6.3 第1课时 对数函数的概念、图象与性质（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

6.3 对数函数 对数函数的概念、图象与性质 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1.通过具体实例,了解对数函数的概念,并能求对数函数值. 2.探索并了解对数函数的单调性与特殊点,能简单应用. 3.初步掌握对数函数的图象和性质,会类比指数函数研究对数函数的性质. 4.了解反函数的概念与图象特点. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 1.对数函数的概念 　　一般地,函数_______________________叫作对数函数,它的定义域是________. y=logax(a>0,a≠1) (0,+∞) |微|点|助|解| 　 (1)对数函数的系数为1; (2)真数只能是一个x; (3)底数a>0,且a≠1. 2.对数函数的图象与性质   y=logax(a>0,a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 续表 定义域 _________ 值域 ______ 单调性 _________ _________ 最值 _______________ 奇偶性 _______________ (0,+∞) R 增函数 减函数 无最大、最小值 非奇非偶函数 续表 共点性 图象过定点_______,即x=1时,y=0 函数值 特点 当0<x<1时,______; 当x>1时,________ 当0<x<1时,________; 当x>1时,___________ 对称性 函数y=logax与y=lox的图象关于______对称 (1,0) y<0 y>0 y>0 y<0 x轴 |微|点|助|解| 　 (1)函数图象只出现在y轴右侧; (2)对任意底数a,当x=1时,y=0,故函数图象过定点(1,0); (3)当0<a<1时,底数越小,图象越靠近x轴; (4)当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴; (5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称. 3.反函数 指数函数y=ax(a>0,a≠1)和对数函数y=logax(a>0,a≠1)____________,它们的定义域与值域____________.一般地,如果函数y=f(x)存在反函数,那么它的反函数记作y=________.  4.反函数的特点 互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称. 互为反函数 正好相反 f-1(x) 基础落实训练 1.下列函数,其中为对数函数的是 (　 ) A.y=lo(-x) B.y=2log4(1-x) C.y=ln x D.y=lox √ 解析：根据对数函数的概念可知,选项C中的函数为对数函数.故选C. 2.函数y=ln x+1的反函数为 (　 ) A.y=ex+1(x∈R) B.y=ex-1(x∈R) C.y=ex+1(x>1) D.y=ex-1(x>1) √ 解析：y=ln x+1化为y-1=ln x,将y-1看作整体,求得x=ey-1,则其反函数为y=ex-1.由于x>0,则y=ln x+1∈R,因而y=ex-1(x∈R),故选B. 3.函数f(x)=loga(3x-5)+2(a>0,a≠1)恒过定点 (　 ) A.(2,0)　 B.(2,2) C.(1,0)　 D.(1,2) √ 4.函数f(x)=log2(2x-x2)的定义域为_______.  (0,2) 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　对数函数的概念及应用 [例1]　(多选)下列函数为对数函数的是 (　 ) A.f(x)=log(m-1)x(m>1,m≠2) B.f(x)=logx3 C.f(x)=ln x D.f(x)=ln x+e √ √ [例2]　函数f(x)=(a2+a-5)logax为对数函数,则f等于_____.  -3 解析：∵函数f(x)=(a2+a-5)logax为对数函数,∴ 解得a=2,∴f(x)=log2x, ∴f=log2=-3. |思|维|建|模|　判断一个函数是对数函数的方法 针对训练 1.函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数,则实数a=____.  1 解析：由a2-a+1=1,解得a=0或1. 又a+1>0,且a+1≠1,∴a=1. 2.已知对数函数的图象过点M(8,3),则f=____.  -1 解析：设f(x)=logax(a>0,且a≠1),由图象过点M(8,3),则有3=loga8, 解得a=2.所以对数函数的解析式为f(x)=log2x,所以f=log2=-1. 题型(二)　对数型函数的定义域 [例3]　求下列函数的定义域. (1)y=loga(3-x)+loga(3+x); 解：由得-3<x<3.∴函数的定义域是(-3,3). (2)y=log2(16-4x). 解：由16-4x>0,得4x<16=42.由指数函数的单调性,得x<2. ∴函数y=log2(16-4x)的定义域为(-∞,2). |思|维|建|模| 求对数型函数定义域的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时,被开方数非负. (3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1. (4)若需对函数进行变形,则需先求出定义域,再对函数进行恒等变形. 针对训练 3.求下列函数的定义域. (1)y=; 解：由题意得解得 ∴x>-1,且x≠999,∴函数的定义域为{x|x>-1,且x≠999}. 