第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末综合提升-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

该高中数学单元复习讲义围绕不等式主题，按逻辑推理、数学运算、数学建模三大核心素养模块构建知识体系，通过题型分类框架图呈现不等式性质、证明、解法及实际应用的脉络，突出基本不等式、一元二次不等式等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分素养设计分层练习，如逻辑推理模块的“已知a＜b＜0判断不等式成立”题、数学运算模块的“利用基本不等式求最值”题、数学建模模块的“矩形喷泉区面积优化”题，培养学生逻辑推理和数学运算能力。单元检测卷涵盖基础题与高考真题溯源，帮助不同层次学生巩固提升，为教师精准教学提供系统支持。

章末综合提升 素养一　逻辑推理 　　逻辑推理主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，逻辑推理在本章中主要体现在：(1)利用不等式的性质推得结论；(2)利用基本不等式推出有关结论. 题型一　不等式的性质及应用 (1)如果a＜b＜0，那么下列各式一定成立的是(　　) A.a－b＞0 B.ac2＜bc2 C.a2＞b2 D. (2)若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是(　　) A.＜b B.a2＞b2 C.＞ D.a｜c｜＞b｜c｜ 答案：(1)C　(2)C 解析：(1)因为a＜b＜0，所以a－b＜0，a＋b＜0，＞，所以(a－b)(a＋b)＝a2－b2＞0，即a2＞b2，故C项正确，A，D两项不正确.当c＝0时，ac2＝bc2，故B项不一定正确.故选C. (2)取a＝1，b＝－1，排除选项A；取a＝0，b＝－1，排除选项B；取c＝0，排除选项D；显然，＞0，对不等式a＞b的两边同时乘成立.故选C. 题型二　不等式的证明 已知a，b都是正数，且a＋b＝1，求证： ≥9. 证明：因为a＞0，b＞0，且a＋b＝1， 所以＝ ＝＝5＋2 ≥5＋4＝9. 当且仅当＝，即a＝b＝时取“＝”. 所以≥9. 学生用书⬇第48页 素养二　数学运算 　　数学运算是解决数学问题的基本手段.数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础.本章中数学运算主要体现在解不等式、求最值等. 题型三　解不等式 解下列关于x的不等式. (1)x(3－x)≤x(x＋2)－1； (2)x2－x＋1≤0(a＞0). 解：(1)原不等式可化为2x2－x－1≥0， 所以(2x＋1)(x－1)≥0， 故原不等式的解集为. (2)x2－x＋1≤0⇔(x－a)≤0. ①当0＜a＜1时，a＜，不等式的解集为； ②当a＝1时，a＝＝1，不等式的解集为{1}； ③当a＞1时，a＞，不等式的解集为. 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为{1}； 当a＞1时，不等式的解集为. 题型四　利用基本不等式求最值 (1)若x∈{x｜x＞1}，则y＝3x＋的最小值是_________. (2)已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝1，则的最小值是_________. 答案：(1)3＋2　(2)2＋4 解析：(1)因为x＞1，所以x－1＞0， 因此y＝3x＋＝3(x－1)＋＋3 ≥2＋3＝3＋2，当且仅当3(x－1)＝，即x＝＋1时取等号，因此y＝3x＋的最小值是3＋2. (2)x＞0，y＞0，且x＋3y＝1，＝＝＝＋4≥＋4＝2＋4.当且仅当x＝y，x＋3y＝1，即y＝＝，x＝＝时取等号.故的最小值是2＋4. 素养三　数学建模 　　数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式.数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.本章中数学建模主要体现在利用基本不等式及一元二次不等式解决实际问题. 题型五　构建一元二次不等式模型解决实际问题 某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是50元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于1 500元，则x的取值范围为_________. 答案：{x｜3≤x≤10} 解析：根据题意，有2×50≥1 500， 即5x2－14x－3≥0， 解得x≥3或x≤－， 又1≤x≤10， 所以3≤x≤10. 题型六　构建基本不等式模型解决实际问题 为满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体A1B1C1D1，该项目由矩形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD的面积为1 000 m2，绿化带的宽分别为2 m和5 m(如图所示).当整个项目A1B1C1D1占地面积最小时，核心喷泉区的边BC的长度为(　　) A.20 m B.50 m C.10 m D.100 m 答案：B 解析：设BC＝x m，则CD＝ m， 所以＝(x＋10) ＝1 040＋4x＋≥1 040＋2＝1 440， 当且仅当4x＝，即x＝50时，等号成立， 所以当BC＝50 m时，整个项目占地面积最小.故选B. 学生用书⬇第49页 (2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　) A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2} C.{－2} D.{2} 答案：C 解析：法一：因为N＝{x｜x2－x－6≥0}＝{x｜x≤－2，或x≥3}，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}.故选C. 法二：因为M＝{－2，－1，0，1，2}，将－2，－1，0，1，2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}.故选C. 溯源：(湘教P59习题2.3T7)已知U＝R，A＝{x｜x2－16＜0}，B＝{x｜－x2＋3x＋18＞0}，求A∩B，A∪B. 点评：两题均考查了一元二次不等式的解法和集合交集运算，在解一元二次不等式时首先将不等式化为标准形式，然后再利用根与系数的关系或因式分解法转化集合，再求集合交集运算进行问题解决. (多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2 C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1 答案：BC 解析：因为x2＋y2－xy＝(x＋y)2－3xy＝1，且xy≤，所以(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－(x＋y)2＝(x＋y)2，故(x＋y)2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；由xy≤得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－，即x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立.取x＝，y＝－，则x2＋y2＝，故C正确，D错误.故选BC. 溯源：(湘教P62复习题二T9)若x＞0，y＞0，且xy＝x＋y＋3，求x＋y的取值范围. 点评：该高考题与教材习题都是条件求最值问题，都涉及到x＋y与xy 的转化及不等关系，考查内容及解题方法均相同. (1)(2020·天津卷)已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则的最小值为_________. (2)(2019·天津卷)设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则的最小值为_________. 答案：(1)4　(2)4 解析：(1)＝＝≥2＝4，当且仅当＝，即(a＋b)2＝16，即a＋b＝4时取等号.又因为ab＝1，所以时取等号，所以的最小值为4. (2)因为x＋2y＝5，x＞0，y＞0，所以＝＝＝2≥2 ＝4，当且仅当时，等号成立，即原式取得最小值4. 溯源：(湘教P43习题2.1T7)(1)已知x＞1，求x＋的最小值； (2)已知0＜x＜10，求的最大值. 点评：以上两道高考题考查利用基本不等式求最值以及等号成立的条件，与教材习题非常类似. 单元检测卷(二)　一元二次函数、方程和不等式 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.不等式x2≥2x的解集是(　　) A.{x｜x≥2} B.{x｜x≤2} C.{x｜0≤x≤2} D.{x｜x≤0或x≥2} 答案：D 解析：因为x2≥2x，所以x2－2x≥0.解方程x2－2x＝0得x1＝0，x2＝2. 所以不等式x2≥2x的解集是{x｜x≤0或x≥2}.故选D. 2.设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则有(　　) A.M＞N B.M≥N C.M＜N D.M≤N 答案：A 解析：因为M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－5a＋6)＝a2＋a＋1＝＞0，所以M＞N.故选A. 3.若＜0，则下列结论不正确的是(　　) A.a2＜b2 B.ab＜b2 C.a＋b＜0 D.｜a｜＋｜b｜＞｜a＋b｜ 答案：D 解析：因为＜0，所以b＜a＜0， 所以b2＞a2，ab＜b2，a＋b＜0，所以A，B，C中的结论均正确. 因为b＜a＜0，所以｜a｜＋｜b｜＝－a－b＝－(a＋b)＝｜a＋b｜，故D中的结论错误，故选D. 4.若关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A.{m｜m≤－2或m≥2} B.{m｜－2≤m≤2} C.{m｜m＜－2或m＞2} D.{m｜－2＜m＜2} 答案：B 解析：关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R， 所以Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2， 故选B. 5.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件，那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为(　　) A.12元 B.16元 C.12元到16元之间 D.10元到14元之间 答案：C 解析：设售价定为每件x元，利润为y， 则y＝(x－8)[100－10(x－10)]， 依题意有(x－8)[100－10(x－10)]＞320， 即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16， 所以每件售价应定为12元到16元之间. 6.设m＞0，n＞0，m＋n＝2，则的最小值是(　　) A. B.4 C. D.3 答案：A 解析：＝＝＝＝＝＝.因为mn≤＝1，当且仅当m＝n＝1时取等号，所以的最小值是4＋＝. 7.设a＞b＞c＞0，则2a2＋－10ac＋25c2的最小值是(　　) A.2 B.4 C.2 D.5 答案：B 解析：因为a＞b＞c＞0，所以原式＝a2＋－10ac＋25c2＋a2＝a2－ab＋＋ab＋＋(a－5c)2＝＋(a－5c)2≥2＋2＋0＝4.当且仅当a(a－b)＝1，ab＝1，a－5c＝0时取等号. 所以当a＝，b＝，c＝时，所求代数式取最小值，最小值为4. 8.设正实数x，y满足x＞，y＞2，不等式≥m恒成立，则实数m的最大值为(　　) A.2 B.4 C.8 D.16 答案：D 解析：设y－2＝a，3x－2＝b(a＞0，b＞0)， 则＝≥＝8≥16 ＝16，故m≤16.故选D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知a＞0，b＞0，则下列结论错误的是(　　) A.若a＞b＞1，则＜1＜ B.若a＞b，则ac2＞bc2 C.若a＋b≤2，则ab≤1 D.若a＞b＞c＞0，则ac＜b2 答案：ABD 解析：对于选项A，当a＝4，b＝2时，＝，＝，所以＜1，则选项A错误；对于选项B，当c＝0时，ac2＝bc2，则选项B错误；对于选项C，因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，所以2≤2，即ab≤1，则选项C正确；对于选项D，当a＝5，b＝2，c＝1时，ac＝5，b2＝4，所以ac＞b2，则选项D错误.故选ABD. 10.已知关于x的不等式ax2＋bx＋4＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是(　　) A.不等式ax2＋bx＋4＞0的解集可以是{x｜x＞4} B.不等式ax2＋bx＋4＞0的解集可以是R C.不等式ax2＋bx＋4＞0的解集可以是⌀ D.不等式ax2＋bx＋4＞0的解集可以是{x｜－1＜x＜4} 答案：BD 解析：选项A：假设结论成立，则则不等式为－x＋4＞0，解得x＜4，与解集是{x｜x＞4}矛盾，故选项A错误； 选项B：当a＝1，b＝0时，不等式x2＋4＞0恒成立，则解集是R，故选项B正确； 选项C：当x＝0时，不等式ax2＋bx＋4＝4＞0，则解集不可能为⌀，故选项C错误； 选项D：假设结论成立，则符合题意，故选项D正确. 故选BD. 11.设x＞0，y＞0，则下列结论正确的是(　　) A.函数y＝x＋x－1的最小值为2 B.不等式(x＋y)≥4恒成立 C.函数y＝的最小值为 D.若＝1，则x＋2y的最小值是2 答案：ABD 解析：函数y＝x＋x－1≥2，当且仅当x＝1时，取等号，所以函数的最小值为2，所以A正确； 不等式(x＋y)＝2＋≥2＋2 ＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号，所以B正确. 函数y＝＝≤，所以当x＝1时，函数取得最大值，所以C不正确； 若＝1，则x＋2y＝(x＋1＋2y＋2)－3＝≥2，当且仅当y＝，x＝时，表达式的最小值是2，所以D正确.故选ABD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上.) 12.若不等式x2＋2x－1≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是　　　 　. 答案：{a｜1≤a≤2} 解析：因为不等式x2＋2x－1≥a2－3a对任意实数x恒成立， 所以只需(x2＋2x－1)min≥a2－3a， x2＋2x－1＝(x＋1)2－2≥－2， 所以当x＝－1时，(x2＋2x－1)min＝－2， 所以a2－3a≤－2，解得1≤a≤2， 所以实数a的取值范围是1≤a≤2. 13.已知a，b＞0，若－b≤x2－ax＋b≤b的解集是[0，1]∪[3，a]，则ab＝_________. 答案：6 解析：令y＝x2－ax＋b， 因为当x＝0和x＝a时y＝b，所以方程－b＝x2－ax＋b的两个根为x1＝1，x2＝3， 所以1＋3＝a，1×3＝2b，即a＝4，b＝，检验符合，故ab＝4×＝6. 14.已知x＞，则函数y＝x－1＋的最小值为_________　　　. 答案： 解析：由x＞得x－＞0， 则函数y＝x－1＋＝x－≥ 2＝， 当且仅当x－＝，即x＝时取等号，此时函数取得最小值. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(13分)(1)已知x＞0，y＞0，x＋2y＝2，求的最小值； (2)设0＜x＜3，求函数y＝的最大值. 解：(1)因为x＞0，y＞0且x＋2y＝2， 所以＝(x＋2y)＝≥＝4，当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立. 所以的最小值为4. (2)因为0＜x＜3，则6－2x＞0， 所以y＝＝ ≤·＝，当且仅当x＝时等号成立. 