精品解析：广西壮族自治区钦州市浦北县第三中学2024--2025学年九年级上学期期末模拟预测数学试题

2024年秋季学期阶段性自主评估训练（四） 九年级数学（R） （时间：120分钟 满分：120分） 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 篆刻艺术，是在金属、象牙、犀角、玉、石等质材之上雕刻篆体文字的艺术，因以制作印章为主，又称印章艺术，下列篆刻作品是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 购买两张彩票，一定中奖 B. 打开电视，正在播放新闻联播 C. 抛掷一枚硬币，正面向上 D. 三角形三个内角和为 3. 小明同学平时不用功学习，某次数学测验做选择题时，他有1道题不会做，于是随意选了一个答案（每小题4个选项且只有一个选项正确），他选对的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点是反比例函数上一点，则下列各点中在该图像上的点是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，的长为（ ） A. B. C. 4 D. 8. 如图，A，B，E为⊙O上的点，⊙O的半径OC⊥AB于点D，若∠CEB=30°，OD=1，则AB的长为（　　） A. B. 4 C. 2 D. 6 9. 二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 某种手链工艺品每串的盈利与手链上的珍珠个数有一定的关系：每串3粒珍珠时，平均每粒珍珠盈利40元；若每串增加一粒珍珠，则每粒珍珠盈利就减少5元．要使每串手链的盈利达到150元，每串应增加多少粒珍珠？设每串增加x粒珍珠，则下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 11. 如图．已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 4.5 12. 如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．请将答案填在答题卡上．） 13. 关于x的一元二次方程的二次项系数是_______． 14. 在一个不透明的塑料袋中装有红色球和白色球共40个．除颜色外其他都相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在左右，则塑料袋中的红色球可能有_______个． 15. 如图，正方形绕着点O逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数为________． 16. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为_______． 17. 如图，是等边三角形，点A的坐标是，点B在第一象限．若反比例函数的图象经过点B，则_______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线过点、，的半径为1（为坐标原点），点在直线上，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解方程： 20. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点，的坐标分别是，，绕点逆时针方向旋转后得到． （1）画出． （2）点的坐标为_____． （3）在旋转过程中，点经过的路径为弧，那么弧的长为_____． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程的一个根为3，求a的值及该方程的另一个根； （2）求证：不论a为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 22. 某超市在端午节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式，方式一：转动转盘甲，指针指向A区域时，所购买物品享受9折优惠、指针指向其它区域无优惠；方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所购买物品享受8折优惠，其它情况无优惠．在每个转盘中，指针指向每个区域的可能性相同（若指针指向分界线，则重新转动转盘） （1）若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为多少； （2）若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能，并求顾客享受8折优惠的概率． 23. 一定电压（单位：V）下电流（A）和电阻之间成反比例关系．小明用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图所示，通过实验，发现电流（A）随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … （A） … 24 16 12 8 4 … 请解答下列问题： （1）这个蓄电池的电压值是______． （2）请在下面的坐标系中，通过描点画出电流I和电阻R之间的关系图象，并直接写出I和R之间的函数关系式； （3）若该电路的最小电阻值为，请求出该电路能通过的最大电流是多少． 24. 一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示． （1）求抛物线的表达式； （2）通过计算判断球能否射进球门； （3）为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方处进球，求n的值． 25. 如图，O为菱形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M． （1）求证：CD与⊙O相切； （2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求⊙O的半径． 26. 在中，，将绕点O逆时针旋转得到，点分别是的中点，连接． （1）【证明与推断】如图，当时，求证：；推断：是_______三角形； （2）【类比探究】如图，当时，判断的形状，并加以证明； （3）【拓展运用】在（）的条件下，当点在上时（如图），设相交于点，若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期阶段性自主评估训练（四） 九年级数学（R） （时间：120分钟 满分：120分） 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 篆刻艺术，是在金属、象牙、犀角、玉、石等质材之上雕刻篆体文字的艺术，因以制作印章为主，又称印章艺术，下列篆刻作品是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，熟记中心对称图形的定义是解题的关键，根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、C、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 2. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 购买两张彩票，一定中奖 B. 打开电视，正在播放新闻联播 C. 抛掷一枚硬币，正面向上 D. 三角形三个内角和为 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、购买两张彩票，一定中奖，是随机事件，不符合题意； B、打开电视，正在播放新闻联播，是随机事件，不符合题意； C、抛掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意； D、三角形三个内角和为，是必然事件，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 小明同学平时不用功学习，某次数学测验做选择题时，他有1道题不会做，于是随意选了一个答案（每小题4个选项且只有一个选项正确），他选对的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实际情况，4个选项中只有一个是正确的，结合题意，小明在4个选项中随意选了一个答案，分析可得答案． 【详解】解：根据题意，小明在4个选项中随意选了一个答案， 而4个选项中只有一个是正确的； 故他选对的概率是． 故选：A． 【点睛】本题考查概率的求法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，据此列不等式计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故选：B． 5. 如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角的性质即可求解. 【详解】连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°， 同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半， 故∠CPD=, 故选B. 【点睛】此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用. 6. 已知点是反比例函数上一点，则下列各点中在该图像上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把点（3，1）代入双曲线 ( k ≠0)，求出 k 的值，再对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵点（3，1）是双曲线 ( k ≠0）上一点， ∴ k =3×1=3， A 、1×3=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； B 、1×=≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； C 、×（-9）=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； D 、6×=3，此点在反比例函数的图像上，故本选正确， 故选： D． 【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 7. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的判定与性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．根据旋转变换的性质得到，根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8. 如图，A，B，E为⊙O上的点，⊙O的半径OC⊥AB于点D，若∠CEB=30°，OD=1，则AB的长为（　　） A. B. 4 C. 2 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据同圆中等弧所对的圆心角等于圆周角的两倍可求出∠AOD的度数，在Rt△AOD中根据已知条件求出AD的长度，再根据垂径定理即可求出AB的长度． 【详解】解：∵OC⊥AB ∴AD=BD， ∴∠AOD=2∠CEB=60° ∴AD= ∴AB=2AD=． 故选C． 【点睛】本题考查圆周角定理和垂径定理．根据垂径定理得到线段和弧相等是解题的关键． 9. 二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对的取值进行分类讨论（当时和当时），注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解． 根据的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限， 当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴左侧，则A选项不符合题意， 当时，二次函数图象，开口向下，对称轴在y轴右侧，则C选项不符合题意，B选项符合题意； 当时，反比例函数的图象经过第二、四象限， 当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴右侧，则D选项不符合题意； 故选：B． 10. 某种手链工艺品每串的盈利与手链上的珍珠个数有一定的关系：每串3粒珍珠时，平均每粒珍珠盈利40元；若每串增加一粒珍珠，则每粒珍珠盈利就减少5元．要使每串手链的盈利达到150元，每串应增加多少粒珍珠？设每串增加x粒珍珠，则下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知每串增加x粒珍珠后，此时有粒珍珠，根据每串增加一粒珍珠，则每粒珍珠盈利就减少5元，可知此时每粒珍珠盈利元，用珍珠数量乘以每粒珍珠盈利即为每串手链的盈利，列出方程即可． 【详解】解：设每串增加x粒珍珠，由题意得： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据珍珠数量乘以每粒珍珠盈利即为每串手链的盈利列出方程是解答本题的关键． 11. 如图．已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 4.5 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查线段的中点坐标、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的比例系数k的几何意义是解题关键．先根据线段的中点坐标公式得到D点坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k，根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后利用的面积进行计算，进而求出结论． 【详解】解：∵点A的坐标为，点D为的中点， ∴D点坐标为， ∴，即反比例函数解析式为， ∴， ∴的面积， ∵点D为的中点， ∴的面积． 故选：D． 12. 如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，连接，证明三点共线，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：连接， ∵边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴三点共线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．请将答案填在答题卡上．） 13. 关于x的一元二次方程的二次项系数是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据定义解答即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是2 故答案为：2 14. 在一个不透明的塑料袋中装有红色球和白色球共40个．除颜色外其他都相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在左右，则塑料袋中的红色球可能有_______个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复实验中事件发生的频率等于事件发生的概率．设有红球x个，利用频率约等于概率进行计算即可． 【详解】解：设红球有x个， 根据题意得：， 解得：，即红色球的个数为12个． 故答案为：12． 15. 如图，正方形绕着点O逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，由旋转的性质可得，由正方形的性质可得，则可得到，再根据等边对等角求解即可． 【详解】解；由旋转的性质可得， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， 故答案为： 16. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线和直线的交点坐标及解析式，得出方程的解即可． 【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得， 方程的解为， 故答案为：． 17. 如图，是等边三角形，点A的坐标是，点B在第一象限．若反比例函数的图象经过点B，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，等边三角形的性质，勾股定理，求反比例函数的解析式，过点B作x轴的垂线于点H，根据等边三角形的性质结合，求出，，再利用勾股定理求出，得到，代入反比例函数解析式即可求出k的值． 【详解】解：如图，过点B作x轴的垂线于点H， ∵是等边三角形，点A的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入反比例函数，则， 解得． 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线过点、，的半径为1（为坐标原点），点在直线上，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短． 【详解】如解图，连接、． ∵是的切线，∴． 根据勾股定理得． ∵，∴当取得最小值时，可取得最小值． ∴当时，线段最短． ∵、，∴．利用勾股定理得． ∵，∴为等腰直角三角形． 又∵，∴为的中点，． ∵，∴此时， 即切线长的最小值为． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求解．运用公式法解方程即可． 【详解】解：， ，，， ， ， ，． 20. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点，的坐标分别是，，绕点逆时针方向旋转后得到． （1）画出． （2）点的坐标为_____． （3）在旋转过程中，点经过的路径为弧，那么弧的长为_____． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的旋转，弧长公式，勾股定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． （1）如图，按要求旋转图形即可； （2）根据平面直角坐标系写出即可； （3）由题意知，在以为圆心，以的长为半径的圆上，且弧长所对的圆心角为旋转角90°，勾股定理求的值，利用弧长公式计算求解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：由图可知，点的坐标为． 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意知，在以为圆心，以的长为半径的圆上，且弧长所对的圆心角为旋转角90°， ∵ ∴ 故答案为：． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程的一个根为3，求a的值及该方程的另一个根； （2）求证：不论a为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）方程的另一根为； （2） 证明：， 不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系， （1）将方程的根代入可求得的值，再根据根与系数的关系可求得另一个根； （2）用表示出其判别式，利用配方可化为平方的形式，可判断判别式的符号，可得出结论； 掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的关系及根与系数的关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：将代入方程可得： ， 解得； 方程为， 设另一根为，则， 解得，即方程的另一根为； 【小问2详解】 略 22. 某超市在端午节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式，方式一：转动转盘甲，指针指向A区域时，所购买物品享受9折优惠、指针指向其它区域无优惠；方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所购买物品享受8折优惠，其它情况无优惠．在每个转盘中，指针指向每个区域的可能性相同（若指针指向分界线，则重新转动转盘） （1）若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为多少； （2）若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能，并求顾客享受8折优惠的概率． 【答案】（1）享受9折优惠的概率为；（2）顾客享受8折优惠的概率为． 【解析】 【分析】（1）由转动转盘甲共有四种等可能结果，其中指针指向A区域只有1种情况，利用概率公式计算可得； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中确定指针指向每个区域的字母相同的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】（1）若选择方式一，转动转盘甲一次共有四种等可能结果，其中指针指向A区域只有1种情况， ∴享受9折优惠的概率为； （2）画树状图如下： 由树状图可知共有12种等可能结果，其中指针指向每个区域的字母相同的有2种结果， 所以指针指向每个区域的字母相同的概率，即顾客享受8折优惠的概率为=． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 23. 一定电压（单位：V）下电流（A）和电阻之间成反比例关系．小明用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图所示，通过实验，发现电流（A）随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … （A） … 24 16 12 8 4 … 请解答下列问题： （1）这个蓄电池的电压值是______． （2）请在下面的坐标系中，通过描点画出电流I和电阻R之间的关系图象，并直接写出I和R之间的函数关系式； （3）若该电路的最小电阻值为，请求出该电路能通过的最大电流是多少． 【答案】（1）48 V （2）描点画图见下图， ， （3）32A 【解析】 【分析】（1）根据电流（A）和电阻之间成反比例关系即可求解； （2）根据各点画出图形即可，设，由过点（3，16），即可求得I和R之间的函数关系式； （3）将R=1.5代入函数即可求得电流． 【小问1详解】 解：∵一定电压（单位：V）下电流（A）和电阻之间成反比例关系， ∴电压为：， 故答案为：48 V； 【小问2详解】 解：设， ∵过点（3，16）， ∴， ∴k=48， ∴； 【小问3详解】 解：当R＝1.5时，， 电路能通过的最大电流是32A． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求解反比例函数，坐标与图形，以及求反比例函数值，熟练掌握待定系数法求解反比例函数是解题的关键． 24. 一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示． （1）求抛物线的表达式； （2）通过计算判断球能否射进球门； （3）为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方处进球，求n的值． 【答案】（1） （2）球不能射进球门 （3）1 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用， （1）用待定系数法求出表达式即可； （2）计算当时，y的值与比较即可得出答案； （3）由题意得出移动后的抛物线为，把点代入求出结论即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线表示的二次函数的表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 当时，， ∴球不能射进球门； 【小问3详解】 由题意，移动后的抛物线为， 把点代入，得， 解得（舍去），， ∴n的值为1． 25. 如图，O为菱形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M． （1）求证：CD与⊙O相切； （2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求⊙O的半径． 【答案】 （1）证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于N， ∵⊙O与BC相切于点M， ∴OM⊥BC，OM是⊙O的半径， ∵AC是菱形ABCD的对角线， ∴AC平分∠BCD， ∵ON⊥CD，OM⊥BC， ∴ON＝OM＝r， ∴CD与⊙O相切； （2）⊙O的半径为﹣6+4． 【解析】 【分析】（1）连接OM，过点O作ON⊥CD于N．只要证明OM=ON即可解决问题； （2）设半径为r，则OC=2-r，OM=r，利用勾股定理构建方程即可解决问题 【详解】（1）略 （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ACB是等边三角形， ∴AC＝AB＝2， 设半径为r．则OC＝2﹣r，OM＝r， ∵∠ACB＝60°，∠OMC＝90°， ∴∠COM＝30°，MC＝， 在Rt△OMC中，∠OMC＝90°， ∵OM2+CM2＝OC2， ∴r2+（）2＝（2﹣r）2， 解得r＝﹣6+4或﹣6﹣4（舍弃）， ∴⊙O的半径为﹣6+4． 【点睛】本题考查切线的判定，菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 26. 在中，，将绕点O逆时针旋转得到，点分别是的中点，连接． （1）【证明与推断】如图，当时，求证：；推断：是_______三角形； （2）【类比探究】如图，当时，判断的形状，并加以证明； （3）【拓展运用】在（）的条件下，当点在上时（如图），设相交于点，若，，求线段的长． 【答案】 （）证明：由旋转的性质可得，，，， ∵点分别是的中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴； 等腰直角； （）是等腰直角三角形， 证明：由旋转的性质可得，，，，， 同（）可证得，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． （）． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （）由旋转的性质可得，，，，再通过中点定义可得，最后证明； 由全等三角形性质可得，，可得，从而求解； （）同（）可证得，则，，可得，从而求解； （）由（）可知，是等腰直角三角形，则，即，设，则，即，又点是的中点，，则，由勾股定理得，即，求出的值即可． 【详解】（）略 解：∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角； （）略 （）解：由（）可知，是等腰直角三角形， ∴，即， 设，则， ∴， ∵点是的中点，， ∴， 由勾股定理得，， 即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $