专题11 函数定义域和值域的求法（十一类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题11 函数定义域和值域的求法 （十一类重难点题型） 目录 典例详解 类型一、求具体函数的定义域 类型二、求抽象函数的定义域 类型三、利用函数的定义域求参数 类型四、直接法求函数的值域 类型五、配方法求函数的值域 类型六、换元法求函数的值域 类型七、分离常数法求函数的值域 类型八、基本不等式法求函数的值域 类型九、单调性法求函数的值域 类型十、判别式法求函数的值域 类型十一、利用函数的值域求参数 压轴专练 类型一、求具体函数的定义域 求函数定义域时，要注意应用下列原则： (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R. (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. (3如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合. (4)如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集. (5)如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合. 注意：（1）如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集；（2）定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接. 【技巧方法】 1.找条件：先把所有限制条件都考虑全面，做到不遗漏； 2.解不等式：分别求每个限制条件所确定的自变量的取值集合； 3.求交集：求这些集合的交集，即为函数的定义域。 例1．已知函数，则的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列式求解定义域即可. 【解析】由题意得：，所以， 所以的定义域为. 故选：D 变式1-1．函数的定义域是（  ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式求解作答即可. 【解析】由，解得 故定义域为且. 故选：C． 变式1-2．函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据函数解析式列出不等式组，求解即可. 【解析】由题可得，解得且； 的定义域为：． 故答案为：. 变式1-3．函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式求解作答即可. 【解析】由题意对于，得，解得且，故C正确. 故选：C. 类型二、求抽象函数的定义域 抽象函数的定义域的类型： （1）若函数的定义域为，则中，从中解出的解集即的定义域． （2）若的定义域为，则由可确定的范围，设，则，又与是同一函数，所以的范围即为的定义域． （3）已知的定义域，求的定义域，先由的取值范围求出的取值范围，即中的取值范围，即的取值范围，再根据的取值范围求出的取值范围，即的定义域． 【技巧方法】 根据函数的定义域求参数范围解题思路方法 例2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法即可. 【解析】函数的定义域为， 则，则且， 则函数的定义域为. 故选：D 变式2-1．已知函数的定义域为，则函数的定义域是__________ 【答案】 【分析】由求的范围，然后解不等式可得. 【解析】因为函数的定义域为，即，所以， 由解得，所以函数的定义域为. 故答案为： 变式2-2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合复合函数定义域列式求解即得. 【解析】由函数的定义域为，得，则， 即的定义域为，在函数中，由，解得， 所以所求函数的定义域为. 故选：A. 变式2-3．设函数的定义域是，求函数的定义域． 【答案】 【分析】根据复合函数定义域的求解方法，列出不等式组求解即可. 【解析】∵函数的定义域是， ∴要使函数有意义， 则，解得. 故函数的定义域为 故答案为： 类型三、利用函数的定义域求参数 全称量词命题的否定形式 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：. 【技巧方法】 （1）需要明确函数的定义域，即自变量的取值范围． （2）根据函数的表达式，确定函数中可能存在的限制条件．这些限制条件可能包括分母不为零、根式内的表达式非负等． （3）根据函数表达式中的限制条件，建立关于参数的不等式． （4）解不等式，得到参数的取值范围． 例3．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意得在上恒成立，， 即，. 故答案为：. 变式3-1．已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题给条件列出关于的不等式，解之即可求得实数的取值范围. 【解析】由题意得对任意恒成立， 当时，不等式可化为，其解集不是R，不符合题意； 当时，由该不等式恒成立可得 ，解之得， 综上，实数的取值范围是， 故选：A. 变式3-2．若函数的定义域为R，则实数的取值范围是是 ． 【答案】 【分析】结合不等式恒成立计算即可. 【解析】当时，不等式恒成立. 当时，恒成立； 当时，则需满足， 综合可得的取值范围是 故答案为： 变式3-3．已知函数的定义域是，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知在上恒成立，分为与两种情况求解即可. 【解析】由题意可知在上恒成立. 当时，，符合题意； 当时，则，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 类型四、直接法求函数的值域 【技巧方法】 (1) 一次函数的值域为R. (2)二次函数，当时的值域为，当时的值域为.， (3)反比例函数的值域为. 例4．若的定义域为，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的值域解析式求解即可. 【解析】因为的定义域为，所以；；；所以函数值域为. 故答案为：. 变式4-1．函数在的值域为 . 【答案】 【分析】根据不等式性质运算求解即可. 【解析】因为，则，可得， 所以在的值域为. 故答案为：. 变式4-2．函数的值域是（  ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【分析】根据二次函数结合偶次根式求解即可. 【解析】因为，所以，所以，所以 故选：B 变式4-3．函数的值域是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式性质运算求解即可. 【解析】因为，所以，因此，函数的值域是. 故选：B. 类型五、配方法求函数的值域 【技巧方法】 配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“”或“”的函数均可用配方法求值域。 例5．已知函数，则的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数整理成，然后利用二次函数的性质即可求解 【解析】，， 故，故函数值域为. 故选：B 变式5-1．已知函数，则在区间的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的单调性可求得最大值和最小值，由此可得值域. 【解析】的对称轴为， 在区间单调递减，在单调递增， 当时，；当，， 的值域为. 故选：B． 变式5-2．函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求出分母的范围，然后根据倒数关系即可得的值域. 【解析】因为二次函数的值域为， 所以的定义域是，值域为. 故答案为：. 变式5-3．函数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性求值域即可. 【解析】, 而，， ， ， 即， 故答案为： 类型六、换元法求函数的值域 【技巧方法】 换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）或的结构，可用“”换元； （2）（均为常数，），可用“”换元。 例6．函数的最小值为（  ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用换元法，令，然后将原函数转化为自变量为的函数，再结合二次函数的性质可求出其最小值. 【解析】令，则， 所以 所以当时，取得最小值， 所以函数的最小值为， 故选：A. 变式6-1．函数的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【解析】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C. 变式6-2．函数的最大值为 ． 【答案】2 【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最大值. 【解析】设，则， 所以原函数可化为：， 由二次函数性质，当时，函数取最大值2. 故答案为：2. 变式6-3．已知函数则函数的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求得函数的定义域，换元后利用配方法求函数的值域． 【解析】， 由，解得. . 令， 函数. 当时，； 当时，， 函数的值域为. 故选：D. 类型七、分离常数法求函数的值域 【技巧方法】 形如的函数常用分离常数法求值域，转化过程为，其值域是 例7．若，则函数的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离常数后求其值域即可. 【解析】， 因为，所以，所以， 所以，所以函数的值域为. 故选：A. 变式7-1．函数的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据解析式求出定义域,再对函数解析式进行分离常数,最后确定值域即可. 【解析】解:由题知,, , , , 即值域为. 故选:B 变式7-2．函数的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离系数，得到，结合二次函数，求出值域即可. 【解析】， 当时，. 则. 故选：B. 变式7-3．函数的值域为____________ 【答案】 【分析】利用分离常数法求解即可. 【解析】， 则，所以函数的值域为． 故答案为： 变式7-4．表示不超过的最大整数，例如，.则函数的值域为 . 【答案】 【分析】分离常数后求得，再判断的值域. 【解析】∵， 又，故， 则， 故答案为： 类型八、基本不等式法求函数的值域 【技巧方法】 形如的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可； 例8．已知函数，则函数的值域是 . 【答案】 【分析】将解析式变形为，然后利用基本不等式即可求解. 【解析】因为， 因为，所以，则有， 当且仅当，即时取等号， 所以， 因为，所以，则函数的值域为， 故答案为：. 变式8-1．函数，的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别在和的情况下，结合基本不等式可求得结果. 【解析】当时，（当且仅当时取等号）； 当时，（当且仅当时取等号）； 综上所述：的值域为. 故选：C. 变式8-2．函数的值域为___________. 【答案】 【分析】利用换元法和基本不等式求值域. 【解析】令，则，， 当时，； 当时，，因为，当且仅当，时等号成立，所以， 所以函数的值域为 故答案为： 变式8-3．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是为___________. 【答案】 【分析】求得，当时，将函数化简变形得，令，然后分和两种情况结合基本不等式可求出的取值范围，从而可求出的值域，再由高斯函数的定义求出的值域. 【解析】显然，． 当时，． 令，当时，，当且仅当时等号成立， 则； 当时，，当且仅当时等号成立， 则． 综上所述，的值域为， 所以根据高斯函数的定义，函数的值域是， 故答案为： 类型九、单调性法求函数的值域 【技巧方法】 确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值） （1）形如的函数可用函数单调性求值域； （2）形如的函数，当时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解； 当时，在和上为单调函数，可直接利用单调性求解。 例6．函数在上的最小值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上单调递增，且恒成立， 可知函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上的最小值为. 故选：B. 变式6-1．函数，的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的单调性，再利用函数的单调性可求出函数的值域. 【解析】因为和在上递增， 所以在上递增， 所以，， 所以函数的值域为. 故选：C 变式6-2．函数的最小值为 ． 【答案】1 【分析】先判断函数的单调性，再利用函数的单调性可求出函数的值域. 【解析】由，得，即的定义域， 当时，与都单调递增， 所以在上单调递增，当时，取得最小值1． 故答案为：1. 变式6-3．函数的定义域是，则其值域为 【答案】 【分析】判断函数的单调性，根据单调性可求得函数最小值以及最大值，即得答案. 【解析】由题意知函数均在上单调递增， 故在定义域上为增函数， 所以，， 即的值域为， 故答案为： 类型十、判别式法求函求函数的值域 【技巧方法】 形如或的函数求值域，可将函数转化为关于的方程，利用二次项系数不为0，判别式或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域。 例10．若函数的最大值为，最小值为，则（  ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】直接用判别式法求函数的最大值和最小值． 【解析】设，，， 时，， 时，因为，所以，解得，即且， 综上，最大值是，最小值是，和为6． 故选：B． 变式10-1．函数的值域为（  ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】利用判别式可求函数的值域. 【解析】设题中函数为，则， 当时，； 当时，视其为关于x的二次方程， 判别式， 综上，故值域为． 故选：C. 变式10-2．函数的值域为： ． 【答案】 【分析】求出函数定义域，再利用判别式法求出函数值域即可. 【解析】显然恒成立，即原函数定义域为， 由，得， 当时，，符合题意； 当时，由，得恒有实数根， 因此，解得且， 所以函数的值域为 故答案为： 变式10-3．已知函数的值域为，则常数 ． 【答案】7或 【分析】求出函数定义域，再利用判别式法求出函数值域即可. 【解析】因为，所以， ，即， 因为函数的值域为， 所以是方程的两个根， 所以，， 解得或，所以7或. 故答案为：7或. 变式10-4．函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】由题意分析可得关于x的方程有正根，分和两种情况，结合二次函数分析求解. 【解析】因为，整理得， 可知关于x的方程有正根， 若，则，解得，符合题意； 若，则， 可得或， 解得或且，则或或； 综上所述：或， 即函数，的值域为. 故答案为： 类型十一、利用函数的值域求参数 【技巧方法】 1、注意调整思维方向，根据值域的含义，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集的问题； 2、根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围． 例11．若函数的值域为，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围. 【解析】因为函数的值域为， 所以能取遍所有大于或等于零的实数， 即方程在实数范围内有解． 所以，解得． 故选：B． 变式11-1．已知函数在上的值域为，则（  ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可. 【解析】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 变式11-2．函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据题意知，函数可以取到0； 函数和轴有交点；；解得，或； 实数的取值范围为：． 故答案为： 变式11-3．已知函数. (1)若函数定义域为，求的取值范围； (2)若函数值域为，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)函数定义域为， 对任意都成立， 当时，显然不恒成立，不合题意； 当时，由二次函数的性质可知，需满足，解得， 综上，实数的取值范围为 (2)函数值域为， 能取遍所有正数， 1：，解得， 2：， 符合题意 实数的取值范围为 1.函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式求解作答即可. 【解析】由，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D 2.若集合的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数后，利用二次函数的性质求解最值，即可结合不等式的性质求解. 【解析】由可得， 由于函数，所以， 故， 故选：B 3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法即可. 【解析】函数的定义域为，则，因此在中，， 函数有意义，必有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C 4.若函数的定义域是一切实数，则实数k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用求解含参函数的定义域的方法即可. 【解析】因为函数的定义域为， 所以，对任意的，恒成立. ①当时，则有，合乎题意； ②当时，由题意可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 5.已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解. 【解析】依题意，， 显然，则，于是， 所以函数的值域是. 故选：C 6.（多选）下列函数中，值域不是的是（  ） A． B．（） C．（） D． 【答案】ABC 【分析】分别求出各函数的值域即可. 【解析】因为，所以函数值域为，故A错误； 因为时，，故B错误； 因为时，函数的值域为集合，不是区间．故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：ABC． 7.（多选）已知函数的值域为，则常数可以是（  ） A．-1 B．1 C．7 D．-7 【答案】AC 【分析】利用判别式法求出函数值域即可. 【解析】因为，所以， ，即， 因为函数的值域为， 所以是方程的两个根， 所以，， 解得或，所以7或. 故选：AC 8.（多选）下列说法不正确的是（  ） A．函数与是同一个函数 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的定义域为 D．若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】运用相等函数概念，复合函数定义域，结合不等式恒成立计算即可. 【解析】对于A，函数的定义域为的定义域为， 故函数与不是同一个函数，A不正确； 对于B：因为函数的定义域为， 所以， 所以函数的定义域为，B正确 对于C，不等式， 则解集为，C不正确 对于D，当时，不等式恒成立. 当时，恒成立； 当时，则需满足， 综合可得的取值范围是，D不正确， 故选：ACD 9.函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求出的取值范围，再求出，且，即得解. 【解析】由题得且. 因为, 且. 所以原函数的值域为. 故答案为： 10.若函数的定义域为，则实数 实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】应用求解含参函数的定义域的方法即可. 【解析】因为函数的定义域为，则， 而函数的定义域为， 所以，即. 故答案为：；. 11.函数的值域为 ． 【答案】 【分析】应用换元法函数的值域的方法即可. 【解析】令，则，由及，得，所以，则（），为开口向下的二次函数，对称轴为，故在单调递增 因此当时，；当时，，故函数的值域为． 故答案为： 12.已知函数的值域为，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】问题等价于函数的值域包含，利用二次函数的性质求解即可. 【解析】函数的值域为，则函数的值域包含， ∴，且，解得． 故答案为：． 13.已知． (1)若时，求的值域； (2)函数，若函数的值域为，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据函数解析式，采用分离常数项的方法，结合不等式性质，可得答案； （2）根据二次根式的定义，结合二次函数的性质，可得答案. 【解析】（1）由，则， 由不等式性质，则，，，，， 故，即的值域为. （2）由题意，， 由函数的值域为，则有解且无最大值， 当时，符合题意； 当时，根据二次函数的性质，可得， 其中，，，，解得或， 综上，故. 14.已知函数，其中. (1)当，求函数的值域； (2)，求区间上的最小值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用判别式法求值域； （2）求得，对分类讨论，根据二次函数的性质求最值. 【解析】（1）时，，即，整理得， 当时，， 当时，由，得， 解得，且， 综上，，则的值域是. （2）且， 当时，即时， 函数在区间上单调递增，此时； 当时，即时， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时，综上所述： 23 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 数定义域和值域的求法 （十一类重难点题型） 目录 典例详解 类型一、求具体函数的定义域 类型二、求抽象函数的定义域 类型三、利用函数的定义域求参数 类型四、直接法求函数的值域 类型五、配方法求函数的值域 类型六、换元法求函数的值域 类型七、分离常数法求函数的值域 类型八、基本不等式法求函数的值域 类型九、单调性法求函数的值域 类型十、判别式法求函数的值域 类型十一、利用函数的值域求参数 压轴专练 类型一、求具体函数的定义域 求函数定义域时，要注意应用下列原则： (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R. (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. (3如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合. (4)如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集. (5)如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合. 注意：（1）如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集；（2）定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接. 【技巧方法】 1.找条件：先把所有限制条件都考虑全面，做到不遗漏； 2.解不等式：分别求每个限制条件所确定的自变量的取值集合； 3.求交集：求这些集合的交集，即为函数的定义域。 例1．已知函数，则的定义域为（  ） A． B． C． D． 变式1-1．函数的定义域是（  ） A． B． C．，且 D．，且 变式1-2．函数的定义域为 . 变式1-3．函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 类型二、求抽象函数的定义域 抽象函数的定义域的类型： （1）若函数的定义域为，则中，从中解出的解集即的定义域． （2）若的定义域为，则由可确定的范围，设，则，又与是同一函数，所以的范围即为的定义域． （3）已知的定义域，求的定义域，先由的取值范围求出的取值范围，即中的取值范围，即的取值范围，再根据的取值范围求出的取值范围，即的定义域． 【技巧方法】 根据函数的定义域求参数范围解题思路方法 例2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 变式2-1．已知函数的定义域为，则函数的定义域是__________ 变式2-2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 变式2-3．设函数的定义域是，求函数的定义域． 类型三、利用函数的定义域求参数 全称量词命题的否定形式 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：. 【技巧方法】 （1）需要明确函数的定义域，即自变量的取值范围． （2）根据函数的表达式，确定函数中可能存在的限制条件．这些限制条件可能包括分母不为零、根式内的表达式非负等． （3）根据函数表达式中的限制条件，建立关于参数的不等式． （4）解不等式，得到参数的取值范围． 例3．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 变式3-1．已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式3-2．若函数的定义域为R，则实数的取值范围是是 ． 变式3-3．已知函数的定义域是，则的取值范围是 . 类型四、直接法求函数的值域 【技巧方法】 (1) 一次函数的值域为R. (2)二次函数，当时的值域为，当时的值域为.， (3)反比例函数的值域为. 例4．若的定义域为，则函数的值域为 ． 变式4-1．函数在的值域为 . 变式4-2．函数的值域是（  ） （A） （B） （C） （D） 变式4-3．函数的值域是（  ） A． B． C． D． 类型五、配方法求函数的值域 【技巧方法】 配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“”或“”的函数均可用配方法求值域。 例5．已知函数，则的值域为（  ） A． B． C． D． 变式5-1．已知函数，则在区间的值域为（  ） A． B． C． D． 变式5-2．函数的值域为 . 变式5-3．函数的取值范围是 . 类型六、换元法求函数的值域 【技巧方法】 换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）或的结构，可用“”换元； （2）（均为常数，），可用“”换元。 例6．函数的最小值为（  ） A． B． C．1 D．2 变式6-1．函数的值域为（  ） A． B． C． D． 变式6-2．函数的最大值为 ． 变式6-3．已知函数则函数的值域为（  ） A． B． C． D． 类型七、分离常数法求函数的值域 【技巧方法】 形如的函数常用分离常数法求值域，转化过程为，其值域是 例7．若，则函数的值域为（  ） A． B． C． D． 变式7-1．函数的值域为（  ） A． B． C． D． 变式7-2．函数的值域为（  ） A． B． C． D． 变式7-3．函数的值域为____________ 变式7-4．表示不超过的最大整数，例如，.则函数的值域为 . 类型八、基本不等式法求函数的值域 【技巧方法】 形如的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可； 例8．已知函数，则函数的值域是 . 变式8-1．函数，的值域为（  ） A． B． C． D． 变式8-2．函数的值域为___________. 变式8-3．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是为___________. 类型九、单调性法求函数的值域 【技巧方法】 确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值） （1）形如的函数可用函数单调性求值域； （2）形如的函数，当时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解； 当时，在和上为单调函数，可直接利用单调性求解。 例6．函数在上的最小值为（  ） A．1 B． C． D． 变式6-1．函数，的值域为（  ） A． B． C． D． 变式6-2．函数的最小值为 ． 变式6-3．函数的定义域是，则其值域为 类型十、判别式法求函求函数的值域 【技巧方法】 形如或的函数求值域，可将函数转化为关于的方程，利用二次项系数不为0，判别式或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域。 例10．若函数的最大值为，最小值为，则（  ） A．4 B．6 C．7 D．8 变式10-1．函数的值域为（  ） A． B． C． D．以上答案都不对 变式10-2．函数的值域为： ． 变式10-3．已知函数的值域为，则常数 ． 变式10-4．函数，的值域为 ． 类型十一、利用函数的值域求参数 【技巧方法】 1、注意调整思维方向，根据值域的含义，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集的问题； 2、根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围． 例11．若函数的值域为，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式11-1．已知函数在上的值域为，则（  ） A．4 B．5 C．8 D．10 变式11-2．函数的值域是，则实数的取值范围是 . 变式11-3．已知函数. (1)若函数定义域为，求的取值范围； (2)若函数值域为，求的取值范围. 1.函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 2.若集合的值域为（  ） A． B． C． D． 3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 4.若函数的定义域是一切实数，则实数k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 5.已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（  ） A． B． C． D． 6.（多选）下列函数中，值域不是的是（  ） A． B．（） C．（） D． 7.（多选）已知函数的值域为，则常数可以是（  ） A．-1 B．1 C．7 D．-7 8.（多选）下列说法不正确的是（  ） A．函数与是同一个函数 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的定义域为 D．若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 9.函数的值域为 . 10.若函数的定义域为，则实数 实数的取值范围 ． 11.函数的值域为 ． 12.已知函数的值域为，则k的取值范围是 ． 13.已知． (1)若时，求的值域； (2)函数，若函数的值域为，求a的取值范围． 14.已知函数，其中. (1)当，求函数的值域； (2)，求区间上的最小值. 5 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $