6.2 第1课时 指数函数的概念、图象与性质（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

6.2 指数函数 指数函数的概念、图象与性质 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1.了解指数函数的概念,能求指数函数值及解析式.会求与指数函数有关的定义域和值域问题. 2.探索并理解指数函数的单调性与特殊点,并能利用单调性解决简单的应用问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 1.指数函数的定义 一般地,函数________________叫作指数函数,它的定义域是___. y=ax(a>0,a≠1) R |微|点|助|解| 　 (1)指数函数的底数a>0,且a≠1; (2)指数幂的系数为1; (3)注意区分幂函数和指数函数. 2.指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的图象与性质   a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 ___________ 值域 _____________________ R (0,+∞) 续表 性质 过定点 过定点_______,即x=____时,y=____ 函数值 的变化 当x>0时,______ 当x>0时,_________ 当x<0时,________ 当x<0时,_________ 单调性 在R上是_________ 在R上是_________ 对称性 y=ax与y=的图象关于y轴对称 (0,1) 0 1 y>1 0<y<1 0<y<1 y>1 增函数 减函数 |微|点|助|解| 　 (1)当底数a是否大于1不确定时,必须分a>1或0<a<1两种情况讨论函数的图象和性质. (2)指数函数的图象都经过点(0,1)且图象都在x轴上方. (3)当0<a<1时,底数越小,图象越靠近y轴;当a>1时,底数越大,图象越靠近y轴.如图所示. (4)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象都关于y轴对称. 基础落实训练 1.(多选)下列函数中,是指数函数的为 (　 ) A.y=0.75x B.y=(-0.75)x C.y=x5 D.y= √ √ 2.函数y=3x的图象大致为 (　 ) √ 解析：因为3>1,所以y=3x单调递增,且恒过点(0,1). 3.函数f(x)=ax-3+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点 (　 ) A.(0,1) B.(0,3) C.(3,3) D.(4,1) √ 解析：对于函数f(x),令x-3=0,可得x=3,则f(3)=a0+2=3. 所以函数f(x)=ax-3+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点坐标为(3,3). 4.函数f(x)=的定义域是　　 　　.  [2,4)∪(4,+∞) 解析：依题意有 解得x∈[2,4)∪(4,+∞). 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　指数函数的概念 [例1]　若函数y=(m2-m-1)mx是指数函数,则m等于 (　 ) A.-1或2 B.-1 C.2 D. √ 解析：由题意可得解得m=2. [例2]　若函数f(x)是指数函数,且f(-2)=,则(　 ) A.f(x)=3x B.f(x)=()x C.f(x)= D.f(x)= √ 解析：∵f(x)为指数函数,∴可设f(x)=ax(a>0且a≠1). ∴f(-2)=a-2=,解得a=.∴f(x)=()x. |思|维|建|模| (1)判断一个函数是否为指数函数,只需判断其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这一形式,其具备的特点为 (2)求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法,即先设出函数的解析式,然后利用已知条件求出解析式中的未知参数,从而得到函数的解析式,掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键. 针对训练 1.(多选)下列函数是指数函数的是 (　 ) A.y= B.y= C.y=2·3x-1 D.y=mx(m>0且m≠1) √ √ 解析：由指数函数的定义知,A、D选项是指数函数.选项B, y==3,不是指数函数.选项C,y=2·3x-1,不是指数函数. 2.已知函数f(x)是指数函数,且f(2)=9,则f=　　　　.  解析：由题意,设f(x)=ax(a>0且a≠1),因为f(2)=9,所以a2=9.又a>0,所以a=3. 所以f(x)=3x.所以f. [例3]　求下列函数的定义域和值域: (1)y=; 题型(二)　指数型函数的定义域、值域 解：∵x应满足x-4≠0,∴x≠4. ∴定义域为{x|x≠4,x∈ R}. ∵≠0,∴≠1.∴y=的值域为{y|y>0,且y≠1}. 解：定义域为R. ∵|x|≥0,∴y==1. ∴此函数的值域为[1,+∞). (2)y=; 解：由题意知1-≥0,∴≤1=.∴x≥0. ∴定义域为{x|x≥0,x∈R}. ∵x≥0,∴≤1.又∵>0,∴0<≤1. ∴0≤1-<1.∴0≤y<1.∴此函数的值域为[0,1). (3)y= . 　　|思|维|建|模| 求指数型函数的定义域和值域的一般方法 (1)求与指数函数有关的函数的定义域时,首先观察函数是y=ax型还是y=af(x)型,前者的定义域是R,后者的定义域与f(x)的定义域一致,而求y=型函数的定义域时,往往转化为解指数不等式(组). (2)求与指数函数有关的函数的值域时,一方面要考虑函数的定义域和单调性,另一方面要注意指数函数的值域是(0,+∞).一般地,对于y=af(x)型函数,应先求出f(x)的值域A,再画出y=ax(x∈A)的图形或利用函数的单调性,就能很容易求出原函数的值域. 针对训练 3.求下列函数的定义域与值域: (1)y=(a>0,且a≠1); 解：原函数的定义域为R.设ax=t,则t∈(0,+∞),y==1-. ∵t>0,∴t+1>1.∴0<<1.∴-2<<0. ∴-1<1-<1,即原函数的值域为(-1,1). 解：由x-1≠0,得x≠1,所以函数的定义域为{x|x≠1}. 由≠0,得y≠1,所以函数的值域为{y|y>0且y≠1}. (2)y=; 解：由5x-1≥0,得x≥,所以函数的定义域为.由≥0,得y≥1,所以函数的值域为{y|y≥1}. (3)y=. 题型(三)　指数函数单调性的简单应用 题点1　指数式的大小比较 [例4]　比较下列各题中两个值的大小: (1)1.7-2.5,1.7-3; 解：∵1.7>1,∴y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函数. ∵-2.5>-3,∴1.7-2.5>1.7-3. 法二:∵1.50.3>0,且,又>1,0.3>0, ∴>1.∴1.70.3>1.50.3. (2)1.70.3,1.50.3; 解：法一:∵1.7>1.5,∴在(0,+∞)上,y=1.7x的图象位于y=1.5x的图象的上方.而0.3>0,∴1.70.3>1.50.3. (3)1.70.3,0.83.1. 解：∵1.70.3>1.70=1,0.83.1<0.80=1,∴1.70.3>0.83.1. 　|思|维|建|模| 比较指数式大小的3种类型及处理方法 针对训练 解：∵0<0.8<1,∴y=0.8x在R上是减函数. ∵-0.2<-0.1,∴0.8-0.2>0.8-0.1,而0.8-0.2==1.250.2, 即0.8-0.1<1.250.2. 4.比较下列各题中两个值的大小: (1)0.8-0.1,1.250.2; 解：a0.5与a0.6可看作指数函数y=ax的两个函数值. 当0<a<1时,函数y=ax在R上是减函数. ∵0.5<0.6,∴a0.5>a0.6.当a>1时,函数y=ax在R上是增函数. ∵0.5<0.6,∴a0.5<a0.6. 综上所述,当0<a<1时,a0.5>a0.6;当a>1时,a0.5<a0.6. (2)a0.5与a0.6(a>0且a≠1). 题点2　解指数不等式 [例5]　使不等式92x-1<成立的x的集合是(　 ) A. B. C. D. √ 解析：不等式即34x-2<,可得4x-2<,解得x<. 将本例中的不等式底数都改为a(a>0,且a≠1),即a2x-1<,试解此不等式. 变式拓展 解：当a>1时,指数函数y=ax是增函数, 由2x-1<,解得x<. 当0<a<1时,指数函数y=ax是减函数,由2x-1>,解得x>. 综上,当a>1时,不等式的解集为; 当0<a<1时,不等式的解集为. |思|维|建|模| 指数不等式的3种类型及解题策略 (1)形如ax>ab的不等式,借助于函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论. (2)形如ax>b的不等式,注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助函数y=ax的单调性求解. (3)形如ax>bx的不等式,利用函数图象求解. 解：因为3x-1>9x,所以3x-1>32x. 又y=3x在定义域R上是增函数,所以x-1>2x,解得x<-1, 即x的取值范围是(-∞,-1). 针对训练 5.求满足下列条件的x的取值范围: (1)3x-1>9x; 解：因为0<0.2<1,所以y=0.2x在R上是减函数. 又25=0.2-2,所以0.2x<0.2-2.所以x>-2,即x的取值范围是(-2,+∞). (2)0.2x<25; 解：当a>1时,因为a-5x>ax+7,所以-5x>x+7,解得x<-. 当0<a<1时,因为a-5x>ax+7,所以-5x<x+7,解得x>-. 综上所述,当a>1时,x的取值范围是;当0<a<1时,x的取值范围是. (3)a-5x>ax+7(a>0,且a≠1). 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.(多选)下列函数是指数函数的是 (　 ) A.y=52x B.y=-4x C.y=x3 D.y=(6a-3)x √ √ 解析：对于A，y=52x=25x为指数函数;对于B，y=-4x不是指数函数;对于C，y=x3不是指数函数;对于D，当a>且a≠时，6a-3>0且6a-3≠1，则y=(6a-3)x为指数函数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.函数y=的定义域为(　 ) A.(-∞，3] B.(-∞，3) C.[3，+∞) D.(3，+∞) √ 解析：由题意得3x-27≥0，即3x≥33，解得x≥3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.函数y=8-23-x(x≥0)的值域是 (　 ) A.[0，8) B.(0，8) C.[0，8] D.(0，8] √ 解析：∵x≥0，∴-x≤0.∴3-x≤3. ∴0<23-x≤23=8.∴0≤8-23-x<8. ∴函数y=8-23-x的值域为[0，8). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4.若a=20.5，b=20.6，c=0.62，则a，b，c的大小关系是 (　 ) A.a<b<c B.c<b<a C.a<c<b D.c<a<b 解析：∵20.6>20.5>20=1，∴b>a>1. 又∵c=0.62<0.60=1，∴c<a<b.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 5.设函数f(x)=ax(a>0且a≠1)，且f(-1)=2，则下列结论正确的是 (　 ) A.f(1.1)>f(1.2) B.f(x)在定义域上的增区间为(0，+∞) C.函数图象经过点(1，1) D.函数解析式为f(x)=2x 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由f(-1)=a-1=2，可得a=，所以f(x)=，故D错误;所以函数在定义域R上单调递减， 所以f(1.1)>f(1.2)，故A正确，B错误;又f(1)=，故C错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 6.(2024·天津高考)设a，b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由函数y=x3单调递增可知，若a3=b3，则a=b;由函数y=3x单调递增可知，若3a=3b，则a=b.故“a3=b3”是“3a=3b”的充要条件，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 7.已知a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是(　 ) A.c<a<b B.a<b<c C.b<a<c D.c<b<a 解析：对于指数函数y=ax，若x<0，则当0<a<1时，有ax>1;当a>1时， 有0<ax<1.所以0<<1，>1，>1. 又因为函数y=在R上是减函数，且-<-，所以>. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 8.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在[-1，2]上的最大值为4，最小值为m，则实数m的值为 (　 ) A. B. C. D.或 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：当a>1时，f(x)=ax在[-1，2]上单调递增，则f(x)max=f(2)=a2=4，解得a=2，此时f(x)=2x，m=f(x)min=2-1=.当0<a<1时，f(x)=ax在[-1，2]上单调递减，所以f(x)max=f(-1)=a-1=4，解得a=，此时f(x)=，m=f(x)min=f(2)==. 综上，m的值为或. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)若函数f(x)=(4-3a)x是指数函数，则实数a的取值范围是___________________.  (-∞，1)∪ 解析：由题意可得解得a<且a≠1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知函数f(x)=ax+b(a>0，且a≠1)，其图象过点(-1，5)，(0，4)，则f(-2)=____.  7 解析：由题意知解得 故f(x)=+3，f(-2)=7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知函数f(x)同时满足条件：①∀m，n∈R，f(m+n)=f(m)f(n);②∀x，y∈R，x≠y，(x-y)·[f(x)-f(y)]<0.请写出这样的一个函数f(x)= 　　　　　　　　.  (答案不唯一) 解析：令f(x)=，则f(m+n)===f(m)f(n)，满足①. 又(x-y)[f(x)-f(y)]<0，即f(x)单调递减， f(x)=也满足.所以这样的函数可为f(x)=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知指数函数f(x)的图象过点(2，4). (1)求函数f(x)的解析式;(4分) 解：设指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)， ∵函数f(x)的图象过点(2，4)，∴4=a2，解得a=2或a=-2(舍). ∴f(x)=2x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：由(1)知不等式f(x)>16等价于2x>16. ∴2x>24.∴x>4. ∴不等式f(x)>16的解集为(4，+∞). (2)求不等式f(x)>16的解集.(6分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：∵函数f(x)的图象经过点A(0，2)，B(1，3)， ∴解得 ∴函数f(x)=2x+1>1，函数y==<1. 又=>0，故函数y=的值域为(0，1). 13.(10分)已知函数f(x)=ax+b(a>0，a≠1)，其中a，b均为实数. (1)若函数f(x)的图象经过点A(0，2)，B(1，3)，求函数y=的值域;(4分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：如果函数f(x)的定义域和值域都是[-1，0]， 若a>1，函数f(x)=ax+b为增函数， ∴无解. 若0<a<1，函数f(x)=ax+b为减函数， ∴解得∴a+b=-. (2)如果函数f(x)的定义域和值域都是[-1，0]，求a+b的值.(6分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：令t=2x，当x∈[-1，1]时，t∈， 则可将原函数转化为y=t-t2=-+.当t=时， ymax=;当t=2时，ymin=-2. ∴f(x)在[-1，1]上的值域为. 14.(10分)已知函数f(x)=2x-4x. (1)求y=f(x)在[-1，1]上的值域;(3分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：∵f(x)>16-9·2x，即2x-4x>16-9·2x， ∴4x-10·2x+16=(2x-2)(2x-8)<0， 解得2<2x<8. ∴1<x<3，即不等式f(x)>16-9·2x的解集为(1，3). (2)解不等式f(x)>16-9·2x;(3分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：令t=2x，当x∈[-1，1]时，t∈， ∴f(x)+m-1=0在[-1，1]上有解等价于y=t-t2与y=1-m在t∈时有交点. 由(1)知，y=t-t2在t∈时的值域为， ∴-2≤1-m≤，解得≤m≤3，即m的取值范围为. (3)若关于x的方程f(x)+m-1=0在[-1，1]上有解，求m的取值范围.(4分) 本课结束 $$