培优02 坐标平面内的图形变换、与动点问题（6大题型）（专项训练）数学北师大版2024八年级上册

培优02 坐标平面内的图形变换、与动点问题（6大题型） 题型1 坐标平面内点坐标的平移 平移规律：左减右加（x坐标），上加下减（y坐标）。例如，点 (a,b)向右平移m个单位、向上平移n个单位后坐标为 (a+m,b+n)。注意反向平移时符号取反。 关键：明确平移方向与距离，直接应用坐标加减法则。 1．（24-25八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点在坐标系下的平移，掌握好点平移的计算方式是关键．根据坐标平移的规律，横坐标左减右加，纵坐标上加下减，将点A先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，依次计算即可． 【详解】向左平移2个单位：横坐标减少2， 原横坐标为3，平移后横坐标为：； 向上平移4个单位：纵坐标增加4， 原纵坐标为，平移后纵坐标为：； 则平移后点B的坐标为， 故选：A． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度后对应点，则点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标平移规律；根据坐标平移规律，点向左平移时横坐标减少，向上平移时纵坐标增加．确定平移后的坐标，再根据各象限点的符号特征判断位置即可． 【详解】解：点向左平移4个单位，横坐标变为； 向上平移6个单位，纵坐标变为； 故点的坐标为． 在平面直角坐标系中，第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正， 因此点位于第二象限． 故选：B． 3．（24-25七年级下·广东潮州·期末）如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，则将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，坐标确定位置，根据题目的已知条件建立适当的平面直角坐标系是解题的关键．根据已知建立适当的平面直角坐标系，然后再根据点的平移规律，即可解答． 【详解】解：建立适当的平面直角坐标系如图所示： 棋子“马”位于点， 将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）随着3D打印技术的蓬勃兴起，我们正步入一个前所未有的便捷与创新并存的新时代，这项革命性的技术极大地丰富了我们的生活．如图，这是利用3D打印技术打印的“5G”字样的艺术字，若定位点A的坐标为，定位点B的坐标为，则打印喷头从点A先向右再向下移动至点B时，向右和向下移动的距离之和为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质求解即可． 【详解】解：∵平移到点， ∴点A先向右8个单位，再向下移动5个单位至点B， ∴向右和向下移动的距离之和为， 故答案为：13． 5．（24-25八年级下·河北保定·期末）线段两端点的坐标分别为，，若将线段平移，使得点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，点D的坐标为，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形平移的性质，解题的关键是通过已知对应点（B与D）确定平移向量，再利用平移向量计算未知对应点（C）的坐标． 计算B到D的横、纵坐标变化量（平移向量）；用相同的变化量计算A平移后对应点C的坐标． 【详解】解：，点B的对应点为点， 变化规律是横坐标减2，纵坐标减1， ， 平移后点A的对应点C的坐标为 故答案为： 6．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图：，若将线段平移至，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解决问题的关键． 根据点A和的坐标确定出横向平移规律，点B和的坐标确定出纵向平移规律，即可求出a、b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴平移规律为向右个单位，向上个单位， ∴， ∴． 故答案为：2． 7．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P在过点且与y轴平行的直线上，求点P的坐标； (2)将点P先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求m的值． 【答案】(1)点P的坐标为 (2) 【分析】（1）因为点P在过点且与y轴平行的直线上，所以A、P两点的横坐标相同，令P点横坐标为，解得m值并代入纵坐标的代数式中，求值即可得到答案； （2）根据题意用含m的代数式表示点M的坐标，根据点M的位置特征，解得m的值并代入点M的坐标中，即可得到答案． 本题考查了坐标与图形变化﹣平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．也考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，平行于y轴的直线上点的坐标特征． 【详解】（1）解：∵P点在过点且与y轴平行的直线上， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； （2）由题意知，点M的坐标为，即， ∵点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7， ∴， 解得． 8．（24-25七年级下·河南安阳·期末）平面直角坐标系中，为原点，点． (1)如图①，三角形的面积为_____． (2)如图②，将点B向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点D． ①点D的坐标_____；按照这样的平移方式，直接写出A、C平移后对应点E、F的坐标分别为_____、_____； ②点是一动点，若三角形的面积等于三角形的面积，直接写出点坐标． 【答案】(1)3 (2)①；②点坐标或 【分析】本题考查平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移的坐标变换规律“左减右加，上加下减”，属于中考常考题型． （1）利用三角形面积公式求解即可； （2）①利用平移变换的坐标变换规律求解即可； ②根据两三角形面积相等，构建方程求解即可． 【详解】（1）解： ，，， ，，， ， 的面积， 故答案为：3； （2）解：①∵将点向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点D． ∴点D的坐标为，即点， 同理：，， ∴点E的坐标为，点F的坐标为 故答案为：； ；． ②，，， ∴ ∴ 解得：或， ∴点坐标或． 题型2 坐标平面内的线段的平移问题 平移线段即平移端点：将线段两个端点按相同方向和距离平移，再连接新端点。若求平移后长度，因平移不改变长度，可直接用原长或距离公式验证。以线段平移为平台，可以涉及图形面积、角度之间关系的等问题，需要结合相关知识解答。 9．（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点，且，． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________； (2)将线段平移得到线段，点A的对应点是点C，求三角形的面积； (3)在（2）的条件下，过点D作轴于点E，请问在射线上，是否存在点P，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)12 (3)存在，点 【分析】本题考查绝对值和平方根的性质、图形的平移、坐标与图形等知识，熟练掌握相关知识的运用，分类讨论是解答的关键． （1）利用绝对值和算术平方根的性质求得a、b值即可； （2）先由点A和其对应点C的坐标得到平移方式，进而得到点B对应点D的坐标，过点D作轴于点F，然后根据面积公式即可求解； （3）设，三角形的面积为，则，然后分当时，当时，当时，当时四种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵A在x轴负半轴， ∴， ∴，， 故答案为：，． （2）解：点的对应点是点， 将线段先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到线段， 点对应点D坐标为． 