第五讲 平方根与立方根（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第五讲 平方根与立方根 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：算术平方根 定义 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根 . 特别地，我们规定：0 的算术平方根是0. 知识点02：() 2 (a ≥ 0)与 的性质 类别 性质 举例 ()2 (a ≥ 0) ()2 =a (a ≥ 0) ()2 =7 = |a| = = =5 , = =3, 知识点03：平方根 定义:一般地，如果一个数x 的平方等于a，即x2=a，那么这个数x 就叫作a 的平方根 (也叫作二次方根) 表示方法:正数a 的平方根记作±，读作“正、负根号a”，其中 表示a 的算术平方根， 表示a 的负的平方根。0 的平方根为0 性质: (1)一个正数有两个平方根； (2)0 只有一个平方根，是它本身； (3)负数没有平方根 知识点04：立方根 定义:一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3=a，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根(也叫做三次方根) . 表示方法 : 每个数a 都有一个立方根，记作，读作“三次根号a” 2. 立方根的性质 (1) 正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数。 (2) 三个重要公式 ①( ) 3=a； ② = a ； ③ = － . 考点1：利用算术平方根的非负性解题 【典型例题】 已知，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【变式训练1】 已知为实数，且，则的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【变式训练2】 在中，分别是的对边．若，则这个三角形一定是（   ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 考点2：平方根的定义及表示方法 【典型例题】 下列式子中表示“9的平方根是”的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（    ） A．1 B．4 C．9 D．25 【变式训练2】 下列说法： ①是5的一个平方根； ②的算术平方根是－3； ③的平方根是； ④0的平方根是0． 其中错误说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点3：立方根的性质 【典型例题】 若是数a的立方根，是数b的一个平方根，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式训练1】 若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 【变式训练2】 已知的平方根是，是的立方根，则的值是（   ） A． B． C． D． 考点4：平方根与立方根的综合应用 【典型例题】 已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【变式训练1】 如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【变式训练2】 下列结论正确的是（    ） A． B．的平方根是 C．若，则 D．64的立方根是 一、单选题 1．9的算术平方根是（    ） A． B．3 C． D．81 2．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（   ） A．20或22 B．20 C．22 D．以上答案均不对 3．如图，数轴上可表示的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 4．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6．当时，的值为（   ） A． B． C．8 D．4 7．估计的值在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 8．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 9．如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为－1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D．1.6 10．如下图，在数轴上，点A表示． 点B表示，则A． B之间表示整数的点共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 11．的算术平方根为 ． 12．的整数部分是 ． 13．若一个正数的两个平方根分别是与，则a的值为 ． 14．已知则的立方根是 ． 15．若直角三角形的两条边长为a、b．且满足，则该直角三角形的周长为 ． 16．小明在作业本上做了4道题①；②；④；④，他做对的题有 ． 17．计算：的平方根是 ． 18．已知与互为相反数，则与的积的立方根为 ． 三、解答题 19．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 20．已知，求的平方根． 21．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式． 22．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第五讲 平方根与立方根 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：算术平方根 定义 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根 . 特别地，我们规定：0 的算术平方根是0. 知识点02：() 2 (a ≥ 0)与 的性质 类别 性质 举例 ()2 (a ≥ 0) ()2 =a (a ≥ 0) ()2 =7 = |a| = = =5 , = =3, 知识点03：平方根 定义:一般地，如果一个数x 的平方等于a，即x2=a，那么这个数x 就叫作a 的平方根 (也叫作二次方根) 表示方法:正数a 的平方根记作±，读作“正、负根号a”，其中 表示a 的算术平方根， 表示a 的负的平方根。0 的平方根为0 性质: (1)一个正数有两个平方根； (2)0 只有一个平方根，是它本身； (3)负数没有平方根 知识点04：立方根 定义:一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3=a，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根(也叫做三次方根) . 表示方法 : 每个数a 都有一个立方根，记作，读作“三次根号a” 2. 立方根的性质 (1) 正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数。 (2) 三个重要公式 ①( ) 3=a； ② = a ； ③ = － . 考点1：利用算术平方根的非负性解题 【典型例题】 已知，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，以及求代数式的值，根据非负数的性质求出x和y的值是解答本题的关键．