4.2.2 对数的运算性质（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦对数的运算性质及换底公式，课前通过自主学习落实性质推导、常用结论等基础，课堂以梯度进阶式教学连接指数与对数运算，帮助学生构建完整知识支架。 其亮点在于微点助解强调性质使用条件培养严谨思维，题型示例分层结合思维建模总结“收拆”等技巧，实际应用联系火箭速度等体现数学眼光与语言。学生能深化理解提升能力，教师可获梯度化素材与方法指导。

4.2.2 对数的运算性质 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解对数的运算性质,能熟练运用对数的运算性质化简求值. 2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 1.对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么, (1)loga(MN)=_______________; (2)loga=______________; (3)logaMn=_________ (n∈R). 恒等式:loMn=logaM(n∈R,m≠0). logaM+logaN logaM-logaN nlogaM |微|点|助|解| 　 1.对数的运算性质 (1)对数运算性质的语言表达:“积的对数=对数的和”,“商的对数=对数的差”. (2)对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算. (3)注意性质的使用条件:每一个对数都要有意义. log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的,log10(-10)2=2log10(-10)是不成立的. 2.对数运算中的常用结论 已知a>0,且a≠1. (1)loga=logaM-1=-logaM(M>0); (2)loga=logalogaM(M>0,n,p∈N*,p,n>1); (3)推广:logaN1+logaN2+…+logaNk=loga(N1·N2·…·Nk)(k∈N*,N1, N2,…,Nk均大于0). 2.换底公式 logaN=__________(其中a>0,a≠1,N>0,c>0,c≠1). 3.换底公式的推论 (1)logab·logba=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1). (2)logab·logbc·logca=1(a>0,b>0,c>0,且a,b,c≠1). |微|点|助|解| 　 (1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义. (2)运用换底公式可以改变对数式的底数,把不同底数问题转化为同底数问题来进行化简、计算和证明. (3)实际应用换底公式时,底数究竟换成什么要由具体的已知条件来确定,一般换成以10为底的常用对数. 基础落实训练 1.计算log84+log82等于 (　 ) A.log86 B.8 C.6 D.1 √ 解析：log84+log82=log88=1. 2.计算log510-log52等于 (　 ) A.log58 B.lg 5 C.1 D.2 √ 3.计算log92×log43= (　 ) A.4 B.2 C. D. √ 解析：log92×log43=. 4.若lg 3=a,lg 2=b,用a,b表示log43=　　　　.  解析：log43=. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　对数运算性质的应用 [例1]　求下列各式的值. (1); 解：原式==. (2)(lg 5)2+lg 2×lg 50; 解：原式=(lg 5)2+lg 2(lg 5+1)=(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2=lg 5(lg 2+lg 5) +lg 2=lg 5+lg 2=1. (3). 解：原式====-1. |思|维|建|模|　对数式化简或求值的常用方法和技巧 (1)对于同底数的对数式,化简的常用方法是: ①“收”,即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数,即把多个对数式转化为一个对数式; ②“拆”,即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差). (2)对含有多重对数符号的对数,应从内向外逐层化简. (3)当真数是形如“”的式子时,常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”. 针对训练 1.(多选)若10a=4,10b=25,则 (　 ) A.a+b=2 B.b-a=1 C.ab>8(lg 2)2 D.b-a<lg 6 √ √ 解析：∵10a=4,10b=25,∴a=lg 4,b=lg 25,∴a+b=lg 4+lg 25=lg 100 =2,选项A正确;b-a=lg 25-lg 4=lg>lg 6,选项B、D错误;ab=2lg 2 ×2lg 5=4lg 2×lg 5>4lg 2×lg 4=8(lg 2)2,选项C正确. 2.计算: (1)2(lg )2+lg ×lg 5+; 解：原式=lg ×(2lg +lg 5)+=lg ×(lg 2+lg 5) +(1-lg )=lg +1-lg =1. (2)log535+2lo-log5-log514. 解：原式=log5+2lo=log553-1 =3-1=2. 题型(二)　对数换底公式的应用 [例2]　已知log37=a,2b=3,试用a,b表示log1456. 解：因为2b=3,所以b=log23,即log32=. 所以log1456==. 1.本例条件不变,试用a,b表示log2898. 变式拓展 解:log2898=. 2.若把本例中条件“2b=3”换为3b=2,其他条件不变,则结论又如何呢? 解:因为3b=2,所以b=log32.又a=log37, 所以log1456=. |思|维|建|模| 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 针对训练 3.(2024·全国甲卷)已知a>1且-=-，则a=　　　　.  64 解析：根据题意有-=-，即3loga2-=-. 设t=loga2(a>1)，则t>0，故3t-=-，解得t=(舍负)， 所以loga2=，所以=2，解得a=64. 4.求值: (1)log23×log35×log516; 解：原式==4. (2)(log32+log92)(log43+log83). 解：原式= = =. 题型(三)　对数运算的实际应用 [例3]　在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:m/s)和燃料的质量M(单位:kg),火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)满足ev=(e为自然对数的底数)(ln 3≈1.099).当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时,求火箭的最大速度(单位:m/s). 解：因为v=ln=2 000ln, 所以v=2 000ln 3≈2 000×1.099=2 198(m/s). 故当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时,火箭的最大速度为2 198 m/s. |思|维|建|模|　 解决对数应用题的一般步骤 针对训练 5.(2024·北京高考)生物丰富度指数d=是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A.3N2=2N1 B.2N2=3N1 C.= D.= √ 解析：由题意，得=2.1，=3.15.若S不变，则2.1ln N1=3.15ln N2， 即2ln N1=3ln N2，所以=. 6.每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬,科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以用函数v=log3-lg x0表示,v的单位是km/min,其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数,常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差. (1)若x0=4,候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为多少个单位?(结果保留到整数位,参考数据:lg 4≈0.60,31.2≈3.74) 解：将x0=4,v=0,代入v=log3-lg x0,得0=log3-lg 4,则log3= 2lg 4≈1.2,即≈31.2≈3.74,解得x≈374,所以候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为374个单位. (2)若雄鸟的飞行速度为1.3 km/min,雌鸟的飞行速度为0.8 km/min,问雄鸟每分钟耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍? 解：设雄鸟每分钟的耗氧量为x1个单位,雌鸟每分钟的耗氧量为x2个单位, 由题意得两式相减得0.5=log3,解得=3. 所以雄鸟每分钟耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍. 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.计算lg 2-lg-eln 2等于(　 ) A.-1 B. C.3 D.-5 √ 解析：原式=lg-2=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.化简log832的值为 (　 ) A. B.2 C.4 D. √ 解析：log832===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知10x=3，10y=5，则用x，y表示lg为(　 ) A. B. C.2x+y-1 D.2x-y+1 √ 解析：因为10x=3⇔x=lg 3，10y=5⇔y=lg 5，所以lg=lg 9-lg 2=2lg 3 -(1-lg 5)=2lg 3+lg 5-1=2x+y-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　 ) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 解析：由已知得，lg=lg M-lg N=361×lg 3-80×lg 10≈361×0.48-80= 93.28=lg 1093.28.故与最接近的是1093. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.(多选)若a>1，b>1，且lg(a+b)=lg a+lg b，则 (　 ) A.lg(a-1)+lg(b-1)=0 B.lg=0 C.lg(a-1)+lg(b-1)=1 D.lg=1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：依题意a>1，b>1，由lg(a+b)=lg a+lg b=lg(ab)，得a+b=ab.所以(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=1，且=+=1，即lg(a-1)+lg(b-1)=lg[(a-1) (b-1)]=lg 1=0，lg=0.故选A、B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6.17世纪初，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，在此基础上，布里格斯制作了第一个常用对数表，在科学技术中，还常使用以无理数e为底数的自然对数，其中e=2.718 28…，对数是简化运算的有效工具，依据下表数据，计算ln的结果约为(　 ) x 1.310 2 3.190 3.797 4.715 5 7.397 … ln x 0.270 0 0.693 1 1.160 0 1.334 2 1.550 7 1.609 4 2.001 0 … A.1.334 B.1.244 C.2.747 D.3.733 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：ln=ln(31.9×1.312)=[ln(31.9)+ln(1.312)]= (ln 3.19+ln 2+ln 5+2ln 1.31)=4.002 5÷3≈1.334. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7.(多选)若实数a，b满足2a=5b=10，则下列关系正确的有 (　 ) A.+=1 B.+=lg 20 C.+=2 D.+= √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由已知，得a=log210，b=log510，+=+=lg 2+lg 5=1，故A正确;+=+=lg 4+lg 5=lg 20，故B正确;+=+ =lg 2+lg 25=lg 50，故C、D不正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)若lg a，lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根，则ab的值等于____.  100 解析：∵lg a，lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根， ∴lg a+lg b=-=2.∴ab=100. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)求值：=　　.  1 解析：=====1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数，直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即ab=N⇔b=logaN，现在已知a=log48，b=log24，则4a=____，a+b=____.(用最简结果作答) 8　 解析：已知a=log48，b=log24，所以4a==8，a+b=+2=+2=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知log37=a，log74=b，用a，b表示log427为__________.  解析：由log37=a，log74=b，可得ab=log37×log74=log34=2log32. 则log427====. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(10分)计算下列各式的值： (1)log3+lg 25+lg 4+;(5分) 解：原式=log3+lg(25×4)+2=log3+lg 102+2=-+2+2=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：原式=2log32-(log325-log39)+3log32-=2log32-5log32+2log33+ 3log32-9=2-9=-7. (2)2log32-log3+log38-.(5分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：设抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%，原先容器中的空气体积为a，则a(1-60%)n<0.1%a，即0.4n<0.001，两边取常用对数，得n·lg 0.4<lg 0.001，∴n>=≈7.5.故至少要抽8次才能使容器内的空气少于原来的0.1%. 13.(10分)抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次?(已知lg 2≈0.301 0) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 证明：设xa=yb=zc=k，k>0，且k≠1，则a=logxk，b=logyk，c=logzk.因为+=，所以+=，即logkx+logky=logkz.所以logk(xy)= logkz，即z=xy. 14.(10分)设xa=yb=zc，且+=，求证：z=xy. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：ln=lny4-ln=ln+ln y4-ln=ln x+4ln y-ln z. 15.(10分)解答下列问题： (1)用ln x，ln y，ln z表示ln;(5分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)已知2x=3y=M，且=1，求M的值.(5分) 解：因为2x=3y=M，所以x=log2M，y=log3M.所以=logM2，=logM3. 又因为=1，即+=1，所以2logM3+3logM2=logM72=1，即M=72. 本课结束 $$