2.1.1 等式的性质与方程的解集（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦等式性质与方程解集，以等式性质为起点，延伸至恒等式变形，通过十字相乘法因式分解搭建桥梁，最终落脚于方程求解，形成“概念-变形-应用”的知识脉络与学习支架。 其亮点在于以核心素养为导向，用几何图形验证平方差公式培养数学眼光，十字相乘法步骤化教学提升推理能力，结合《九章算术》户斜问题等发展模型意识。学生能构建知识体系，教师可高效开展分层教学。

第二章 等式与不等式 2.1 等　式 2.1.1 等式的性质与方程的解集 [教学方式:基本概念课—逐点理清式教学] 课时目标 1.掌握等式的性质，并能进行应用.能通过因式分解求方程的解集. 2.理解常见恒等式及其变形的形式，能对一些式子进行化简. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　等式的性质与恒等式 逐点清(二) “十字相乘法”因式分解 逐点清(三)　方程的解集 4 课时检测 逐点清(一) 等式的性质与恒等式 01 多维理解 1.等式的性质 文字语言 符号语言 等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立 如果a=b，则对任意c，都有__________ 等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立 如果a=b，那么______，=(c≠0) a±c=b±c ac=bc |微|点|助|解| 等式性质的延伸 (1)对称性:等式左右两边互换，所得结果仍是等式，即如果a=b，那么b=a; (2)传递性:如果a=b，b=c，那么a=c(也叫等量代换). 2.恒等式 (1)恒等式的定义 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取_________时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等. 任意实数 (2)常见的恒等式 ①a2-b2=__________ (平方差公式); ②(a-b)2=__________ (两数差的平方公式); ③(a+b)2=__________ (两数和的平方公式); ④a3-b3=_______________ (立方差公式); ⑤a3+b3=______________ (立方和公式). (a+b)(a-b) a2-2ab+b2 a2+2ab+b2 (a-b)(a2+ab+b2) (a+b)(a2-ab+b2) 1.(多选)下列式子中变形正确的是 (　 ) A.若3x-1=2x+1，则x=0 B.若ac=bc，则a=b C.若=，则= D.若=，则y=x 微点练明 解析:对于A选项，两边同时减去(2x-1)，得到x=2，故A不正确;对于B选项，没有说明c≠0，故B不正确;对于C选项，在等式两边同时乘以a(a≠0)，得到=，故C正确;对于D选项，在等式两边同时乘以5得到y=x，故D正确. √ √ 2.(多选)若x3+a3=(x+a)(x2-ax+9)对任意实数x都成立，则实数a可能的值是 (　 ) A.-9 B.9 C.-3 D.3 √ 解析:因为x3+a3=(x+a)(x2-ax+a2)，故x3+a3=(x+a)(x2-ax+9)对任意实数x都成立，即(x+a)(x2-ax+a2)=(x+a)(x2-ax+9)对任意实数x都成立，所以x2-ax+a2=x2-ax+9，即a2=9，故a=±3. √ 3.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，将余下的部分剪接拼成一个长方形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为 (　 ) A.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.(a-b)2=a2-2ab+b2 √ 解析:题图甲中阴影部分的面积为a2-b2，题图乙中阴影部分的面积为(a+b)(a-b)，因为两个图形中阴影部分的面积相等，所以a2-b2=(a+b)·(a-b). 4.已知x2-3x+1=0，则x3+的值为____.  解析:∵x2-3x+1=0，∴x≠0. ∴x2+1=3x，则x+=3. ∴x3+= ==3×(32-3)=18. 18 逐点清(二)　“十字相乘法” 因式分解 02 多维理解 对任意的x，a，b，都有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab. 可以利用这个恒等式来进行因式分解.给定式子x2+Cx+D，如果能找到a和b，使得D=ab且C=a+b，则x2+Cx+D=(x+a)(x+b). 为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用右图来表示:其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”. |微|点|助|解| (1)运用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解时需满足的条件:①因式分解的多项式是二次三项式;②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和. (2)对于x2+Cx+D的因式分解，当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的积，符号与一次项系数的符号相同;当常数项是负数时，可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的符号与一次项系数的符号相同. (3)分解x2+(a+b)x+ab型的式子时，有时需要经过多次尝试，才能使交叉相乘后再相加所得的和等于一次项系数. 