3.1.1 第3课时 分段函数（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦分段函数，系统覆盖概念、求值、图象绘制及实际应用，通过习题讲评式教学导入，衔接函数基础，构建从单一函数到分段函数的认知支架，帮助学生形成知识脉络。 其亮点是“思维建模”提炼解题策略，如求值“从内到外依次计算”、图象“分段作图并注意端点虚实”，培养数学思维。结合超市折扣、俱乐部收费等实例，引导用数学眼光观察现实，用数学语言建立模型。变式拓展与分层训练助力学生掌握，教师可直接使用题型模板提升教学效率。

分段函数 第3课时 [教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学] 课时目标 1.了解分段函数的概念 ，会求分段函数的函数值 ，能画分段函数的图象. 2.能在实际问题中列出分段函数 ，并能解决有关问题. (1)分段函数的定义:如果一个函数 ，在其定义域内 ，对于自变量的不同取值区间 ，有不同的对应方式 ，则称其为分段函数. (2)分段函数是一个函数 ，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集. (3)分段函数有几段 ，它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中 ，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象 ，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点 ，将每段图象组合到一起就得到整个分段函数的图象. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　分段函数求值问题 题型(二)　分段函数的图象及应用 题型(三)　分段函数的实际应用问题 4 课时检测 题型(一)　分段函数求值问题 01 [例1]　已知函数f(x)= (1)求f的值. [解]　∵f=+2= ，∴f=f==. ∴f=f=×=. (2)若f(x)=2 ，求x的值. [解]　当f(x)=x+2=2时 ，x=0 ，不符合x<0. 当f(x)=x2=2时 ，x=± ，其中x= ，符合0≤x<2. 当f(x)=x=2时 ，x=4 ，符合x≥2. 综上 ，x的值是或4. [变式拓展] 本例已知条件不变 ，若f(x)=-2 ，求x的值. 解:当x+2=-2时 ，x=-4 ，符合x<0. 当x2=-2时 ，无解. 当x=-2时 ，x=-4 ，不符合x≥2. 综上 ，x的值是-4. 　|思|维|建|模|　分段函数求值问题的解题思路 求函数值 当出现f(f(a))的形式时 ，应从内到外依次求值 求自变量的值 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上 ， 然后求出相应自变量的值 ，切记要代入检验 1.已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0 ，则实数a的值等于(　 ) A.-3　 B.-1 C.1 D.3 针对训练 解析:由题易知f(1)=2×1=2 ，据此结合题意分类讨论: 当a>0时 ，f(a)=2a ， 由f(a)+f(1)=0 ，得2a+2=0 ，解得a=-1 ，舍去;当a≤0时 ，f(a)=a+1 ， 由f(a)+f(1)=0 ，得a+1+2=0 ，解得a=-3 ，满足题意. √ 2.函数f(x)=则f(7)=____.  解析:∵函数f(x)= ∴f(7)=f(f(12))=f(9)=f(f(14))=f(11)=8. 8 题型(二) 分段函数的图象及应用 02 [例2]　已知函数f(x)=1+(-2<x≤2). (1)用分段函数的形式表示f(x); [解]　当0≤x≤2时 ，f(x)=1+=1. 当-2<x<0时 ，f(x)=1+=1-x. ∴f(x)= (2)画出f(x)的图象; [解]　函数f(x)的图象如图所示. (3)写出函数f(x)的值域. [解]　由(2)知 ，f(x)在(-2 ，2]上的值域为[1 ，3). [变式拓展] 把本例条件改为“f(x)=|x|-2” ，如何求解. 解:由题易得f(x)=|x|-2= 作出函数的图象如图所示. 由图可知 ，f(x)的值域为[-2 ，+∞). |思|维|建|模| 分段函数图象的画法 　　作分段函数的图象时 ，分别作出各段的图象.在作每一段图象时 ，先不管定义域的限制 ，作出其图象 ，再保留定义域内的一段图象即可.作图时要特别注意接点处点的虚实 ，保证不重不漏. 3.已知函数f(x)= (1)画出f(x)的图象; 针对训练 解:函数y=x2的对称轴为x=0 ，当x=0时 ，y=0; 当x=-1时 ，y=1;当x=1时 ，y=1 ，故f(x)的图象如图所示. (2)若f(x)= ，求x的值; 解:f(x)=等价于①或② 或　③ 解①得x=± ，②③的解集都为∅. 所以当f(x)=时 ，x=±. (3)若f(x)≥ ，求x的取值范围. 解:由于f= ，结合此函数图象可知 ， f(x)≥的x的取值范围是∪. 题型(三)分段函数的实际应用问题 03 [例3]　某超市元旦期间搞促销活动 ，规定:顾客购物总金额不超过500元 ，不享受任何折扣;如果顾客购物的总金额超过500元 ，则超过的部分享受一定的折扣优惠 ，并按下表折扣分别累计计算: 若某顾客在此超市获得的折扣金为60元 ，求此人购物实际所付金额. 可享受的折扣优惠金额 折扣率 不超过400元的部分 10% 超过400元的部分 20% [解]　设此人购物总金额为x元 ，可获得购物折扣金额为y元 ，则y= 当x=900时 ，y=0.1×(900-500)=40. ∵60>40 ，∴x>900.∴0.2(x-900)+40=60. 解得x=1 000. ∴1 000-60=940.故此人购物实际所付金额为940元. |思|维|建|模| 利用分段函数求解实际应用题的策略 (1)明确条件 ，将文字语言转化为数学语言; (2)建立恰当的分段函数模型解决问题. 4.某市有A ，B两家羽毛球俱乐部 ，两家设备和服务都很好 ，但收费方式不同 ，A俱乐部每块场地每小时收费6元;B俱乐部按月计费 ，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元 ，超过20小时的部分 ，每块场地每小时2元.某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动 ，其活动时间不少于12小时 ，也不超过30小时. (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30) ，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30) ，试求f(x)与g(x)的解析式; 针对训练 解:由题意f(x)=6x ，x∈[12 ，30] ， g(x)= (2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算 ，为什么? 解:①当12≤x≤20时 ，6x=90 ，解得x=15 ， 即当12≤x<15时 ，f(x)<g(x); 当x=15时 ，f(x)=g(x); 当15<x≤20时 ，f(x)>g(x). ②当20<x≤30时 ，f(x)>g(x). 综上 ，当12≤x<15时 ，选A俱乐部合算; 当x=15时 ，选A ，B俱乐部都合算; 当15<x≤30时 ，选B俱乐部合算. 04 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.函数f(x)=的图象是(　 ) √ 解析:函数f(x)==故选C. 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.已知著名的狄利克雷函数D(x)=则D(D(x))等于(　 ) A.0 B.1 C. D. √ 解析:∵D(x)∈{0 ，1} ，∴D(x)为有理数.∴D(D(x))=1. 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.函数f(x)=的值域是(　 ) A.R B.[0 ，2]∪{3} C.[0 ，+∞) D.[0 ，3] √ 15 14 解析:当0≤x≤1时 ，0≤2x≤2 ，即0≤f(x)≤2;当1<x<2时 ，f(x)=2;当x≥2时 ，f(x)=3.综上可知f(x)的值域为[0 ，2]∪{3}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.已知函数f(x)=若f(a)=1 ，则实数a的值为(　 ) A.-1 B.±1 C.0 D.1 解析:当a≥0时 ，f(a)=a3=1 ，则a=1 ，当a<0时 ，f(a)==1 ，解得a=-1.综上a=±1. √ 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.(多选)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成 ，则 (　 ) A.f(f(-3))=1 B.f(-1)=3.5 C.函数的定义域是(-∞ ，0]∪[2 ，3] D.函数的值域是[1 ，5] √ 解析:选项A ，由题图可得f(-3)=2 ，所以f(f(-3))=f(2)=1 ，A正确;选项B ，图象法只能近似地求出函数值 ，且有时误差较大 ，故由图象不能得出f(-1)的确定值 ，B错误;选项C ，由题图可得函数的定义域为[-3 ，0]∪[2 ，3] ，C错误;选项D ，由题图可得函数的值域为[1 ，5] ，D正确. 15 14 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.(多选)已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是(　 ) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(-∞ ，4) C.若f(x)=3 ，则x的值是 D.f(x)<1的解集为(-1 ，1) √ 15 14 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:由题意知函数f(x)的定义域为(-∞ ，2) ，故A错误; 当x≤-1时 ，f(x)的取值范围是(-∞ ，1] ， 当-1<x<2时 ，f(x)的取值范围是[0 ，4) ， 因此f(x)的值域为(-∞ ，4) ，故B正确; 当x≤-1时 ，x+2=3 ，解得x=1(舍去) ， 当-1<x<2时 ，x2=3 ，解得x=或x=-(舍去) ，故C正确; 当x≤-1时 ，x+2<1 ，解得x<-1 ，当-1<x<2时 ，x2<1 ，解得-1<x<1 ， 因此f(x)<1的解集为(-∞ ，-1)∪(-1 ，1) ，故D错误. 