第4章 幂函数、指数函数和对数函数（单元同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 答案与解析 1.D　因为f(x)=,所以2x-4x>0,解得x<0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0),所以函数y=需满足x-1<0且x+1≠0,解得x<1且x≠-1. 2.B　设幂函数的解析式为f(x)=xα, 因为幂函数f(x)的图象经过点,所以2α=,解得α=-2, 故f(x)=x-2,其定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 又f(-x)=(-x)-2=x-2=f(x),所以f(x)为偶函数, 又因为-2<0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减. 3.C　∵0<a=0.50.4<0.50=1,b=log0.50.3>log0.50.5=1,c=log80.4<log81=0, ∴c<a<b. 4.D　易知f(x)的定义域为(0,+∞),y=lg x,y=5x-11在(0,+∞)上都单调递增, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增, 当0<x<1时,lg x<0,5x-11<0,所以f(x)<0,所以f(x)在(0,1)上无零点, 因为f(1)=-6<0,f(2)=lg 2-1<0,f(3)=lg 3+4>0,f(4)=lg 4+9>0, 所以f(2)f(3)<0,所以f(x)在(2,3)上有零点. 5.D　因为f(x)=ln(x2-2mx+m+2)的值域为R, 所以函数y=x2-2mx+m+2的值域应包含(0,+∞), 所以Δ=(-2m)2-4(m+2)≥0,解得m≤-1或m≥2, 所以m的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞). 6.B　∵对任意的实数x1,x2(x1≠x2),都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立, ∴函数f(x)在R上单调递减, ∴解得<a≤, 即实数a的取值范围是. 7.A　若函数f(x)是定义域为R的奇函数,则f(-x)=-f(x), 所以==,所以m=2, 所以f(x)===-+, 对任意x1,x2∈R,当x1>x2时,+1>+1>1,所以<, 所以f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在R上单调递减, 所以f(x)+f(1+x)>0,即f(x)>f(-1-x),即x<-1-x,解得x<-, 故原不等式的解集是. 8.D　当0<x1<x2<1时,f(x2)=2f(x1)∈(0,1), 所以f(x1)∈,即∈,所以x1∈, 则x1·f(x2)=2x1f(x1)=2, 因为y=x3在(0,1)上单调递增,所以x1·f(x2)=2∈; 当0<x1<1≤x2时,f(x1)=∈(0,1), f(x2)=∈[2,+∞), 所以f(x2)>2f(x1),故不存在0<x1<1≤x2,使得f(x2)=2f(x1); 当1≤x1<x2时,f(x1)=,f(x2)=, 因为f(x2)=2f(x1),所以=2·,所以x2=x1+1, x1·f(x2)=2x1f(x1)=2x1·, 令g(x)=2x·2x,x∈[1,+∞),任取x3,x4∈[1,+∞),且x4>x3,则==·, 因为1≤x3<x4,所以<1,x3-x4<0,即<1, 所以·<1,即g(x3)<g(x4), 所以g(x)=2x·2x在[1,+∞)上单调递增, 所以g(x)≥g(1)=4,即x1·f(x2)∈[4,+∞), 综上所述,x1·f(x2)的取值范围是∪[4,+∞). 9.BD　选项A,由换底公式可得=log58,故A不正确; 选项B,·=·==,故B正确; 选项C,设+=t(t>0),两边分别平方可得a+a-1+2=t2,因为a+a-1=14,所以t2=16,故+=4,故C不正确; 选项D,+ln(ln e)=+ln 1=7+0=7,故D正确. 10.AD　∵x2-x+1=+>0恒成立,∴函数f(x)的定义域为R,A正确; 函数f(x)=ln(x2-x+1)在上单调递增,在上单调递减,B错误; 由x2-x+1=+≥可得f(x)=ln(x2-x+1)≥ln, ∴函数f(x)的值域为,C错误; 函数f(x)的图象关于直线x=对称,D正确. 11.ACD　作出函数f(x)的图象,如图所示. 设f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=k,则k>0, 由图可知f(x1)=log2(-x1)=k,得x1=-2k, f(x2)=-log2(-x2)=k,得x2=-2-k, 所以x1x2=2k·2-k=1,故A正确; f(x3)=-log2(1-x3)=k,得x3=1-2-k, f(x4)=-log2(x4-1)=k,得x4=1+2-k, 所以x3+x4=2,故B错误; x1x2x3x4=(1-2-k)(1+2-k)=1-2-2k,当k>0时,0<1-2-2k<1恒成立,故C正确; x1+x2+x3+x4=-2k-2-k+2=-+2≤-2+2=0,当且仅当2k=,即k=0时等号成立,而k>0,所以等号不成立,所以x1+x2+x3+x4<0,故D正确. 12.答案　4 解析　由题意知g(-x)=f(-x)(e-x-ex)+2=-f(x)(ex-e-x)+2=-g(x)+4,故g(x)+g(-x)=4,则g(-2 024)+g(2 024)=4. 13.答案　4.58 解析　由题意可得40=10+(100-10)·e-0.24t,化简可得e-0.24t=, ∴-0.24t=ln=-ln 3, ∴t≈4.58. 14.答案　(,+∞) 解析　由题意知∃x0<0,使得g(-x0)=-f(x0), 即-x3+ln(x+a)=-x3-ex+在x∈(-∞,0)上有解, 即ln(x+a)=-ex+在x∈(-∞,0)上有解, 即y=ln(x+a)与y=-ex+的图象在x∈(-∞,0)上有交点, 因为x∈(-∞,0),所以ex∈(0,1),则-ex+∈, 易知y=-ex+在x∈(-∞,0)上单调递减,y=ln(x+a)在定义域上单调递增, 所以ln a>,解得a>=,即a的取值范围是(,+∞). 15.解析　(1)由题意,得解得-<x<, 所以函数f(x)的定义域为.(3分) (2)函数f(x)=lg(1-2x)+lg(1+2x)为偶函数,(4分) 证明如下:由(1)知,函数f(x)的定义域为,关于原点对称, 又f(-x)=lg(1+2x)+lg(1-2x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.(7分) (3)f(x)=lg(1-2x)+lg(1+2x)=lg(1-4x2),(8分) 令u=1-4x2,因为u=1-4x2在上单调递增,在上单调递减,y=lg u在(0,+∞)上单调递增,(10分) 所以由复合函数的单调性可知,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减.(13分) 16.解析　因为函数f(x)的定义域为R,且为偶函数,所以f(-1)=f(1),即log3-k=log310+k,解得k=-1,(3分) 此时f(x)=log3(9x+1)-x=log3, 经检验,f(-x)=log3=log3=f(x)成立, 所以k=-1.(6分) (2)由(1)知, f(x)=log3(9x+1)-x,当x∈[0,1]时,不等式f(x)+x-log3(m·3x-1)≥0恒成立可转化为x∈[0,1]时,不等式log3(9x+1)-log3(m·3x-1)≥0,即log3(9x+1)≥log3(m·3x-1)恒成立, 因为y=log3x在定义域上单调递增,所以9x+1≥m·3x-1>0, 即3x+≥m>, (9分) 令t=3x,x∈[0,1],则t∈[1,3],所以≥m>,(12分) 因为t+≥2(当且仅当t=时等号成立),∈, 所以1<m≤2.(15分) 17.解析　(1)当x=4时,y==6,所以当投放1个单位的净化剂4小时后,净化剂在污水中释放的浓度为6毫克/立方米.(3分) (2)当0≤x≤3时,令4(2x+1)≥4,得2x≥0,恒成立.(5分) 当x>3时,令4×≥4,得2x-3+1≤18,则x-3≤log217=≈=4.1,所以3<x≤7.1.(8分) 综上,当0≤x≤7.1时,净化剂能起到净化污水的作用. 所以若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用,则净化时间约达7.1小时.(10分) (3)g(t)=+2(2t+1)=+2(2t+1),0<t≤3.(12分) 因为2t+1>0,所以+2(2t+1)≥2=12,当且仅当=2(2t+1),即t=1时取等号,所以g(t)的最小值为12.(15分) 18.解析　(1)当m=1时, f(x)=4x+2x-2,x∈[-2,1], 令t=2x,x∈[-2,1],则≤t≤2,易得y=t2+t-2在区间上单调递增,(3分) 当t=时,ymin=-,当t=2时,ymax=4, 所以f(x)的值域为.(5分) (2)要使对任意的x1∈[-2,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)在[-2,1]上的最小值大于或等于g(x)在[0,1]上的最小值.(7分) 因为0≤x≤1,所以1≤x2+1≤2,即≤≤1,即1≤≤2, 所以g(x)在区间[0,1]上的最小值为1.(9分) 对于函数f(x)=4x+m·2x-2(-2≤x≤1),令t=2x,则≤t≤2, 易得y=t2+mt-2的图象开口向上,对称轴为直线t=-.(10分) 当-≤,即m≥-时,函数y=t2+mt-2在上单调递增, 则f(x)min=ymin=+m-2=m-, 所以m-≥1,解得m≥;(12分) 当<-<2,即-4<m<-时,函数y=t2+mt-2在t=-处取得最小值, 则f(x)min=ymin=--2=-m2-2<0<1,不符合题意;(14分) 当-≥2,即m≤-4时,函数y=t2+mt-2在上单调递减, 则f(x)min=ymin=22+2m-2=2m+2, 所以2m+2≥1,解得m≥-,与m≤-4矛盾,不符合题意.(16分) 综上所述,m的取值范围为.(17分) 19.解析　(1)由f(x)=2x是(a,1)型函数,得f(x)·f(2a-x)=2x·22a-x=1,即22a=1,即2a=0,所以a=0.(3分) (2)由g(x)=是(a,b)型函数,得g(x)·g(2a-x)=·=b, 则+=ln b, 因此x2ln b-2axln b+2a=0对定义域{x|x≠0}内任意x恒成立,(5分) 于是解得a=0,b=1.(7分) (3)由h(x)是(1,4)型函数,得h(x)·h(2-x)=4. ①当x=1时,h(1)·h(1)=4,而h(x)>0,则h(1)=2,满足h(x)≥1;(9分) ②当x∈(1,4]时,h(x)=-(log2x)2+m·log2x+2≥1恒成立, 令log2x=t,则t∈(0,2],-t2+mt+2≥1恒成立,于是m≥t-恒成立,而函数y=t-在(0,2]上单调递增,则t-≤,当且仅当t=2时取等号,因此m≥;(12分) ③当x∈[-2,1)时,2-x∈(1,4], 则h(x)==, 由h(x)≥1,得0<-+m·log2(2-x)+2≤4, 令log2(2-x)=u,则当u∈(0,2]时,0<-u2+mu+2≤4, 由②知-u2+mu+2≥1,则只需u∈(0,2]时,-u2+mu+2≤4恒成立, 即u∈(0,2]时,m≤+u恒成立,(15分) 又u+≥2=2,当且仅当u=时取等号,因此m≤2. 所以实数m的取值范围是.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步章末达标检测卷 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知函数f(x)=,则函数y=的定义域为(　　) A.(-∞,1)　　　　B.(-∞,-1) C.(-∞,-1)∪(-1,0)　　　　D.(-∞,-1)∪(-1,1) 2.已知幂函数f(x)的图象经过点,则f(x)(　　) A.为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递增 B.为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减 C.为奇函数且在区间(0,+∞)上单调递增 D.为奇函数且在区间(0,+∞)上单调递减 3.设a=0.50.4,b=log0.50.3,c=log80.4,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a<b<c　　　　B.c<b<a　　　　C.c<a<b　　　　D.b<c<a 4.函数f(x)=lg x+5x-11的零点所在区间是(　　) A.(0,1)　　　　B.(1,2)　　　　C.(3,4)　　　　D.(2,3) 5.若函数f(x)=ln(x2-2mx+m+2)的值域为R,则实数m的取值范围是(　　) A.(-1,2)　　　　B.[-1,2] C.(-∞,-1)∪(2,+∞)　　　　D.(-∞,-1]∪[2,+∞) 6.若函数f(x)=且满足对任意的实数x1,x2(x1≠x2),都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立,则实数a的取值范围是(　　) A.　　　　B.　　　　 C.　　　　D. 7.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数,则不等式f(x)+f(1+x)>0的解集为(　　) A.　　　　B.{x|x<-2} C.　　　　D.{x|x<0} 8.已知函数f(x)=若存在x2>x1>0,使得f(x2)=2f(x1),则x1·f(x2)的取值范围是(　　) A.　　　　B.　　　　 C.(4,+∞)　　　　D.∪[4,+∞) 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列运算中正确的是(　　) A.=log85 B.·= C.若a+a-1=14,则+=3 D.+ln(ln e)=7 10.设函数f(x)=ln(x2-x+1),则下列命题中正确的是(　　) A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)是增函数 C.函数f(x)的值域为R D.函数f(x)的图象关于直线x=对称 11.已知函数f(x)=设f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),且x1<x2<x3<x4,则下列说法正确的是(　　) A.x1x2=1　　　　B.x3+x4=1 C.0<x1x2x3x4<1　　　　D.x1+x2+x3+x4<0 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.若f(x)为定义在R上的偶函数,函数g(x)=f(x)(ex-e-x)+2,则g(-2 024)+g(2 024)=　　　　　.  13.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1℃,空气的温度是θ0℃,t min后物体的温度θ(℃)可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.24t求得.把温度是100 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却t min后,物体的温度是40 ℃,那么t的值等于　　　　.(保留两位小数,参考数据:ln 3≈1.099)  14.已知函数f(x)=x3+ex-(x<0)与g(x)=x3+ln(-x+a)的图象上存在关于原点对称的点,则a的取值范围是　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知函数f(x)=lg(1-2x)+lg(1+2x). (1)求f(x)的定义域; (2)判断并证明f(x)的奇偶性; (3)讨论f(x)的单调性. 16.(15分)已知函数f(x)=log3(9x+1)+kx是偶函数. (1)求实数k的值; (2)当x∈[0,1]时,不等式f(x)+x-log3(m·3x-1)≥0恒成立,求实数m的取值范围. 17.(15分)为了保护环境,污水进入河流前都要进行净化处理.某市工业园区某工厂的污水先排入净化池,然后加入净化剂进行净化处理.根据实验得出,在一定范围内,每放入1个单位的净化剂,在污水中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:小时)变化的函数关系式近似为y=若多次加入净化剂,则某一时刻净化剂在污水中释放的浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知,当净化剂在污水中释放的浓度不低于4毫克/立方米时,它才能起到净化污水的作用. (1)当投放1个单位的净化剂4小时后,净化剂在污水中释放的浓度是多少? (2)若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用,则净化时间约达几小时?(结果精确到0.1,参考数据:lg 2≈0.3,lg 17≈1.23) (3)若第一次投放1个单位的净化剂,3小时后再投放2个单位的净化剂,设第二次投放t小时后污水中净化剂浓度为g(t)毫克/立方米,其中0<t≤3,求g(t)的表达式和g(t)的最小值. 18.(17分)已知函数f(x)=4x+m·2x-2,x∈[-2,1],m为实数. (1)当m=1时,求f(x)的值域; (2)设g(x)=,若对任意的x1∈[-2,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)≥g(x2)成立,求m的取值范围. 19.(17分)若存在实数对(a,b),使等式f(x)·f(2a-x)=b对定义域中每一个实数x都成立,则称函数f(x)为(a,b)型函数. (1)若函数f(x)=2x是(a,1)型函数,求a的值; (2)若函数g(x)=是(a,b)型函数,求a和b的值; (3)已知在[-2,4]上,h(x)恒大于0,且为(1,4)型函数,当x∈(1,4]时,h(x)=-+m·log2x+2.若h(x)≥1在[-2,4]上恒成立,求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$