1.1 第2课时 集合的表示方法（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦集合的表示方法，系统讲解列举法、描述法的定义与应用，结合集合相等判定、有限集无限集及空集概念，通过“逐点清”模块构建从概念到综合应用的学习支架，衔接集合基本概念与后续方程问题。 其亮点在于以数学抽象为核心，通过“多维理解+微点助解+微点练明”深化概念辨析，如列举法元素互异性训练、描述法代表元素区分。结合集合与方程综合题分层变式，培养逻辑推理与数学语言表达能力，助力学生掌握集合语言转换，教师可直接依托模块实施高效教学。

集合的表示方法 (教学方式:基本概念课—逐点理清式教学) 第2课时 课时目标 1.掌握集合的表示方法——列举法和描述法,培养数学抽象核心素养. 2.能利用集合的表示法表示一些简单的集合并能进行自然语言与集合语言间的相互转换. 3.会用集合中元素的共同特征描述一些集合,如数集、解集和一些基本图形构成的集合. 4.了解有限集与无限集.在具体情境中,了解空集的含义. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　列举法 逐点清(二)　描述法 逐点清(三)　集合相等及集合的分类 课时检测 4 逐点清(四)　集合与方程的综合问题 5 逐点清(一)　列举法 01 多维理解 列举法的定义及一般形式 定义 将集合的元素__________出来,并置于花括号“_______”内,这种表示集合的方法叫列举法.用这种方法表示集合,元素之间要用______分隔,但列举时与元素的______无关  一般形式 {a1,a2,…,an} 一一列举 {　} 逗号 次序 |微|点|助|解| 　 (1)a与{a}是完全不同的,{a}表示一个集合,这个集合由元素a构成,a是集合{a}的一个元素. (2)列举法表示集合的注意点: ①元素间用分隔号“,”;②元素不重复;③元素无顺序;④元素不能遗漏. 1.(多选)下列命题正确的是 (　 ) A.0与{0}表示同一个集合 B.由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1} C.方程(x-1)2(x-2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2} D.绝对值小于3的整数组成的集合可以用列举法表示 微点练明 √ √ 解析:由于“0”是元素,而“{0}”表示含0元素的集合,所以A错误;根据集合中元素的无序性,知B正确;根据集合元素的互异性,知C错误;由于该集合中的元素可以一一列举出来,所以可以用列举法表示,所以D正确. 2.用列举法表示下列集合: (1)不大于10的非负偶数组成的集合; 解:因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}. (2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合; 解:方程x2=2x的解是x=0或x=2,所以方程的解组成的集合为{0,2}. (3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合; 解:将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}. (4)由所有正整数构成的集合. 解:正整数有1,2,3,…,故所求集合为{1,2,3,…}. 逐点清(二)　描述法 02 多维理解 定义 将集合的所有元素都________________________表示出来 一般形式 {x|p(x)},其中x为集合的代表元素,p(x)指元素x具有的性质 具有的性质(满足的条件) 描述法的定义及一般形式 |微|点|助|解| 　 1.描述法表示集合的注意点 (1)描述法表示集合要关注竖线“|”左边元素的形式,是数,是点或有序实数组大不相同. (2)所有描述内容都要写在花括号内,如写法{x|x=2k-1},k∈Z,不符合要求,应写为{x|x=2k-1,k∈Z}. 2.两步认识描述法表示的集合 (1)一看代表元素: 例如{x|p(x)}表示数集,{(x,y)|y=p(x)}表示点集. (2)二看条件: 即看代表元素满足什么条件(公共特征). 微点练明 √ 1.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是 (　 ) A.{x|-3<x<11,x∈Z} B.{x|-3<x<11} C.{x|-3<x<11,x=2k} D.{x|-3<x<11,x=2k,k∈Z} 2.用描述法表示下列集合: (1)函数y=-2x2+x图象上的所有点组成的集合; 解:函数y=-2x2+x的图象上的所有点组成的集合可表示为 {(x,y)|y=-2x2+x}. (2)不等式2x-3<5的解组成的集合; 解:不等式2x-3<5的解组成的集合可表示为{x|2x-3<5},即{x|x<4}. (3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合; 解:题图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为.  (4)3和4的所有正的公倍数构成的集合. 解: 3和4的最小公倍数是12,因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x=12n,n∈N*}. 逐点清(三) 集合相等及集合的分类 03 1.集合相等 如果两个集合所含的元素__________ (即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素),那么称这两个集合______. 多维理解 完全相同 相等 |微|点|助|解| 　 由集合相等求参数的策略 (1)从集合相等的概念入手,寻找元素之间的关系. (2)若集合中的未知元素不止一个,需进行分类讨论. (3)注意利用集合中元素的互异性对得到的结果进行取舍. 2.集合的分类 有限集 含有_______元素的集合 无限集 含有_______元素的集合 空集 _______________的集合,记作___ 有限个 无限个 不含任何元素 ∅ |微|点|助|解| 　 辨析0,{0},∅,{∅}之间的关系 (1) ∅不含有任何元素,所以0不是它的元素. (2)数0不是集合,而{0}表示只含有一个元素0的集合,所以0∈{0}. (3){∅}并不是空集,而是把空集作为一个元素的集合,也就是说{∅}中有一个元素,这个元素就是∅,即∅∈{∅}. 1.下列四个集合中,是空集的是 (　 ) A.{x|x+3=3} B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R} C.{x|x2≤0} D.{x|x2-x+1=0,x∈R} 微点练明 √ 解析: A选项集合为{0},B选项集合为{(0,0)},C选项集合为{0},而D选项方程无解,是空集. 2.下列给出的对象能构成集合并且为无限集的是 (　 ) A.所有很大的实数组成的集合 B.满足不等式 <2的所有整数解组成的集合 C.所有大于-4的偶数组成的集合 D.所有到x,y轴距离均为1的点组成的集合 √ 解析: “很大的实数”的标准不确定,故不能组成集合,故A错误;满足不等式<2的所有整数解为有限集{-1,0,1,2},故B错误;所有大于-4的偶数组成的集合为{a|a=2n,n>-2,n∈Z},为无限集,故C正确;所有到x,y轴距离均为1的点组成的集合中只有4个元素,故D错误. 3.已知集合A={a,b,1},B={-1,2,a2},若A=B,则ab的值为 (　 ) A.1 B. C.-1 D.1或 √ 解析: 因为A=B,所以对于集合B有a2=1,即a=1或a=-1.若a=-1,则b=2,此时A=B={-1,2,1},符合题意,ab=(-1)2=1.若a=1,则集合A不满足互异性,不符合.所以ab的值为1. 4.已知集合Q={x|k+1≤x≤2k-1}=∅,则实数k的取值范围是_______. {k|k<2} 解析: ∵Q={x|k+1≤x≤2k-1}= ∅,∴k+1>2k-1,解得k<2. 5.设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,则2x+y=____.  2 解析: 由集合元素的互异性可知x2≠0,则x≠0,因为A=B, 所以解得 因此2x+y=2. 逐点清(四)　集合与方程的综合问题 04 [典例]　已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0,a∈R}.若A中只有一个元素,求a的值. [解]　当a=0时,原方程变为2x+1=0,即x=-,符合题意; 当a≠0时,由Δ=0,得a=1,此时x=-1. 所以若A中只有一个元素,则a的值为0或1. 变式拓展 1.将本例中“只有一个”改为“有两个”,则a的取值情况是什么. 解: 若A中有两个元素,即关于x的方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根,所以a≠0且Δ=4-4a>0,即a<1且a≠0,故a的取值范围为{a|a<1且a≠0}. 2.若将本例中“只有”改为“至多有”,求a的取值范围. 解: 当a≠0时,若A中至多含有一个元素, 则方程ax2+2x+1=0有两个相等的实根或没有实根. 由Δ=4-4a≤0,得a≥1. 当a=0时,由例题知方程有唯一解. 所以若A中至多有一个元素,a的取值范围为{a|a≥1或a=0}. 3.把本例中“只有”改为“至少有”,求a的取值范围. 解: A中至少有一个元素,即A中有一个或两个元素.当a≠0时,由Δ≥0,得a≤1且a≠0;当a=0时,由例题解析可知方程有唯一解.综上,a≤1.故a的取值范围为{a|a≤1}. 　|思|维|建|模| 判断形如ax2+bx+c=0的方程的实根个数的方法 (1)当a=0时,原方程可化为bx+c=0的形式,再根据b的取值讨论方程实根的个数. ①若b≠0,则方程有一个实根,为x=-; ②若b=0,c=0,则任意一个实数均为方程的实根; ③若b=0,c≠0,则方程无实根. (2)当a≠0时,则需根据Δ的符号确定方程实根的个数. ①若Δ=b2-4ac>0,则方程有两个不等实根; ②若Δ=b2-4ac=0,则方程有两个相等实根; ③若Δ=b2-4ac<0,则方程没有实根. 针对训练 已知集合A={x|ax2-3x+2=0,x∈R,a∈R}. (1)若A是空集,求a的取值范围; 解: ∵A是空集,∴a≠0且Δ<0.∴9-8a<0,解得a>. ∴a的取值范围为. (2)若A中只有一个元素,求a的值,并求集合A; 解: 当a=0时,集合A={x|-3x+2=0}=.当a≠0时, Δ=0,∴9-8a=0,解得a=.此时集合A=.综上所述,a的值为0或.当a=0时,集合A=,当a=时,集合A=. (3)若A中至多有一个元素,求a的取值范围. 解: 由(1),(2)可知,当A中至多有一个元素时,a≥或a=0,∴a的取值范围为. 课时检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 16 1.设M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合M等于 (　 ) A.{长江，黄河} B.{长江，黑龙江} C.{长江，珠江} D.{长江，黄河，黑龙江，珠江} √ 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 16 2.在数轴上与原点的距离不大于3的点表示的数的集合是 (　 ) A.{x|x≤-3或x≥3} B.{x|-3≤x≤3} C.{x|x≤-3} D.{x|x≥3} √ 13 解析：由题意满足|x|≤3的集合为{x|-3≤x≤3}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 3 4 2 16 3.已知集合A={1，2，3，4}，集合B={y|y=3x-2，x∈A}，则下列表示正确的是　 (　 ) A.B={3，6，9，12} B.B={1，2，3，4} C.B={1，4，7，10} D.B={-2，1，4，7} √ 13 解析：x∈A表示x的取值有1，2，3，4，对应的y值分别为1，4，7，10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 3 4 2 √ 16 4.(多选)下列四个集合中，是空集的是 (　 ) A.{x|x2+1=0} B.{x|x2+5x+6=0，x∈N} C.{x|a≤x<a} D.{(x，y)|y=，x≤0} √ √ 13 解析：易知x2+1≥1≠0，故A是空集;由x2+5x+6=0，得x=-2或x=-3，都不是自然数，故B是空集;易知C是空集;D中集合由满足条件的y=，x≤0上的点组成，故D不是空集. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 3 4 2 √ 16 5.(多选)已知集合A={y|y=x2+1}，集合B={(x，y)|y=x2+1}，下列关系正确的是 (　 ) A.(1，2)∈B B.A=B C.0∉A D.(0，0)∉B √ √ 13 解析：由已知得集合A={y|y≥1}，集合B是由抛物线y=x2+1上的点组成的集合，A、C、D正确，B错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 3 4 2 16 6.(多选)下列选项中，满足M=N的是 (　 ) A.M={(-5，3)}，N={-5，3} B.M={-5，3}，N={3，-5} C.M=∅，N={x|x2+1=0} D.M={x|(x+5)(x-3)≥0}，N= √ √ 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 3 4 2 16 解析：对于A，M={(-5，3)}表示点集，N={-5，3}表示数集，则M≠N，故A不正确;对于B，M={-5，3}，N={3，-5}，则M=N，故B正确;对于C，M=∅，N={x|x2+1=0}=∅，故C正确;对于D，M={x|(x+5)(x-3)≥0}= {x|x≤-5或x≥3}，N=={x|x≤-5或x>3}，则M≠N，故D不正确. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 3 4 2 √ 16 7.已知集合A={12，a2+4a，a-2}，-3∈A，则a= (　 ) A.-1 B.-3或1 C.3 D.-3 13 解析：∵-3∈A，∴-3=a2+4a或-3=a-2.若-3=a2+4a，解得a=-1或a=-3.当a=-1时，a2+4a=a-2=-3，不满足集合中元素的互异性，故舍去;当a=-3时，集合A={12，-3，-5}，满足题意，故a=-3成立.若-3=a-2，解得a=-1，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去.综上所述，a=-3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 3 4 2 √ 16 8.已知集合A={x|x2+px+q=x}，B={x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+3}，当A={2}时，集合B= (　 ) A.{1} B.{1，2} C.{2，5} D.{1，5} 13 解析：由A={x|x2+px+q=x}={2}知，22+2p+q=2，且Δ=(p-1)2-4q=0，得p=-3，q=4.则(x-1)2+p(x-1)+q=x+3可化为(x-1)2-3(x-1)+4=x+3，即(x-1)2 -4(x-1)=0，解得x=1或x=5.所以集合B={1，5}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 3 4 2 16 √ √ 9.(多选)已知集合A={x|x=2m-1，m∈Z}，B={x|x=2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是 (　 ) A.x1·x2∈A B.x2·x3∈B C.x1+x2∈B D.x1+x2+x3∈A √ 13 解析：∵集合A表示奇数集，B表示偶数集，∴x1，x2是奇数，x3是偶数.故A、B、C正确，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 3 4 2 16 10.(5分)已知集合A=，写出一个满足A中有8个元素的m的值：　　 .  6(答案不唯一) 13 解析：m的值可以是6，满足|m|≤9.因为∈Z，所以x=1，-1，2，-2，3，-3，6，-6.所以集合A中有8个元素. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 3 4 2 16 11.(5分)若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A={-1，1，2}　　 (填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集为　 　　.  不是 (答案不唯一) 13 解析：由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集.若一个元素a∈A，则∈A.若集合中有三个元素，故必有一个元素a=，即a=±1，故可取的集合有等. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 3 4 2 16 12.(5分)若集合A={x|kx2+4x+4=0}中有2个元素，则实数k的取值范围为_____________.  {k|k<1且k≠0} 13 解析：若集合A中有2个元素，则方程kx2+4x+4=0有两个不同的根，即 ∴k<1且k≠0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 13.(5分)含有三个实数的集合可表示为，也可以表示为{a2，a+b，0}，则a2 013+a2 014的值为　　　　.  0 解析：因为={a2，a+b，0}，且a≠0，所以b=0，则有{a，0，1} ={a2，a，0}，所以a2=1，且a≠1，得a=-1，所以a2 013+a2 014=(-1)2 013+ (-1)2 014=-1+1=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 3 4 2 16 14.(5分)已知U={a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A;②若a3∉A，则a2∉A;③若a3∈A，则a4∉A.则集合A=　　　　.  13 {a2，a3} 解析：假设a1∈A，则a2∈A.若a3∉A，则a2∉A，∴a3∈A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a1∉A.假设a4∈A，则a3∉A，且a2∉A，则a1∉A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a4∉A.故集合A={a2，a3}，经检验知符合题意. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 3 4 2 16 15.(10分)用适当的方法表示下列集合. (1)不大于10的非负奇数集;(2分) 13 解：由不大于10，即小于或等于10，非负是大于或等于0，所以不大于10的非负奇数集，用列举法可表示为{1，3，5，7，9}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 3 4 2 16 (2)A=;(3分) 13 解：由集合A=， 可得1≤4-x≤6，解得-2≤x≤3且x∈Z， 当x=-2时，可得=1∈N，满足题意; 当x=-1时，可得=∉N，不满足题意; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 3 4 2 16 当x=0时，可得=∉N，不满足题意; 当x=1时，可得=2∈N，满足题意; 当x=2时，可得=3∈N，满足题意; 当x=3时，可得=6∈N，满足题意， 所以集合A=可表示为{-2，1，2，3}. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 3 4 2 16 (3)A={x|x=|x|，x∈Z且x<5};(2分) 13 解：由集合A={x|x=|x|，x∈Z且x<5}，则满足x≥0且x∈Z且x<5， 所以x=0，1，2，3，4， 所以集合A可表示为{0，1，2，3，4}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 3 4 2 16 (4)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合.(3分) 13 解：由平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|， 所以与坐标轴的距离相等的点组成的集合可表示为{(x，y)||x|=|y|}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 3 4 2 16 16.(10分)对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n，当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn，在此定义下，求集合M={(a，b)|a※b=12，a∈N*，b∈N*}中的元素有多少个? 13 解：当a，b同奇偶时，根据m※n=m+n将12分拆为两个同奇偶数的和，当a，b一奇一偶时，根据m※n=mn将12分拆为一个奇数与一个偶数的积，再算其组数即可. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 3 4 2 16 若a，b同奇偶，有12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6，前面的每种可以交换位置，最后一种只有1个点(6，6)，这时有2×5+1=11(个); 若a，b一奇一偶，有12=1×12=3×4，每种可以交换位置，这时有2×2=4(个). 所以共有11+4=15(个). 13 本课结束 $$