如图-1，过点D作轴于点F，则，． 三角形的面积． （3）解：存在，点． 设，三角形的面积为，三角形的面积为，则． 当时，如图-1，连接． ，， ． 不成立； 当时，，不成立； 当时，如图-2． ． ，． ． ，此时点P的坐标为． 当时，，不成立． 综上可知，点P的坐标为． 10．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点，，且实数、满足． (1)直接写出A、B两点的坐标； (2)如图1，为线段上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，将线段平移至，使点的对应点落在x轴上，点的对应点落在轴上，连接、，为线段上一点，为轴上一动点，若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用可得，解出、的值即可求出． （2）如图，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两线交于点H，过点H作于点G，过点C分别作于点M，于点N，连接，首先得到，求出，得到，，，由求出，进而求解即可； （3）设与y交于K，连接，则，得出，因为，故，由代数求解即可． 【详解】（1）， ， ， ，． （2）如图，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两线交于点H，过点H作于点G，过点C分别作于点M，于点N，连接 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴； （3）∵点，，由平移可得点，， 设与y交于K， 连接，则， ， ， ， ， ， ， ， 或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形综合，平方值和根号值的非负性、平面几何和坐标、平面直角坐标系中三角形面积求法、点的平移等知识，读懂题意，根据题意作出图形，数形结合转化为常见题型求解是解决问题的关键． 11．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴，到轴的距离为，点的坐标为，点在轴上点的右侧，且，过点作平行于轴的直线，点是直线上的一个动点． (1)若点在第一象限，且到轴的距离为． ①则点的坐标为______； ②如图2，连接、、，平移线段，使点到点的位置、点到点的位置，则点的坐标为______． (2)平移图2中的线段，点始终在直线上，设点的纵坐标为． ①在点运动的过程中，若线段与轴有一个交点，求点的纵坐标的取值范围； ②当三角形的面积等于时，求点的坐标． 【答案】(1)①；② (2)①；②或 【分析】本题考查了平移的性质，三角形、梯形的面积公式及利用割补法求面积，掌握平移的性质是解本题的关键． （1）①先确定出，进而求出，求出，即可求出答案； ②先判断出点A向右平移个单位，向上平移1个单位到点，即可求出答案； （2）①找出当点平移到轴上时和当点平移到轴上时，的值，即可求出答案； ②分两种情况，由平移的性质，利用割补法，即可分别求出答案． 【详解】（1）解：①点A在轴正半轴，到轴的距离为， ， ， 点在轴上点A的右侧，且， ， ， 过点作平行于轴的直线， 点的横坐标为， 点在第一象限，且到轴的距离为， 点， 故答案为：； ②由平移得，点平移到点， 点A向右平移个单位，向上平移1个单位到点， 点向右平移个单位，向上平移1个单位到点， ， ， 故答案为：； （2）解：由（1）知，，， ①当点平移到轴上时，点向下平移个单位，此时， 当点平移到轴上时，点向下平移2个单位， 点也向下平移2个单位，此时， 当线段与轴有一个交点时，点的纵坐标的取值范围是， 故答案为：； ②， ， 由（1）知，， 如备用图，当点在轴上方时，， 三角形的面积等于，， ， 解得， 点， ， ； 当点在轴下方时，， 如备用图2：过点作直线，于点， 三角形的面积等于，，，， ， 解得， 点， ， ， 即点或． 12．（24-25七年级下·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，点B坐标为，且． (1) ， ，点B的坐标为 ． (2)点C在第一象限内，轴，将线段进行适当的平移得到线段，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接．若的面积为16，求线段的长． 【答案】(1)3，， (2)8 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了非负数的性质，坐标和图形的性质，三角形的面积，平移的性质等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由非负数的性质可求出，，则可得出答案； （2）由（1）可知，由平移可知点B的对应点为点C，点B的纵坐标为，可得点D与点A的纵坐标之差为4，得点D到的距离为4，再结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵，且，， ，， ，， 则点B的坐标为， 故答案为：3，，； （2）由（1）可知， ∵轴， ∴点C纵坐标为3， 由平移可知点B的对应点为点C， ∵点B的纵坐标为， ∴点C与点B的纵坐标之差为， ∴点D与点A的纵坐标之差为4， ∵轴， ∴点D到的距离为4， ∵， ∴． 13．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究： 如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接 (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)存在，3 (3)3 【分析】（1）利用绝对值与平方的非负性求出a，b的值，即可求解； （2）由平移的性质可得点，点，，由面积关系可求解； （3）分点N在线段上，点N在的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，解得， ∴点A和点的坐标分别为；， 故答案为：；； （2）解：存在． 过D作的延长线，垂足为H，如图所示： ∵点A和点的坐标分别为；， ∴， ∵将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段， ∴点C和点D的坐标分别为和， ∴， 设M点坐标为，连接， ∴， ∵， ∴，即，解得， ∴存在这样的，使得四边形的面积等于9； （3）解：不变． 理由如下： 当点N在线段上时，如图所示，设运动时间为秒，， 过D作的延长线，垂足为H ，连接， ∵， ， ∴ = = ， 当点N运动到线段的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，，连接， ， 综上可知，的值为． 【点睛】本题是考查了平移的性质，非负数性质，解二元一次方程组，坐标与图形的性质，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键． 题型3 坐标平面内的三角形的平移问题 整体平移三个顶点：按平移向量移动每个顶点，保持相对位置不变。若求面积，因平移不改变形状，面积与原三角形相同，可用鞋带公式验证。 技巧：先标出平移后顶点，再连线成三角形，避免遗漏点。 14．（24-25七年级下·天津滨海新·期中）平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比（   ） A．向上平移了3个单位 B．向下平移了3个单位 C．向右平移了3个单位 D．向左平移了3个单位 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据坐标平移的规律，纵坐标的变化对应上下平移，减3则向下平移3个单位，据此可得答案． 【详解】解：将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，相当于每个点的位置在竖直方向上减少了3．根据平移规律，纵坐标减少表示向下平移，因此所得图形与原图形相比向下平移了3个单位． 故选B． 15．（24-25七年级下·山西忻州·期末）如图，透明胶片上有一平行四边形，该平行四边形的一顶点的坐标为，另一顶点的坐标为，移动胶片，使顶点移动至点处，原来顶点移动至点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了坐标与图形变化－平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．先由M到N判断平移的方式，再求点P的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴由M到N先向右平移3个单位，再向上平移2个单位， ∴由N到P先向右平移3个单位，再向上平移2个单位， ∴点的坐标为． 故选C． 16．（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题： (1)在图中建立平面直角坐标系； (2)若体育馆位置坐标为，请在坐标系中标出体育馆的位置； (3)顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到三角形，求三角形的面积． (4)若三角形内部有一点，经过平移后的对应点的坐标为，且的对应点分别为，请说明三角形是如何由三角形平移得到（沿网格线平移）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)三角形是由三角形向右平移1个单位长度，向下平移2个单位得到的 【分析】本题主要考查了建立平面直角坐标系，平面直角坐标系内图形的平移，求三角形的面积，准确的建立直角坐标系是解题的关键． （1）根据点的坐标特点建立直角坐标系即可； （2）根据直角坐标系描出点； （3）根据梯形的面积减去两个三角形的面积可得答案； （4）根据坐标的变化得出图形的平移特征，可得答案． 【详解】（1）解：建立直角坐标系，如图所示； （2）解：如图所示； （3）解：如图所示： 三角形的面积为． （4）解：∵点，经过平移后的对应点的坐标为， ∴三角形是由三角形向右平移1个单位长度，向下平移2个单位得到的． 17．（24-25七年级下·广东珠海·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，． (1)点的坐标为______； (2)画出三角形； 写出三角形的面积______． (3)若点在轴上且的面积为，则点的坐标为______． 【答案】(1)； (2)见解析；； (3)或． 【分析】本题考查了坐标系中的平移、坐标与图形等知识，正确得出平移的方式是解题的关键． （1）先根据点坐标得出图形的平移方式是先向左平移个单位，再向上平移个单位，进而得到答案； （2）先画出，，平移后的对应点，，，再顺次连接即可； 把补充成一个的矩形，利用割补法求解即可； （3）设点的坐标为，根据的面积为建立方程求解即可． 【详解】（1）解：三角形中任意一点，经平移后对应点为， 图形的平移方式是先向左平移个单位，再向上平移个单位， 点的坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为； 故答案为：； （2）解：如下图所示，三角形即为所求作， 解：如下图所示，把补充成一个的矩形， ； 故答案为：； （3）解：设点的坐标为， 的面积为，，， ， 解得：或， 点的坐标为或， 故答案为：或． 18．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过平移得到． (1)分别写出点的坐标： ， ．并说明是由经过怎样的平移得到的． (2)若点是内部一点，经过相同的平移后对应点的坐标为，求和的值． 【答案】(1)，，是由先向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度得到的 (2) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握平移规律，是解题的关键． （1）根据图形写出点的坐标即可，根据点A向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度得到点得出是由先向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度得到的； （2）根据点是内部一点，经过相同的平移后对应点的坐标为，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据图形可知：，； ∵点A向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度得到点， ∴是由先向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度得到的； （2）解：∵点是内部一点，经过相同的平移后对应点的坐标为， ∴，， 解得：． 题型4 坐标平面中的轴对称变化 对称轴决定坐标变换： 关于x轴对称： (a,b)→(a,−b)；关于y轴对称： (a,b)→(−a,b)；关于直线y=x对称：交换坐标 (a,b)→(b,a)。 关键：先确定对称轴，再按规则改变坐标符号或位置。 19．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于对称轴对称的点的坐标，根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标不变，直接得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点是， 故选：B． 20．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）已知与点关于x轴对称，则 ． 【答案】0 【分析】根据关于x轴对称，横不变，纵坐标互为相反数，列式解答即可． 本题考查了x轴对称的特点，求代数式的值，熟练掌握对称是解题的关键． 【详解】解：与点关于x轴对称， 故， 解得， 故， 故答案为：0． 21．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）若平面直角坐标系中的两点关于y轴对称，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解此类问题的关键，根据关于轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求得a、b的值即可求得答案． 【详解】解：点关于轴对称，， ，， 则的值是：， 故答案为：2． 22．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，正方形网格中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标未知，图中已经画出y轴． (1)在正方形网格中画出x轴，标出原点O，并直接写出点C的坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出关于x轴对称的．并直接写出的坐标． 【答案】(1)轴及原点O 见详解， (2)见详解；，， 【分析】本题考查了平面直角坐标系，点的坐标，作轴对称图形； （1）由点A的坐标为，确定原点，即可确定轴，写出的坐标，即可求解； （2）作出，写出坐标，即可求解； 能根据已知点的坐标建立直角坐标系，会作轴对称图形是解题的关键． 【详解】（1）解：轴及原点O，如图， ； （2）解：如图， 为所求作； ，，． 23．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的； (3)把先向右平移个单位，再向下平移个单位得到，写出点的坐标． 【答案】(1)图形见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系，图形平移的知识，解题的关键是掌握平面直角坐标系中图形平移的性质，进行解答，即可． （1）根据，的坐标，，确定平面直角坐标系的原点，即可． （2）由（1）平面直角坐标系可得点的坐标，根据点关于对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数，得到点，，的坐标，依次连接，即可； （3）根据平移的规律，左减右加，上加下减，即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示． （2）解：∵点，， ∴关于轴对称的的坐标，，，，依次连接， ∴即为所求． （3）解：∵，，， ∴先向右平移个单位，再向下平移个单位得到， ∴， ∴． 24．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出． (2)点关于轴的对称点的坐标为__________，点关于轴的对称点的坐标为__________； (3)在轴上找一点，使最大； (4)在轴上找一点，使的周长最小，并求出周长； (5)已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)当点在同一条直线上时，最大，最大值为的长度，图见详解 (4)图见详解，的周长最小为 (5)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了网格坐标系和几何图形，求关于坐标轴对称的点的坐标，利用三角形的三边关系确定最值，利用轴对称解决最短路径问题，勾股定理，根据三角形的面积确定点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）根据点的坐标确定图形即可； （2）利用轴对称的性质即可求出点的坐标； （3）利用三角形的三边关系即可确定点的位置和最值； （4）利用轴对称的性质即可确定点的位置，并利用勾股定理求出三角形的周长； （5）设，根据三角形的面积得，求解即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：点关于轴的对称点的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：，； （3）解：如图，延长交轴于一点，点即为所求； 当点不在同一条直线上时，三点构成三角形，根据三角形的三边关系，； 所以，当点在同一条直线上时，最大，最大值为的长度； （4）解：如图，找点关于轴的对称点，连接交轴于一点，点即为所求； 此时，， 根据勾股定理得，，， 所以，的周长为； （5）解：设，根据题意得， ， 解得， 即， 解得，或， 所以，点的坐标为或． 题型5 点坐标的规律探究 观察序号与坐标关系；若坐标呈周期性变化，可归纳通项公式或分组求解。 25．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．现把一条长为个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是理解题意，求出四边形的周长； 本题先求出四边形的周长为，再计算，得到余数为5，由此解题． 【详解】解：∵点，，，， ∴四边形的周长为， ∴， ∵，， ∴细线另一端所在位置的点在B点的下方3个单位的位置，即点； 故选：C 26．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）一组正整数1，2，3，4，5…按下面的方法进行排列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 1 2 3 4 5 6 第1行 12 11 10 9 8 7 第2行 … 我们规定，正整数2的位置记为，正整数8的位置记为，问题：则正整数2024的位置可记为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了规律型：点的坐标．根据每行6个数，且奇数行从左往右依次增大1，偶数行从左往右依次减少1，据此可解决问题． 【详解】解： ， ∴所以数2024在第338行，第5列． 故其位置记作． 故选：C． 27．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，平面直角坐标系内，动点按图中箭头所示方向依次运动，第次从点运动到点，第二次运动到点，第次运动到点，按这样的运动规律，动点第次运动到的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点坐标的规律：解题的关键是找到点的横坐标和纵坐标的规律． 观察图形可知：每次运动为一个循环，点的纵坐标依次为、、，，并且每一个循环向右运动个单位，用可判断出第次运动时，点在第几个循环第几次运动中，进一步即可计算出坐标． 【详解】解：由题意得，动点的运动规律可以看作每运动四次为一个循环，点的纵坐标依次为、、，，每个循环向右运动个单位， ∵， 第次运动时，点在第次循环的第次运动上， 横坐标为，纵坐标为， 此时． 故选：A． 28．（24-25七年级下·广东湛江·期末）如图，在直角坐标系中，，，第一次将变换成，，；第二次将变换成，，，第三次将变换成，…，则的横坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，能根据所给点的坐标，发现点的横坐标依次增加2倍是解题的关键．依次求出点，，，…，的横坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 点B的横坐标为：， 点的横坐标为：， 点的横坐标为：， …， 依次类推，点的横坐标为：； 当时， 点的横坐标为． 故选：D． 29．（24-25七年级下·甘肃定西·期末）如图，平面直角坐标系中有若干个横、纵坐标都是整数的点，其顺序按图中“”方向排列，即．根据这个规律，第2025个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据规律得出从第二个点开始，每3个点为一组求解是解题的关键，也是本题的难点． 从第二个点开始，每3个点为一组，第奇数组第一个点在y轴，第三个点在x轴，第二个点为相应的横坐表和纵坐标，第偶数组，第一个点在x轴，第三个点在y轴，第二个点为相应的横坐表和纵坐标，用，根据商的情况确定点的位置和坐标即可． 【详解】解：∵， ∴第2025个点是第675组的第二个点， ∴坐标为． 故选A． 30．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在位置的变化特点，即可得到小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置． 【详解】解：由图可得， 点第一次碰撞后的点的坐标为， 第二次碰撞后的点的坐标为， 第三次碰撞后的点的坐标为， 第四次碰撞后的点的坐标为， 第五次碰撞后的点的坐标为， 第六次碰撞后的点的坐标为， …， ∵， ∴小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是． 故选：C． 31．