先根据非负数的性质求出x和y的值，然后代入所给代数式计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 【变式训练1】 已知为实数，且，则的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 根据非负数的性质求出、的值，再代入式子计算． 【详解】解：由题意可知，和均为非负数，且它们的和为0，故：，， 由解得， 由解得， 将，代入得： 故选：A． 【变式训练2】 在中，分别是的对边．若，则这个三角形一定是（   ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查偶数次幂，绝对值，算术平方根的非负性以及勾股定理的逆定理，依据偶数次幂，绝对值，算术平方根的非负性求得a、b、c的值，然后依据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】∵， ∴， ∴． ∵ 满足， ∴为等腰直角三角形． 故选D． 考点2：平方根的定义及表示方法 【典型例题】 下列式子中表示“9的平方根是”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根的定义及表示方法，解题的关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 即一个非负数的平方根为，据此即可判断． 【详解】解：“9的平方根是”可表示为：， 故选：B． 【变式训练1】 已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（    ） A．1 B．4 C．9 D．25 【答案】A 【分析】本题考查平方根的性质，利用性质列方程是解题关键 先根据平方根的性质得出两个平方根互为相反数，再列方程计算，根据平方根的平方是被开方数得出这个正数 【详解】解：由题意可知： 解得： ∴这个正数的两个平方根分别是， ∴这个正数是1 故选：A 【变式训练2】 下列说法： ①是5的一个平方根； ②的算术平方根是－3； ③的平方根是； ④0的平方根是0． 其中错误说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，解题的关键是熟练掌握求一个数的平方根和算术平方根的定义． 逐一分析各说法是否正确，结合平方根和算术平方根的定义进行判断． 【详解】解：说法①：是5的一个平方根； 平方根的定义：若，则是的平方根，5的平方根为，其中是正的平方根（即算术平方根），因此，确实是5的一个平方根，①正确，不符合题意； 说法②：的算术平方根是； 计算，其算术平方根为（算术平方根非负），题目中结果为，显然错误，②错误，符合题意； 说法③：的平方根是； 先计算，再求2的平方根为，题目中结果为，与不符，③错误，符合题意； 说法④：0的平方根是0； 根据定义，0的平方根仅有0本身，④正确，不符合题意； 综上，错误的说法为②和③，共2个， 故选：B． 考点3：立方根的性质 【典型例题】 若是数a的立方根，是数b的一个平方根，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查立方根，平方根，乘方，根据立方根，平方根求出a，b的值，代入求值即可． 【详解】解：∵是数a的立方根，是数b的一个平方根， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式训练1】 若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据立方根的性质，由已知条件得到、的值，即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式训练2】 已知的平方根是，是的立方根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．利用平方根及立方根的定义求出与的值，即可确定出的值． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， 则． 故选：D． 考点4：平方根与立方根的综合应用 【典型例题】 已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 【变式训练1】 如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的综合应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义是解题的关键．根据是8的立方根，求出，再根据算术平方根定义求出结果即可． 【详解】解：∵是8的立方根， ∴， ∴的算术平方根是． 故选：C． 【变式训练2】 下列结论正确的是（    ） A． B．的平方根是 C．若，则 D．64的立方根是 【答案】A 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握立方根、平方根、算术平方根的定义是解题的关键．根据立方根、平方根、算术平方根的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，故此选项结论正确，符合题意； B、没有平方根，故此选项结论不正确，不符合题意； C、若，则或，故此选项结论不正确，不符合题意； D、64的立方根是4，故此选项结论不正确，不符合题意； 故选：A． 一、单选题 1．9的算术平方根是（    ） A． B．3 C． D．81 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的概念，需明确算术平方根的定义． 根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：9的算术平方根是3． 故选B． 2．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（   ） A．20或22 B．20 C．22 D．以上答案均不对 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的周长问题，掌握绝对值和算术平方根的非负性、等腰三角形的定义、三角形三边关系是解题的关键．根据平方的非负性求出x，y的值，然后分两种情况讨论：①当等腰三角形腰长为时；②当等腰三角形底边长为时，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得， 解得， ①若是腰长，则三角形的三边长为：、、，能组成三角形；周长为 ②若是底边长，则三角形的三边长为：、8、8，能组成三角形，周长为． 故选：A． 3．如图，数轴上可表示的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴， 根据，进而得，再确定的范围，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 所以数轴上可表示的点是B． 故选：B． 4．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根；0的算术平方根为0．根据二次根式有意义的条件对A进行判断；先把化为，再求它的算术平方根即可对B进行判断；先计算，再求它的算术平方根即可对C进行判断；根据算术平方根的定义对D进行判断． 【详解】解：A、没意义，所以A选项错误； B、，所以B选项正确； C、，所以C选项错误； D、，所以D选项错误． 故选：B． 5．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的估算，立方根，实数的大小比较，熟练掌握估算方法是解题关键． 先估算出和的取值范围，计算，再进行比较即可得答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∵ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 6．当时，的值为（   ） A． B． C．8 D．4 【答案】D 【分析】本题考查立方根和乘方运算，解题的关键是熟练运用立方根的定义．先计算乘方，再计算立方根即可． 【详解】解：当时， ， ∴当时，的值为． 故选：D． 7．估计的值在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】D 【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握算术平方根的意义，是解题的关键．要确定的值所在区间，需先估算的范围，再通过加法运算判断结果的位置. 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 8．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，根据平方根，算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，当输入x的值为16时， ， ， 把4再次输入数值转换器， ， ， 把2再次输入数值转换器， ． 故选：C． 9．如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为－1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D．1.6 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴及两点间距离，根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数是，且点在点右侧， ∴点表示的数为：， 故选：． 10．如下图，在数轴上，点A表示． 点B表示，则A． B之间表示整数的点共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根与立方根，无理数的估算，弄清数轴上的点表示的数是解本题的关键．根据A与B表示的数表示出范围，确定整数解个数即可． 【详解】解：，，即 ，之间表示整数的点有，，，四个， 故选：B． 二、填空题 11．的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵，的算术平方根是， ∴的算术平方根是． 故答案为：． 12．的整数部分是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．先利用夹逼法估算的取值范围，即可得出的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴的整数部分是3， 故答案为：3． 13．若一个正数的两个平方根分别是与，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题关键．根据一个正数的两个平方根互为相反数建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， 解得， 故答案为：． 14．已知则的立方根是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根与立方根的应用，熟练掌握算术平方根与立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的非负性求得，，进而代入代数式，求得立方根，即可求解． 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得，， ∴，的立方根是， 即的立方根是． 故答案为：． 15．若直角三角形的两条边长为a、b．且满足，则该直角三角形的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理． 根据非负数的性质得到，，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 即，， 当为直角边时， 则直角三角形的斜边为， ∴该直角三角形的周长为； 当为斜边时， 则另一直角边为， ∴该直角三角形的周长为 故答案为：或． 16．小明在作业本上做了4道题①；②；④；④，他做对的题有 ． 【答案】① 【分析】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 利用平方根、算术平方根，立方根性质判断即可， 【详解】解：①，原式计算正确； ②，原式计算错误； ③，所以，原式计算错误； ④，原式计算错误； 综上所述：他做对的题有①； 故答案为：①． 17．计算：的平方根是 ． 【答案】 【分析】先根据立方根的定义求出的立方根，再计算的值，然后根据绝对值的性质求出，最后再求出它的平方根即可． 本题主要考查了平方根和立方根，解题关键是熟练掌握平方根与立方根的定义． 【详解】解：， ∴的平方根是． 故答案为：． 18．已知与互为相反数，则与的积的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数的定义，算术平方根与平方式的非负性，以及立方根，掌握非负性，利用非负性进行求解是本题的关键．根据题意可以列出式子，利用二次根式与平方式的非负性可求出与的值，即可求出与的积的立方根． 【详解】解：与互为相反数 即 ， ，； ， ， 与的积的立方根为：． 故答案为：． 三、解答题 19．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)17 (2)． (3)3 (4) (5)6． (6) 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的求解，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义计算即可； （2）先将根号内的式子化为假分数，再求算术平方根的相反数即可； （3）先计算根号内的式子，再求算术平方根即可； （4）根据即可求解； （5）根据立方根的定义即可求解； （6）根据即可求解． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 20．已知，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是非负数的性质，求一个数的平方根，熟知算术平方根与绝对值均为非负数是解答此题的关键． 先利用算术平方根和绝对值的非负性求出x、y的值，再由平方根的定义即可得出结论． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴ ∴的平方根为． 21．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式． 【答案】 【分析】本题考查实数和数轴，化简绝对值，求算术平方根和立方根．根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简计算即可． 【详解】解：由图可知：，，，， ． 22．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$