4.1.2 指数幂的拓展（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦指数幂的拓展，涵盖分数指数幂的意义、有理数指数幂运算性质及无理数指数幂，通过课前自主落实基础复习旧知，以分数指数幂为支架衔接根式与指数幂，构建从有理数到实数指数幂的知识脉络。 其亮点在于梯度进阶式教学，通过“微点动解”辨析易错点（如幂指数不可随意约分），“思维建模”总结运算技巧（如条件求值中的整体代入），培养数学思维的运算能力与推理意识，助力学生深化理解，教师可提升教学效率。

4.1.2 指数幂的拓展 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.能正确运用根式运算性质化简求值. 2.掌握并运用有理数指数幂的运算性质. 3.能结合教材探究了解无理数指数幂. 4.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 1.分数指数幂的意义 正分数指数幂 规定:_______(a>0,m,n∈N*,n>1) 负分数指数幂 规定:_______(a>0,m,n∈N*,n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于____, 0的负分数指数幂___________ 0 没有意义 |微|点|助|解| 　 (1)分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种新的写法. (2)注意幂指数不能随意约分. (3)负分数指数幂在有意义的情况下,总表示正数,而不是负数. 2.有理数指数幂的运算性质 (1)asat=______, (2)(as)t=_____, (3)(ab)t=_____,其中s,t∈Q,a>0,b>0. as+t ast atbt 3.无理数指数幂 一般地,当a>0且x是一个无理数时,ax也是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用. 这样,指数幂的概念从有理指数幂推广到实数指数幂. |微|点|助|解| 　 (1)有理数指数幂除上述运算性质外,还有如下性质: ①ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈Q); ②(a>0,b>0,r∈Q). (2)有理数指数幂的几个常见结论:①当a>0时,ab>0;②当a≠0时,a0=1,而当a=0时,a0无意义;③若ar=as(a>0,且a≠1),则r=s;④乘法公式仍适用于分数指数幂,如:=a-b(a>0,b>0). (3)有理数指数幂的运算性质均在有意义的条件下才能成立,否则,不一定成立. 基础落实训练 1.下列运算结果中,正确的是 (　 ) A.a2·a3=a5 B.(-a2)3=(-a3)2 C.(-1)0=1 D.(-a2)3=a6 √ 解析：a2·a3=a2+3=a5,故A正确;(-a2)3=-a6,(-a3)2=a6,故B、D错误;当a=1时无意义,故C错误. 2.计算的结果是(　 ) A.π B. C.-π D. √ 3.下列关系式中,根式与分数指数幂的互化正确的是______(填序号).  ①-=(-x(x>0);② (y<0); ③(x>0);④=-(x≠0); ⑤(a>0). ③⑤ 4.若10x=3,10y=4,则1=　　　　.  解析：∵10x=3,∴102x=9.∴102x-y=. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　根式与分数指数幂的互化 [例1]　将下列根式化成分数指数幂的形式. (1)·; 解：··. (2); 解：原式=··. (3) ·; 解：原式=·. (4)()2·. 解：原式=()2··. |思|维|建|模|　根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数 分数指数的分母,被开方数(式)的指数 分数指数的分子. (2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质运算. (3)当所求根式含有多重根号时,要搞清被开方数,由里向外用分数指数幂写出,然后再用性质进行化简. 针对训练 1.把根式化为分数指数幂,把分数指数幂化为根式(式中字母均为正实数). (1); 解:. (2); 解: =2. (3)(a+b; 解: (a+b. (4). 解: =(x3+y. [例2]　化简求值: (1)-3-1; 题型(二)　利用指数幂的运算性质化简求值 解：原式=(0.33+(44+43+2-. (2)(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c); 解：原式=-4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)=-a-3-(-4)b-2-(-2)c-1=-ac-1=-. (3)2÷4×3. 解：原式=2÷(·)·(3)=·3. |思|维|建|模| 1.指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数. (3)底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,以便于运用指数幂的运算性质. 2.化简指数幂常用技巧 (1)(ab≠0); (2)a=(式子有意义); (3)1的代换,如1=a-1a,1=等. 针对训练 2.化简(a,b为正数)的结果是(　 ) A. B.ab C. D.a2b √ 解析：原式=·,故选C. 3.求下列各式的值: (1); 解：原式==3. (2)2; 解：原式=2××(3×22=2×3=6. (3); 解：原式=-5. (4)(a>0). 解：原式=(a>0). 题型(三)　指数幂运算中的条件求值 [例3]　已知=3,求下列各式的值: (1)a+a-1; 解：将=3两边平方, 得a+a-1+2=9,即a+a-1=7. (2)a2+a-2; 解：将a+a-1=7两边平方, 可得a2+a-2+2=49, ∴a2+a-2=47. (3). 解：∵=()3+()3=()(a-·+a-1) =3(a+a-1-1)=3(7-1)=18, 而a2+a-2=47,∴原式==3. 变式拓展 本例条件不变,求的值. 解:==-(a+a-1)=-7. |思|维|建|模| (1)对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.但有时字母的取值不知道或不易求出,这时可将所求代数式进行适当变形,构造出能用已知条件表示的结构,从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值. (2)利用“整体代入法”求值常用的变形公式(其中a>0,b>0): ①a±2+b=()2; ②()()=a-b; ③=()(a-+b); ④=()(a++b). 4.已知10m=2,10n=4,则1的值为(　 ) A.2 B. C. D.2 √ 针对训练 解析：1. 5.已知a2x=+1,则=(　 ) A.2-1　　 B.2-2 C.2+1 D.+1 √ 解析：令ax=t,则t2=+1,所以 =t2+t-2-1=+1+-1=+1+-1-1=2-1. 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 1.把根式a化成分数指数幂是(　 ) A.(-a B.-(-a C.- D. √ 解析：由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 2.·=(　 ) A. B.5 C. D.25 √ 解析：·==[()2=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 3.设a>0，则下列运算正确的是 (　 ) A.=a B.=0 C.a÷= D.=a √ 解析：易知A正确;对于选项B，=a0=1，B错误;对于选项C，a÷=，C错误;对于选项D，==，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 4.化成分数指数幂为(　 ) A. B. C. D. 解析：原式===(=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 5.若0<a<1，b>0，且ab+a-b=2，则ab-a-b等于(　 ) A. B.2或-2 C.-2 D.2 解析：由ab+a-b=2，得(ab+a-b)2=a2b+a-2b+2=8.因此a2b+a-2b=6， 所以(ab-a-b)2=a2b+a-2b-2=4.由题意得0<ab<1，a-b>1，故ab-a-b<0，所以ab-a-b=-2.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 6.设2a=5b=m，且+=2，则m=(　 ) A. B.10 C.20 D.100 解析：∵2a=m，5b=m，∴2=，5=. ∴2×5=·=.又+=2， ∴m2=10.∴m=或m=-(舍去). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 7.这三个数的大小关系为　(　 ) A.<< B.<< C.<< D.<< 解析：=======.因为<<，所以<<. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 8.已知正数a，b满足×=3，则3a+2b的最小值为(　 ) A.10 B.12 C.18 D.24 解析：因为×=×==3，所以+=1.因为a，b为正数，所以3a+2b=(3a+2b)·=12++≥12+2=24，当且仅当=时，即a=4，b=6时，等号成立.所以3a+2b的最小值为24. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 9.(5分)设α，β是方程5x2+10x+1=0的两个根，则2α·2β=___，(2α)β=___.  解析：利用一元二次方程根与系数的关系，得α+β=-2，αβ=. 则2α·2β==2-2=，(2α)β=2αβ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 10.(5分)计算：(0.008 1-×-10× =_____.  - 解析：原式=-3×-3=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 11.(5分)碳14是一种著名的放射性物质，像铀235、锶90、碘131、铯137、镭226等也都是放射性物质.放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称为半衰期.则在连续两个半衰期里，放射性物质将衰减为原有物质的____.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 解析：根据题意可知，一个半衰期里放射性物质衰减为原来的，则连续两个半衰期里，放射性物质将衰减为原来的=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 12.(5分)已知a2m+n=2-2，am-n=28(a>0，且a≠1)，则a4m+n的值为_____.  4 解析：因为所以①×②得a3m=26.所以am=22.将am=22代入②得22·a-n=28，所以an=2-6.所以a4m+n=·an=(am)4·an=(22)4·2-6=22=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 13.(10分)计算下列各式的值： (1);(3分) 解：原式==29×32=4 608. (2)(a>0);(3分) 解：原式==a0=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 (3).(4分) 解：原式===π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 14.(10分)化简求值： (1)+0.1-2+-3π0+.(5分) 解：原式=++-3+=+100+-3+=100. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 (2)+(--)(-).(5分) 解：原式=+(-)2-()2=a-1-b-1-a+b-1=-a=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 15.(10分)对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax=by =cz=70ω，=++，求a，b，c的值. 解：∵ax=70ω，且x，ω为非零实数，∴=7. 同理可得==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 ∴··=7··7，即=7. 又++=，a，b，c为正整数， ∴abc=70=2×5×7. ∵a≤b≤c，∴a=2，b=5，c=7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 证明：由题意27x=67，81y=603，∴27x=33x=67，81y=34y=603. ∴34y-3x===9=32.∴4y-3x=2.∴4y-3x为定值. 16.(10分)已知27x=67，81y=603.求证：4y-3x为定值. 本课结束 $$