所以y＝. 16.(15分)已知不等式x2－x－m＜0. (1)若m＝12，求不等式的解集； (2)若∀x∈{x｜－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m＜0成立，求实数m的取值范围. 解：(1)m＝12时，x2－x－12＝(x＋3)(x－4)＜0，解得－3＜x＜4， 所以不等式的解集为(－3，4). (2)依题意x2－x－m＜0，m＞x2－x在区间[－1，1]上恒成立， y＝x2－x的对称轴为x＝， ＝－，(－1)2－(－1)＝2，所以当－1≤x≤1时，y＝x2－x∈， 所以m＞2，即m的取值范围是(2，＋∞). 17.(15分)销售甲种商品所得利润是P万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式P＝；销售乙种商品所得利润是Q万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式Q＝bt.其中a，b为常数.现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售，若全部投入甲种商品，所得利润为万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元.若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售.则所得利润总和为y万元 (1)求利润总和y关于x的表达式； (2)怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值. 解：(1)因为对甲种商品投资x万元，所以对乙种商品投资为3－x万元， 由题意知：y＝P＋Q＝＋b(3－x)， 当x＝3时，y＝，当x＝0时，y＝1， 则解得a＝3，b＝， 则y＝(3－x)，0≤x≤3. (2)由(1)可得y＝(3－x) ＝＋1－x ＝≤－2＝，当且仅当x＝2时取等号， 故对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为万元. 18.(17分)设y＝mx2＋(1－m)x＋m－2. (1)若不等式y≥－2对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在(1)的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式y＜m－1. 解：(1)由y≥－2恒成立得：mx2＋(1－m)x＋m≥0对一切实数x恒成立. 当m＝0时，不等式为x≥0，不合题意； 当m≠0时，解得m≥； 综上所述：实数m的取值范围为. (2)因为m≥，所以m＋1≥， 所以＝＝m＋1＋≥2＝4， (当且仅当m＋1＝，即m＝1时取等号)，所以的最小值为4. (3)由mx2＋(1－m)x＋m－2＜m－1得：mx2＋(1－m)x－1＝(mx＋1)(x－1)＜0； ①当m＝0时，x－1＜0，解得：x＜1，即不等式解集为{x｜x＜1}； ②当m≠0时，令mx2＋(1－m)x－1＝0，解得：x1＝1，x2＝－； 1)当－＜0，即m＞0时， 不等式解集为{x＜x＜1}； 2)当0＜－＜1，即m＜－1时， 不等式解集为； 3)当－＝1，即m＝－1时， 不等式可化为x2－2x＋1＝(x－1)2＞0， 所以x≠1，所以不等式解集为{x｜x≠1}； 4)当－＞1，即－1＜m＜0时， 不等式解集为； 综上所述：当m＝0时，不等式解集为{x｜x＜1}； 当m＞0时，不等式解集为； 当m＜－1时， 不等式解集为； 当m＝－1时，不等式解集为{x｜x≠1}； 当－1＜m＜0时， 不等式解集为. 19.(17分)对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若＞，那么称点是点(c，d)的“上位点”.同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点P是否是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数n满足以下条件：对集合内的任意元素m ，总存在正整数k，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数n的值，并说明理由. 解：(1)根据题设中的定义可得点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标分别为(3，4)和(3，7). (2)点P的“下位点”， 证明：因为点的“上位点”， 所以＞， 又因为a，b，c，d均大于0， 所以ad＞bc， 所以ad－bc＞0， 所以＝＝＜0，即＞，即＞， 所以点P是点的“下位点”. (3)可证点P既是点的“上位点”，又是点的“下位点”， 证明：因为点是点的“上位点”， 所以＞， 因为a，b，c，d均大于0，所以ad＞bc， 所以ad－bc＞0， 所以＝＝＝＞0， 即＞，所以点P是点的“上位点”， 同理可得＝＝＜0，即＞， 所以点P是点的“下位点”， 所以点P既是点的“上位点”，又是点的“下位点”. 根据题意知点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”对m∈时恒成立， 根据上述的结论可知，当n＝2 024＋2 025＝4 049，k＝2m＋1时，满足条件. 故n＝4 049. 学生用书⬇第50页 学科网（北京）股份有限公司 $