3.2.1 基本不等式的证明（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦基本不等式\(\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}(a,b \geq 0)\)，涵盖概念、推论及比较大小、证明、求最值等应用。课前通过基础训练落实预习，课堂以梯度题型为支架，结合例题解析、思维建模和针对训练，构建从基础到应用的知识脉络。 其亮点是采用梯度进阶式教学，通过思维建模总结方法培养数学思维，如例3条件代换证明不等式，引导学生用数学眼光抽象关系。规范的证明过程提升数学语言表达，学生能系统构建知识体系，教师可依托结构化内容高效实施教学。

3.2 基本不等式≤(a，b≥0) 3.2.1 基本不等式的证明 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.掌握基本不等式≤ (a,b≥0),掌握基本不等式的变形及应用. 2.能熟练运用基本不等式来比较两个代数式的大小及证明不等式. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 1.算术平均数、几何平均数 对于正数a,b,我们把称为a,b的_______________,称为a,b的____________. 算术平均数 几何平均数 2.基本不等式 如果a,b是正数,那么 ≤______(当且仅当______时,等号成立). 我们把不等式______________(a,b≥0)称为基本不等式. a=b 3.两个重要推论 当a,b∈R时, (1)ab≤(当且仅当a=b时,等号成立); (2)ab≤(当且仅当a=b时,等号成立). 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a>0,b>0且a≠b,则a+b>2 .(　 ) (2)6和8的几何平均数为2.(　 ) (3)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2 均成立.(　 ) (4)若a≠0,则a+≥2 =2.(　 ) × √ × × 2.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是 (　 ) A.a=±1 B.a=1 C.a=-1 D.a=0 √ 解析：当a2+1=2a,即(a-1)2=0,即a=1时,等号成立. 3.已知a,b∈R,则a2+b2与2|ab|的大小关系是 (　 ) A.a2+b2≥2|ab| B.a2+b2=2|ab| C.a2+b2≤2|ab| D.a2+b2>2|ab| √ 4.若x>0,则函数y=x+(　 ) A.有最大值-4 B.有最小值4 C.有最大值-2 D.有最小值2 √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　利用基本不等式比较大小 [例1]　设0<a<b,则下列不等式正确的是 (　 ) A.a<b< B.a<<b C.a<<b< D.<a<<b √ 解析：法一:∵0<a<b,∴a<<b,排除A、C两项. 又-a=)>0,即>a,排除D项,故选B. 法二:取a=2,b=8,则=4,=5, 所以a<<b. 故选B. [例2]　已知m=a+(a>2),n=2-b2(b≠0),则m,n之间的大小关系是　　　.  m>n 解析：因为a>2,所以a-2>0, 又因为m=a+=(a-2)++2,所以m≥2+2=4, 当且仅当a-2=,即a=3时,等号成立. 由b≠0,得b2≠0,所以2-b2<2,n=2-b2<4,综上可知m>n. |思|维|建|模| 利用基本不等式比较大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积). (2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a,b≥0. 针对训练 1.设0<a<b,且a+b=1,在下列四个数中最大的是 (　 ) A. B.b C.2ab D.a2+b2 √ 解析：∵ab<,∴ab<,∴2ab<. ∵>0,∴,∴a2+b2>. ∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0,∴b>a2+b2,∴b最大. 2.已知a,b,c是两两不等的实数,则a2+b2+c2与ab+bc+ac的大小关系是　 　　　.  a2+b2+c2>ab+bc+ac 解析：∵a,b,c互不相等,∴a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,a2+c2>2ac. ∴2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),即a2+b2+c2>ab+bc+ac. [例3]　已知a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1. 求证:>9. 题型(二)　利用基本不等式证明不等式 证明:　∵a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1, ∴=3+ =3+>3+2+2+2=3+2+2+2=9. ∴>9. 证明:∵a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1, ∴-1=>0,-1=>0,-1=>0, ∴··=8. ∴>8. 变式拓展 本例条件不变,求证:>8. |思|维|建|模| 利用基本不等式证明不等式的两种题型及解题思路 无附加条件 观察要证不等式的结构特征,若不能直接使用基本不等式,则要结合左、右两边的结构特征,进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等,使之满足使用基本不等式的条件 有附加条件 观察已知条件与要证不等式之间的关系,条件的巧妙代换是一种较为重要的变形.另外,解题过程中要时刻注意等号能否取到 针对训练 证明:∵a>0,b>0, ∴+b≥2=2a,+a≥2=2b,∴+b++a≥2a+2b, ∴≥a+b,当且仅当a=b时,等号成立. 3.已知a>0,b>0,求证:≥a+b. 题型(三)　利用基本不等式求简单的最值问题 [例4]　已知x>0,则x-4+的最小值为(　 ) A.-2 B.0 C.1 D.2 √ 解析：∵x>0,∴x+-4≥2-4=0,当且仅当x=,即x=2时,等号成立. [例5]　已知x>2,则x+的最小值为(　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 √ 解析： ∵x>2,∴x-2>0.∴x+=(x-2)++2≥2+2=6, 当且仅当x-2=,即x=4时,等号成立. |思|维|建|模| (1)求“和”式的最小值，一般运用变形a+b≥2，这时必须确保“积”是定值(a>0，b>0). (2)求“积”式的最大值，一般运用变式ab≤，这时必须确保“和”是定值(a>0，b>0). (3)注意检验等号成立的条件是否满足，若不满足，则不可直接运用基本不等式.　 针对训练 4.(多选)下列说法正确的是 (　 ) A.x+的最小值为2 B.x2+1的最小值为1 C.x(2-x)的最大值为2 D.x2+的最小值为2-2 √ √ 解析：当x<0时,x+无最小值,故A错误;因为x2≥0,所以x2+1≥1,故B正确;x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,所以x(2-x)的最大值为1,故C错误; x2+=x2+2+-2≥2 -2=2-2,当且仅当x2+2 =,即x2=-2时,等号成立,故D正确. 5.已知a>0,b>0,且ab=9a+b,则ab的最小值为　　　　.  36 解析：因为a>0,b>0,所以ab=9a+b≥2=6,即ab≥6,解得ab≥36,当且仅当9a=b,即a=2,b=18时,等号成立. 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.(多选)下列条件可使+≥2成立的有(　 ) A.ab>0 B.ab<0 C.a>0，b>0 D.a<0，b<0 √ √ √ 解析：根据基本不等式的条件，a，b同号，则>0，>0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.下列不等式中正确的是 (　 ) A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab C.≥ D.x2+≥2 √ 解析：若a<0，则a+≥4不成立，故A错误; 若a=1，b=1，则a2+b2<4ab，故B错误;若a=4，b=16，则<， 故C错误;由基本不等式可知D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.当x>0时，x+的最小值为(　 ) A.3 B. C.2 D.3 √ 解析：x+≥2=3(当且仅当x=时等号成立). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4.设m>1，P=m+，Q=5，则P，Q的大小关系为(　 ) A.P<Q B.P=Q C.P≥Q D.P≤Q 解析：因为m>1，所以P=m+=m-1++1≥2+1=5=Q. 当且仅当m-1=，即m=3时，等号成立，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 5.设M=，N=n3++6，对于任意的n>0，M，N的大小关系为(　 ) A.M≥N B.M>N C.M≤N D.不能确定 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：M-N=-n3--6=n3+++3n-n3--6=3-6，∵n>0，∴n+≥2=2，当且仅当n=1时，等号成立，∴3-6≥0，∴M≥N. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 6.某工厂第一年产量为A，第二年产量的增长率为a，第三年产量的增长率为b，这两年产量的平均增长率为x，则 (　 ) A.x= B.x≤ C.x> D.x≥ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：∵这两年产量的平均增长率为x， ∴A(1+x)2=A(1+a)(1+b). ∴(1+x)2=(1+a)(1+b)，a>0，b>0. ∴1+x=≤=1+. ∴x≤，当且仅当1+a=1+b，即a=b时，等号成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 7.(多选)设a>0，b>0，则下列不等式一定成立的是 (　 ) A.a+b+≥2 B.≤ C.≥ D.(a+b)≥4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为a>0，b>0，所以a+b+≥2 +≥2，当且仅当a=b且2=，即a=b=时，等号成立，故A一定成立.由作差比较法，-=≥0，可知≤，故B一定成立.因为a+b≥ 2 >0， 所以≤=，当且仅当a=b时，等号成立，故C不一定成立.因为(a+b)·=2++≥4，当且仅当a=b时，等号成立，故D一定成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是_____.   x=5 解析：当x>2时，+(x-2)≥2=6，等号成立的条件是 =x-2，即(x-2)2=9，解得x=5(x=-1舍去). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知a>b>c，则与的大小关系为 _______________________.  解析：因为a>b>c，所以a-b>0，b-c>0， 所以=≥，当且仅当a-b=b-c时，等号成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)设x>0，则3-3x-的最大值是________.  3-2 解析：∵x>0，∴3x+≥2=2，当且仅当x=时， 等号成立.∴-≤-2，则3-3x-≤3-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(10分)已知a，b，c都是非负实数，试比较++ 与(a+b+c)的大小. 解：由≤，得≥(a+b). 同理得≥(b+c)，≥(a+c). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以++≥[(a+b)+(b+c)+(c+a)]= (a+b+c). 故++≥(a+b+c)，当且仅当a=b=c时，等号成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a+b+c>++ . 证明：∵a>0，b>0，c>0，∴≥≥≥.∴++≥++，即a+b+c≥++.由于a，b，c不全相等，∴等号不成立，∴a+b+c>++. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知a>b>c，你能比较出4与(a-c)的大小吗? 解：(a-c)≥4，理由如下： 因为a-c=(a-b)+(b-c)， 所以[(a-b)+(b-c)]=2++， 又a>b>c，所以a-b>0，b-c>0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以+≥2，当且仅当=， 即b-c=a-b时，等号成立. 则2++≥4. 故(a-c)≥4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明： (1)a2+b2+c2≥;(5分) 证明：由a+b+c=1，得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1， 又由基本不等式可知当a，b，c均为正数时，2ab≤a2+b2，2ac≤a2+c2，2bc≤b2+c2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 当且仅当a=b=c=时，上述不等式等号均成立，所以a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3a2+3b2+3c2，即3(a2+b2+c2)≥1， 所以a2+b2+c2≥，当且仅当a=b=c=时，等号成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)++≥1.(5分) 证明：因为a，b，c均为正数， 所以+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，当且仅当a=b=c=时， 不等式等号均成立， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则+++b+c+a≥2a+2b+2c， 即++≥a+b+c=1，当且仅当a=b=c=时，等号成立. 所以++≥1. 本课结束 $$