因式分解: (1)6x2+5x+1; 微点练明 解:如图所示，6x2+5x+1=(2x+1)·(3x+1). (2)6x2+11x-7; 解:如图所示，6x2+11x-7=(2x-1)·(3x+7). (3)42x2-33x+6; 解:如图所示，42x2-33x+6=(6x-3)·(7x-2). (4)2x4-5x2+3. 解:如图所示，2x4-5x2+3=(x2-1)(2x2-3)=2(x+1)(x-1). 逐点清(三)　方程的解集 03 多维理解 1.方程的有关概念 方程 含有未知数的等式叫方程 方程的解(或根) 能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解(或根) 方程的解集 把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集 解方程 求方程的解的过程叫解方程 2.一元一次方程 一元一次 方程 方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程 满足的 条件 ①必须是整式方程; ②只含有一个未知数; ③未知数的次数都是1 表示形式 ax+b=0(a≠0)或ax=b(a≠0) 1.一元二次方程x2-5x-6=0的解集为 (　 ) A.{-6，1} B.{6，-1} C.{-2，3} D.{2，-3} 微点练明 √ 解析:x2-5x-6=0可化为(x-6)(x+1)=0，解得x=6或x=-1，所以一元二次方程x2-5x-6=0的解集为{6，-1}. 2.已知关于x的方程=+1的解集为∅，则实数a的值(　 ) A.0 B.1 C. D. √ 解析:由=+1，得x=1.因为关于x的方程=+1的解集为∅，所以-=0，即a=. 3.求下列方程的解集: (1)x2-3x-4=0; 解:因为x2-3x-4=(x+1)(x-4)， 所以原方程可化为(x+1)(x-4)=0，故x+1=0或x-4=0，解得x=-1或x=4. 因此原方程的解集为{-1，4}. (2)x+2=3x2; 解:因为3x2-x-2=(3x+2)(x-1)，所以原方程可化为(3x+2)(x-1)=0. 故3x+2=0或x-1=0，解得x=-或x=1. 因此原方程的解集为. (3)6x(x+1)=5(x+1); 解:因为6x(x+1)=5(x+1)，所以(x+1)(6x-5)=0， 所以x+1=0或6x-5=0. 所以x=-1或x=.所以原方程的解集为. (4)(2x-1)2-(x+1)2=0. 解:因为(2x-1)2-(x+1)2=0， 所以4x2-4x+1-x2-2x-1=0.所以3x2-6x=0.所以x(x-2)=0，即x=0或x=2. 所以原方程的解集为{0，2}. 04 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1.(a+b)2+8(a+b)-20分解因式得 (　 ) A.(a+b+10)(a+b-2) B.(a+b+5)(a+b-4) C.(a+b+2)(a+b-10) D.(a+b+4)(a+b-5) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 2.若多项式x2-3x+a可分解为(x-5)(x-b)，则a，b的值是 (　 ) A.a=10，b=2　　　　　　 B.a=10，b=-2 C.a=-10，b=-2 D.a=-10，b=2 √ 解析:∵(x-5)(x-b)=x2-(5+b)x+5b=x2-3x+a，∴5+b=3，5b=a，解得b= -2，a=-10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 3.(多选)下列各式因式分解的结果中，含有x+1的是 (　 ) A.x2+x B.x2-1 C.2x2+x-1 D.4x2-7x+3 √ 解析:A中，x2+x=x(x+1);B中，x2-1=(x+1)(x-1);C中，2x2+x-1=(x+1)(2x-1);D中，4x2-7x+3=(x-1)(4x-3).故选A、B、C. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 4.若x2+mx-10=(x+a)(x+b)，其中a，b为整数，则m的值为 (　 ) A.3或9 B.±3 C.±9 D.±3或±9 解析:∵-10=(-1)×10=1×(-10)=2×(-5)=(-2)×5，∴m=±3或±9. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 5.下列等式中，属于恒等式的是 (　 ) A.a2=1 B.=|a| C.|a-1|=0 D.=0 √ 解析:选项A，只有a=±1时，等式成立，故不是恒等式，A错误;选项B，=|a|对任意a∈R恒成立，B正确;选项C，只有a=1时，等式成立，故不是恒等式，C错误;选项D，≠0，故不是恒等式，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 6.如图，天平上的物体a，b，c使天平处于平衡状态(标有相同字母的物体质量相同)，则物体a与物体c的质量关系是 (　 ) A.2a=3c　　　　　　 B.4a=9c C.a=2c D.a=c 解析:由题图可知，2a=3b，2b=3c，根据等式的性质2，得4a=6b，6b=9c，所以4a=6b=9c，即4a=9c. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 7.程大位(1533~1606)，明朝人，珠算发明家.在其杰作《直指算法统宗》里，有这样一道“荡秋千”的题:平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几?将其译成现代汉语，其大意是，一架秋千当它静止不动时，踏板离地一尺，将它向前推两步(古人将一步算作五尺)即10尺，秋千的踏板就和人一样高，此人身高5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，则绳索的长度为 (　 ) A.14尺 B.14.5尺 C.15尺 D.15.5尺 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析:设绳索长度为x尺，则秋千被推送10尺时，踏板距绳索顶端的距离为x-5+1，此时踏板距绳索顶端距离、往前推送10尺的水平距离、绳索长刚好构成一直角三角形.则根据勾股定理可列方程102+(x-5+1)2=x2，解得x=14.5，即绳索长度为14.5尺. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 8.(5分)因式分解:x2-2xy-8y2=___________;(x+y+1)2-(x-y+1)2=________.  解析:x2-2xy-8y2=(x-4y)(x+2y).(x+y+1)2-(x-y+1)2=[(x+1)+y]2 -[(x+1)-y]2=(x+1)2+2(x+1)y+y2-[(x+1)2-2(x+1)y+y2]=4(x+1)y. (x-4y)(x+2y) 4(x+1)y 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 9.(5分)小奇设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数a2-3b-5，例如把(1，-2)放入其中，就会得到12-3×(-2) -5=2.现将实数对(m，3m)放入其中，得到实数5，则m=________.  解析:∵将实数对(m，3m)放入其中，得到实数5， ∴m2-9m-5=5，即m2-9m-10=0. 解得m=10或m=-1. 10或-1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10.(10分)已知6x2-7xy-3y2+14x+y+a=(2x-3y+b)(3x+y+c)，试确定a，b，c的值. 解:由题设，得6x2-7xy-3y2+14x+y+a=(2x-3y+b)(3x+y+c) =6x2-7xy-3y2+(3b+2c)x+(b-3c)y+bc. 比较对应项系数，得所以 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 11.(10分)《九章算术》卷九“勾股”中记载:今有户不知高广， 竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出， 问户斜几何.注:横放，竿比门宽长出四尺;竖放，竿比门高 长出二尺，斜放恰好能出去. (1)示意图中，BD表示户斜，求线段CE的长及线段DF的长.(3分) 解:由“横放，竿比门宽长出四尺”，可得CE=4尺，由“竖放，竿比门高长出二尺”，可得DF=2尺. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)户斜多长?(7分) 解:设户斜x尺，则题图中BD=x，BC=BE-CE=x-4(x>4)， CD=CF-DF=x-2(x>2). 又在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理得BC2+CD2=BD2，即(x-4)2+(x-2)2=x2，整理得x2-12x+20=0，因式分解，得(x-10)(x-2)=0，所以x1=10，x2=2.因为x>4且x>2，所以x=2舍去，所以x=10，即户斜10尺. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 12.(10分)如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n.(以上长度单位:cm) (1)用含m，n的代数式表示图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和;(3分) 解:题图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和为2(2m+n)+2(m+2n)=6m+6n=6(m+n)cm. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 _____________;(3分)  解:2m2+5mn+2n2可以因式分解为(m+2n)·(2m+n)，故填(m+2n)(2m+n). (3)若每块小长方形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求(m+n)2的值.(4分) 解:由题意得，2m2+2n2=58，mn=10.∴m2+n2=29. ∵(m+n)2=m2+2mn+n2，∴(m+n)2=29+20=49. (m+2n)(2m+n) 本课结束 $$