5.2 第1课时 函数的表示方法（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦“函数的表示方法”，系统讲解解析法、列表法、图象法及其优缺点，结合求函数解析式的方法。通过实际情境（如买月饼、矩形面积）导入，衔接函数概念，以“逐点清”分模块梳理知识，为后续函数性质学习搭建支架。 其亮点在于结构化设计与核心素养融合，用微点助解表格对比三种表示法说明，典例结合思维建模总结求解析式四法，培养数学思维。实际情境问题（温度换算、灌溉渠横断面）引导学生用数学眼光观察现实，用数学语言表达。学生能夯实基础提升解题能力，教师可借助清晰环节高效教学。

5.2 函数的表示方法 函数的表示方法 (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　函数的三种表示法 逐点清(二)　求函数的解析式 课时检测 逐点清(一)　函数的三种表示法 01 多维理解 三种常用的函数表示方法 解析式 表格 图象 |微|点|助|解| 　 对三种表示法的说明 解析法 利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确,且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域 列表法 采用列表法的前提是函数值对应清楚,选取的自变量要有代表性 图象法 图象既可以是连续的曲线,也可以是离散的点 微点练明 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)所有函数都能用三种表示法表示.(　 ) (2)能用列表法表示的函数一定能用图象法表示.(　 ) (3)若函数f(x)是反比例函数,则f(1)=1.(　 ) (4)函数能用图象法表示的前提是函数的变化规律清晰.(　 ) × × √ √ 2.已知函数y与x成反比,且当x=2时,y=1,则y关于x的函数关系式为 (　 ) A.y= B.y=- C.y= D.y=- √ 解析：设y=,由题意知1=,即k=2.∴y=. 3.已知函数f(x)由下表给出,则f(3)=　　　　.  x 1≤x<2 2 2<x≤4 f(x) 1 2 3 3 解析：∵当2<x≤4时,f(x)=3,∴f(3)=3. 4.中秋节到了,小明想买几块月饼,已知每块月饼的单价是6元,买x(x∈{1,2,3,4,5,6})块月饼需要y元,你能用函数的三种表示法表示函数y=f(x)吗? 解：因为函数的定义域是数集{1,2,3,4,5,6},所以用解析法可将函数表示为f(x)=6x,x∈{1,2,3,4,5,6}. 用列表法可将函数表示为 用图象法可将函数表示为 月饼数x 1 2 3 4 5 6 钱数y 6 12 18 24 30 36 逐点清(二)　求函数的解析式 02 解：法一：换元法　令t=+1,则t≥1,x=(t-1)2.代入原式有f(t)=(t-1)2-2(t-1) =t2-4t+3,所以f(x)=x2-4x+3(x≥1). [典例]　求下列函数的解析式： (1)(换元法或配凑法)已知f(+1)=x-2,求f(x); 法二：配凑法　由已知得f(+1)=x+2+1-4-4+3=(+1)2-4(+1)+3.因为+1≥1,所以f(x)=x2-4x+3(x≥1). (2)(待定系数法)已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,求f(x); 解：设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b. 因为f(f(x))=4x+8,所以a2x+ab+b=4x+8, 即解得或 所以f(x)=2x+或f(x)=-2x-8. 解：由题意,在f(x)-2f(-x)=1+2x中,以-x代替x可得f(-x)-2f(x)=1-2x. 联立 解得f(x)=x-1. (3)(方程组法)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,求f(x). |思|维|建|模|　求函数解析式的4种常用方法 换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围 配凑法 由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),得到f(x)的表达式 待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法 方程组法 已知关于f(x)与f或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x) 针对训练 根据下列条件,求f(x)的解析式. (1)已知f(x)满足f(x+1)=x2+4x+1; 解：令t=x+1,则x=t-1. 故f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1=t2+2t-2. 所以f(x)=x2+2x-2. 解：设f(x)=kx+b(k≠0),因为3f(x+1)-f(x)=2x+9, 所以3k(x+1)+3b-kx-b=2x+9.即2kx+3k+2b=2x+9. 所以解得所以f(x)=x+3. (2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9; 解：因为2f+f(x)=x(x≠0)　①, 所以2f(x)+f　②. 2×②-①,得3f(x)=-x,所以f(x)=(x≠0). (3)已知f(x)满足2f+f(x)=x(x≠0). 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.已知购买某种饮料x听，所需钱数为y元.若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为 (　 ) A.y=2x B.y=2x(x∈R) C.y=2x(x∈{1，2，3，…}) D.y=2x(x∈{1，2，3，4}) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知函数y=f(x)的对应关系如下表所示，函数y=g(x)的 图象是如图所示的曲线ABC，则f(g(2))的值为 (　 ) A.3 B.0 C.1 D.2 x 1 2 3 f(x) 2 3 0 √ 解析：由题图可知g(2)=1，由题表可知f(1)=2，故f(g(2))=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知g(x)=1-2x，f(g(x))=(x≠0)，则f等于(　 ) A.15 B.1 C.3 D.30 √ 解析：令1-2x=，解得x=.故f=f=f==15. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.已知函数f(x)是一次函数，且f(x-1)=4x+3，则f(x)的解析式为 (　 ) A.f(x)=4x-1 B.f(x)=4x+7 C.f(x)=4x+1 D.f(x)=4x+3 解析：设一次函数的解析式为f(x)=ax+b(a≠0)，由f(x-1)=4x+3，可得f(x-1)=a(x-1)+b=ax-a+b=4x+3.所以解得所以函数的解析式为f(x)=4x+7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.已知f(-1)=-x，则函数f(x)的表达式为(　 ) A.f(x)=x2+2x+1(x≥0) B.f(x)=x2+2x+1(x≥-1) C.f(x)=-x2-2x-1(x≥0) D.f(x)=-x2-2x-1(x≥-1) 解析：令t=-1(t≥-1)，则x=(t+1)2.所以f(t)=-(t+1)2=-t2-2t-1(t≥-1).所以f(x)=-x2-2x-1(x≥-1).故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 6.(多选)已知矩形的面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为l，则下列式子正确的是 (　 ) A.l=2x+(x>0) B.y=(x>0) C.l=2(d>0) D.d=(x>0) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为矩形的面积为10，矩形的长为x，宽为y，所以xy=10，得y=.所以矩形的周长为l=2x+(x>0)，所以A、B正确；因为矩形的面积为10，对角线为d，长为x，宽为y，所以x2+y2=d2≥2xy=20，当且仅当x=y=时，等号成立，所以x2+y2+2xy=d2+20，(x+y)2=d2+20，因为x+y>0，所以x+y=，所以矩形的周长为l=2(d≥2)，所以C错误；由选项C可知x2+y2=d2，xy=10，所以d2=x2+.因为d>0，所以d=(x>0)，所以D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7.(多选)若函数f(1-2x)=(x≠0)，则(　 ) A.f=15 B.f(2)=- C.f(x)=-1(x≠0) D.f=-1(x≠0且x≠1) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：令1-2x=t(t≠1)，则x=.所以f(t)==-1.则f(x)= -1(x≠1)，故C错误；f=15，故A正确；f(2)=3，故B错误； f=-1=-1(x≠0且x≠1)，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+1，若f(8)=7，则f(2)= (　 ) A.7 B.3 C.2 D.1 解析：因为f(x+y)=f(x)+f(y)+1，且f(8)=7，所以令x=y=4，可得f(8)= 2f(4)+1=7，解得f(4)=3.再令x=y=2，可得f(4)=2f(2)+1=3，解得f(2)=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)已知函数φ(x)=f(x)+g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且φ=16，φ(1)=8，则φ(x)的表达式为_______________，φ(3)的值是______.  φ(x)=3x+(x≠0)　 解析：设f(x)=kx(k≠0)，g(x)=(m≠0)，则φ(x)=kx+.由题设， 知解得所以φ(x)=3x+(x≠0)，φ(3)=3×3+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x(kg) 与其运费y(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客 可免费携带行李的最大重量为______kg.  19 解析：设一次函数解析式为y=ax+b(a≠0)，代入点(30，330)与点 (40，630)得解得 即y=30x-570.若要免费，则y≤0，所以x≤19. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知f=，那么f(x)的解析式为______________________.  f(x)=(x≠-1且x≠0) 解析：由f=可知，函数f(x)的定义域为{x|x≠-1且x≠0}.令t=，则x=(t≠-1且t≠0)，所以f(t)==.故f(x)=(x≠-1且x≠0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)对于温度的计量，世界上大部分国家使用摄氏温标(℃)，少数国家使用华氏温标(℉)，两种温标间有如下对应关系： 摄氏温标(℃) … 0 10 20 30 40 50 … 华氏温标(℉) … 32 50 68 86 104 122 … 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 根据表格中数值间呈现的规律，给出下列三个推断： ①25 ℃对应77 ℉； ②-20 ℃对应-4 ℉； ③存在某个温度，其摄氏温标的数值等于其华氏温标的数值. 其中所有正确推断的序号是________.  ①②③ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设摄氏温标为x ℃，对应的华氏温标为y ℉， 根据表格数据可知=1.8，=1.8，=1.8，…，∴=1.8， 即y=1.8x+32.∴当x=25时，y=77；当x=-20时，y=-4，故①、②正确；由y=1.8x+32=x，可得x=-40，即摄氏温标-40 ℃对应的华氏温标为 -40 ℉，故③正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：列表法：列出参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系为 x 0 1 2 3 4 5 y 50 40 30 20 10 0 13.(10分)某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 图象法：画出参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系，如图所示. 解析法：参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系为y=50-10x，x∈{0，1，2，3，4，5}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x+3)-f(x-2)=2x+21，求f(x)的解析式；(5分) 解：设f(x)=ax+b(a≠0)，则2f(x+3)-f(x-2)=2[a(x+3)+b]-[a(x-2)+b]= 2ax+6a+2b-ax+2a-b=ax+8a+b=2x+21. 所以a=2，b=5.所以f(x)=2x+5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：由题意设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由f(0)=1，得c=1. 因为f(x-1)-f(x)=4x， 所以a(x-1)2+b(x-1)+c-(ax2+bx+c)=4x， 整理得-2ax+a-b=4x， 即a=-2，b=-2.所以f(x)=-2x2-2x+1. (2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)=1，f(x-1)-f(x)=4x，求f(x)的解析式.(5分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(不考虑临界状态) (1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(5分) 解：由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m，上底为(2+2h)m， 高为h m，所以水的面积A==h2+2h. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：定义域为{h|0<h<1.8}. 由函数A=h2+2h=(h+1)2-1的图象可知，在区间(0，1.8)上函数值随自变量的增大而增大， 所以0<A<6.84.故函数的值域为(0，6.84). (2)确定函数的定义域和值域.(5分) 本课结束 $$