专题03 全等三角形中动点与新定义型问题（专项训练）数学人教版2024八年级上册

专题03 全等三角形中动点与新定义型问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用全等三角形的性质求时间的多解问题 1 题型二、利用全等三角形的性质求速度的多解问题 4 题型三、利用全等三角形的性质求动点中的最值问题 9 题型四、利用全等三角形的性质解决动点综合问题 12 题型五、利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用全等三角形的性质求时间的多解问题 1.如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（    ）秒时，与全等． A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12 2.如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，与全等． 3.如图，，垂足为点，米，米，射线，垂足为点，动点从点出发以2米/秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过 秒时（不包括0秒），由点组成的三角形与全等． 题型二、利用全等三角形的性质求速度的多解问题 4．如图，在长方形中，，，延长至点使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动．当点运动 秒时，和全等． 5．如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为 时，与全等． 6．在中，，，，，动点P从点A出发，沿运动，回到点A停止，速度为． （1）如图1，当点P到，的距离与相等时， ； （2）如图2，在中，，，，．在中，若另外有一个动点Q与点P同时出发，从点A沿着运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好，则点Q的运动速度为 ． 题型三、利用全等三角形的性质求动点中的最值问题 7．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是上的动点，若，当的值最小时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 8.如图，钝角的面积为12，最长边，平分，点M、N分别是上的动点，则的最小值是 ． 9.如图，在中，，，，，点D是上一点，连接，点D到的距离等于的长，P、Q分别是上的动点，连接，则的最小值是 ． 题型四、利用全等三角形的性质解决动点综合问题 10．如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．证明：为的平分线． 11．如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？ 12．在中，，，是直线上的一个动点，连接，过点作的垂线，垂足为点，过点作的平行线交直线于点． (1)基础探究：如图1，当点为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点在线段上（不与重合）时，探究线段，，之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）． (3)拓展探究：如图3，当点在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段，，之间的数量关系． 题型五、利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题 13.新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 14.定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 15.【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． 一、单选题 1．如图，在四边形中，，点是边上的动点，连接，若平分，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 3．如图，点是射线上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，连接，若的大小为（   ） A． B． C． D．随2点的移动而变化 二、填空题 4．如图，平分，于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为 ． 5．如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为 ． 6．如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则 ． 三、解答题 7．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，与为偏等积三角形，如图，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点． (1)求证： (2)求的长度． 8．如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿直线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)若，试求动点的运动时间的值； (2)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 9．定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为珺琟友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们_____（填是或否）珺琟友谊三角形； (2)如图1，在四边形中，平分，，与是珺琟友谊三角形，请探究与之间的关系； (3)如图2，在四边形中，，求证：与是珺琟友谊三角形． 10．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如1，在四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”． (1)如图2，四边形是“对补四边形”，是四边形的一个外角，求证：； (2)在（1）的条件下，，，在上取点E，使，在上取点F，使，连接，点G是的中点，过点E作与的延长线相交于点H，连接，，探索与的关系，并证明． 11．知识再现： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，如图①，是的平分线上任意一点，若，，垂足分别为，，则． 从运动角度看： 如图①，射线是的平分线，，，分别是，，上的动点，若，则． (1)初步探究： 如图②，射线是的平分线，，，分别是，，上的动点，若，则与的数量关系是______； (2)猜想验证： 如图③，射线是的平分线，，，分别是，，上的动点，若，则与的大小有什么关系？请写出你的结论并证明； (3)拓展应用： 在平面直角坐标系中，点在轴上，点在函数的图象上，点在轴上，连接，，若，请直接写出点的坐标． 12．定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试： （1）如图①，在中，若，，为上一点，当的长为_____时，与为偏等积三角形； 理解运用： （2）如图②，已知：在钝角中（），与为偏等积三角形，若，，，试求的取值范围； 综合应用： （3）如图③，已知为直角三角形，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，求证：与为偏等积三角形． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 全等三角形中动点与新定义型问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用全等三角形的性质求时间的多解问题 1 题型二、利用全等三角形的性质求速度的多解问题 4 题型三、利用全等三角形的性质求动点中的最值问题 9 题型四、利用全等三角形的性质解决动点综合问题 12 题型五、利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用全等三角形的性质求时间的多解问题 1.如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（    ）秒时，与全等． A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图1，Q在上，点P在上时，作， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，， ∵， ∴， 当， 则， ∴， 解得：； ③如图3，当点Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当， 则， 即， 解得：； 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等， 故选D． 2.如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，与全等． 【答案】1或7 【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得． 【详解】解：由题意得：， 若， 根据证得， ，即， 若， 根据证得， ，即． 当t的值为1或7秒时．与全等． 故答案为：1或7． 3.如图，，垂足为点，米，米，射线，垂足为点，动点从点出发以2米/秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过 秒时（不包括0秒），由点组成的三角形与全等． 【答案】秒或秒或 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当点在线段上，时，；当在上，时，；当在线段上，时；当在上，时，；分别利用三角形全等的性质进行求解即可，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：当点在线段上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； 当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； 当在线段上，时，此时在点未动，时间为秒，不符合题意； 当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； 综上所述，当点经过秒或秒或秒时（不包括0秒），由点组成的三角形与全等， 故答案为：秒或秒或． 题型二、利用全等三角形的性质求速度的多解问题 4．如图，在长方形中，，，延长至点使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动．当点运动 秒时，和全等． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，①点在上时，由全等三角形的性质，即可求解；②点在上时，同理可求；掌握全等三角形的性质，能根据点的位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①点在上时，如图， ， ， 运动秒； ②点在上时，如图， ， ， ， 的运动路程为： ， ， 运动秒； 运动或秒； 故答案为：或． 5．如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为 时，与全等． 【答案】2或 【分析】可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【详解】解：①当，时，， ， ， ， ，解得：， ， ， 解得：； ②当，时，， ， ， ，解得：， ， ， 解得：， 综上所述，当或时，与全等， 故答案为：2或． 【点睛】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 6．在中，，，，，动点P从点A出发，沿运动，回到点A停止，速度为． （1）如图1，当点P到，的距离与相等时， ； （2）如图2，在中，，，，．在中，若另外有一个动点Q与点P同时出发，从点A沿着运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好，则点Q的运动速度为 ． 【答案】 3 或或或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、角平分线的判定；解题的关键是注意分类讨论． （1）连接，证明，得出，根据即可求出结果； （2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】解：（1）连接，如图所示： ∵点P到，的距离与相等， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． （2）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴运动时间为。 则， 解得； ②当点在上，点在上，时， ， ∴运动时间为， 则， 解得：； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴此时运动时间为， 则， 解得； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴此时运动时间为， 则， 解得； ∴运动的速度为或或或． 故答案为：或或或． 题型三、利用全等三角形的性质求动点中的最值问题 7．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是上的动点，若，当的值最小时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识．过点作于点，交于点，过点作于点，与交于点，连接，可证得，同理，可知，，，进而可知，即，在上时最小．由是的角平分线，可知，由“直角三角形两锐角互余”可得，则，由此可得结论． 【详解】解：在上，作于点，交于点，过点作于点，与交于点，连接，，如图，则，    ∵平分， ∴， ∵，， ∴，同理， ∴，，， ∴，即：，在上时最小． 是的角平分线， ， ∵， ，则， ． 故选C． 8.如图，钝角的面积为12，最长边，平分，点M、N分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．过点C作于点E，交于点M，过点M作于N，则当点C，M，N三点重合时，取得最小值，最小值为的长．再根据三角形的面积公式求出的长，即可． 【详解】解：过点C作于点E，交于点M，过点M作于N， ∵平分，，， ∴， ∴， 即当点C，M，N三点重合时，取得最小值，最小值为的长． ∵的面积为12，最长边， ∴，即， ∴ 即的最小值为3． 故答案为：3． 9.如图，在中，，，，，点D是上一点，连接，点D到的距离等于的长，P、Q分别是上的动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】// 【分析】 本题考查角平分线判定及性质定理，最短路径，垂线段最短．根据题意可知是的平分线，过点作交于点，再过点作交于点，此时有最小值． 【详解】解：点D到的距离等于的长， ∴是的平分线， 过点作交于点，再过点作交于点， ∴， ∵， ∴此时有最小值， ∵中，，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四、利用全等三角形的性质解决动点综合问题 10．如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．证明：为的平分线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的判定．过作于点，于点，利用定理证明，得到，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； 【详解】证明：如图，过作于点，于点， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的平分线． 11．如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）证明，利用全等三角形的对应角相等得到，进而利用三角形的内角和定理和等量代换进行角度运算可得结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 12．在中，，，是直线上的一个动点，连接，过点作的垂线，垂足为点，过点作的平行线交直线于点． (1)基础探究：如图1，当点为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点在线段上（不与重合）时，探究线段，，之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）． (3)拓展探究：如图3，当点在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)图见详解，当点在线段的延长线上运动时：，当点在线段的延长线上运动时： 【分析】（1）根据证明，则可得，由点为的中点，可得，则可得，由可得； （2）同（1）证法相同，先证，则可得，由，，可得； （3）①当点在线段的延长线上运动时，同（1）得，由，可得； ②当点在线段的延长线上运动时，同（1）得，由，可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴． （2）解：当点在线段上（不与重合）时，线段，，之间的数量关系为，理由如下： ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3）解：①如图，当点在线段的延长线上运动时， 同（1）得， ∴ ∵，， ∴； ②如图，当点在线段的延长线上运动时， 同（1）得， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行线的性质、三角形的内角和定理、余角性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 题型五、利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题 13.新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， 在和中， ， 在中 为正整数， ； （3）是积等三角形 证明：如图3，过点作于点，      在和中， ， 与为积等三角形． 14.定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 【答案】(1)，详见解析 (2)45 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识， （1）由“同源三角形”的定义可证，然后根据证明即可； （2）由“同源三角形”的定义和可求出，由（1）可知，得，然后根据“8”字形图形即可求出的度数； （3）由（1）可知，可得，根据证明，可得，进而可证结论成立； 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）． 理由：∵和是“同源三角形”， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）∵和是“同源三角形”， ∴． ∵， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴． 故答案为：45； （3）由（1）可知， ∴，． ，的中点分别为， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 15.【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理： （1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； （3）解：延长交于点， 是的“边垂角”， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于直线对称点为点， ， ， ； 一、单选题 1．如图，在四边形中，，点是边上的动点，连接，若平分，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质定理、垂线段最短，过A作于，则的长为的最小值，根据角平分线的性质定理求得即可． 【详解】解：过A作于，则的长为的最小值， ∵平分，，，， ∴， 即的最小值为2， 故选：B． 2．题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可得，，，即得，又由可得，然后分和两种情况根据全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时，则，， ∴，， ∴， ∴此时点的速度为； 当时，则，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴此时点的速度为； 综上，动点的速度为或， 故选：． 3．如图，点是射线上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，连接，若的大小为（   ） A． B． C． D．随2点的移动而变化 【答案】C 【分析】该题主要考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 根据题意得出，过点作交于点，作交于点，作交于点，根据角平分线的性质得出，证明，得出，证明，得出是的角平分线，算出，再根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵的平分线和的平分线所在直线相交于点D， ∴， ∵过点作交于点，作交于点，作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 4．如图，平分，于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查角平分线的性质；垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．作于，根据角平分线的性质求出的长即可． 【详解】解：作于， ∵平分， ， 又 ∵点是射线上一个动点， ， ∴，最小值为3， 故答案为：3． 5．如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称，角平分线的定义，过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，使，连接，进而判断出，得出，即可判断出时，最小，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于H，并延长， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴（假设点Q是定点，点共线时，取最小）， ∵点Q是动点， ∴当时，即点与点H重合，的最小值为， 故答案为：10． 6．如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则 ． 【答案】3或7 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．分两种情况讨论，当为线段上时，作于点，证明，求得，，，再证明，求得，即可求解的长；当为线段上时，同理求解即可． 【详解】解：当为线段上时，作于点， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 当为线段上时，作交延长线于点， 同理， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为3或7． 故答案为：3或7． 三、解答题 7．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，与为偏等积三角形，如图，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点． (1)求证： (2)求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据与为偏等积三角形，得到，由得，又，证得，所以； （2）由（1）知，得，，根据三角形三边关系可得，所以，再根据线段的长度为正整数，即可得的长度． 【详解】（1）解：与为偏等积三角形， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知， ，， ， ， ， ， 的长度为正整数， ， ． 8．如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿直线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)若，试求动点的运动时间的值； (2)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1)动点的运动时间或； (2)或时，与全等． 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题； （2）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值；当点在点下方时，进行求解即可． 【详解】（1）解：作，，则， ， ， 当点在点左侧时， ∴, 即， 解得：； 当点在点右侧时，， ∴，解得， 综上动点的运动时间或； （2）当点在点上方时， ，， ∴当时，， 即或， 解得：或（舍去）， 当点在点下方时， ， ∴， ， ∴； 答：或时，与全等． 9．定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为珺琟友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们_____（填是或否）珺琟友谊三角形； (2)如图1，在四边形中，平分，，与是珺琟友谊三角形，请探究与之间的关系； (3)如图2，在四边形中，，求证：与是珺琟友谊三角形． 【答案】(1)是 (2)∠B+∠D＝180° (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了新定义、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识点，理解珺琟友谊三角形的定义是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图1中，在上取一点H，使得．再证明，然后根据全等三角形的性质及等量代换即可解答； （3）如图2中，根据三角形的内角和可得，如图：延长到点G，连接，使，易证可得，再结合为公共边以及珺琟友谊三角形的定义即可证明结论． 【详解】（1）解：∵全等三角形的对应边相等，对应角相等， ∴两个三角形全等，必有有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等， ∴若两个三角形全等，它们是珺琟友谊三角形． 故答案为：是． （2）解：∵平分， ∴， ∵，与是珺琟友谊三角形， ∴， 如图1中，在上取一点H，使得． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图2中， ∵， ∴， 如图：延长到点G，连接，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵为公共边， ∴与是珺琟友谊三角形． 10．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如1，在四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”． (1)如图2，四边形是“对补四边形”，是四边形的一个外角，求证：； (2)在（1）的条件下，，，在上取点E，使，在上取点F，使，连接，点G是的中点，过点E作与的延长线相交于点H，连接，，探索与的关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，，见解析 【分析】本题考查四边形的外角，全等三角形的判定与性质； （1）根据“对补四边形”可得，再结合外角可得，即可得到； （2）先证明，得到，再证明得到，，最后根据，得到． 【详解】（1）证明：∵四边形是“对补四边形” ∴， ∵， ∴； （2）解：，，证明如下： ∵G为的中点， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴．． 11．知识再现： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，如图①，是的平分线上任意一点，若，，垂足分别为，，则． 从运动角度看： 如图①，射线是的平分线，，，分别是，，上的动点，若，则． (1)初步探究： 如图②，射线是的平分线，，，分别是，，上的动点，若，则与的数量关系是______； (2)猜想验证： 如图③，射线是的平分线，，，分别是，，上的动点，若，则与的大小有什么关系？请写出你的结论并证明； (3)拓展应用： 在平面直角坐标系中，点在轴上，点在函数的图象上，点在轴上，连接，，若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或，证明见解析 (3)的坐标为或 【分析】本题考查角平分线性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形判定定理和性质定理． （1）证明，即可得； （2）过点分别作于，于，分两种情况：①由是的平分线，，证明，可得；②，同理得，有，可得； （3）设，根据，有，即可解得的坐标为或． 【详解】（1）解：如图： 射线是的平分线， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）或，证明如下： 过点分别作于，于， 是的平分线， ，， 当时， 在和中， ， ， ； 当时， 同理得， ； ， ； （3）设， ，， ，， ， ， 解得或， 的坐标为或． 12．定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试： （1）如图①，在中，若，，为上一点，当的长为_____时，与为偏等积三角形； 理解运用： （2）如图②，已知：在钝角中（），与为偏等积三角形，若，，，试求的取值范围； 综合应用： （3）如图③，已知为直角三角形，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，求证：与为偏等积三角形． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，构成三角形的条件： （1）根据三角形中线平分三角形面积可知当点P为的时，满足题意，据此可得答案； （2）延长到E，使得，连接，根据题意可得，则，证明，得到，根据，，，且，列出不等式组求解即可； （3）：如图，过点作，交的延长线于点，证明，得到，则可证明，再由与不全等，即可证明与为偏等积三角形． 【详解】解：（1）∵三角形中线平分三角形面积， ∴当点P为的时，与的面积相等， ∵， ∴， ∴与不全等， ∴当，与为偏等积三角形， 故答案为：； （2）如图所示，延长到E，使得，连接， ∵与为偏等积三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，且， ∴， 解得， 综上所述，； （3）证明：如图，过点作，交的延长线于点， ∴ 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵与不全等， ∴与为偏等积三角形． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$