4.1 第1课时 n次方根与根式（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦“n次方根与根式”，系统讲解n次方根的定义性质、根式概念及化简求值，通过“逐点清”模块从平方根立方根入手，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生建立新旧知识联系。 其亮点是“多维理解+微点练明+典例变式”分层设计，结合数学思维中的推理能力与运算能力，通过分类讨论含绝对值的根式化简培养逻辑推理，课时检测覆盖多样题型助力学生用数学语言表达。教师可直接使用，学生能夯实基础并提升解题能力。

第四章 指数函数与对数函数 指　数 4.1 n次方根与根式 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 理解n次方根、根式的概念，明确正数的偶次方根有两个，偶次根式下被开方数必须非负. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　n次方根 逐点清(二)　根　式 逐点清(三)　根式的化简与求值 4 课时检测 逐点清(一)　n次方根 01 n次方根的定义与性质 多维理解 定义 一般地，如果_____，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 当n为奇数时，任意实数a都有n次方根，且只有一个，记作____ 当n为偶数时，正数的偶次方根有两个，且是______，记作_____.负数没有偶次方根，零的偶次方根为_____ 正数a的正n次方根叫做a的____________ (n∈N*，n>1) xn=a |微|点|助|解| (1)在n次方根的概念中，关键是数a的n次方根x满足xn=a，因此求一个数a的n次方根，就是求一个数的n次方等于a. (2)n次方根实际上就是立方根与平方根的推广. (3)n次方根的概念表明，乘方与开方是互逆运算. 1.(多选)若xn=a(x≠0)，则下列说法正确的是 (　 ) A.当n为奇数时，x的n次方根为a B.当n为奇数时，a的n次方根为x C.当n为偶数时，x的n次方根为±a D.当n为偶数时，a的n次方根为±x √ 微点练明 √ 解析：当n为奇数时，a的n次方根只有1个，为x；当n为偶数时，由于(±x)n=xn=a，所以a的n次方根有2个，为±x.所以B、D的说法是正确的，故选BD. 2.(多选)下列说法正确的是 (　 ) A.=3 B.16的4次方根是±2 C.=±3 D.=|x+y| √ 解析：负数的3次方根是一个负数，=-3，故A错误；16的4次方根有两个，为±2，故B正确；=3，故C错误；是非负数，所以=|x+y|，故D正确. √ 逐点清(二)　根　式 02 根式的定义与性质 多维理解 定义 式子叫做_______，这里n叫做______，a叫做被开方数 性质 (1) = (2)()n=___ (n∈N*，且n>1) 根式 根指数 a |微|点|助|解|　　根式符号的注意点 (1)n>1，且n∈N*. (2)当n为大于1的奇数时，对任意的实数a都有意义，它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根，从而有()n=a. (3)当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义；(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，a的另一个n次方根是-，从而有(±)n=a. (4)式子对任意a∈R都有意义. 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)()5=-2. (　 ) (2)()4=-2. (　 ) (3)()4=2. (　 ) (4)=-5. (　 ) (5)()n总有意义. (　 ) (6) 总有意义. (　 ) 微点练明 √ × × √ × √ 2.已知xy≠0，且=-2xy，则以下结论正确的是(　 ) A.xy<0 B.xy>0 C.x>0，y>0 D.x<0，y<0 √ 解析：由=|2xy|=-2xy，xy≠0知xy<0.所以x，y异号，A正确. 3.若x≠0，则|x|-+的值为(　 ) A.-1 B.0 C.1 D.2 √ 解析：因为x≠0，所以|x|-+=|x|-|x|+=1. 4.若=，则实数a的取值范围是(　 ) A.R B. C. D.不存在 √ 解析：=|3a-1|，=1-3a.因为|3a-1|=1-3a，故3a-1≤0，所以a≤. 逐点清(三)　根式的化简与求值 03 [典例]　已知-3<x<3，求-的值. 解：原式=-=|x-1|-|x+3|， ∵-3<x<3，∴当-3<x<1时， 原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2； 当1≤x<3时，原式=(x-1)-(x+3)=-4. ∴原式= [变式拓展] 若将本例中“-3<x<3”变为“x≤-3”，则结果又是什么? 解：原式=-=|x-1|-|x+3|. ∵x≤-3，∴x-1<0，x+3≤0， ∴原式=-(x-1)+(x+3)=4. |思|维|建|模| 化简根式的注意点 (1)在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数. (2)对于形如(m>0，n>0)的双重根式，当满足a>b>0，a+b=m，ab=n时，有=±. 化简下列各式： (1)； 针对训练 解：=-2. (2)+； 解：+=|π-4|+π-4=4-π+π-4=0. (3)(a≤1)； 解：∵a≤1，∴=|3a-3|=3|a-1|=3-3a. (4)+. 解：+=a+|1-a|= 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.若a是实数，则下列式子可能没有意义的是 (　 ) A. B. C. D. √ 解析：当a<0时，a的偶次方根无意义. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若正数x，y满足x3=8，y4=81，则x+y= (　 ) A.1 B.3 C.5 D.7 √ 解析：因为正数x，y满足x3=8，y4=81，所以x==2，y==3， 所以x+y=2+3=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.若m3=64，则=(　 ) A.±8 B.8 C.4 D.2 √ 解析：因为m3=64，所以m=4.则==2，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.若m=，n=，则m+n的值为(　 ) A.-7 B.-1 C.1 D.7 √ 解析：m+n=|π-3|+|π-4|=π-3+4-π=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.化简 等于(　 ) A.π-π-1 B.π-1-π C.π+π-1 D.0 √ 解析：== ==|π-1-π|=π-π-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.当a>0时， 等于(　 ) A.x B.x C.-x D.-x √ 解析：由题设得-ax3≥0，因为a>0，所以x≤0.故=-x.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知a，b∈R，下列各式总能成立的有 (　 ) A.(-)6=a-b B.=a2+b2 C.-=a-b D.=a+b √ 解析：A显然错误；B中，∵a2+b2≥0，∴B一定成立；C和D中，∵a，b∈R，∴=|a|，=|b|，=|a+b|，故C和D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.若+=3，则的值为(　 ) A. B. C. D. √ 解析：因为+=3，a>0，所以=9，a+=7， 即==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简-|b+c-a|的结果为(　 ) A.2(b+c)-2a B.2(b+a)-2c C.2a D.0 √ 解析：原式=|a-(b+c)|-|b+c-a|=(b+c-a)-(b+c-a)=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)当x<0时，x++=______.  1 解析：原式=x+|x|+=x-x+1=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)若x>3，则-|2-x|=______.  -1 解析：∵x>3，∴-|2-x|=-|2-x|=|x-3|-|2-x|=x-3-(x-2)=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+0.1的图象如图所示，则 =_______.  b-a 解析：由题图知f(-1)=a-b+0.1<0，∴a-b<0，∴=|a-b|=-(a-b)=b-a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)设f(x)=，若0<a≤1，求f. 解：f====， 因为0<a≤1，所以a≤，故f=-a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知f(x)=，a是大于0的常数， (1)求f；(2分) 解： f==. (2)探求f(x)+f(1-x)的值；(4分) 解：由f(x)=，得f(1-x)===，故有f(x)+f(1-x)=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)利用(2)的结论求f+f+…+f的值.(4分) 解：由(2)知，f+f+…+f =++…+ =1×50=50. 本课结束 $$