1.1 集合的概念与表示-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（苏教版）

1.1集合的 白题基础过关 题组1集合的概念与元素的特征 1.★多选(2026·江苏镇江中学高一月考) 考察下列每组对象，能构成集合的是() A.中国各地的美丽乡村 B.平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C.不小于3的自然数 D.方程√x+1+√x-1=5的根 2.*(2026·江苏常州高一月考)若x1,x2,x3, x4为集合A的4个元素，则以x1,x2,x3,x4为 边长的四边形可能是 () A.等腰梯形 B.直角梯形 C.菱形 D.矩形 3.*多选(2026·江苏苏州高一月考)由实 数x,-x,1xl,√x,-所组成的集合的元 素个数可以是 A.0 B.1 C.2 D.3 4.*(2025·江苏无锡高一月考)已知集合M 中含有2个元素x+1,x2-2x-3,写出一个满 足条件的x= 题组2元素与集合的关系 5.*(2026·江苏淮安高一月考)下列关系 中，正确的是 () 3 A.-2∈N 2∈2 B C.πQ D.5gN 6.·若不等式3-2x<0的解集为M,则下列结 论正确的是 A.0∈M,2∈M B.0EM,2∈M C.0∈M,2M D.0哇M,2M 集合 第1章 概念与表示 限时30min 7.*用符号“∈”或“”填空， (1)设集合D是由满足y=x2的有序实数对 (x,y)组成的，则-1 D,(-1,1) D; (2)设集合M是由可表示为a+√2b(a∈Z, b∈Z)的实数构成，则0 1 M,于 2-1 1 M,- M. 3-√2 题组3集合的表示方法 8.(2026·江西南昌高一期中)集合{x∈NI 2x+5≤11}用列举法表示为 () A.{0,1,2,3} B.{1,2,3} C.{0,1,2,3,4} D.{1,2,3,4} 9.*(2026·北京人大附中高一月考)以下集 合表示“函数y=x2-1的图象”，正确的是 () A.{y=x2-1} B.yly=x2-1 C.{(x,y)ly=x2-1 D.yly=-1} 10.*(2026·湖南邵阳高一期中)设集合A= {1,9},B={xx2∈A},则B中的元素个数 为 () A.2 B.3 C.4 D.5 11.*★多选(2026·江苏南京高一月考)下列 说法中不正确的是 () A.0与{0}表示同一个集合 B.{1,2,3}与{3,2,1}是两个相同的集合 C.方程(x-1)2(x-2)=0的所有解组成的 集合可表示为{1,1,2} D.{x|4<x<5}可以用列举法表示 学霸黑白题数学·必修第一册·SJ 12.*将集合“奇数的全体”用描述法表示为： ①{xlx=2n-1,n∈N*};②{xlx=2n+1, n∈Z;③{xlx=2n-1,n∈Z};④{xlx=2n+1, n∈R};⑤{xlx=2n+5,n∈Z. 其中正确的是 .(填序号)》 13.*(2025·湖南长沙高一期中)(1)已知 来合A={eN7=号e2,试用列 举法表示集合A; (2)已知集合B={yezy=12 xt3x∈N}, 试用列举法表示集合B. 题组4集合相等 14.*(2026·湖南岳阳高一月考)下列不是 同一集合的是 () A.A={xlx=2n,n∈N且0<n<5},B={2,4, 6,8} B.A=xlx>1,B=yly>1 C.A=xly=x+1,B=(x,y)ly=x+1 D.A={x|x>0,x∈N},B={xx>0,x∈Z} 2 15.*易错题(2026·江苏南京高一期中)已 知集合A={0,1,a2},B={1,0,2a+3},若A= B,则实数a等于 题组5集合的分类 16.下列四个集合中，是空集的是（) A.{x|x+3=3} B.(x,y)ly2=-x2,x,yER} C.{xlx2≤0 D.xlx2-x+1=0,xER 17.*多选下列集合是无限集的是（) A.{x|x是能被3整除的数} B.{x∈RI0<x<2} C.{(x,y)I2x+y=5,x∈N,y∈N} D.{x|x是面积为1的菱形} 视 重难聚焦山 讲解 重难点根据元素与集合的关系求参数 18.*(2026·四川宜宾高一月考)若x∈ {1,x2},则x的值为 () A.-1 B.0 C.1 D.0或1 19.**（2026·湖南长沙高一月考)已知集 合A={x|3ax-2≤0}，若1∈A且2EA, 则 1 2 A.3<a<3 B.a<0 1 2 C.3a≤3 D.73 20.*（2026·江西九江高一月考)集合 A={x1<x<k,x∈N},若集合A中恰有 5个元素，则 ( A.6<k<7 B.6≤k<7 C.6<k≤7 D.6≤k≤7 21.**(2025·江苏淮安高一期中)若集合 A={x|x2+3x+a=0}为空集，则实数a的 取值范围是 黑题能力提升 1.*★多选(2026·四川遂宁高一月考)下列 四个命题中不正确的是 () A.集合{x∈NIx3=x}用列举法表示为{0,1} B.若A={x∈Z1-1≤x≤1}，则-0.5∈A C.方程组 x+y=0, 的解组成的集合为{x= (x-y=-1, 》 D.集合{yly=x2}与{(x,y)1y=x2}是同一个 集合 2.*(2026·安徽池州高一期中)若集合M= {(x-y,x+y)ly=3x},则 () A.(-1,-2)∈M B.（1,2)∈M C.(-2,-4)∈M D.(-2,4)∈M 3.*(2026·吉林东北师大附中高一月考)已 知集合{1,2，m,4}中的最大元素等于该集合 的所有元素之和，则实数m= A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 4.禁(2026·山东济宁高一月考)已知实数集 A满足条件：若aGA,则2cA,则案合A中 所有元素的乘积为 A.1 B.-1 C.±1 D.与a的取值有关 5.*(2026·江苏盐城高一月考)已知a∈R, bER,若集合{a,名，1=，a+b,0,则 a a2025+b2026的值为 6.整(2026·江苏淮安高一月考)设a1,a2, a3,a4是4个有理数，使得{a:0;I1≤ij≤4}= {-18,-3,-1,626,则aaa, 第1章集合黑白题学霸 限时30min|答案P3 7.禁苏教教材变式已知A={x|x=3k,k∈Z}, B={xlx=3k+1,k∈Z}. (1)判断3,5是否在集合A中，并说明理由； (2)判断6m-2(m∈Z)是否属于集合B,并说 明理由； (3)若a∈A,b∈B,判断a+b是否属于集合 B,并说明理由. 压轴挑战- 讲解 8.禁(2026·江苏苏州高一月考)设a,b,c 为实数，集合S={x|(x+a)(x2+bx+c)=0, x∈R. (1)若a=1,b=3,c=2,求S; (2)若S={-2},求a,b,c满足的条件； (3)设T={x1(ax+1)(cx2+bx+1)=0,x∈ R,2∈S,-2eT,且集合S,T均恰有 两个元素，求三元数组(a,b,c). 3参考 第1章 1.1集合的概念与表示 白题 基础过关 1.BCD解析：对于A,美丽乡村不具有确定性，故A错误； 对于B,平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点是确定的，故B 正确； 对于C,不小于3的自然数，是确定的，故C正确： 对于D,解方程√x+1+√x-1=5,平方可得2x+2√2-1=25，移项 平方可得100x=629,即x=6.29,元素确定，故D正确. 2.B解析：根据集合中元素的互异性，以x1,x2,x3,x4为边长的四边 形，四条边均不相等，选项中只有直角梯形可能满足要求 3.BC解析：当x=0时，根据集合的互异性，可知集合的元素为0， 集合的元素个数为1； 当>0时，：1x=x,√？=x,-元=-x,.集合中的元素有x,-x, .∴.集合中的元素个数为2； 当x<0时，1xl=-x,V=-x,无=-x,.集合中的元素有x, -x,集合中的元素个数为2. 综上可知集合的元素个数为1或2 4.1(答案不唯一)解析：由集合中元素的互异性可知x+1≠x2-2x 3,解得x≠-1且x≠4，故x=1时，x+1=2,x2-2x-3=-4满足题意 5.C解析：对于A,-2是负整数，则-2N,A错误； 对于B,弓是分数，则弓Z,B错误： 对于C,π是无理数，则πQ,C正确； 对于D,5是正整数，则5∈N,D错误 6.B解析：当x=0时，3-2x=3>0,所以0M:当x=2时，3-2x= -1<0,所以2∈M. 7.(1)∈(2)∈∈ 解析：(1)-1不是有序实数对，所以-1主D: (-1,1)是有序实数对且1=(-1)2，故(-1,1)∈D. (2)因为0=0+0×，√2，所以0eM; 因为1=1+1x2,所以1∈M; √2-1 √2-1 因为1=3+1x2,5Z,所以1 华M 3-√2 3-√2 8.A解析：集合{x∈NI2x+5≤11}={x∈Nlx≤3}={0,1,2,3}. 9.C解析：因为函数y=x2-1的图象可以看成函数y=x2-1的图象 上的点的集合，即集合的元素为点的坐标，所以“函数y=x2-1的图 象”的集合表示(x,y)1y=x2-1. 10.C解析：A={1,9},B=xlx2eA},x2=1或x2=9,解得x= ±1或x=±3，.B={-3,-1,1,3},故B中共有4个元素. 11.ACD解析：0是元素不是集合，{0}表示以0为元素的一个集 合，故A错误； 集合{1,2,3}与{3,2,1}的构成元素完全相同，所以是两个相同 的集合，故B正确； 方程(x-1)2(x-2)=0的所有解组成的集合可表示为1,2}，集 合中的元素是不同的，故C错误； 集合{x4<x<5}表示大于4小于5的全体实数，有无数个且无法 一一列举出来，故不可以用列举法表示，故D错误 12.②③⑤解析：能够表示奇数特征性质的可以是x=2n+1,n∈Z; 答案 集合 x=2n-1,nEZ;x=2n+5,nEZ, 12 1B.解：(1)由xeN,y3eZ,知x+3可为34,6,12，即x为0,1， 3,9,所以集合A用列举法表示为{0,1,3,9}. 2)因为y=2,5Z且x∈N,所以x=0,1,3,9,则相应y的值 4,3,2,1,所以集合B用列举法表示为{1,2,3,4}. 14.C解析：对于A,由n∈N,0<n<5,得n=1,2,3,4,∴.A={x|x= 2n,neN且0<n<5}={2,4,6,8}=B,故A错误； 对于B,集合A,B表示的都是大于1的所有实数，.A=B,故B错 误； 对于C,集合A={x|y=x+1}是数集，B={(x,y)ly=x+1}是点集， .A≠B,故C正确； 对于D,A={xlx>0,x∈N}={1,2,3,…},B={x|x>0,x∈Z}= {1,2,3,…},.A=B,故D错误 15.3解析：因为A=B,所以a2=2a+3,即a2-2a-3=0,解得a=-1 或a=3, 经检验a=-1时，a2=1,与集合中元素的互异性矛盾； a=3时，A=B={0,1,9},满足题意. 易错提醒集合元素具有互异性，在用列举法表示集合时，需要保 证列出的元素都是互不相同的 16.D解析：选项A,{xx+3=3}={0; 选项B,{(x,y)ly2=-x2,x,y∈R}={(0,0)}; 选项C,{xx2≤0}={0}； 选项D,x2-x+1=0,△=1-4=-3<0，方程无解，.{xx2-x+1=0, x∈R}=☑. 17.ABD解析：对于A,能被3整除的数有无数个，所以为无限集； 对于B,满足0<x<2的实数有无数个，所以集合{x∈RI0<x<2为 无限集； 对于C,该集合可表示为{(0,5)，(1,3)，(2,1)}，为有限集； 对于D,面积为1的菱形有无数个，所以为无限集， 。重难聚焦 18B解折：若x1,1,则，或解得=0 (x2≠1，x2≠1， 19.C解析：由题可知1eA且2EA,即3a-2≤0解得<0 2 (6a-2>0, 3<a≤3 1∈A意味着1代入集合A的限制条件后条件成立，2EA意味着 2代入集合A的限制条件后条件不成立 20.C解析：若集合A={xI1<x<k,x∈N}中恰有5个元素，则A= {2,3,4,5,6},所以6<k≤7. o心9}解析：集合A=x12+3x+a=0为空集，故△=9 21.{aa>4) 9 4a<0,∴.a>4 黑题】 能力提升 1.BCD解析：对于A,令x3=x,解得x=0,1,-1,但x∈N,所以x=0 或1，故A正确； 对于B,A={-1,0,1},则-0.5年A,故B错误； 对于C,方程组的解应为{（分，号）}，放C:误： 参考答案黑白题学霸3○ 对于D,其中第一个集合是数集，第二个集合是点集，不是同一集 合，故D错误 2.D解析：由题意可知x-y=-2x,x+y=4x,所以M={(-2x,4x)}, 显然选项中D符合题意，此时x=1,ABC错误. 3.B解析：根据集合中元素的互异性可得m≠1，m≠2且m≠4， 当m>4时，集合{1,2，m,4}中的最大元素为m, 当m<4时，集合{1,2，m,4}中的最大元素为4， 根据题意可得集合{1,2，m,4}的所有元素之和为7+m, 所以m>4，或m<4,解得m=-3. 7+m=m,7+m=4, 1+lta 4.A解析：由题意，若a∈A,1- eA1-a、1 1+a 1-lta-a =-—∈A, 1-a 1ta-1 A,. a+1 a+1 =a∈A, a+1 易a,。品汽为网个务不相同的实致所以集合4：{a. },因此集合4中所有元素的乘积为。·() a'a+1'1-a a-1.1+-1. a+11-a 5-1解析：2可知a≠0，{a,名，1-1c2,a+h,0心合 a a 0,即b=0,{a,0,1}={a2,a,0},∴. 0=1,解得a=-1或a=1,当 (a=a, a=1时，不符合元素的互异性，故舍去，因此a=-1,b=0,则a25+ 6226=(-1)205+0=-1. 6.3解析：依题意，集合aa,11≤ij≤4={-18，-3，-1,6,2 11 6},即{a44,a44,a4a4,a4,aa4,aa4}={-18,-3,-1,6’ 1 之，6}，则a4a,a·aa·aeaa,aa,=(o.u.oo）- （-18)x-3X(-10x(6）×分6=27，所以aaa=3 7解：1)：33x1,3在集合A巾：令3张=5，则k=写eZ,放5不 在集合A中 (2)6m-2=3(2m-1)+1,且2m-1∈Z,故6m-2(m∈Z)在集合 B中. (3)设a=3p,p∈Z,b=3g+1,9∈Z,则a+b=3(p+q)+1,p+g∈Z,所 以a+b属于集合B. 专念压轴挑战 8.解：(1)若a=1,b=3,c=2,则方程(x+a)(x2+bx+c)=0为(x+1)· (x2+3x+2)=0,即(x+1)2(x+2)=0,解得x=-1或x=-2,S= {-1,-2. (2)由题意知，-a∈S,.S={-2},∴.-2是方程x+a=0的根，即 -2+a=0,解得a=2. 由S={-2},知集合S有且仅有一个元素，即方程(x+a)(x2+bx+ c)=0有且仅有一个解， ①者-2是方程+bx+e=0的根，则4=B-4c=0,且-？=-2，解得 b=4,c=4, 4学霸黑白题数学·必修第一册·SJ ②若-2不是方程x2+bx+c=0的根，则方程x2+bx+c=0无实数根，则 △=b2-4<0, (a=2,(a=2, 综上所述，{b=4,或{ 62-4c<0. (c=4 (3)S=xl(x+a)(x2+bx+c)=0,xER,T=xl(ax+1)(cx2+bx+1)= 0,x∈R}, a=0,S=xlx(x2+bx+c)=0,xER],T=xlcx2+bx+1=0,xER, 则0eS, 号2所合宁=紫 b=0, (4c-2b+1=0, 验证：当a=0,6=0,c=时， s={x(4)=0xeR}={0,分}， 不满足集合S恰有两个元素，故a≠0； c=0,S=xl(x+a)x(x+b)=0,xER)],T=xl(ax+1)(bx+ 1)=0,x∈R)},则0∈S,-a∈S,-b∈S, 3es,则s={0,} 。1 义a0,所以-a=2即a=分 1 由-2eT,得(-2a+1)(-2b+1)=0,即2(1-26)=0，解得6=2 验证：当a=26:c=0时。 s={(2)(*2）oe-{o} 不满足集合S恰有两个元素，故c≠0； 由上可知，a0且c≠0，则-aES,e7, 且方程x2+bx+c=0与cx2+bx+1=0有相同的判别式△=b2-4c,即 两方程根的个数相同 由集合S,T均恰有两个元素，得4=b2-4c≥0， =(x+a)(父+b+c)=0,xeR,因为2∈S,则2是方程x+ a=0或x2+bx+c=0的根， 1x(ax+1)(cx+x+I=0,x∈R,由-eT,-2∈T,则-2表 方程ax+1=0或cx2+bx+1=0的根. ①当a=号时，2是方程a=0的根，0=号eS则日2er a 又-2∈T,则T={-2,2, 由T={x(分+1）e2+x+1)=0,eR},得-2是方程2+ bx+1=0的根，则4c-2b+1=0. 《i)者40聚你低061宁 验证：当a=分6=1c=时， s={()(e+0se-{2} r={✉(21)(+x1)=0xeR=-2,21， 满足题意； （iⅱ)若△=b2-4c>0,方程cx2+bx+1=0有两个不相等的实数根， 又T={-2,2},则方程cx2+bx+1=0的两根必为-2和2，故由根与 2+2=6 系数的关系得 ,解得b=0,c=4, 1 -2×2= c 验证：当a=2,6=0,c=-4时， s={(3)(e4）-o,seR}-{3} r={✉(21)(+1）-0，eR}=-2.2. 满足题意； ②当a=时，-2，即-2是方程a+1=0的根，则-a=分e a S, 3es则s={分} S=x1(x+a)(x2+bx+c)=0,xeR,则)是方程2+bx+c=0的根， 则}+2+e=0,即4c+2br1=0, 4c+26+1=0 (i)若△=-c=0,联立-4=0解得=1，c=子 验证：当a=6=-1c=时， s={(*3)(e-x*4)-oxeR}-{-2} 7={✉(3+1)(x+1）=0eR}=-2.2, 满足题意； (i)若△=b2-4c>0,方程x2+bx+c=0有两个不相等的实数根， 又S={分}，则方程2+c+c=0的两根必为号和分，故由 [11 =-b 22 根与系数的关系得 11 解得6=0c=}, (22=c, 验证：当a=分6=0，c=时， s={(+3)(e4)=-oxe}-{2} T={(分+1)(*1）=0，*eR}=-2.21, 满足题意； ③当a≠-号且a≠乃时，号不是方程+a=0的根，-2也不是方 程ax+1=0的根， 由2eS,-2eT,得2是方程2+bx+c=0的根，-2是方程cx2+bx+ 1,1 1=0的根，则26+c=0解得6=0，e= (4c-2b+1=0. 验证：当a≠-且a分=0，e时，有分a号 s={x(xo)(-4)=0,eR}={-a,2,}有三个元 素，故不满足题意； 综上所述，满足题意的所有三元数对(a6,)有（子，1,4）， (20,4),(分1,4)（分0,4）月 1.2子集、全集、补集 白题 基础过关 1.B解析：集合A,B,C的关系如图： (A® 故BCACC. 2.C解析：因为{x10<x<1}C{x-1<x<2},所以BA. 3.C解析：集合P表示不大于√2026的数构成的集合，而a=2√2< 2026,∴.a∈P,{a}CP. 4.D解析：由题图可知，BCA,A={1,2,3},由选项可知{1,3}CA 5.C解析：{1,2,3}是自身的子集，故A错误； {2,3,4,5},{xx>1}与{1,2,3}没有包含关系，故B、D错误； {1,2,3}手{xx>0},故C正确. 6.BD解析：对于A,集合a,b}的真子集是{a,{b,☑，故A错误； 对于B,真子集具有传递性，故B正确； 对于C,若一个集合是空集，则没有真子集，故C错误； 对于D,空集是任何非空集合的真子集，若0手A,则A≠0，故D 正确. 7.A解析：依题意，集合U={-2,-1,0,1},A={0,1},所以CA= {-2,-1}. 8.C解析：因为A={x-2<x<3},B={xlx≤3}，所以儿gA={xx≤ -2或x=3}. 9.4解析：因为U={3,7,a2-2a-3},A={7,1a-71},CuA={5},所以 5U,3eA,则c-2a-3=5解得a=4 (1a-71=3, 。重难聚焦 10.C解析：A={x∈N·1-1<x≤3}={1,2,3}，所以集合A的子集 个数是23=8. 方法总结如果一个集合有n个元素，那么它有2”个子集，(2-1) 个真子集，(2”-1)个非空子集，(2-2)个非空真子集。 1山.1或4解析：集合A=x1(a-1)x2+3x-3=0有且仅有两个子 集，即集合A中有且仅有一个元素，即方程(a-1)x2+3x-3=0有 且仅有一个根 当a=1时，方程有一根x=1符合要求； 当a≠1时，4=3-4x(a-1)×(-3)=0,解得a=4,放满足要求 的a的值为1或4 12.A解析：ACB,∴.0，aeB, 当a2-2=0时，a=±2，则1-a=1±2≠a,不符合题意； 当1-a=0时，a=1,则a2-2=-1,即A={0,1},B={-1,0,1},符 合题意. 13.{ala≤-1}解析：由集合A={xlx>a},B={x|-1<x<3},因为 B二A,则满足a≤-1. 黑题 能力提升 1.C解析：依题意，0={0,1,2,3,4,5,6}，而A={2,3,6},所以 CA={0,1,4,5},真子集个数为24-1=15. 参考答案黑白题学霸t5○