4.1.2 无理数指数幂及其运算性质（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦无理数指数幂的概念及实数指数幂的运算性质，通过企业生产总值的实际问题导入，从有理数指数幂自然过渡到无理数指数幂，搭建新旧知识的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于融合数学抽象、逻辑推理与数学运算核心素养，通过实例（如细菌分裂问题）和整体代换法培养能力，小结部分系统梳理要点与易错点，学生能提升运算及解决实际问题的能力，教师可借助分层例题与训练实施高效教学。

4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 1 1. 能结合教材探究了解无理数指数幂（数学抽象）. 2. 结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质（逻辑推理、数学运算）. 课标要求 情景导入 某大型国企2024年的生产总值为a，根据相关资料判断，未来20 年，该企业每一年的生产总值是上一年的 倍.据此回答下列问题. 　　（1）一年后，该企业的生产总值是多少？ 　　（2）五年后，该企业的生产总值是多少？ 知识点　无理数指数幂的运算 01 提能点一　实际问题中的指数运算 02 提能点二　实数指数幂的综合运用 03 目录 课时作业 04 4 知识点 无理数指数幂的运算 01 PART 目 录 问题　（1）阅读教材P108探究，思考 是不是一个确定的实数； 提示：5 是一串逐渐增大的有理数指数幂51.4，51.41，…和另一串逐渐减 小的有理数指数幂51.5，51.42，…逐步逼近的结果，它是一个确定的实数. （2）前面我们学习了有理数指数幂的运算性质①aras＝ar＋s（a＞0，r， s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞ 0，b＞0，r∈Q）.能否把r，s的取值范围由有理数推广到实数？ 提示：能把有理数指数幂的运算性质推广到实数指数幂运算. 数学·必修第一册 目 录 【知识梳理】 1. 无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα（a＞0，α为无理数）是一个 确定的 ⁠. 2. 实数指数幂的运算法则 （1）aras＝ar＋s（a＞0，r，s∈R）； （2）（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈R）； （3）（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈R）； （4）拓展： ＝ar－s（a＞0，r，s∈R）. 　　提醒：对于无理数指数幂aα，特别强调底数a＞0，如果a＜0，比如 （－1 ，无法判断其值是1还是－1. 实数　 数学·必修第一册 目 录 【例1】　化简下列各式： （1）π4－π·ππ－2；（2）（ ；（3） ×12 . 解：（1）π4－π·ππ－2＝π4－π＋π－2＝π2. （2）（ ＝ ＝π2－1＝π. （3） ×12 ＝ × ＝ ＝52＝25. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 关于无理数指数幂的运算技巧 （1）无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同； （2）若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根 式可以保留直接运算. 数学·必修第一册 目 录 训练1　计算下列各式的值（式中字母均是正数）： （1）（ ；（2） a－π. 解：（1）原式＝（ · ＝26·m3＝64m3. （2）原式＝ ＝a0＝1. 数学·必修第一册 目 录 提能点一 实际问题中的指数运算 02 PART 目 录 【例2】　从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混 合溶液后又用水加满，以此继续下去，则至少应倒 ⁠次后才能使酒精 的浓度低于10%. 解析：由题意，得第n次操作后溶液的浓度为 ，令 ＜ ，验 证可得n≥4.所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%. 4 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 指数运算在实际问题中的应用 　　在成倍数递增（递减）、固定增长率等问题中，常常用到指数运算， 用来计算增减的次数、增减前后的数量等. 训练2　如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次（1个分裂成 2个），那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成 个. 解析：经过1小时可分裂6次，可分裂成26＝64（个）. 64 数学·必修第一册 目 录 03 PART 提能点二 实数指数幂的综合运用 目 录 【例3】　已知 ＋ ＝ ，求下列各式的值： （1）a＋a－1； 解：将 ＋ ＝ 两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3. （2）a2＋a－2. 解：将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，即a2＋a－2＝7. 变式　在本例条件下求a2－a－2的值. 解：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝（a2＋a－2）2－4＝ 72－4＝45，∴y＝±3 ，即a2－a－2＝±3 . 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 利用整体代换法求分数指数幂的和（差） （1）整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结 论的结构特点，灵活运用恒等式是关键； （2）利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公 式及其变形公式. 常见的变形公式：x2＋x－2＝（x±x－1）2∓2，x＋x－1＝（ ± ） 2∓2， ＋ ＝（ ± ）2∓2. 数学·必修第一册 目 录 训练3　已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个根，且a＞b＞0，则 ＝ ⁠. 解析：∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个根，∴ ∵a＞b＞ 0，∴ ＞ .∵ ＝ ＝ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ . ​ 数学·必修第一册 目 录 1. · ＝（　　） A. 103 B. 1 C. 310 D. 解析： · ＝（2×5 ＝1 . √ 数学·必修第一册 目 录 2. 已知am＝4，an＝3，则 ＝（　　） A. B. 6 C. D. 2 解析：由题意得 ＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ . √ 数学·必修第一册 目 录 3. 已知 ＋ ＝5（x＞0），那么 ＋ ＝（　　） A. B. － C. ± D. 7 解析：（ ＋ ）2＝ ＋ ＋2＝5＋2＝7.又x＞0，故 ＋ ＝ . √ 数学·必修第一册 目 录 4. 式子 （a，b＞0）的值为 ⁠. 解析：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝1. 1 数学·必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）无理数指数幂的运算； （2）实际问题中的指数运算； （3）实数指数幂的综合运用. 2.应体会 在解决实数指数幂的综合运用问题时采用整体代换思想. 3.避易错 在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数 指数，也不能既含有分母又含有负指数. 数学·必修第一册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 下列运算中正确的是（　　） A. ＝ B. （－a2）5＝（－a5）2 C. （ －2）0＝1 D. （－ ）5＝－ 解析： ＝ ，故A错误；（－a2）5＝－ ＝－a10，（－a5）2＝a10，故B错误；当a＝4时，（ －2）0无意义，故C错误；（－ ）5＝ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第一册 目 录 2. 计算：3π× ＋（ ＋ ＝（　　） A. 17 B. 18 C. 6 D. 5 解析：原式＝ ＋ ＋1＝1π＋24＋1＝18. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 3. 一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折（即沿对边中点连线折 叠）10次，这时，报纸的厚度为（　　） A. 2.56厘米 B. 5.12厘米 C. 10.24厘米 D. 20.48厘米 解析：0.01×210＝10.24（厘米）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 4. 已知 ＋ ＝4，则 ＝（　　） A. 2 B. 4 C. 14 D. 16 解析：因为 ＋ ＝4，所以（ ＋ ）2＝42，即a＋a－1＋2＝16，所以a＋a－1＝14，所以 ＝ ＝a＋a－1＝14，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 5. 若 ＋ ＝3，则 ＝（　　） A. B. C. D. 解析：　由题意得 ＝9，且a＞0，所以a＋ ＝7，故 ＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 6. 〔多选〕下列计算正确的是（　　） A. ＝ B. （ ）（－3 ）÷ ＝－9a（a＞0，b＞0） C. ＝ D. 已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：　 ＝ ＝ ，故A错误；（ ）·（－3 ） ÷ ＝－9 · ＝－9a，故B正确； ＝ ＝（32 ＝ ＝ ，故C正确；因为x2＋x－2＝（x＋x－1）2－2＝2，所以（x＋x －1）2＝4，则x＋x－1＝±2，故D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 7. 求值： － －（π－3）0＝ ⁠. 解析：原式＝（22 － －1＝2－1－ －1＝ － －1＝－2. －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 8. 化简 ＝ ⁠. 解析：原式＝ ＝ ＝ ＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 9. 已知x－ ＝1，其中x＞0，则 － － ＝ ⁠. 解析：由x－ ＝1，x＞0可得x2＝x＋1，原式＝ － － ＝ － － ＝x－ ＝ ＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 10. （1）当x＝ ，y＝2－ 时，求（ － ）·（ ＋ ＋ ）的值； 解：原式＝（ － ）[（ ）2＋ ＋（ ）2]＝（ ）3 －（ ）3＝x2－y－1， 又∵x＝ ，∴x2＝2＋ ， ∵y＝2－ ，∴y－1＝1＋ ， ∴x2－y－1＝2＋ － ＝1＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 （2）若 ＝ －1，求 的值. 解：由 ＝ －1得 ＝ ＋1， ∴ ＝ ＋ －1＝2 －1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 11. 22k－1－22k＋1＋22k＝（　　） A. 22k B. 22k－1 C. －22k－1 D. －22k＋1 解析：原式＝ －22× ＋2× ＝（1－4＋2）× ＝－ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 12. 已知2a＝5b＝m，且 ＋ ＝2，则m＝（　　） A. B. 10 C. 20 D. 100 解析：　由题意得m＞0，∵2a＝m，5b＝m，∴2＝ ，5＝ ， ∵2×5＝ · ＝ ，∴m2＝10，∴m＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 13. 已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28（a＞0，且a≠1），则 ＝ ⁠. 解析：因为 所以①×②得 ＝26，所以am＝22.将am ＝22代入②，得22· ＝28，所以an＝2－6，所以 ＝ ·an＝ （am）4·an＝（22）4×2－6＝22＝4. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 14. （1）已知a＞0，b＞0，且ab＝ba，b＝8a，求a的值； 解：∵a＞0，b＞0，又ab＝ba，b＝8a，∴（ab ＝（ba ， 即a＝ ＝（8a ＝（8a ，∴ ＝ ，∴a7＝8，∴a＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解：经计算知f（4）－5f（2）g（2）＝0，f（9）－5f（3）g （3）＝0， 由此猜想f（x2）－5f（x）g（x）＝0. 证明如下：f（x2）－5f（x）g（x）＝ － · ＝ － ＝0. （2）已知函数f（x）＝ ，g（x）＝ .分别计算f（4）－5f （2）g（2）和f（9）－5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函数f （x）和g（x）对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 15. 已知2a·3b＝2c·3d＝6，求证：（a－1）（d－1）＝（c－1）（b－ 1）. 证明：因为2a·3b＝6＝2×3， 所以2a－1·3b－1＝1， 所以（2a－1·3b－1）d－1＝1， 即2（a－1）（d－1）3（d－1）（b－1）＝1，　① 又2c·3d＝6，所以2c－1·3d－1＝1. 所以（2c－1·3d－1）b－1＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 所以2（c－1）（b－1）3（d－1）（b－1）＝1，　② 由①②知2（a－1）（d－1）＝2（c－1）（b－1）， 所以（a－1）（d－1）＝（c－1）（b－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $