专题05 判定三角形全等的三大基本思路（专项训练）数学人教版2024八年级上册

专题05 判定三角形全等的三大基本思路 目录 A题型建模・专项突破 题型一、已知两边对应相等解题思路 1 题型二、已知两角对应相等解题思路 5 题型三、已知一边一角对应相等解题思路 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、已知两边对应相等解题思路 条件：已知两边对应相等； 解题思路：①找夹角对应相等，利用SAS证全等； ②找第三边对应相等，利用SSS证全等. 1.如图所示，、、、四点在同一条直线上，若，，， 求证： (1)； (2)． 2．如图，点在一条直线上，． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），平分交于点，求的度数． 3.如图，在四边形中，为上的一点 求证： (1)平分； (2) 4.已知：如图，点，在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型二、已知两角对应相等解题思路 条件：已知两角对应相等； 解题思路：①找夹边对应相等，利用ASA证全等； ②找非夹边的边对应相等，利用AAS证全等. 5．如图，∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，求证：AB=DC． 6.如图，，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 7.如图，已知． (1)证明：； (2)若，求的度数． 8.如图，在与中，，，，与交于点； (1)求证：． (2)若，，求的度数． 题型三、已知一边一角对应相等解题思路 （1）条件：有一边和该边的对角对应相等； 解题思路：找另一角对应相等，利用AAS证全等. （2）条件：有一边和改边的领角对应相等； 解题思路：①找夹该角的另一边对应相等，利用SAS证全等; ②找另一角对应相等，利用AAS或ASA证全等. 9．如图，已知，，，求证：．    10.如图，在四边形中，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 11．如图，，点D在边上，与相交于点O； (1)求证：； (2)若，求的度数． 12.如图，在和中，点E在边上，，与交于点G． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 一、解答题 1．如图，在上各取一点E，D，使，连接，相交于点O，连接，．求证： (1) (2)． 2．已知：如图，于为上一点，交于，，．    (1)求证：； (2)若，，求． 3．如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连接交边于． (1)求证：； (2)若，求线段的长度． 4．如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 5．如图，在中，，点E是延长线上一点，D为下方一点，连接，过点D作交于点F，且． (1)求证：； (2)连接交于点G，若，求的长． 6．如图，，，，，B，C，E三点在同一条直线上． (1)求证：； (2)探究与之间有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由． 7．如图，在和中，，延长分别交边、于点F、G． (1)求证：； (2)若，求的度数． 8．如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 9．小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得（图中的点在同一平面内）．    (1)猜想此时与的位置关系，并说明理由； (2)求的长． 10．如图①，，．为中点，过点的直线分别与、相交于点、． (1)那么与有什么关系？、有什么关系？请说明理由． (2)若将过点的直线旋转至图②③的情况时，其他条件不变，那么①中的关系还成立吗？请说明理由． 11．已知O是四边形内一点，且，，． (1)如图1，连接，，求证：； (2)如图2，E是的中点，连接，若，求证：； (3)在（2）条件下，求证：的面积等于的面积． 12．在中，，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，吗？请说明理由； (2)在（1）的结论下，试求：的度数； (3)设，，如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由． 13．如图1，，，，，连接、． (1)请问、有怎样的数量关系和位置关系?试证明你的结论； (2)如图2，连接、，取的中点F，连接并延长交于点H，试证明： ①， ②． 14．如图，在中，，分别是边，边上的高，与相交于点，且，连接． (1)试说明：； (2)试求的度数； (3)若点是的中点，则，试求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 判定三角形全等的三大基本思路 目录 A题型建模・专项突破 题型一、已知两边对应相等解题思路 1 题型二、已知两角对应相等解题思路 5 题型三、已知一边一角对应相等解题思路 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、已知两边对应相等解题思路 条件：已知两边对应相等； 解题思路：①找夹角对应相等，利用SAS证全等； ②找第三边对应相等，利用SSS证全等. 1.如图所示，、、、四点在同一条直线上，若，，， 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、等式的性质1 【分析】本题主要考查了等式的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由可推出，利用即可得出结论； （2）由（1）可得：，因而可得，由、、、四点在同一条直线上可得，于是得证． 【详解】（1）证明：， ， 即：， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）可得：， ， 、、、四点在同一条直线上， ， ． 2．如图，点在一条直线上，． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），平分交于点，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线和外角关系，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用证明即可求证； （2）利用全等三角形的性质、角平分线和外角关系即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， 平分， ， ∵， ． 3.如图，在四边形中，为上的一点 求证： (1)平分； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义． （1）利用证明，则，即可得出结论； （2）利用证明，则． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ， 平分； （2）在和中， ， ， ． 4.已知：如图，点，在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解全等三角形的判定和性质是解答关键． （1）由，利用线段的和差得到，由证明两个三角形全等即可； （2）由（1）可知，由全等三角形的性质得到，然后利用角的和差来求解． 【详解】（1）证明：∵， ． 在和中 ． （2）解：， ， ． 题型二、已知两角对应相等解题思路 条件：已知两角对应相等； 解题思路：①找夹边对应相等，利用ASA证全等； ②找非夹边的边对应相等，利用AAS证全等. 5．如图，∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，求证：AB=DC． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】 利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论． 【详解】 证明：∵BF=CE ∴BF+EF=CE+EF， 即：BE=CF， 在△ABE和△DCF中， ∴△ABE≌△DCF(AAS)， ∴AB=DC． 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 6.如图，，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理． （1）根据判定即可； （2）根据题意可得，在中根据外角的性质即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，是的外角， ． 7.如图，已知． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】此题考查全等三角形的判定及三角形外角的性质，关键是根据证明． （1）根据证明与全等即可； （2）利用三角形外角的性质解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， 在和中， , ∴； （2）∵，, ∴． 8.如图，在与中，，，，与交于点； (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】两直线平行同位角相等、三角形的外角的定义及性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，运用平行线的性质得，再根据“角角边”的方法判定，理解并掌握全等三角形判定方法，及性质是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等可得，在和中，运用“角角边”可证，根据全等三角形的性质即可求证； （2）根据（1）中全的三角形的性质可得，在中根据角的外角和性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴， ∴． 题型三、已知一边一角对应相等解题思路 （1）条件：有一边和该边的对角对应相等； 解题思路：找另一角对应相等，利用AAS证全等. （2）条件：有一边和改边的领角对应相等； 解题思路：①找夹该角的另一边对应相等，利用SAS证全等; ②找另一角对应相等，利用AAS或ASA证全等. 9．如图，已知，，，求证：．    【答案】见解析 【分析】证明即可． 【详解】证明：∵， ∴. 在和中， ∴. ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 10.如图，在四边形中，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】（）由，得，再根据“”可证明； （）由，得，再根据三角形外角的性质可得出答案； 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴． 11．如图，，点D在边上，与相交于点O； (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质： （1）由“”可证； （2）由，根据三角形的外角性质，即可求的度数． 熟练运用全等三角形的判定方法是本题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴． 12.如图，在和中，点E在边上，，与交于点G． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等式的性质得，再利用即可证明结论； （2）由三角形内角和定理可得，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，最后三角形内角和以及角的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 一、解答题 1．如图，在上各取一点E，D，使，连接，相交于点O，连接，．求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用公共边，结合证明即可． （2）利用证明即可得到结论． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．已知：如图，于为上一点，交于，，．    (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法及性质是解题的关键． （1）根据垂直可得，在和中，运用“斜边直角边”的方法即可求证； （2）根据，，得到，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，即， ∴． 3．如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连接交边于． (1)求证：； (2)若，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． （1）由“”可证； （2）先由（1）可知，证，从而由三角形全等的性质可得，然后由线段的和差即可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴与都是直角三角形， ∴在与中， ， ； （2）解：由（1）知， ， ∵，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 4．如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）根据进行判定即可； （2）根据全等三角形的对应角相等，得到，三角形的内角和定理求出的度数，利用角的和差关系，求出的度数即可． 【详解】（1）证明：和中 ， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在中，，点E是延长线上一点，D为下方一点，连接，过点D作交于点F，且． (1)求证：； (2)连接交于点G，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）先求得，再根据证明，即可得到； （2）由，推出，再利用证明，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 6．