3.1 不等式的基本性质（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦不等式基本性质，通过课前自主预习（实数比较大小、等式与不等式性质梳理），课堂梯度进阶式教学（从性质辨析到判断命题真假、比较数式大小、证明不等式、求取值范围四类题型），构建“基础-应用-拓展”学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以“思维建模”提炼方法（如作差法四步、求范围整体代换策略），结合投资方案等实际案例，培养数学思维（推理意识、逻辑分析）与数学眼光（抽象现实问题）。题型含变式拓展（如x≤1改为x∈R），学生能系统掌握方法，教师可实施分层教学，提升教学效率。

第3章 不等式 3.1 不等式的基本性质 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解实数比较大小的基本事实，并能利用作差法比较两个数(式)的大小. 2.通过等式与不等式的差异，掌握等式和不等式的性质，能利用不等式的性质证明简单的不等式和解简单不等式.运用不等式的性质分析解决问题时，必须验证是否满足它成立的条件. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 1.实数大小比较的基本事实 它们的差a-b与0 2.等式的性质 (1)若a=b且b=c,则______; (2)若a=b,则a±c=b±c; (3)若a=b,则ac=bc; (4)若a=b,c≠0,则. a=c 3.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b____a ⇔ 2 传递性 a>b,b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a+c____b+c 可逆 < > 续表 4 可乘性 a>b,c>0⇒________ c的 符号 a>b,c<0⇒________ 5 同向可加性 a>b,c>d⇒_________ 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0⇒________ 同向 ac>bc ac<bc a+c>b+d ac>bd 4.不等式中常用结论 (1)a>b,c<d⇒a-c>b-d. (2)a+c>b⇒a>b-c. (3)a>b>0,d>c>0⇒. (4)a>b,ab>0⇒;a>b,ab<0⇒. (5)a>b,n∈N*,n>1且n为奇数⇒an>bn,. (6)a>b>0,c>0⇒. |微|点|助|解| 　 (1)要特别注意“≥”和“≤”两个符号的含义:不等式a≥b读作“a大于或等于b”,其含义是指“a>b或a=b”等价于“a不小于b”,即a>b或a=b中有一个正确,则a≥b正确;不等式a≤b读作“a小于或等于b”,其含义是指“a<b或a=b”等价于“a不大于b”,即a<b或a=b中有一个正确,则a≤b正确. (2)要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性.性质1和3是双向的,其余的在一般情况下是不可逆的.性质1把不等式两边的式子交换,所得不等式和原不等式异向. (3)性质3是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边.即a+b>c⇒a>c-b.性质3是可逆的,即a>b⇔a+c>b+c. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若>1,则a>b.(　 ) (2)a与b的差是非负实数, 可表示为a-b>0.(　 ) (3)∀x∈R,都有x2>x-1.(　 ) (4)a,b,c为实数,在等式中,若a=b,则ac=bc;在不等式中,若a>b,则ac>bc.(　 ) (5)a,b,c为实数,若ac2>bc2,则a>b.(　 ) × × √ √ × 2.某公司准备对一项目进行投资,提出两个投资方案:方案A为一次性投资300万元;方案B为第一年投资80万元,以后每年投资20万元.下列不等式表示“经过n年之后,方案B的投入不少于方案A的投入”的不等关系是 (　 ) A.80+20n≥300 B.80+20n≤300 C.80+20(n-1)≤300 D.80+20(n-1)≥300 √ 解析：经过n年后,方案B的投入为80+20(n-1) 万元,则“经过n年之后,方案B的投入不少于方案A的投入”用不等式表示为80+20(n-1)≥300. 3.已知a<0<b,则下列不等式恒成立的是 (　 ) A.a+b<0 B.<1 C.>1 D. √ 4.若x<0,则x-2与2x-2的大小关系是　　　 　.  x-2>2x-2 解析：因为x-2-(2x-2)=-x>0, 所以x-2>2x-2. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　利用不等式的性质判断命题真假 [例1]　对于实数a,b,c,下列命题中的真命题是 (　 ) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b>0,则 C.若a<b<0,则 D.若a>b,,则a>0,b<0 √ 解析：法一:∵c2≥0,∴c=0时,有ac2=bc2,故A为假命题;由a>b>0,有ab>0⇒⇒,故B为假命题; ⇒,故C为假命题; ⇒ab<0. ∵a>b,∴a>0且b<0,故D为真命题. 法二:特殊值排除法.取c=0,则ac2=bc2,故A为假命题;取a=2,b=1,则=1.有,故B为假命题;取a=-2,b=-1,则=2,有,故C为假命题. |思|维|建|模| 利用不等式的性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时,要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能想当然随意捏造性质. (2)解有关不等式的选择题时,也可采用特殊值法进行排除,注意取值一定要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算. 针对训练 1.(多选)下列四个结论正确的是 (　 ) A.a>b,c<d⇒a-c>b-d B.a>b>0,c<d<0⇒ac>bd C.a>b>0⇒a3>b3 D.a>b>0⇒ √ √ 解析：利用不等式的同向可加性可知A正确;根据不等式的性质可知ac<bd,故B不正确;根据不等式性质7可知C正确;由a>b>0可知a2>b2>0,所以,所以D不正确. 2.已知a+b<0,且a>0,则 (　 ) A.a2<-ab<b2 B.b2<-ab<a2 C.a2<b2<-ab D.-ab<b2<a2 √ 解析：由a+b<0,且a>0可得b<0,且a<-b.因为a2-(-ab)=a(a+b)<0,所以0<a2<-ab,又0<a<-b,所以0<-ab<(-b)2,所以0<a2<-ab<b2,选A. 题型(二)　比较数式的大小 [例2]　已知x≤1,比较3x3与3x2-x+1的大小. 解：3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1) =3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1). ∵x≤1,∴x-1≤0.而3x2+1>0, ∴(3x2+1)(x-1)≤0,∴3x3≤3x2-x+1. 变式拓展 解：3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).∵3x2+1>0, 当x>1时,x-1>0,∴3x3>3x2-x+1; 当x=1时,x-1=0,∴3x3=3x2-x+1; 当x<1时,x-1<0,∴3x3<3x2-x+1. 把本例中“x≤1”改为“x∈R”,再比较3x3与3x2-x+1的大小. |思|维|建|模| 用作差法比较两个数(式)大小的步骤 作差法是比较两个数(式)大小的基本方法,一般步骤:①作差;②变形.变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;③定号,即确定差的符号;④下结论,写出两个数(式)的大小关系. 3.设a>0,>1,比较与的大小. 针对训练 解:∵a>0,>1>0,∴b>0,ab>0.∴>1.∴a-b>ab,a-b-ab>0, a(1-b)>b>0. ∴1-b>0.∵1+a->0, ∴1+a>>0.∴. 题型(三)　利用不等式的性质证明不等式 [例3]　设a>b>c,求证:>0. 证明：因为a>b>c,所以-c>-b.所以a-c>a-b>0,所以>0. 所以>0.又b-c>0,所以>0.所以>0. |思|维|建|模| 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及实数大小关系的基本事实可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则. 针对训练 4.已知a>b>0,c<d<0,m<0,求证: (1); 证明:因为a>b>0,-c>-d>0,所以a-c>b-d>0,所以. (2). 证明:由(1)得,又m<0,所以. 解：令5a+b=λ(2a+b)+μ(a-b)=(2λ+μ)a+(λ-μ)b. ∴解得∴5a+b=2(2a+b)+(a-b). ∵-1<2a+b<2,∴-2<2(2a+b)<4. 又3<a-b<4,∴1<2(2a+b)+(a-b)<8.故5a+b的取值范围是(1,8). 题型(四)　利用不等式的性质求取值范围 [例4]　已知-1<2a+b<2,3<a-b<4,求5a+b的取值范围. |思|维|建|模| 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围. (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围. [提醒]　求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围,再去求其他不等式的范围. 解:∵1<a<4,2<b<8,∴2<2a<8,6<3b<24,∴8<2a+3b<32. ∵2<b<8,∴-8<-b<-2. 又1<a<4,∴1+(-8)<a+(-b)<4+(-2),即-7<a-b<2. ∴2a+3b的取值范围是(8,32),a-b的取值范围是(-7,2). 针对训练 5.已知1<a<4,2<b<8,试求2a+3b与a-b的取值范围. 解:∵2<b<3,∴. ①当0≤a<8时,0≤<4; ②当-6<a<0时,-3<<0. 由①②得-3<<4,即的取值范围是(-3,4). 6.已知-6<a<8,2<b<3,求的取值范围. 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.设a，b∈R，若a+|b|<0，则下列不等式正确的是 (　 ) A.a-b>0 B.a3+b3>0 C.a2-b2<0 D.a+b<0 √ 解析：本题可采用特殊值法，取a=-2，b=1，则a-b<0，a3+b3<0， a2-b2>0，a+b=-1<0.故A、B、C错误，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知实数0<a<1，则以下不等关系正确的是 (　 ) A.a2>>a>-a B.a>a2>>-a C.>a>a2>-a D.>a2>a>-a √ 解析：∵0<a<1，∴0<a2<1，>1，-1<-a<0，0<a2<a.因此，>a>a2>-a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.若实数α，β满足-<α<β<-，则α-β的取值范围是(　 ) A. B. C. D. √ 解析：∵-<α<β<-，∴-<α<-<-β<，α-β<0，∴-<α-β<0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.已知x>y>z，x+y+z=0，则下列不等式一定成立的是 (　 ) A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y| 解析：因为x>y>z，x+y+z=0，所以3x>x+y+z=0，3z<x+y+z=0，所以x>0，z<0.所以由可得xy>xz. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a+b=c+d，a+d>b+c，a+c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是 (　 ) A.d>b>a>c B.b>c>d>a C.d>b>c>a D.c>a>d>b 解析：∵a+b=c+d，a+d>b+c，∴a+d+(a+b)>b+c+(c+d)，即a>c. ∴b<d.又a+c<b，∴a<b.综上可得，d>b>a>c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6.已知a>b>c>0，则 (　 ) A.2a<b+c B.a(b-c)>b(a-c) C.> D.(a-c)3>(b-c)3 解析：对于A，因为a>b>c>0，所以a+a>b+a>b+c，即2a>b+c，故错误;对于B，取a=3>b=2>c=1>0，则a(b-c)=3<b(a-c)=4，故错误;对于C，由a>b>c>0，得a-c>b-c>0，所以<，故错误;对于D，由a>b>c>0，得a-c>b-c>0，所以(a-c)3>(b-c)3，故正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7.(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是 (　 ) A.若a>b，c>d则a-d>b-c B.若a>b，c>d则ac>bd C.若a>b，c>d>0，则> D.若ab>0，bc-ad>0，则> √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：若c>d，则-d>-c，又a>b，则a-d>b-c，A选项正确;若a=2，b=1，c=-1，d=-2，满足a>b，c>d，但ac=bd=-2，ac>bd不成立，B选项错误;若a=-1，b=-2，c=2，d=1，满足a>b，c>d>0，但==-1，>不成立，C选项错误;bc-ad>0，则bc>ad，又ab>0，∴>，即>，D选项正确.故选A、D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 8.(多选)若0<a<b，则下列结论正确的是 (　 ) A.a3>ab2 B.a+<b+ C.a+2b>4 D.< √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为0<a<b，所以a2<b2，所以a(a2-b2)<0，即a3<ab2，A错误;因为0<a<b，所以<，所以a+<b+，B正确;取a=1，b=2，则a+2b =5，4=4>5，即a+2b<4，C错误;因为0<a<b，所以- ==<0，即<，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)已知a<b<0，c>0，请用恰当的不等号或等号填空：(a-2)c____ (b-2)c.  解析：因为a<b<0，c>0，则a-2<b-2，由不等式的基本性质可得(a-2)c <(b-2)c. < 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为 　　 　.  解析：只要保证a为正b为负即可满足要求.当a>0>b时，>0>. 1，-1(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知1<α<3，-4<β<2，若z=α-β，则z的取值范围是 _______________.  解析：∵1<α<3，∴<α<，又-4<β<2，∴-2<-β<4. ∴-<α-β<，即-<z<. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)若a，b同时满足下列两个条件：①a+b>ab;②>. 请写出一组a，b的值______________________.  a=-1，b=2(答案不唯一) 解析：容易发现，若将①式转化为②式，需使(a+b)ab<0，即a+b与ab异号，显然应使a+b>0，ab<0.当a<0，b>0时，需使a+b>0，则|a|<|b|，可取a=-1，b=2;当a>0，b<0时，需使a+b>0，则|a|>|b|，可取a=2，b=-1.综上，取任意异号两数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)已知a>b>0，c<d<0，求证：<. 证明：--=. ∵c<d<0，∴-c>-d>0. 又∵a>b>0，∴-ac>-bd>0， 即-ac-(-bd)>0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 又cd>0，∴>0，∴-->0， ∴->->0，∴>， 即->-，∴<. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：令解得∴9a-c=y-x.∵-4≤x≤-1，∴≤-x≤　①.∵-1≤y≤5，∴-≤y≤　②.①+②，得-1≤y-x ≤20，∴-1≤9a-c≤20，即9a-c的取值范围是[-1，20]. 14.(10分)已知-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5，求9a-c的取值范围. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 证明：a，b，c为三角形的三边长，而2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)=a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2，显然(a-b)2≥0，(b-c)2 ≥0，(a-c)2≥0，即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0，当且仅当a=b=c时取等号，因此2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)，所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 15.(10分)已知a，b，c为三角形的三边长，求证： (1)a2+b2+c2≥ab+bc+ca;(5分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)(a+b+c)2<4ab+4bc+4ca.(5分) 证明：a，b，c为三角形的三边长，则0<a<b+c，0<b<c+a，0<c<a+b，于是得a2+b2+c2<a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=2(ab+bc+ca)，所以(a+b+c)2= (a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)<4ab+4bc+4ca. 本课结束 $$