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.(5分)已知函数f(x)=则f(3)=____.  15 14 解析:f(3)=-2×3+3=-3. -3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)已知函数f(x)=则不等式xf(x-1)≤1的解集为________.  解析:原不等式转化为或解得-1≤x≤1. 15 14 [-1 ，1] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)已知函数f(x)=若f=-6 ，则f(4)= _____.  解析:由题意 ，得f=3.所以f=f(3)=9+3a=-6 ，解得a=-5. 故f(4)=42-5×4=-4. 15 14 -4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)= 已知某家庭2025年前三个月的煤气费如下表: 若4月份该家庭使用了20 m3的煤气 ，则其煤气费为_____元.  15 14 月份 用气量 煤气费 1月份 4 m3 4元 2月份 25 m3 14元 3月份 35 m3 19元 11.5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:根据1月份用气量4 m3 ，煤气费4元 ， 可知f(4)=C=4.又由2、3月份用气量和煤气费得 解得A=5 ，B=. 所以f(x)= 所以f(20)=4+(20-5)=11.5. 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(5分)设集合A= ，B= ，函数f(x)=若x0∈A ，且f(f(x0))∈A ，则x0的取值范围 是__________.  解析:∵当x0∈A时 ，f(x0)∈. ∴f(f(x0))=2=2∈A.解得<x0<. 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)已知函数f(x)= (1)求f(f(f(5)))的值;(5分) 解:因为5>4 ，所以f(5)=-5+2=-3. 因为-3<0 ，所以f(f(5))=f(-3)=-3+4=1. 因为0<1<4 ，所以f(f(f(5)))=f(1)=12-2×1=-1. 15 14 (2)画出函数f(x)的图象.(5分) 解:f(x)的图象如图所示. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(10分)如图 ，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始 ，顺次经C ，D ，A绕周界运动 ，用x表示点P的行程 ，y表示△APB的面积 ，求函数y=f(x)的解析式. 解:当点P在BC上运动 ，即0≤x≤4时 ，y=×4×x=2x; 当点P在CD上运动 ，即4<x≤8时 ，y=×4×4=8; 当点P在DA上运动 ，即8<x≤12时 ，y=×4×(12-x)=24-2x. 综上可知 ，f(x)= 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 14.(10分)已知函数f(x)的图象如图所示 ，在区间[0 ，4]上是抛物线的一段. (1)求f(x)的解析式;(3分) 14 15 解:由题图可知 ，当x<0时 ，f(x)=3 ，当0≤x≤4时 ， 设f(x)=a(x-2)2-1 ，把点(1 ，0)代入得a-1=0 ，解得a=1 ， 所以f(x)=(x-2)2-1. 当x>4时 ，设f(x)=kx+b ，把(4 ，3) ，(5 ，0)代入得 ， 解得 所以f(x)=-3x+15 ，所以f(x)= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)解不等式f(x)≤x+1.(7分) 14 15 解:f(x)≤x+1 ， 当x<0时 ，3≤x+1 ，解得x≥4 ，不符合 ，舍去; 当0≤x≤4时 ，(x-2)2-1≤x+1 ，解得≤x≤4; 当x>4时 ，-3x+15≤x+1 ，解得x≥4 ，所以x>4. 综上 ，不等式f(x)≤x+1得解集为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 15.(10分)已知函数f(x)=-x2+2 ，g(x)=x ，令φ(x)=min{f(x) ，g(x)} (即f(x)和g(x)中的较小者). (1)分别用图象法和解析法表示φ(x);(4分) 14 15 解:在同一个坐标系中画出函数f(x) ，g(x)的图象如图①所示. 由图①中函数取值的情况 ，结合函数φ(x)的定义 ， 可得函数φ(x)的图象如图②所示. 令-x2+2=x ，得x=-2或x=1. 结合图② ，得出φ(x)的解析式为φ(x)= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)求函数φ(x)的定义域、值域.(6分) 14 15 解:由图②知 ，φ(x)的定义域为R ，φ(1)=1 ， 所以φ(x)的值域为(-∞ ，1]. 本课结束 $$