4.1.1 根式（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦“根式”核心内容，涵盖n次方根、根式的概念、性质及化简求值，通过从平方根、立方根推广到n次方根的导入方式，以“逐点清”结构搭建知识支架，帮助学生衔接新旧知识。 其亮点在于采用结构化“逐点清”设计，结合多维理解、微点练明与课时检测，通过n次方根个数与奇偶性的关系辨析、双重根式化简等实例，培养学生的抽象能力和推理意识，助力学生系统掌握重点，也为教师提供高效教学支持。

第4章 指数与对数 4.1 指　数 4.1.1 根　式 (教学方式:基本概念课—逐点理清式教学) 课时目标 理解n次方根、根式的概念,明确正数的偶次方根有两个,偶次根式下被开方数必须非负. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　n次方根 逐点清(二)　根　式 逐点清(三)　根式的化简与求值 4 课时检测 逐点清(一)　n次方根 01 多维理解 定义 一般地,如果_______ (n>1,n∈N*),那么称x为a的n次方根 个数 n为 奇数 a>0 x>0 x仅有一个值,记为x=______ a<0 x<0 n为 偶数 a>0 x有两个值,且互为相反数,记为x=______ a<0 x不存在 注意 0的n次方根等于_____ xn=a ± 0 |微|点|助|解| 　 (1)在n次方根的概念中,关键是数a的n次方根x满足xn=a,因此求一个数a的n次方根,就是求一个数的n次方等于a. (2)n次方根实际上就是立方根与平方根的推广. (3)n次方根的概念表明,乘方与开方是互逆运算. 1.(多选)若xn=a(x≠0),则下列说法正确的是 (　 ) A.当n为奇数时,x的n次方根为a B.当n为奇数时,a的n次方根为x C.当n为偶数时,x的n次方根为±a D.当n为偶数时,a的n次方根为±x 微点练明 √ √ 解析：当n为奇数时,a的n次方根只有1个,为x;当n为偶数时,由于(±x)n=xn=a,所以a的n次方根有2个,为±x.所以B、D的说法是正确的,故选B、D. 2.(多选)下列说法正确的是 (　 ) A.=3 B.16的4次方根是±2 C.=±3 D.=|x+y| √ √ 解析：负数的3次方根是一个负数,=-3,故A错误;16的4次方根有两个,为±2,故B正确;=3,故C错误;是非负数,所以=|x+y|,故D正确. 逐点清(二)　根　式 02 多维理解 1.根式 式子叫作根式,其中n叫作__________,a叫作___________. 2.根式的性质(n>1,n∈N*) (1)当n为奇数时,=____. (2)当n为偶数时,=_____= (3)=___. (4)负数没有_____方根. 根指数 被开方数 a |a| 0 偶次 |微|点|助|解| 　 根式符号的注意点 (1)n>1,且n∈N*. (2)当n为大于1的奇数时,对任意的实数a都有意义,它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根,从而有()n=a. (3)当n为大于1的偶数时,只有当a≥0时才有意义;(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根,a的另一个n次方根是-,从而有(±)n=a. (4)式子对任意a∈R都有意义. 微点练明 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)()5=-2.(　 ) (2)()4=-2.(　 ) (3)()4=2.(　 ) (4)=-5.(　 ) × × √ √ (5)=b.(　 ) (6)=b2.(　 ) (7)()n总有意义.(　 ) (8) 总有意义.(　 ) √ × × √ 2.已知xy≠0,且=-2xy,则以下结论正确的是(　 ) A.xy<0 B.xy>0 C.x>0,y>0 D.x<0,y<0 √ 解析：由=|2xy|=-2xy,xy≠0知xy<0.所以x,y异号,A正确. 3.若x≠0,则|x|-的值为(　 ) A.-1 B.0 C.1 D.2 √ 解析：因为x≠0,所以|x|-=|x|-|x|+=1. 4.若,则实数a的取值范围是(　 ) A.R B.{0} C. D. √ 解析：由,可得2a-1≤0,即a≤.所以实数a的取值范围是. 逐点清(三)　根式的化简与求值 03 [典例]　化简下列各式: (1) (n>1,且n∈N*); 解：=|3-π|.当n为奇数时,=3-π;当n为偶数时, =|3-π|=π-3. (2) . 解： =|x-y|.当x≥y时,=x-y;当x<y时,=y-x. |思|维|建|模| 化简根式的注意点 (1)在根式计算中,含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0,而中a可以是任何实数. (2)对于形如(m>0,n>0)的双重根式,当满足a>b>0,a+b=m,ab=n时,有. 针对训练 求下列各式的值:(1); 解:法一:原式=+1+-1=2. 法二:令x=,两边平方得x2=6+2=8. 因为x>0,所以x=2. (2). 解: 原式=-(2-) +2-=2. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 1.已知m10=2，则m= (　 ) A. B.- C. D.± √ 解析：因为m10=2，所以m是2的10次方根.又10是偶数，所以2的10次方根有两个，且互为相反数.所以m=±. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 2.若m3=64，则=(　 ) A.±8 B.8 C.4 D.2 √ 解析：因为m3=64，所以m=4.则==2，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 3.若a<，则化简的结果是(　 ) A.4a-1 B.1-4a C.- D.- √ 解析：∵a<，∴4a-1<0.∴=|4a-1|=-(4a-1)=1-4a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 4.若m=，n=，则m+n的值为(　 ) A.-7 B.-1 C.1 D.7 √ 解析：m+n=|π-3|+|π-4|=π-3+4-π=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 5.化简等于(　 ) A.π-π-1 B.π-1-π C.π+π-1 D.0 解析：== ==|π-1-π|=π-π-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 6.当a>0时，等于(　 ) A.x B.x C.-x D.-x √ 解析：由题设得-ax3≥0，因为a>0，所以x≤0.故=-x.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 7.若+=0，a≠0，且n∈N*，n≥2，则(　 ) A.a>0，且n为偶数 B.a<0，且n为偶数 C.a>0，且n为奇数 D.a<0，且n为奇数 √ 解析：依题意，+=+a=0，即=-a，而a≠0， 且n∈N*，n≥2，若n为奇数，则=a，必有a=0，矛盾，于是得n为偶数，此时，-a=>0，即a<0.所以a<0，且n为偶数，B正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 8.已知a，b∈R，下列各式总能成立的有 (　 ) A.(-)6=a-b B.=a2+b2 C.-=a-b D.=a+b √ 解析：A显然错误;B中，∵a2+b2≥0，∴B一定成立;C和D中， ∵a，b∈R，∴=|a|，=|b|，=|a+b|.故C和D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 9.下列式子成立的是　 (　 ) A.a= B.a=- C.a=- D.a= √ 解析：要使a有意义，则a≤0，故a=-(-a)=-= -. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 10.镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验.某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为.则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为(　 ) A.甲同学和乙同学 B.丙同学和乙同学 C.乙同学和甲同学 D.丙同学和甲同学 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 解析：()10=52=25，()10=25=32.∵25<32，∴<.又∵= 32=9，=23=8，∴>.∴<<.又∵镜片折射率越高，镜片越薄，∴甲同学制作的镜片最厚，乙同学制作的镜片最薄. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 11.若-=m，则的结果是(　 ) A.m2+2 B.m2-2 C.+2 D.-2 解析：因为m2==y+-2，所以=+y=m2+2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 12.(5分)等式=(5-x)成立的x取值范围是________.  [-5，5] 解析：要使==|x-5|= (5-x)成立， 则所以-5≤x≤5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 13.(5分)化简：+=___.  6 解析：+=+=3++ 3-=6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 14.(10分)已知x=，y=，求-的值. 解：-=-=.将x=，y=代入上式， 得原式===-24=-8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 15.(10分)设f(x)=，若0<a≤1，求f. 解：f====， 因为0<a≤1，所以a≤，故f=-a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 16.(10分)求证：=±(其中A>0，B>0，A2-B>0). 证明：设+=x，x>0，两边平方， 得x2=++ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 2=A+. 由x>0，得x=， 所以 +=. 同理可得-=.由此得证. 本课结束 $$