精品解析：辽宁省辽宁省沈文新高考研究联盟2025-2026学年高三上学期8月月考数学试题

2025-2026（上）8月月度质量监测暨第零次诊断测试 高三数学 本试卷满分150分 考试时间 120分钟 命题人：陈建骐、李丹丹、刘爽 校题人：张可、石晓芳 【命题组织单位：辽宁沈文新高考研究联盟] 第I卷选择题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式把集合具体化，然后再计算，，即可得答案. 【详解】由得，即，所以； 由得，所以． 所以． 故选：A 2. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算性质得到，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】由题意得， 由复数的模长公式得，故C正确. 故选：C 3. 若用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出圆锥筒的高和底面半径，应用圆锥的体积公式求体积即可. 【详解】由题设，所得圆锥的底面周长为，易知圆锥的底面半径为，母线长为， 所以圆锥的高为，故圆锥筒的体积为. 故选：B 4. 下列函数中，最小正周期为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对A，利用余弦函数的周期性判断；对B，由是奇函数，可判断；对C，作出函数的图象可判断；对D，举反例说明周期不是. 【详解】对于A，的最小正周期为，不合题意，故A错误； 对于B，是奇函数，不合题意，故B错误； 对于C，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数是最小正周期为的偶函数，故C正确； 对于D，设，因为， ，所以， 所以的周期不是，故D错误. 故选：C. 5. 已知，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平方分线及椭圆定义计算结合，最后计算得出离心率即可. 【详解】延长交的延长线于，连接， 由题意知：，， 所以，则的轨迹为以为圆心、为半径的圆， 所以与短轴顶点的最短距离为， 所以，所以， 则. 故选：C. 6. 已知的内角，，满足，其面积，则的外接圆半径为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用和、差角的正弦公式及二倍角公式化简得到，再利用三角形的面积公式结合正弦定理即可求得结果. 【详解】 即 即 又，故， 所以 所以 ， 因为 又因为， ， 所以， 所以，解得. 故选：A. 7. 已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线和曲线相切得到，结合导数及函数零点的个数可得答案. 【详解】由点不在函数的图象上，得，则， 设过点的直线与的图象相切于点，， 切线方程为，则， 整理得，令，依题意，函数只有一个零点， 求导得，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 要使仅有一个零点，当且仅当， 解得或，所以实数的取值范围为 故选：C 8. 抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件，“三次试验恰有1次正面向上”为事件，“三次试验恰有2次正面向上”为事件，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件，则下列说法错误的是（ ） A. 与不互斥 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与互斥但不对立 【答案】C 【解析】 【分析】先分析出事件包含的基本事件，再根据互斥事件，对立事件，独立事件的定义对四个选项一一进行判断，得到答案. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币3次，共有（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反反正），（反正反），（反反反），共8种结果， 事件“第一次硬币正面向上”包含（正正正），（正正反），（正反反），（正反反），共4种结果， 事件“三次试验恰有1次正面向上”包含（正反反），（反反正），（反正反），共3种结果， 事件“三次试验恰有2次正面向上”包含（正正反），（正反正），（反正正），共3种结果， 事件“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”包含（正正正），（反反反），共2种结果， 对于A选项，事件与事件可能同时发生，即（正反反），不是互斥事件，故A正确； 对于B选项，，，， 则与相互独立，故B正确； 对于C选项，，，则与不独立，故C错误； 对于D选项，和互斥但并事件不是全体事件，故它们不对立，故D正确. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）如图，这是某地2022年4月至2023年3月每月最低气温与最高气温（单位：℃）的折线统计图.已知每月最低气温与最高气温的样本相关系数，则下列结论正确的有（ ） A. 每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关 B. 月温差（月最高气温一月最低气温）的最大值出现在10月 C. 月的月温差相对于月波动性更大 D. 每月最高气温与最低气温的值在前6个月逐月增加 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线性相关系数可判断A选项；计算各月的温差可判断B选项；观察月、月的月温差变化幅度，可判断选项；观察8月到9月的最高气温与最低气温的变化，可判断选项. 【详解】由每月最低气温与最高气温的样本相关系数，越接近1，线性相关性越强，且表示正相关， 可知每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为正线性相关，故正确. 由所给的折线图计算各月的月温差（月最高气温一月最低气温），比较得到的月温差， 可知最大值出现在10月，故正确. 观察折线统计图，月的月温差相对平稳，月的月温差变化幅度更大， 月的月温差相对于月，波动性更大，故正确. 从折线统计图可以看出，最高气温在8月到9月是下降的，最低气温在8月到9月也是下降的， 并不是在前6个月逐月增加，故错误. 故选：. 10. 已知，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正切的和角公式可得，把表示成关于的函数，进而可求出的范围，转化即可得到的范围. 【详解】由题可得， 整理得，所以， 所以， 又因为， 所以. 记，则， 解得， 故可能取值有，. 故选：AD 11. 已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆上 B. 若直线过原点，则圆截直线所得弦长为 C. 若与圆相切，则的方程为 D. 若与圆相交于A，B两点，且为直角三角形，则的方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，将点的坐标代入圆的方程验算即可判断；对于B，求得圆心到直线的距离，再结合弦长公式即可验算；对于C，由直线与圆的位置关系即可验算；对于D，由题意得圆心到的距离为，故只需求出的斜率即可验算. 【详解】A（√）：因为，所以点在圆上． B（×）：若经过原点，设的方程为，由得，则的方程为． 圆，可得圆心，半径． 圆心到直线的距离， 所以弦长为． C（√）：因为点在圆上，轴，所以直线的方程为． D（×）：因为为直角三角形，且，所以， 则圆心到的距离为． 由题意易得的斜率一定存在，所以可设的方程为， 即．由，解得或－1， 故的方程为或． 故选：AC. 第Ⅱ卷非选择题 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数是定义域为R的偶函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】法一：由偶函数性质有恒成立，求参数值，进而求函数值；法二：由偶函数得求参数值，注意验证，进而求函数值. 【详解】法一：由函数是定义域为R的偶函数，得恒成立， 即恒成立，即恒成立， 又不恒0，所以，则； 法二：，，因为函数是定义域为R的偶函数， 所以，即，解得， 经检验，此时为偶函数，故， 所以． 故答案为： 13. 过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于A，B两点，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】方法一：根据题意有，联立抛物线求交点横坐标，即可得弦长. 方法二：直接用通径公式即可求解. 【详解】方法一：由题设，抛物线焦点为，则，令，则，故． 方法二：由题意可知是抛物线的通径长， 由，的通径长为2p，得． 故答案为：4. 14. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是球的半径.已知每出售的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为_________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件及球的体积公式求出每瓶饮料的利润的解析式，再利用导数说明函数的单调性，即可求出函数取最大值时的值． 【详解】由已知，每个瓶子的利润为，， 则， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，所以当时，函数取得最大值， 即当半径为时，利润最大； 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，是等差数列，且． （1）求，； （2）求证：． 【答案】（1）， （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出，进而求出. （2）利用导数证明不等式，进而证得，由（1）求出并放缩裂项求出即可得证. 【小问1详解】 由，得，等差数列的公差，则， 当时，，于是，满足上式， 所以. 【小问2详解】 令函数，求导得，在上单调递增， ，即，取，则， 于是，由（1）知，， 所以. 16. 某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数（AQI）的监测数据，如表所示： AQI 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 6 14 18 27 20 15 （1）已知某企业每天的经济损失（单位：元）与空气质量指数的关系式为，若在本年内随机抽取1天，试估计该天的经济损失超过400元的概率； （2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染.根据提供的统计数据，完成下表，有的把握认为该城市本年的空气严重污染与供暖有关吗？ 污染程度 非严重污染 严重污染 供暖季 非供暖季 附：独立性检验卡方公式：. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1） （2）列联表见解析，有 【解析】 【分析】（1）根据函数表述式，结合古典概型运算公式进行求解即可； （2）根据监测数据和已知完善列联表，再结合题中所给卡方公式进行求解判断说明即可. 【小问1详解】 记“在本年内随机抽取1天，该天经济损失超过400元”为事件. 当时，由，得， 显然当时，， 所以当时，， 由统计数据可知，空气质量指数大于200的频数为35，所以. 【小问2详解】 根据题设中的数据得到表22： 表22 污染程度 非严重污染 严重污染 供暖季 22 8 非供暖季 63 7 将表中的数据代入公式计算，得. 因为，所以有的把握认为该城市本年的空气严重污染与供暖有关. 17. 如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成角的余弦值； 【小问1详解】 在图1的中，， 所以，，且，， 因为，所以，，则，， 中，，，，则， 在图2的中，，，， 满足，所以， 因为，，，、平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为平面，， 以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，， 设平面一个的法向量，则， 取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面与平面所成角为， 则， 因此，平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知双曲线的焦点在轴上，离心率，且点在该双曲线上． （1）求标准方程． （2）若直线与双曲线的右支相切于点，与直线相交于点，线段MN的中点为，则在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）在轴上存在定点，使得，且点坐标为 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率，以及点在双曲线上联立即可. （2）根据题意，设直线的方程，直线与双曲线联立方程组可得，直线与直线相交可求得，假设存在定点，使得，由题中条件可得，利用进行计算即可. 【小问1详解】 设双曲线的标准方程为（，）， 由已知得，解得， 故双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 依题意，直线的斜率必存在，设其方程为， 由，可得，因为直线与双曲线的右支相切于点， 设，则有， 整理得，由根与系数的关系可得，则， 于是，即，又直线与直线相交于点，所以， 假设存在定点，使得，如图，连接，，因为线段的中点为， 所以，即， 不妨设，则，， 得到， 所以有，解得，即， 故在轴上存在定点，使得． 19. 已知函数的导数为，的导数为的二阶导数，记作．若函数在包含的某个开区间上具有二阶导数，那么，，我们把称为函数在处的二阶拟合函数． （1）写出函数在处的二阶拟合函数，并证明对恒成立； （2）若对恒成立，求a的取值范围； （3）设函数的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为，证明：有两个零点，，且． 【答案】（1），证明见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据二阶拟合函数定义即可得，构造函数，利用二阶导数讨论单调性即可得证； （2）构造函数证明，结合（1）可得，当时，通过放缩可得成立，当时，通过放缩可知，然后构造函数，利用导数证明不满足题意即可得解； （3）求出，根据二次函数性质可证其有两个零点，将目标不等式转化为，构造，利用导数即可得证. 【小问1详解】 因为，， 所以在处的二阶拟合函数． 设，则，， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，即， 所以对恒成立． 【小问2详解】 记，则，则， 所以在上单调递增，， 所以在上单调递增，即， 所以对恒成立， 由（1）可知，则， 所以当时，对恒成立， 则对恒成立． 设， 当时，， 设，则， 所以在上单调递减，则， 所以，这与题意矛盾，所以． 【小问3详解】 因为， 所以，则， 则， 因为，且的图象开口向上， 所以有两个零点，且． 因为当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 要证，只需证， 因为，且， 所以只需证， 构造函数， 则， 所以在上单调递增，所以，即， 因为，所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026（上）8月月度质量监测暨第零次诊断测试 高三数学 本试卷满分150分 考试时间 120分钟 命题人：陈建骐、李丹丹、刘爽 校题人：张可、石晓芳 【命题组织单位：辽宁沈文新高考研究联盟] 第I卷选择题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 若用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，最小正周期为偶函数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角，，满足，其面积，则的外接圆半径为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件，“三次试验恰有1次正面向上”为事件，“三次试验恰有2次正面向上”为事件，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件，则下列说法错误的是（ ） A. 与不互斥 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与互斥但不对立 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）如图，这是某地2022年4月至2023年3月每月最低气温与最高气温（单位：℃）的折线统计图.已知每月最低气温与最高气温的样本相关系数，则下列结论正确的有（ ） A. 每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关 B. 月温差（月最高气温一月最低气温）最大值出现在10月 C. 月月温差相对于月波动性更大 D. 每月最高气温与最低气温的值在前6个月逐月增加 10. 已知，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆上 B. 若直线过原点，则圆截直线所得弦长为 C. 若与圆相切，则的方程为 D. 若与圆相交于A，B两点，且为直角三角形，则的方程为 第Ⅱ卷非选择题 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数是定义域为R的偶函数，则______． 13. 过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于A，B两点，则______． 14. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是球的半径.已知每出售的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，是等差数列，且． （1）求，； （2）求证：． 16. 某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数（AQI）的监测数据，如表所示： AQI 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 6 14 18 27 20 15 （1）已知某企业每天经济损失（单位：元）与空气质量指数的关系式为，若在本年内随机抽取1天，试估计该天的经济损失超过400元的概率； （2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染.根据提供的统计数据，完成下表，有的把握认为该城市本年的空气严重污染与供暖有关吗？ 污染程度 非严重污染 严重污染 供暖季 非供暖季 附：独立性检验卡方公式：. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17. 如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知双曲线的焦点在轴上，离心率，且点在该双曲线上． （1）求标准方程． （2）若直线与双曲线的右支相切于点，与直线相交于点，线段MN的中点为，则在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数的导数为，的导数为的二阶导数，记作．若函数在包含的某个开区间上具有二阶导数，那么，，我们把称为函数在处的二阶拟合函数． （1）写出函数在处的二阶拟合函数，并证明对恒成立； （2）若对恒成立，求a的取值范围； （3）设函数的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为，证明：有两个零点，，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $