌子的方式．这两种方式皆是将2张桌子的一边完全贴合进行拼接A、B两点为图2中距离最远的两个桌角，C、D两点为图3中距离最远的两个桌角，且与2张桌子的接缝相交于G点，G为中点． 请根据上述信息及图2、图3中的标示回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释： (1)的长度为多少公分？ (2)判断与的长度何者较大？请说明理由． 40．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）【学习心得】 （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______． 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，，求的度数； 【方法迁移】 （3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； 【问题拓展】 （4）①如图4①，已知矩形为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，求的长． $