解：由题意可得loga(4x-3)≥0⇒loga(4x-3)≥loga1,当a>1时,有4x-3≥1,解得x≥1;当0<a<1时,有0<4x-3≤1,解得<x≤1.综上所述,当a>1时,函数的定义域为[1,+∞);当0<a<1时,函数的定义域为. (2)y= 题型(三)　对数式的大小比较 解：考察对数函数y=log2x,因为它的底数2>1,所以它在(0,+∞)上是增函数.又3.4<8.5,于是log23.4<log28.5. [例4]　比较下列各组数中两个值的大小. (1)log23.4,log28.5; 解：考察对数函数y=log0.3x,因为它的底数0<0.3<1,所以它在(0,+∞)上是减函数. 又1.8<2.7,于是 log0.31.8>log0.32.7. (2)log0.31.8,log0.32.7; 解：当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数. 又5.1<5.9,于是loga5.1<loga5.9.当0<a<1时, y=logax在(0,+∞)上是减函数. 又5.1<5.9,于是loga5.1>loga5.9. 综上,当a>1时,loga5.1<loga5.9;当0<a<1时,loga5.1>loga5.9. (3)loga5.1,loga5.9(a>0,a≠1). 　|思|维|建|模| 　　比较两个同底数的对数大小,首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性;然后比较真数大小,再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.对于底数以字母形式出现的,需要对底数a进行讨论.对于不同底的对数,可以估算范围,如log22<log23<log24,即1<log23<2,从而借助中间值比较大小. 针对训练 解：∵3log45=log4125,2log23=log29=log481, 且函数y=log4x在(0,+∞)上是增函数,125>81,∴3log45>2log23. 4.比较下列各组中两个值的大小. (1)3log45,2log23; 解：(中间量法)因为log23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23>log0.32. (2)log30.2,log40.2; 解：∵函数y=log0.2x在(0,+∞)上是减函数, 且当x>1时,y<0,则0>log0.23>log0.24, ∴,即log30.2<log40.2. (3)log23,log0.32; 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.函数y=loga(x+2)+1(a>0，且a≠1)的图象过定点 (　 ) A.(1，2) B.(2，1) C.(-2，1) D.(-1，1) √ 解析：令x+2=1，得x=-1，故函数图象过定点(-1，1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.函数y=与y=logbx互为反函数，则a与b的关系是(　 ) A.ab=1 B.a+b=1 C.a=b D.a-b=1 √ 解析：由函数y=与y=logbx互为反函数得=b，所以ab=1，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 3.已知函数f(x)=log2x+，则函数f(x)的定义域为(　 ) A.(-∞，4] B.(-∞，2] C.(0，2] D.(0，4] √ 解析：由题意，函数f(x)=log2x+有意义，则满足解得即0<x≤2，所以函数的定义域为(0，2]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.若函数f(x)=log3x在区间[2，2a]上的最大值比最小值大，则实数a=(　 ) A. B.2 C.2 D.4 解析：∵函数f(x)=log3x在区间[2，2a]上单调递增， ∴f(2a)-f(2)=log3(2a)-log32=，解得a=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.(多选)已知a=log3e，b=log23，c=ln 3，则 (　 ) A.a<b<c B.a<c<b C.a+c>b D.a+c<b √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意可知，对于选项A、B，因为b=log23=>=ln 3=c，所以b>c，又因为a=log3e<log33=1，且c=ln 3>ln e=1，所以c>a，则b>c>a，所以选项A错误，选项B正确;对于选项C、D，a+c=log3e+ln 3=+ln 3 =+ln 3>2=2，且b=log23<log24=2，所以a+c>b，故选项C正确，选项D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6.已知a>0，且a≠1，则函数y=loga的图象一定经过(　　) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：当x=0时，y=loga=-1，则当0<a<1时，函数图象过第二、三、四象限，如图①; 当a>1时，函数图象过第一、三、四象限，如图②. 所以函数y=loga的图象一定经过第三、四象限. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7.设a=log32，b=log53，c=，则(　 ) A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：∵23<32，∴2<. ∴log32<log3=.∴a<c. ∵33>52，∴3>. ∴log53>log5=.∴b>c. ∴a<c<b，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)已知函数f(x)=log3x+lox，则f()=____.  0 解析：f()=log3+lo=-=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)若函数y=lo(3x-a)的定义域是，则a=____.  2 解析：由y=lo(3x-a)知，3x-a>0，即x>. ∴=，即a=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)已知函数y=f(x)是函数y=ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象过点(a2，a)，则f(x)=_______.  log2x 解析：因为函数y=f(x)是函数y=ax(a>0，且a≠1)的反函数，所以f(x)=logax. 因为其图象过点(a2，a)，所以a=logaa2=2， f(x)=log2x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知f(x)在(0，+∞)上是减函数，且f(x)+f(y)=f(xy)+1对任意的x∈ (0，+∞)都成立，写出一个满足以上特征的函数f(x)=__________________.  1-log3x(答案不唯一) 解析：由题意可知，f(x)+f(y)可变化为f(xy)的形式，由此可想到对数函数. 又因为f(x)在(0，+∞)上是减函数，且f(x)+f(y)=f(xy)+1， 所以满足条件的一个函数可取f(x)=1-log3x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(10分)比较下列各组值的大小： (1)lo0.5，lo0.6;(2分) 解：因为函数y=lox是(0，+∞)上的减函数，且0.5<0.6， 所以lo0.5>lo0.6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：因为log31.25>log31=0，log20.8<log21=0，所以log31.25>log20.8. (2)log1.51.6，log1.51.4;(2分) 解：因为函数y=log1.5x是(0，+∞)上的增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4. (3)log0.57，log0.67;(3分) 解：因为0>log70.6>log70.5，所以<，即log0.67<log0.57. (4)log31.25，log20.8.(3分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)已知f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(4，2). (1)求a的值;(3分) 解：∵f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(4，2)，∴f(4)=loga4=2.∴a2=4. 又a>0且a≠1，解得a=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若g(x)=f(1-x)+f(1+x)，求g(x)的解析式及定义域.(7分) 解：由(1)知f(x)=log2x， ∴g(x)=f(1-x)+f(1+x)=log2(1-x)+log2(1+x)=log2[(1-x)(1+x)]=log2(1-x2)， 其中1-x>0且1+x>0， ∴g(x)的定义域为{x|-1<x<1}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)求下列函数的定义域： (1)y=log2(5x+2);(2分) 解：要使函数y=log2(5x+2)有意义， 只需5x+2>0，解得x>-. 所以y=log2(5x+2)的定义域为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：要使函数y=lo(x-3)有意义， 只需x-3>0，解得x>3. 所以y=lo(x-3)的定义域为(3，+∞). (2)y=lo(x-3);(2分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：要使函数y=ln(3x-1)有意义， 只需3x-1>0，解得x>. 所以y=ln(3x-1)的定义域为. (3)y=ln(3x-1);(3分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：要使函数y=log4有意义， 只需4x-3>0，解得x>. 所以y=log4的定义域为. (4)y=log4.(3分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，g(x)为f(x)的反函数. (1)写出函数g(x)的解析式;(3分) 解：因为指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，所以g(x)=logax(a>0，且a≠1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：由g(x)-loga(2-3x)≤loga1， 得logax≤loga(2-3x). 当a>1时，因为函数y=logax在(0，+∞)上单调递增，所以解得0<x≤.当0<a<1时，因为函数y=logax在(0，+∞)上单调递减， (2)解关于x的不等式g(x)-loga(2-3x)≤loga1.(7分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以解得≤x<.综上所述，当a>1时，原不等式的解集为; 当0<a<1时，原不等式的解集为. 本课结束 $$