5.6 第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

5.6 函数y=Asin(ωx+φ) [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.理解y=Asin(ωx+φ)中φ，ω，A对图象的影响，掌握y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤. 2.会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象，通过函数的图象掌握A，ω，φ与图象的关系. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 φ，ω，A对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响 (1)φ对y=sin(x+φ)图象的影响 左 右 (2)ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)图象的影响 (3)A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)图象的影响 缩短 伸长 伸长 缩短 |微|点|助|解| 1.φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象影响的注意点 (1)y=sin(x+φ)与y=sin x的图象形状是完全一样的，y=sin(x+φ)的图象可以由y=sin x的图象向左或向右平移得到. (2)左右平移是对x本身而言的，如果x前面的系数不是1，应提取系数，然后进行左右平移. 2.ω对函数y=Asin(ωx+φ)图象影响的注意点 (1)ω(ω>0)影响函数y=sin(ωx+φ)的周期. (2)y=sin(ωx+φ)(ω≠1)与y=sin(x+φ)的图象形状不同，此变换称为横向伸缩变换. 3.A对函数y=Asin(ωx+φ)图象影响的注意点 (1)若A>0，则函数y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A，A]，最大值是A，最小值是-A；若A<0，则函数y=Asin(ωx+φ)的值域是[A，-A]，最大值是-A，最小值是A. (2)|A|的大小反映了曲线y=Asin(ωx+φ)波动幅度的大小. (3)y=Asin(ωx+φ)与y=sin(ωx+φ)的图象形状不同，此变换称为纵向伸缩变换. 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)由函数y=sin x的图象得到函数y=sin(x+φ)的图象，需向左平移|φ|个单位长度. (　 ) (2)“五点法”只能作函数y=sin x的图象，而不能作函数y=sin(x+φ)的图象. (　 ) (3)利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象时，“ωx+φ”依次取0，，π，，2π五个值. (　 ) (4)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”，与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致. (　 ) 基础落实训练 × × √ × 2.将函数y=sin x的图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，则所得图象对应的函数为 (　 ) A.y=3sin x　　　　　　 B.y=sin x C.y=sin 3x D.y=sinx √ 3.将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是(　 ) A.y=cos 2x B.y=1+cos 2x C.y=1+sin D.y=cos 2x-1 √ 解析：将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y= sin，即y=sin=cos 2x的图象.再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式为y=1+cos 2x. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　三角函数图象的平移变换 [例1]　已知函数f(x)=sin(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，怎样将f(x)的图象变换得到g(x)=cos ωx的图象? 解：因为T==π，所以ω=2. 所以f(x)=sin，g(x)=cos 2x. 又sin=sin=cos 2x. 所以将f(x)的图象向左平移个单位长度得到g(x)=cos 2x的图象. [变式拓展] 本例变为y=cos的图象如何变换得到y=sin x 的图象? 解：因为cos=cos=sin x， 所以将y=cos的图象向右平移个单位长度得到y=sin x的图象. |思|维|建|模| 三角函数图象平移变换问题的分类及策略 (1)确定函数y=sin x的图象经过变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行. (2)已知两个函数解析式，判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离. 针对训练 1.为了得到函数y=2sin 3x的图象，只要把函数y=2sin图象上所有的点(　 ) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 √ 解析：因为y=2sin=2sin，所以要得到函数y=2sin 3x的图象，只要把函数y=2sin的图象上所有的点向右平移个单位长度.故选D. √ 2.要得到y=cos的图象，只要将y=sin 2x的图象(　 ) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析：法一　y=sin 2x=cos=cos=cos= cos.所以将y=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y=cos的图象. 法二　根据诱导公式，得y=cos=sin= sin=sin 2， 所以将y=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y=cos的图象. 题型(二)　三角函数图象的伸缩变换 解：法一　y=sin x y=2sin x y=2sin y=2sin y=2sin+1. [例2]　说明y=2sin+1的图象是由y=sin x的图象经过怎样的变换得到的. 法二　y=sin x y=2sin x y=2sin 2x y=2sin y=2sin+1. |思|维|建|模|　 由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 针对训练 3.将函数y=sin的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　 ) A.y=sin B.y=sin C.y=sin x D.y=sin 4x √ 解析：将函数y=sin的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y=sin=sin的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，就得到y=sin= sin的图象. √ 4.把函数y=f(x)的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的，所得图象的解析式是y=2sin，则f(x)的解析式是(　 ) A.f(x)=3cos x B.f(x)=3sin x C.f(x)=3cos x+3 D.f(x)=sin 3x 解析：y=2sin y=3sin y=3sin y=3sin=3sin=3cos x. 题型(三)　“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象 [例3]　已知函数f(x)=sin，x∈[0，π]，用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数f(x)的图象. 解：由题意，列表： 根据五点，作图， 2x- - π x 0 π f(x) - 1 0 -1 - |思|维|建|模| 1.“五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象. 2.用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的步骤 第一步：列表 第二步：在同一坐标系中描出各点. 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象. ωx+φ 0 π 2π x - - - - - f(x) 0 A 0 -A 0 针对训练 5.已知函数y=sin，x∈R. (1)用“五点法”作出它在一个周期内的简图； 2x+ 0 π 2π x - y=sin 0 0 - 0 解：列表： 描点、连线，如图所示. (2)该函数的图象可由y=sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 解：函数y=sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y=sin的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的，得到函数y=sin的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的，得到函数y=sin的图象. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.用“五点法”作函数y=cos在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是(　 ) A. B. C. D. √ 解析：令4x-=，得x=.∴该点坐标为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.将函数f(x)=2sin的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为(　 ) A.g(x)=2sin B.g(x)=2sin C.g(x)=2sin D.g(x)=2sin √ 解析：将函数f(x)=2sin的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为g(x)=2sin=2sin.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是(　 ) A. B.2 C.1 D. √ 解析：依题意，得函数f=sin(ω>0)的图象过点，于是有f=sin=sin ωπ=0(ω>0)，所以ωπ=kπ，k∈N*，即ω=k，k∈N*，因此正数ω的最小值是1，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.(多选)用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象时，得到如下表格： 则下列说法正确的有(　 ) A.A的值为4 B.ω的值为1 C.φ的值为- D.φ的值为 √ x       ωx+φ 0 π 2π y 0 4 0 -4 0 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：由题表可知，函数f(x)的最大值为4，因为A>0，所以A=4，所以A正确；又由函数的最小正周期T==2×=π，且ω>0，解得ω=2，所以B错误；由上述分析，可得函数f(x)=4sin(2x+φ).当x=时，2x+φ=2kπ，k∈Z，可得2×+φ=2kπ，k∈Z，解得φ=-+2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ=-，所以C正确，D错误.故选AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.(多选)下列四种变换方式，能将y=sin x的图象变为y=sin的图象的是(　 ) A.向左平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的 B.横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 C.横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：将y=sin x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin的图象，再将横坐标缩短为原来的，可得y=sin的图象，故A正确；将y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，可得y=sin 2x的图象，再向左平移个单位长度，可得y=sin的图象，故B正确；将y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，可得y=sin 2x的图象，再向左平移个单位长度，可得y=sin=cos 2x的图象，故C错误；将y=sin x的图象向左平移个单位长度，可得y=sin的图象，再将横坐标缩短为原来的，可得y=sin的图象，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　 ) A. B. C.0 D.- √ 解析：得到的偶函数解析式为y=sin=sin，显然φ=符合题意. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.(5分)已知函数y=sin 2x的图象上每个点向左平移φ个单位长度得到函数y=sin的图象，则φ的值为_______.  解析：由题意，得2φ=，则φ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)将函数y=sin x的图象的横坐标和纵坐标同时伸长到原来的3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为 _________________.  y=3sin 解析：y=sin x y=3sin y=3sin=3sin. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)将函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得 到y=sin x的图象，则f=　　　　.  解析：将y=sin x的图象向左平移个单位长度得到y=sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y=sin的图象，故f(x)=sin，所以f=sin=sin=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)将函数y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后，与函数y=sin的图象重合，则φ=________.  解析：把函数y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后，得到y=cos(2x-π+φ)的图象，与函数y=sin的图象重合，则cos(2x-π+φ)=sin，即sin=sin.所以-+φ=-+2kπ，k∈Z.又0<φ<π，所以φ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(10分)已知函数f(x)=2sin. (1)用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数f(x)在[0，π]上的大致图象，并写出y=f(x)图象的对称中心；(5分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解：列表： x 0 π 2x+ π 2π y 1 2 0 -2 0 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 描点，连线，画出f(x)在[0，π]上的大致图象如图： 由图可知函数y=f(x)图象的对称中心为(k∈Z). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)先将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[0，π]上的值域.(5分) 解：将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y=2sin =2sin的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，所以g(x)=2sin，当x∈[0，π]时，-≤x-≤，函数g(x)单调递增，而g(0)=-1，g(π)=，所以函数g(x)在[0，π]上的值域为[-1，]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象过点P，且图象上与P点最近的一个最高点坐标为. (1)求函数f(x)的解析式；(4分) 解：由已知可得A=5，=-=，∴T==π，即ω=2，∴f(x)=5sin(2x+φ)， ∵5sin=0，|φ|<，∴+φ=0，即φ=-.∴y=5sin. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)指出函数f(x)的单调递增区间；(3分) 解：由2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z， ∴函数的单调递增区间是，k∈Z. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (3)若将此函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度，再向下平移2个单位长度得到g(x)的图象正好关于y轴对称，求m的最小正值.(3分) 解：由题可得g(x)=5sin-2， 又g(x)的图象正好关于y轴对称， 则2m-=+kπ，k∈Z，解得m=+，k∈Z. 当k=0时，m的最小正值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(10分)将函数y=lg x的图象向左平移一个单位长度，可得函数f(x)的图象；将函数y=cos的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)的图象. (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象；(7分) 解：函数y=lg x的图象向左平移一个单位 长度，可得函数f(x)=lg(x+1)的图象，记 为图象C1；函数y=cos的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)= cos=cos 2x的图象，记为图象C2.画出C1和C2的图象如图所示. (2)判断方程f(x)=g(x)解的个数.(3分) 解：由图象可知，两个图象共有5个交点.即方程f(x)=g(x)解的个数为5. 本课结束 $$