如图，，，，，B，C，E三点在同一条直线上． (1)求证：； (2)探究与之间有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据即可证明，得到，根据八字形结论得到，得到，继而得证； （2）先证明，得到，再利用八字形结论得到，继而得到 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， 又， （2），理由如下： ，， 又， 又， 又， 7．如图，在和中，，延长分别交边、于点F、G． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）运用证明即可得证； （2）利用三角形的内角和定理，等量代换计算即可． 【详解】（1）证明：∵，    ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． 8．如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）由角平分线的定义得到，由垂线的性质可得．导角证明，则可利用证明． （2）由全等三角形的性质得到，证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）证明：分别是的平分线， ． ， ． 又， ． 同理，． ． 在和中， ． （2）解：，理由如下： 由（1）得， ∴， 在和中， ， ． ． ， ． 9．小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得（图中的点在同一平面内）．    (1)猜想此时与的位置关系，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)；见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． （1）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）根据，得出，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵于D，于E， ∴， 又∵根据题意得：，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 答：的长为． 10．如图①，，．为中点，过点的直线分别与、相交于点、． (1)那么与有什么关系？、有什么关系？请说明理由． (2)若将过点的直线旋转至图②③的情况时，其他条件不变，那么①中的关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)，，，理由见解析 (2)在图②③的情况时，①中的关系还成立，理由见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的判定和性质 （1）证明，得到即，再证，即可得出结论； （1）图②运用与（1）中，类似的方法，证明，得到即，再证，即可得出结论；图③，证明，得到，再得，即，进而得，再证得到． 【详解】（1）解：，．理由如下： 在与中：，，， ， ，即， 又为中点， ， 在与中：，，， ， ，， ∴； （2）解：在图②③的情况时，①中的关系还成立．理由如下： 在图②的情况时：在与中：，，， ， ，即， 又为中点， ， 在与中：，，， ， ，， ∴； 在图③的情况时：在与中：，，， ， ， ，即； ， 又为中点， ， 在与中：，，， ， ． 11．已知O是四边形内一点，且，，． (1)如图1，连接，，求证：； (2)如图2，E是的中点，连接，若，求证：； (3)在（2）条件下，求证：的面积等于的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是善于构造全等并熟练掌握三角形全等的判定与性质． （1）由，得，再利用证明，由全等三角形的性质可得出结论； （2）延长到点，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，并能得出：，则可得出结论； （3）由（2）可知， ，，，结合，即可证明结论． 【详解】（1）证明： ∵， 则， ， 在和中，， ， ∴； （2）证明：延长到点，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）由（2）可知，，， 则，， 是的中点， ∴， 则， ∴． 12．在中，，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，吗？请说明理由； (2)在（1）的结论下，试求：的度数； (3)设，，如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）由可得，即可证明； （2）由可得，推出，结合，即可求解； （3）由可得，证明，得到，则，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 即， 在与中， ， ； （2）， ， ， ， 又， ， 即； （3）， 理由：， 即． 在与中， ， ， ， ， ， ， ． 13．如图1，，，，，连接、． (1)请问、有怎样的数量关系和位置关系?试证明你的结论； (2)如图2，连接、，取的中点F，连接并延长交于点H，试证明： ①， ②． 【答案】(1)，，证明见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1），，证明：先证出，根据全等三角形的性质可得，，再设分别交于点，根据对顶角相等、三角形的内角和定理可得，由此即可得； （2）①延长到点，使，连接，则，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证； ②先根据全等三角形的性质可得，再根据可得，则，由此即可得证． 【详解】（1）解：，，证明如下： ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，设分别交于点， ∵， ∴， ∴． （2）证明：①如图，延长到点，使，连接， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ②由（2）①已证：， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．如图，在中，，分别是边，边上的高，与相交于点，且，连接． (1)试说明：； (2)试求的度数； (3)若点是的中点，则，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由题意可知，根据即可证明； （2）在线段上取点，使得，连接，证明，可知是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数； （2）过点作于点，证明，则，求出即可． 【详解】（1）证明：∵，分别是边，边上的高， ∴； 又∵， ∴，． ∴； （2）解：如图，在线段上取点，使得，连接， 在和中， ∴（） ∴，． ． 是等腰直角三角形． ． ； （3）解：如图，过点作于点， 点是的中点 在和中， ， （）． ． ． 由（2）得，． 又， ． ． ． ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$