第1章 集合与逻辑（单元同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步章末达标检测卷 第1章　集合与逻辑 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.命题“∃x∈R,x2+x+1<0”的否定是(　　) A.∀x∈R,x2+x+1≤0　　　　B.∃x∈R,x2+x+1≥0 C.∀x∈R,x2+x+1<0　　　　D.∀x∈R,x2+x+1≥0 2.已知集合A={0,2},则下列关系表示错误的是(　　) A.0∈A　　　　B.{2}∈A　　　　C.⌀⊆A　　　　D.{0,2}⊆A 3.已知集合U={x∈N|0<x<8},A={1,2,3},B={3,4,5,6},则下列结论错误的是(　　) A.A∩B={3}　　　　B.A∪B={1,2,3,4,5,6}　　　　 C.∁UA={4,5,6,7,8}　　　　D.∁UB={1,2,7} 4.以下选项中,p是q的充要条件的是(　　) A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5 B.p:a>2,b<2,q:a>b C.p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形 D.p:a≠0,q:关于x的方程ax=1有唯一解 5.某校高一年级组织趣味运动会,有跳远、球类、跑步三项比赛,共有24人参加比赛,其中有12人参加跳远比赛,有11人参加球类比赛,有16人参加跑步比赛,同时参加跳远和球类比赛的有4人,同时参加球类和跑步比赛的有5人,没有人同时参加三项比赛,则(　　) A.同时参加跳远和跑步比赛的有4人 B.仅参加跳远比赛的有3人 C.仅参加跑步比赛的有5人 D.同时参加两项比赛的有16人 6.已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|0<x<6,x∈N},则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A.4　　　　B.8　　　　C.7　　　　D.16 7.已知集合A={x|x<-2或x>3},B={x|a≤x≤2a-1},若A∪B=A,则实数a的取值范围为(　　) A.　　　　B.{a|a<1或a>3} C.　　　　D.{a|a≤1或a≥3} 8.已知集合U={x∈N+|x≤6},若A⊆U,且同时满足:①若x∈A,则3x∉A;②若x∈∁UA,则3x∉∁UA.则集合A的个数为(　　) A.4　　　　B.8　　　　C.16　　　　D.20 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列说法中错误的是(　　) A.⌀与{0}表示同一个集合 B.集合M={3,4}与N={4,3}表示不同集合 C.方程(x-1)2(x-2)=0的所有解组成的集合为{1,1,2} D.“x2>y2”是“x>y>0”的必要不充分条件 10.若“∀x∈M,|x|>x”为真命题,“∃x∈M,x>3”为假命题,则集合M可以是(　　) A.(-∞,-5)　　　　B.(-3,-1)　　　　C.(3,+∞)　　　　D.[0,3] 11.在整数集Z中,被6除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={x|x=6n+k,n∈Z},k=0,1,2,3,4,5,则(　　) A.-5∈[5] B.Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪[5] C.整数a,b属于同一“类”的充要条件是a-b∈[0] D.已知a,b为整数,则a∈[1],b∈[2]是a+b∈[3]的必要不充分条件 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.设集合A={x2+1,3x-1,-3},B={x-6,2-x,5},若A∩B={5},则x=　　　　.  13.若∀x∈{x|1≤x≤2},∃t∈{t|1≤t≤2},使得x+2>t+m成立,则实数m的取值范围是　　　　　　.  14.设集合M={1,2,3,4,6},S1,S2,…,Sk都是M的含有两个元素的子集,则k=　　　　;若集合A是由这k个元素(S1,S2,…,Sk)中的若干个组成的集合,且满足:对任意的Si={a,b},Sj={c,d}(i≠j,i,j∈{1,2,3,…,k},a<b,c<d)都有≠,则A中元素个数的最大值是　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)设A={x|x2+ax+12=0},B={x|x2+3x+2b=0},A∩B={2}. (1)求a,b的值及A,B; (2)设全集U=A∪B,求(∁UA)∪(∁UB). 16.(15分)已知集合A={x|-2<x<2},B={x|m-2≤x≤2m+1}. (1)当m=1时,求集合A∪B; (2)若A,B满足　　　　　　　　,求实数m的取值范围.  从①A∩B=⌀,②A∪B=A中任选一个作为条件,补充在上边的横线中并解答. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 17.(15分)已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x≤m-1或x≥m+1}. (1)当m=0时,求A∩B. (2)若p:-1<x<3,q:x≤m-1或x≥m+1,且q是p的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 18.(17分)已知集合A={x|2-a≤x≤2+a},B={x|1≤x≤6}. (1)若(∁RA)∪(∁RB)={x|x<1或x>5},求a的值; (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分而不必要条件,求实数a的取值范围. 19.(17分)已知集合P中有3n(n∈N+)个元素,且元素均为整数,将集合P分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A,B,C,即P=A∪B∪C,A∩B=⌀,A∩C=⌀,B∩C=⌀,其中A={a1,a2,…,an},B={b1,b2,…,bn},C={c1,c2,…,cn}.若集合A,B,C中元素满足c1<c2<…<cn,ak+bk=ck,k=1,2,…,n,则称集合P为“完美集合”. (1)若集合P={1,2,3},Q={1,2,3,4,5,6},判断集合P和集合Q是不是“完美集合”,并说明理由; (2)若集合M={1,x,3,4,5,6}为“完美集合”,求正整数x的值以及相应的集合A,B,C. 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 答案与解析 1.D　含有量词命题的否定方法:改量词,否结论,故命题“∃x∈R,x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1≥0”. 2.B　∵集合A={0,2},∴0∈A,{2}⊆A,⌀⊆A,{0,2}⊆A,故B中关系表示错误. 3.C　由题意知,U={x∈N|0<x<8}={1,2,3,4,5,6,7},A={1,2,3},B={3,4,5,6}, 则A∩B={3},A∪B={1,2,3,4,5,6},∁UA={4,5,6,7},∁UB={1,2,7}. 4.D　对于选项A,由3x+2>5得x>1,由-2x-3>-5得x<1,所以p⇒/q,q⇒/p,所以p是q的既不充分也不必要条件; 对于选项B,由a>2,b<2得a>b,故p⇒q,当a=1,b=0时,满足a>b,但不满足a>2,故q⇒/p,故p是q的充分不必要条件; 对于选项C,易知p⇒/q,q⇒p,故p是q的必要不充分条件; 对于选项D,若a≠0,则关于x的方程ax=1有唯一解,若关于x的方程ax=1有唯一解,则a≠0,所以p⇔q,故p是q的充要条件. 5.C　设同时参加跳远和跑步比赛的有x人.画出Venn图如图, 根据题意得8-x+x+11-x+4+5+2=24,解得x=6. 则同时参加跳远和跑步比赛的有6人, 仅参加跳远比赛的有8-6=2(人), 仅参加跑步比赛的有11-6=5(人), 同时参加两项比赛的有4+5+6=15(人). 6.B　由已知得,集合A={2,3},B={1,2,3,4,5},所以满足A⊆C⊆B的集合C的个数为25-2=8. 7.B　因为A∪B=A,所以B⊆A. ①若B=⌀,则a>2a-1,解得a<1; ②若B≠⌀,则或解得a>3. 综上,实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}. 8.C　因为U={x∈N+|x≤6}={1,2,3,4,5,6},A⊆U, 所以若1∈A,则3∉A,若1∈∁UA,则3∉∁UA, 若2∈A,则6∉A,若2∈∁UA,则6∉∁UA,4,5没有限制, 综上所述,满足条件的集合A可为{1,2},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,4,5},{1,6},{1,6,4},{1,6,5},{1,6,4,5},{2,3},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,4,5},{3,6},{3,6,4},{3,6,5},{3,6,4,5},共16个, 9.ABC　对于A,⌀表示不含任何元素的集合,而{0}是含有一个元素0的集合,所以⌀与{0}表示不同的集合,故A中说法错误; 对于B,根据集合中元素的无序性可知,集合M={3,4}与N={4,3}表示同一个集合,故B中说法错误; 对于C,结合集合中元素的互异性可知,方程(x-1)2(x-2)=0的所有解组成的集合为{1,2},故C中说法错误; 对于D,若x=-2,y=-1,满足x2>y2,但不能推出x>y>0,故充分性不成立,若x>y>0,则x2>y2,故必要性成立, 所以“x2>y2”是“x>y>0”的必要不充分条件,故D中说法正确. 10.AB　因为“∀x∈M,|x|>x”为真命题,所以x<0, 因为“∃x∈M,x>3”为假命题,所以“∀x∈M,x≤3”为真命题, 所以集合M中的元素均为负数,结合选项可知A,B正确. 11.BC　对于A,因为[5]={6n+5|n∈Z},令6n+5=-5,可得n=-=-∉Z,所以-5∉[5],故A错误. 对于B,[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪[5] ={6n1|n1∈Z}∪{6n2+1|n2∈Z}∪{6n3+2|n3∈Z}∪{6n4+3|n4∈Z}∪{6n5+4|n5∈Z}∪{6n6+5|n6∈Z}=Z,故B正确. 对于C,必要性:若整数a,b属于同一“类”,则整数a,b被6除所得余数相同,从而a-b被6除所得余数为0,即a-b∈[0]. 充分性:若a-b∈[0],则a-b被6除所得余数为0,则整数a,b被6除所得余数相同. 所以整数a,b属于同一“类”的充要条件是a-b∈[0],故C正确. 对于D,若a∈[1],b∈[2],则a=6m1+1,m1∈Z,b=6m2+2,m2∈Z, 所以a+b=6(m1+m2)+3,m1+m2∈Z,故a+b∈[3];若a+b∈[3],则可能有a∈[2],b∈[1],故a∈[1],b∈[2]是a+b∈[3]的充分不必要条件,故D错误. 12.答案　-2 解析　因为A∩B={5},所以5∈A, 若x2+1=5,则x=±2, 当x=2时,x2+1=3x-1=5,不满足集合中元素的互异性,故舍去; 当x=-2时,集合A={5,-7,-3},集合B={-8,4,5},满足题意. 若3x-1=5,则x=2,舍去. 综上,x的值为-2. 13.答案　{m|m<2} 解析　由∀x∈{x|1≤x≤2},x+2>t+m成立,得x+2的最小值大于t+m,因此3>t+m. 由∃t∈{t|1≤t≤2},使得t+m<3成立,得t的最小值小于3-m,即3-m>1,解得m<2.因此,实数m的取值范围是{m|m<2}. 14.答案　10;6 解析　集合M的含有两个元素的子集有{1,2},{1,3},{1,4},{1,6},{2,3},{2,4},{2,6},{3,4},{3,6},{4,6},共10个,故k=10. 因为≠,所以{1,2},{2,4},{3,6}中只能取一个作为A中的元素,{1,3},{2,6}中只能取一个作为A中的元素,{2,3},{4,6}中只能取一个作为A中的元素,故10个元素中至少有4个不出现在集合A中,故A中元素个数的最大值为6. 15.解析　(1)因为A∩B={2}, 所以2是方程x2+ax+12=0和x2+3x+2b=0的根,(2分) 则22+2a+12=0,22+3×2+2b=0,解得a=-8,b=-5,(5分) 所以A={x|x2-8x+12=0}={x|(x-2)(x-6)=0}={2,6}, B={x|x2+3x-10=0}={x|(x-2)(x+5)=0}={2,-5}.(8分) (2)由A={2,6},B={2,-5},可得全集U=A∪B={-5,2,6},(9分) 所以∁UA={-5},∁UB={6},(11分) 所以(∁UA)∪(∁UB)={-5,6}.(13分) 16.解析　(1)当m=1时,B={x|-1≤x≤3},(2分) 所以A∪B={x|-2<x≤3}.(5分) (2)若选择①A∩B=⌀, 则当B=⌀时,m-2>2m+1,解得m<-3,(8分) 当B≠⌀时,由A∩B=⌀可得或(12分) 解得-3≤m≤-或m≥4,(14分) 综上,实数m的取值范围是∪[4,+∞).(15分) 若选择②A∪B=A,则集合B是集合A的子集, 当B=⌀时,m-2>2m+1,解得m<-3,(8分) 当B≠⌀时,有(12分) 解得0<m<,(14分) 综上,实数m的取值范围是(-∞,-3)∪.(15分) 17.解析　(1)当m=0时,B={x|x≤-1或x≥1},(2分) 又A={x|-1<x<3},所以A∩B={x|1≤x<3}.(4分) (2)因为p:-1<x<3,q:x≤m-1或x≥m+1,q是p的必要不充分条件,所以p⇒q,且q⇒/p,(7分) 又m-1<m+1,所以m-1≥3或m+1≤-1,(10分) 解得m≥4或m≤-2,(13分) 所以实数m的取值范围是{m|m≤-2或m≥4}.(15分) 18.解析　(1)由题意知∁RA={x|x<2-a或x>2+a},∁RB={x|x<1或x>6},(3分) 又(∁RA)∪(∁RB)={x|x<1或x>5},∴解得a=3.(7分) (2)∵“x∈A”是“x∈B”的充分而不必要条件,∴A⫋B. 若A是空集,则2+a<2-a,解得a<0;(11分) 若A不是空集,则或解得0≤a≤1.(15分) 综上,实数a的取值范围是{a|a≤1}.(17分) 19.解析　(1)集合P是“完美集合”,集合Q不是“完美集合”.(1分) 理由如下:对于集合P={1,2,3},取集合A1={1},B1={2},C1={3},(2分) 则P=A1∪B1∪C1,集合A1,B1,C1两两没有公共元素,且1+2=3,故集合P为“完美集合”.(3分) 对于集合Q,假设存在集合A2,B2,C2,使得A2∩B2=⌀,A2∩C2=⌀,C2∩B2=⌀,且Q=A2∪B2∪C2, 记集合A2中所有元素之和为a,集合B2中所有元素之和为b,集合C2中所有元素之和为c, 则可得c=∉N+,(5分) 故集合Q不是“完美集合”.(6分) (2)根据集合M={1,x,3,4,5,6}为“完美集合”及(1)可知x≠2,则x≥7, 根据“完美集合”的定义可知,cn为M中的最大元素,因为集合A,B,C中的元素个数相等,所以n=2,故c2=x,(8分) 又集合C中各元素之和为=, 所以集合C中的另一个元素为-x=,且为1,3,4,5,6中的某个数,所以x的可能取值有17,13,11,9,7,(10分) 当x=7时,C={6,7},则或(11分) 当x=9时,C={5,9},则或(12分) 当x=11时,C={4,11},则或(13分) 当x=13或17时,在1,3,4,5,6中任取两个数,这两个数之和的最大值为11, 此时,集合M不是“完美集合”.(15分) 综上所述,当x=7时,或 当x=9时,或 当x=11时,或(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$