专题04 三角形全等的基本判定方法（专项训练）数学人教版2024八年级上册

专题04 三角形全等的基本判定方法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、用SSS证明两三角形全等 1 题型二、用ASA证明两三角形全等 4 题型三、用AAS证明两三角形全等 8 题型四、用SAS证明两三角形全等 11 题型五、用HL证明两三角形全等 15 题型六、添加条件使两三角形全等 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、用SSS证明两三角形全等 1.如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 2.开封风筝是河南开封地区传统民间工艺品．开封风筝历史悠久、种类繁多、做工精细、独具特色．每年农历正月至三月的庙会上，各式各样的风箏竞相牵放，景象十分壮观．图1是小华制作的风筝，图2是风筝骨架的示意图，其中，． (1)求证：； (2)小华发现平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由． 3.（推理能力）如图，是上的两个动点，且． (1)若点运动至图①所示的位置，且．试说明：； (2)若点运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由； (3)若点不重合，且，则和平行吗？请说明理由． 4.如图，是的中点，且． (1)试说明：； (2)判断和的位置关系，并说明理由． 题型二、用ASA证明两三角形全等 5.如图，点在线段上，，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 6.如图．在和中，点，，，在同一条直线上．已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 7.如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，求的大小． 8.如图，点在一条直线上，，交于点．试说明： (1)； (2)与互相平分． 题型三、用AAS证明两三角形全等 9.如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10.如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 11.陈同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点A和B分别与木墙的顶端重合． (1)求证：． (2)求两堵木墙之间的距离． 12.如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 题型四、用SAS证明两三角形全等 13.如图，点A，D，B，E在同一直线上，，，，求证：． 14.如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 15.如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D． (1)求证：； (2)若G是上一点，满足，连接，证明：． 16.如图，平分的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型五、用HL证明两三角形全等 17．如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且，求证：． 18．如图，，是上的一点，且，． (1)与全等吗？并说明理由； (2)求证：． 19．如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 20．如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 题型六、添加条件使两三角形全等 21.如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，依据“”证明，需再添加一个条件是 ． 22.如图，点是的中点，要使，还需要添加一个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 23.如图，，，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使，则需添加的条件是 ． 24.按照下列条件，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，．能画出唯一确定的三角形的是 ．（写出所有正确结论的序号） 一、单选题 1．根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，在和中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，AC、BD交于点，，添加：①；②；③；④，四个条件中的一个，能使的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在中，是中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 5．如图，已知，为的中点，若，，则 ． 6．如图，在中，，于点E，，且，则的度数为 ． 7．如图，已知，且，，，则的度数为 ． 8．如图，在中，，和的平分线相交于点，交于，交于，，，，则周长为 ． 三、解答题 9．如图，在中，，过的中点D作，，垂足分别为点E、F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 10．如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 11．如图，于点D，于点E，，与交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 12．如图，是线段上的一点，是过点的一条线段，连接、，过点作交于点，且． (1)求证：． (2)点C为上一点，连接，若，，，求的长． 13．如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．        (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），，，平分交于点G，求的度数． 14．如图，在中，于点D，E为上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，试求△的面积． 15．如图，P是上一点，于点D，于点E，F，G分别是，上的点，且，． (1)求证：； (2)求证：是的角平分线． 16．已知中，，，中，，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当D在上，E在的延长线上，直线相交于点F，求证：； 17．已知：如图，其中． (1)将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在上，的延长线交于点F．求证：； (2)改变的位置，使交的延长线于点F（如图②）写出此时与之间的数量关系，并说明理由． 18．张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是张老师在“利用角的对称性构造全等模型”开展的微专题探究活动，请仔绍阅读，并完成相应任务． 活动1：用直尺和圆规作已知角的平分线，如图所示，则由，可得． 活动2：如图2，在中，，是的角平分线，在上截取，连接，则． 请完式下列任务： (1)在活动1、活动2中，判定三角形全等的依据依次是______，______填序号 ① ② ③ ④ (2)【迁移探究】 如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点，试判断与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展探究】 如图4，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形全等的基本判定方法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、用SSS证明两三角形全等 1 题型二、用ASA证明两三角形全等 4 题型三、用AAS证明两三角形全等 8 题型四、用SAS证明两三角形全等 11 题型五、用HL证明两三角形全等 15 题型六、添加条件使两三角形全等 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、用SSS证明两三角形全等 1.如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 先得到，再用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 2.开封风筝是河南开封地区传统民间工艺品．开封风筝历史悠久、种类繁多、做工精细、独具特色．每年农历正月至三月的庙会上，各式各样的风箏竞相牵放，景象十分壮观．图1是小华制作的风筝，图2是风筝骨架的示意图，其中，． (1)求证：； (2)小华发现平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)正确，见解析 【知识点】全等三角形的性质、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质； （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质及角平分线定义求解即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：正确，理由： 由（1）得， ∴， 即平分， 所以小华的发现是正确的． 3.（推理能力）如图，是上的两个动点，且． (1)若点运动至图①所示的位置，且．试说明：； (2)若点运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由； (3)若点不重合，且，则和平行吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立．理由见解析 (3)．理由见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟悉三角形全等的判定定理是基础，在不同图形中由得出是关键． （1）由知，即，又、，由可证； （2）由知，即，又、，由可证； （3）由（1）（2）知，所以，可由平行线的判定得出． 【详解】（1）解：因为， 所以， 即． 在和中， 所以． （2）解：成立．理由如下： 因为， 所以，即． 在和中， 所以． （3）解：．理由如下： 由（1）（2）知， 所以， 所以． 4.如图，是的中点，且． (1)试说明：； (2)判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． （1）根据证明即可； （2）根据三角形全等的性质得出，再根据平行线的判定得出答案即可． 【详解】（1）解：因为E是的中点， 所以， 因为，所以， 在和中， ， 所以． （2）解：．理由如下： 因为， 所以， 所以． 题型二、用ASA证明两三角形全等 5.如图，点在线段上，，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由，，可得，利用“”即可得证； （2）根据全等三角形的性质得到，，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ； （2）， ，， ． 6.如图．在和中，点，，，在同一条直线上．已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)17 【知识点】两直线平行内错角相等、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，根据性质解答即可． （1）根据平行线的性质得到，再根据全等三角形的判定定理即可证明． （2）根据全等三角形的性质得到，再由，，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴． 7.如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． （1）首先利用平行线的性质得，再利用得出，然后根据全等三角形的性质及线段的和差即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再根据平行线的性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中 ， ， ， ，， ； （2）由（1）可知，， ， ， ， ， ． 8.如图，点在一条直线上，，交于点．试说明： (1)； (2)与互相平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）在和中，运用角边角即可求证； （2）在和中，可证，得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：由（1）可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴与互相平分． 题型三、用AAS证明两三角形全等 9.如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为8． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， （1）利用等量代换得，从而利用“”证明即可； （2）由（1）知，可得，再利用求解即可． 【详解】（1）证明：，，且， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， 的长为8． 10.如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质． （1）根据、，利用直角三角形两锐角互余的性质得出，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，即可求出，进而可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 11.陈同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点A和B分别与木墙的顶端重合． (1)求证：． (2)求两堵木墙之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)两堵木墙之间的距离为 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题主要考查了全等三角形判定与性质的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． （1）根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， ， 在和中， （2）解：由（1）知， ，， 又根据题意由图可得：，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 12.如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）先由平行线的性质可得，最后再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，从而即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）可得：， ，， ∵，， ，， ． 题型四、用SAS证明两三角形全等 13.如图，点A，D，B，E在同一直线上，，，，求证：． 【答案】证明过程见解析． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，解题的关键是通过已知条件证明三角形全等，进而得到角相等，从而证明两直线平行． 先根据得出，再结合已知的和，利用“边角边”判定定理证明，得到对应角相等，最后根据同位角相等证明． 【详解】， ， ， 在和中， ， ． ． ． 14.如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用已知条件证明三角形全等，再根据全等三角形的性质得出对应边相等． （1）先由推出，再结合已知的另外两组相等边，根据（SSS）判定定理证明； （2）根据（1）中得到的全等三角形得出对应角相等，再利用（SAS）判定定理证明，进而得到． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）证明： 在和中 15.如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D． (1)求证：； (2)若G是上一点，满足，连接，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的性质是解答的关键． （1）根据题意判定即可得到本题答案； （2）由（1）可得，再结合已知即可判定，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 16.如图，平分的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质； （1）先证明，再利用证明即可； （2）先求解，再结合全等三角形的性质可得，再进一步求解即可得到答案． 【详解】（1）解： 平分 ， ， 又 ， ． （2）解： ， ， 由 （1）知 ， ． 题型五、用HL证明两三角形全等 17．如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的和差关系得到，证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴与都为直角三角形， 在和中，， ∴， ∴． 18．如图，，是上的一点，且，． (1)与全等吗？并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）等角对等边，得到，证明两个三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质结合等角的余角，求出即可． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出； （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，，， ， 在和中， ， ， ． 20．如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由得，证明，即可证明； （2）证明，得到即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， 即G是线段的中点． 题型六、添加条件使两三角形全等 21.如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，依据“”证明，需再添加一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了三角形全等的判定方法，由于，加上为公共边，所以当添加时，依据“”可判断， 【详解】解：∵，， ∴当添加时，． 也可添加，则可证明，得到， 故答案为：（答案不唯一）． 22.如图，点是的中点，要使，还需要添加一个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】线段中点的有关计算、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了三角形全等的判定．熟练掌握三角形全等的判定定理，是解题的关键． 根据三角形全等所需条件，进行添加即可，答案不唯一． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又，， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 23.如图，，，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使，则需添加的条件是 ． 【答案】（或或） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵且要使， ∴①当时，；②当时，；③当时，； 故答案为：（或或）． 24.按照下列条件，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，．能画出唯一确定的三角形的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②④ 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、构成三角形的条件 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理有以及直角三角形全等的判定定理还有． 根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：①根据、、，不能画出三角形，不符合题意； ②根据，，可得，符合能画出唯一三角形，符合题意； ③根据，，符合不能画出唯一三角形，不符合题意； ④根据，，符合能画出唯一三角形，符合题意； ⑤根据，，符合不能画出唯一三角形，不符合题意． 故答案为：②④． 一、单选题 1．根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定条件和三角形三边关系，逐一分析各选项是否满足唯一性． 【详解】解：A.已知，，，当三角形为直角三角形时，斜边和一条直角边确定，则满足，可知该三角形是唯一确定的；可唯一确定三角形，符合条件． B.已知，，，此条件为两边及其中一边的对角，可能存在两种不同三角形，无法唯一确定． C. ，，，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），无法构成三角形． D. ，，，已知三个角均为定值，但仅确定三角形形状（相似），未给出边长，无法唯一确定三角形． 综上，只有选项A能画出唯一． 故选：A． 2．如图，在和中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 根据判定后可得，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， 则中，． 故选：． 3．如图，AC、BD交于点，，添加：①；②；③；④，四个条件中的一个，能使的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是添加条件判定三角形确定，根据添加的条件结合全等三角形的判定方法逐一分析即可. 【详解】解：∵，，， ∴，故①符合题意； ∵，，， ∴不能判定，故②不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴，故③符合题意； ∵，，， ∴，故④符合题意； 故选：C 4．如图，在中，是中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，全等三角形的判定和性质，根据中线的定义可判断①；证明，可判断②③；证明，根据平行线的性质得出，可判断④；根据得出，结合，可判断⑤． 【详解】解：是中线， ，故①正确； ，， ，， ，， ， 又，， ， ，，故②③正确； ，， ， ，故④错误； ， ， ， ，故⑤正确； 综上可知，正确的有① ② ③ ⑤，共4个， 故选C． 二、填空题 5．如图，已知，为的中点，若，，则 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据平行线的性质得出，再根据对顶角相等得到，证明，进而利用全等三角形的判定与性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 6．如图，在中，，于点E，，且，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，，求得，再根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ， 于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．如图，已知，且，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，先证明，得到，角的和差关系求出，8字型图，得到，平角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：在和中， ， ． ，， ， ． ， ， ． 故答案为：． 8．如图，在中，，和的平分线相交于点，交于，交于，，，，则周长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的意义，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键． 延长交于N，延长交于M，可证，有；同理可证明，有，再证明，则有；由即可求解． 【详解】解：如图，延长交于N，延长交于M， ∵， ∴； ∵平分， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； 同理可证明，有； 在与中， ， ∴， ∴； ∵，， ∴ ． 故答案为：6． 三、解答题 9．如图，在中，，过的中点D作，，垂足分别为点E、F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，涉及等腰三角形，三角形内角和定理等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． （1）先证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先求出，再根据，求出的值，然后根据三角形内角和即可求出． 【详解】（1）证明：， ． D是的中点， ． 在和中， ， ． （2）解：由（1）， ， ， ， ， ， 中，， ． 10．如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定、全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再运用证明三角形全等即可； （2）由全等三角形的性质可得，再运用三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：． 在与中， ， ∴． （2）解：∵ ∴， ∴． 11．如图，于点D，于点E，，与交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）利用角角边可证明； （2）根据，可得，，从而得到，再证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．如图，是线段上的一点，是过点的一条线段，连接、，过点作交于点，且． (1)求证：． (2)点C为上一点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）根据平行线的性质和全等三角形的判定证明，再运用全等三角形的性质即可证得结论； （2）由证得，根据全等三角形的判定证明，则有、即，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．        (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），，，平分交于点G，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，角平分线定义，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键． （1）先根据得，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）先求出，再由和全等得，再根据平分得，然后根据三角形外角性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中 ， ； （2）解：在中，， ， 由（1）可知：， ， 平分交于点G， ， 又是的一个外角， ， ， ． 14．如图，在中，于点D，E为上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，试求△的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法， （1）利用即可证明； （2）根据，可得，进而求出，，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明： 在和中 （2）解：∵ ∴， ∵，，， ∴，， ∴． 15．如图，P是上一点，于点D，于点E，F，G分别是，上的点，且，． (1)求证：； (2)求证：是的角平分线． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解； 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）根据直接证明即可； （2）根据（1）得到，结合判定证明即可得到结论. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在与中， ∵，， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 16．已知中，，，中，，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当D在上，E在的延长线上，直线相交于点F，求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、三角形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算方法是解题的关键． （1）由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，由三角形外角的性质得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中，，，， ∴， ； （2）证明：在和中，，，， ∴， ， 为、的外角， ， ， ． 17．已知：如图，其中． (1)将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在上，的延长线交于点F．求证：； (2)改变的位置，使交的延长线于点F（如图②）写出此时与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了直角三角形全等的性质和判定，除了一般三角形全等的判定方法外，还要掌握直角三角形特殊的全等判定，根据三角形全等将结果中的三条线段转化到一条直线中，得出结论． （1）由得，根据证明得，由代入可得结论； （2）如图②，（1）中的结论不成立，有，根据证明得，再由得出结论． 【详解】（1）证明：如图①，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，（1）中的结论不成立，有，理由是： 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 18．张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是张老师在“利用角的对称性构造全等模型”开展的微专题探究活动，请仔绍阅读，并完成相应任务． 活动1：用直尺和圆规作已知角的平分线，如图所示，则由，可得． 活动2：如图2，在中，，是的角平分线，在上截取，连接，则． 请完式下列任务： (1)在活动1、活动2中，判定三角形全等的依据依次是______，______填序号 ① ② ③ ④ (2)【迁移探究】 如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点，试判断与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展探究】 如图4，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)④；① (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）活动1：连接，，由尺规作图可知，，进而可依据“”判定和全等； 活动2：在上截取，连接，根据角平分线定义得，进而可依据“”判定和全等，由此即可得出答案； （2）在上截取，连接，根据得，根据角平分线定义得，，进而可依据“”判定和全等得，和全等得，由此可得出与的数量关系； （3）在上截取，连接，求出，则，，进而依据“”判定和全等得，，则，由此可依据“”判定和全等得，由此即可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）活动1：连接，，如图1所示： 由尺规作图可知：，， 在和中， ， ； 活动2：在上截取，连接，如图2所示： 是的角平分线， ， 在和中， ， ， 故答案为：④；①； （2）与的数量关系是：，理由如下： 在上截取，连接，如图3所示： ， ， ， 的平分线与的平分线恰好交于边上的点， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）猜想与之间的数量关系是：，理由如下： 在上截取，连接，如图4所示： 在中，， ， ，是的两条角平分线，且交于点， ，， ， 是的外角， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， . 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$