（24-25八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿轴正半轴滚动变换，①在滚动变换过程中，只改变边长，形状不变，点对应点，得到等腰直角三角形②，称①②为第一次滚动变换；第二次滚动变换后点对应点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动变换后点对应点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动变换后点对应点，得到等腰直角三角形⑤；……依此规律，则第2025个等腰直角三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质和面积，根据确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①的面积，根据确定第2个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②的面积，，同理，确定规律可得结论，确定各个等腰直角三角形的边长是本题的关键． 【详解】解：点， 第1个等腰直角三角形的面积， ， 第2个等腰直角三角形的腰长为， 第2个等腰直角三角形的面积， ， 第3个等腰直角三角形的腰长为， 第3个等腰直角三角形的面积， 则第2025个等腰直角三角形的面积是； 故选：B． 32．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别沿，向左、右分别运动到点点，此时称动点完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点，此时称动点完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点完成第2025次跳跃时最左边点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察可知每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减1，左右两个点的横坐标相差2，据此规律求解即可． 【详解】解：由题意可得：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减1，左右两个点的横坐标相差2， ∴动点A完成第2025次跳跃时，所到达点的纵坐标为，最左边的点的横坐标为：， ∴最左边的点的坐标为， 故选B． 33．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点，…照此规律，的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探求，找准规律是解题的关键．先求出前几个点的坐标，找出规律，再根据规律解答． 【详解】解：观察发现：，，，，，，，，……， ∴，，，（n为自然数）， ∵， ∴，即； 故答案为： 34．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形依此规律，则点的坐标是 。 【答案】 【分析】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意各个象限内点的坐标符号．点A坐标变化规律要分别从旋转次数与点A所在象限或坐标轴、点A到原点的距离与旋转次数的对应关系寻找，再求解． 【详解】解：由已知，点A每次旋转转动，则转动一周需转动8次，每次转动点A到原点的距离变为转动前的倍， ∵， ∴点在x轴的正半轴上， 则， ∴． 故答案为：． 35．（24-25八年级上·广东清远·期末）如图，已知正方形，顶点、、，规定“把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2019次变换后，正方形的对角线交点M的坐标变为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标系中图形轴对称和平移变换规律问题，解此题的关键在于熟练掌握平移与关于坐标轴对称的点的坐标特征． 先求得M点坐标，再根据题意列出经过变换后M点的坐标，然后发现规律即可得解． 【详解】解：∵正方形，，， ∴ ∴经过1次变换后M点的坐标为， 经过2次变换后M点的坐标为， 经过3次变换后M点的坐标为， ······ 经过n次变换后M点的坐标为， 则时，M点的坐标为． 故答案为：． 36．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示，平面直角坐标系中，轴负半轴有一点，点先向上平移1个单位至，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，照此规律平移下去，点平移至点时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化—平移，学会探究规律的方法是解题的关键． 根据题意得出前若干个点的坐标进而即可得到进而即可解答． 【详解】解：∵，，……， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为：． 37．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，爱好编程的小明编了一个“步步高升”程序，已知点A在平面直角坐标系中按规律跳到．已知，，，，，，…以此类推，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标系中点的坐标规律，解题的关键是找到点的坐标变化规律， 根据已知点的坐标规律分别表示出偶数点和奇数点的坐标的规律，然后求得点的坐标即可． 【详解】解：观察偶数项的坐标规律，，可得，奇数项的横坐标为n，纵坐标为前一个偶数的纵坐标加2， 为偶数， 的坐标为， 故答案为：． 38．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）探索规律：点，，，，…，按此规律，求： (1)点的坐标； (2)点的坐标(为正整数)； (3)若点到轴的距离为，求的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，求一个数的算术平方根，找到纵坐标是横坐标的平方，是解题的关键； （1）根据规律直接写出点的坐标； （2）根据纵坐标是横坐标的平方写出点的坐标； （3）根据到轴的距离为纵坐标的绝对值，即可求解． 【详解】（1）解：点，，，， ∴ （2）解：依题意，点的坐标为 （3）解：由（2）可得 ∴． 又∵为正整数， ∴ 39．（24-25七年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义： 点的“第I类变换”：将点向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度； 点的“第II类变换”：将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． (1)①已知点，对点进行1次“第类变换”后得到的点的坐标是_____； ②点为平面内一点，若对点进行1次“第II类变换”后得到点，则点的坐标是_____． (2)已知点，若对点连续进行5次“第I类变换”，再连续进行4次“第II类变换”后得到点，求点的坐标（用含，的式子表示）． (3)已知点的坐标，对点进行“第类变换”和“第II类变换”共计20次后得到点，请问是否存在一种上述两类变换的组合，使得点恰好在轴上？如果存在，请求出此时点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）①根据题目新定义再结合坐标平移特点得出结果即可；②根据题目新定义再结合坐标平移特点得出结果即可； （2）对点连续进行5次“第I类变换”后，得到的点的坐标，再进行4次“第II类变换”后，得到的点的坐标是，化简即可； （3）设点P经过m次“第I类变换”，经过n次“第II类变换，得到点Q的坐标为，根据题意得到，解出、为非负整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：①点向左平移2个单位长度，得到；再向上平移1个单位长度得到； ∴点，对点进行1次“第类变换”后得到的点的坐标是； 故答案为：． ②点，向左平移1个单位长度得到，再向上平移3个单位长度得到； ∴对点进行1次“第II类变换”后得到点，则点的坐标； 故答案为：． （2）解：对点连续进行5次“第I类变换”后， 得到的点的坐标是，化简得（，）， 再进行4次“第II类变换”后，得到的点的坐标是， 化简得； ； （3）解：不存在， 理由如下：， 设点P经过m次“第I类变换”，经过n次“第II类变换， 得到点Q的坐标为 点恰好在轴上， ， 解得， 、为非负整数， 不合题意舍去， 不存在一种上述两类变换的组合，使得点Q恰好在y轴上． 题型6 平面直角坐标系中的动点问题 分段分析动点轨迹：根据速度或时间t表示坐标（如 (2t,t+1)），结合几何条件（如到某点距离为定值）列方程求解。注意边界情况。 40．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出、、三点的坐标； (2)如图，点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标； (3)如图，若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比是：，运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，求出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求出，，根据到向下平移的距离，求出点坐标即可； （2）设交轴于，作轴于，根据的面积等于和梯形的面积和，求出点坐标，根据割补法，用点坐标表示出和的面积，然后代入数量关系求解即可； （3）连接，假设点坐标，根据点位置分类讨论，根据不同的割补方法列出关于点坐标的二元一次方程组，求解点坐标即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， 平移到向下平移了， 到向下平移了， ； （2）解：，，， ， 设交轴于，作轴于，如图： 设， ， ， 解得：， ， 设， ，， ， 当或时，， 解得：， 当时，， 解得：， 或； （3）解：， 不在内， 设， ，运动速度之比是， ， 设，， 当在轴上方时，如图： ， ， ， 又， ， 解得：，， ； 当在轴下方时，作轴于，轴于，如图： ， ， ， ， ， 解得：，， ， 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，合理利用割补法求三角形面积是本题解题的关键． 41．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，将线段沿x轴向右平移12个单位长度得到线段，点P 为射线上一动点． (1)点C 的坐标为_________，点D 的坐标为________； (2)如图①，点M是线段上一点（不与点C，D重合），当点P 在线段上运动时（点P不与点D重合），连接之间有怎样的数量关系？ 请说明理由； (3)如图②，点N是y轴上任意一点，连接，若，三角形的面积等于三角形的面积，求点 P 的坐标． 【答案】(1)， (2)或，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，坐标系中的几何面积关系，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据坐标平移的规律，即可解答； （2）根据点P为射线上一动点，当点P在点D右边时，当点P在点D左边时，利用平行线的性质进行解答即可； （3）根据点N在y轴正半轴或负半轴两种情况，再考虑点P在点A左边或者右边，利用的面积等于的面积列方程即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：，，将线段沿x轴向右平移12个单位长度得到线段， ∴，， 故答案为：，； （2）解：当点P在点D右边时，如图，过点M作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 当点P在点D左边时， 同理可得， ∴， 即， ∴或； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ①点P在点A右边，N在正半轴时， 可得， 设，则， ∴， ∴， ∴； N在负半轴时，点C在的下方时， 可得， 设， ∴， ∴， ∴； ②点P在点D右边，点C在的上方时如图，连接， 可得， 设， ∴， ∴， ∴， 综上，P点的坐标为或或． 42．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，点．且满足， (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图（1），是线段上一点， ①求x，y之间的关系； ②若点的坐标是，连接，且，求点的坐标； (3)如图（2），过点作直线，已知是上的一点，且，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② (3)且 【分析】本题考查的坐标与图形综合题， （1）根据平方、绝对值及算术平方根的非负性求出，即可解决； （2）①根据得出结论即可；②连接，由，得出方程组，解出即可得出结论； （3）根据求出，再分两种情况：当时，连接，当时，连接，过点作轴于，分别求出结论即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）①由，得： ， ； ②连接，由，得： ， 化简得，， 联立方程组， 解得， ； （3）解：且，理由如下： ， ， 解得：，      ， 当时，如图，连接，若， 由，得： ， 解得：， 点在轴上， 当时，如图，连接，过点作轴于，若， 由，得： ， 解得：， ，又当时，点重合，不合题意， 且． 43．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴交于，点是直线上且不与A、B两点重合的动点． (1)求三角形的面积； (2)如图1，点D、点E分别是线段、x轴负半轴上的动点，过E作，连接．若，请探究与之间的数量关系；（可用含x的代数式表示，并说明理由） (3)若三角形的面积不小于三角形的面积的2倍，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）根据，得，，根据求解即可； （2）过点D作，则，推出得，据此可得 ； （3）分三种情况：①当点C在第一象限时，②当点在第二象限时，③ 当点C在第四象限时，分别得到的长，然后利用列出不等式求解，即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：如图1所示，过点D作， 则， ∴， ∴； （3）解：分三种情况： ①当点C在第一象限时，作轴于点，则，如下图所示： ∴， ∴， 若， 则， 解这个不等式得， 又∵点在第一象限且不与、重合，则， ∴； ②当点在第二象限时，如下图所示，则， ∴， ∴， 若， 则， 解这个不等式得， 又∵点在第二象限且不与、重合，则， ∴不存在点，使得； ③ 当点C在第四象限时，则， ∴， ∴ 若， 则， 解这个不等式得， 又∵点C在第四象限且不与A、B重合，则， ∴； 综上所述，若，的取值范围是且． 【点睛】本题考查了坐标与图形，平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用特殊点解决问题． 44．（24-25七年级下·广东云浮·期中）在平面直角坐标系中（单位长度为），已知点，，且． (1) ______，________； (2)如图，若点E是第一象限内一点，且轴，过点E作x轴的平行线a，与y轴交于点A，点P从点E处出发，以每秒的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒的速度沿x轴向右移动． ①经过几秒？ ②若某一时刻以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是，求此时点P的坐标？ 【答案】(1)4；6； (2)①2秒或6秒；②点P的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，非负性的应用，平行线的判定与性质，梯形的面积，运用数形结合与方程思想是解题的关键． （1）利用平方和绝对值的非负性，即可求出答案； （2）①先求出点E的坐标为，设运动时间为t秒，然后分两种情况：当点P在y轴的右侧时，当点P在y轴的左侧时，根据列出方程，即可求解； ②设运动时间为t秒，然后分两种情况∶当点P在y轴的右侧时，当点P在y轴的左侧时，根据以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：4；6； （2）解：①由（1）得：， ∵轴，轴， ∴点E的坐标为， 设运动时间为t秒， 根据题意得：， 当点P在y轴的右侧时，， ∵， ∴， 解得：； 当点P在y轴的左侧时，， ∴， 解得：； 综上所述，经过2秒或6秒，； ②设运动时间为t秒， 根据题意得：， 当点P在y轴的右侧时，，， ∵以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为； 当点P在y轴的左侧时，，， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 45．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）在数学活动课上，某小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，当时，轴，且线段的长为；当时，则轴，且线段的长为． 【实践操作】 （1）若点，且轴，则的长为______；若点，轴，当时，则点Q的坐标为______； 【初步运用】 （2）点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接． ①如图，点M，N分别是线段上的动点（不与端点重合），点M从点O出发以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点N从点B出发以每秒0.5个单位长度的速度向点A运动，若两点同时出发，运动的时间为t秒，当轴时，求t的值； 【问题解决】 ②如图，若点M是x轴正半轴上的一个动点，且在的左侧，连接交于点D，当时，求的值．（说明：三角形记作的面积记作） 【答案】（1）3，或；（2）①， 【分析】本题考查坐标与图形，点坐标的特征，平移的性质，点到坐标轴的距离． （1）根据题意列式计算即可； （2）①由平移的性质得到，由题意得 ，根据轴，得到点的纵坐标相等，即，求解即可；②过点A作 轴于点 G，由题意，得 ， 求出， 设点，由，求出；再根据，求出；最后利用即可求解． 【详解】解：（1）∵，轴， ∴； ∵，轴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴或； （2）①如图， ∵点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段， ∴， 由题意得 ， ∵轴， ∴点的纵坐标相等， ∴， ∴； ②过点A作 轴于点 G， 由题意，得 ， ∴， 设点， ∵， ； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 46．（24-25七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点．将点O先向上平移4个单位长度，得到对应点B，再将点B向右平移4个单位长度，得到对应点C，连接、． (1)直接写出点B、C的坐标； (2)连接，如图①，求三角形的面积； (3)连接，如图②，点在y轴上，若三角形与三角形的面积相等，求m的值； (4)如图③，过点C作轴于点E，P是射线上的一个动点（点P不与点C、E重合），连接、，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)8 (3)或． (4)或 【分析】本题主要考查了坐标系中点的平移规律、三角形面积、平行线的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据平移的方式求出点的坐标； （2）利用三角形面积公式求解即可； （3）首先求出，，，然后根据三角形与三角形的面积相等得到，然后分情况讨论求解即可； （4）如图所示，过点P作，根据题意分两种情况讨，然后分别利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）∵将点O先向上平移4个单位长度，得到对应点B， ∴ ∵将点B向右平移4个单位长度，得到对应点C， ∴； （2）∵， ∴，轴 ∵ ∴三角形的面积； （3）∵，， ∴，， ∵三角形与三角形的面积相等 ∴ ∴ ∴当时，，解得，不符合题意，应舍去； ∴当时，，解得，符合题意； ∴当时，，解得，符合题意； 综上所述，或． （4）如图所示，过点P作，当点P在线段上时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当点P在射线上时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 综上所述，、、之间的数量关系为或． 47．（24-25七年级下·天津河东·期末）在平面直角坐标系中，已知，点，且满足； (1)求的值； (2)如图1求三角形的面积； (3)若点P从点A出发在射线上运动（点P不与点A点B重合），设运动时间为t秒 ①如图2连接，当动点P的速度为每秒3个单位时，请用含t的式子表示三角形的面积； ②如图3设与y轴交点为C，在点P运动的同时，点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向下运动，连接，问：是否存在某一时刻t，使三角形的面积是三角形的面积的2倍，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)3 (3)①；②存在，或 【分析】（1）利用算术平方根和绝对值的非负性求解； （2）根据即可求解； （3）①如图，作于点H，先根据面积法计算出，再分点P在线段上和线段的延长线上两种情况，根据列代数式即可；②先用含t的式子表示出，再根据，结合①中结论，列方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解：由（1）得，， ， ； （3）解：①如图，作于点H， 则， 解得； 点P的速度为每秒3个单位，， 当时，点P在线段上，当点P在线段的延长线上， 当点P在线段上时， ， 当点P在线段的延长线上时， ， ， 综上可知； ②存在，t的值为或． 由题意知，， ， 当时，由得：， 解得，符合题意； 当时，由得：， 解得，符合题意； 综上可知，t的值为或． 【点睛】本题考查坐标与图形，非负数的性质，三角形面积公式，一元一次方程的应用，注意分情况讨论是解题的关键． 48．（24-25七年级下·云南昭通·期末）如图，已知点，且满足．将线段先向上平移5个单位，再向左平移1个单位后得到线段，连接． (1)求、的值； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向上运动．设运动时间为秒，当为多少时，四边形的面积等于？ (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动，直线交轴于点．在运动过程中，三角形与三角形的面积之差是否会发生变化？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不会发生变化，理由见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系、平移的性质、一元一次方程的应用、图形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据完全平方式和绝对值的非负性得到，即可求解； （2）根据平移的性质可得，再利用梯形的面积公式求出，推出点在线段上，再利用列出方程，求出的值即可； （3）分①点在点左侧；②点在点的右侧两种情况讨论，再利用图形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：， ， 解得：； （2）解：由（1）可知：，， 由平移的性质可得， ， 点在线段上， 由题意知，， ， 由题得：， 解得：， 当时，四边形的面积等于； （3）解：不会发生变化，理由如下： ①当点在点左侧时，易知点在线段上． 如图所示： 则 ； ②当点在点的右侧时，如图所示，连接． 则 ； ∴由①②可得，在运动过程中三角形与三角形的面积之差不会发生变化． 培优综合练 49．（24-25七年级下·山东临沂·期末）七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用表示第行第列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为，若调整后的座位为，则称该生作了平移，并称为该生的位置数．若某生的位置数为8，则的最小值为（   ） A．10 B．14 C．15 D．25 【答案】A 【分析】本题考查了坐标确定位置，生活中平移现象，根据，且i、j都是整数，某生的位置数为8，可得出的最小值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∵，且i、j都是整数， ∴的最小值为10， 故选：A． 50．（2025·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，，直线轴且过点E，长为5的线段在直线l上移动（点D在点C左侧），则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和轴对称，两点距离计算公式，将向右平移5个单位长度得到，作点A关于直线l的对称点F，连接，则，则，，进而可得当F、C、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，利用两点距离计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，将向右平移5个单位长度得到，作点A关于直线l的对称点F，连接，则， 由平移的性质可得， 由轴对称的性质可得， ∴， ∵， ∴当F、C、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 51．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”，将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3 所得的余数(当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移)，每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点．其平移过程如下：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，向右平移1个单位长度得到点，点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，向上平移1个单位长度得到点，点横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，向左平移1个单位长度得到点．若“和点”Q按上述规则连续平移2026次后， 到达点 ，则Q的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，根据已知：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位……，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，先向右平移个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移；若“和点”Q按上述规则连续平移2026次后，到达点，则按照“和点”反向运动2026次即可，即向右，向下或者向下，向右，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，可以分为两种情况： ①先向右个单位得到， 此时横、纵坐标之和除以所得的余数为， 应向右平移得到点，与到达点矛盾，不成立； ②先向下个单位得到， 即横、纵坐标之和除以所得的余数为，则应该向上平移个单位得到，故符合题意， 点先向下平移，再向右平移，当平移到第2025次时，共计向下平移了1013次，向右平移了1012次， ∴，， 此时坐标为， 设 当第一次向右平移个单位得， ∴，， ∴， 故； 则 即向右平移得，符合题意； 当第一次向左平移个单位得， ∴，， ∴， 故； 则 即向左平移个单位得，符合题意； 当第一次向上平移个单位得， ∴，， ∴， 故； 则 即向右平移个单位得，不符合题意； 故答案为：或． 52．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知长方形在平面直角坐标系中，连接线段，，且交于点．    (1)如图1，边与轴平行，是轴的正半轴上一点，是轴的正半轴上一点，的平分线和的平分线交于点，若，求的度数； (2)如图2，若长方形的三个顶点，，的坐标分别为，，． ①请直接写出点的坐标； ②若长方形以每秒1个单位的速度向下运动，设运动的时间为秒．是否存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形的面积的一半？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的度数为 (2)①；②存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形面积的一半 【分析】本题考查了平行线的性质、平面直角坐标系中点的坐标、动点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设，，过点作，则，根据平行线的性质解题； （2）①由长方形的性质写出坐标； ②延长交轴于点，则，列出对应方程，进行求解． 【详解】（1）解：如图1，设，， 的平分线和的平分线交于点， ，，     ， ， ， ，   过点作，则， ，     ， ， 即的度数为； （2）解：①∵，，， ∴， 由长方形的性质知， ∴； ②存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形面积的一半；理由如下： ， ∴长方形只在第一象限内移动，     如图2，延长交轴于点，则， ∵，， ∴， 由题意知，，，， ，     ∵， ， ， ， 解得． 53．（24-25七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系 中，给定（n为正整数）个不同的点 给出如下定义：记点称为这个点的n阶中点．例如，当时，点为的1阶中点， 已知点，，，． (1)点A，B，C，D的2阶中点P的坐标是 ； (2)点A，B，C，D中任意两点的1阶中点坐标共有 种可能的情况； (3)在四边形的四条边上分别取点E，， ，， 点Q为E，F，G，H的2阶中点， 点R为A，B，C，D，E，F，G，H的3阶中点， ① 若点Q与点 R重合时，则点E的坐标为 ；b，d满足的关系式为 ； ② 若点E，F，H分别在线段，，上运动，请直接写出所有点 R组成的图形面积． 【答案】(1) (2)5 (3)①，  ② 【分析】本题考查新定义的运算，点的坐标，掌握新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义运算法则计算解答； （2）分别根据新定义运算法则计算，然后判断解答即可； （3）①先判断点在边上，设点的作标为,然后根据新定义的运算法则列等式求出值，即可解题； ②根据新定义的运算法则求出点的坐标，然后根据点的位置求出组成的图形是平行四边形形，然后计算面积解答即可． 【详解】（1）解：，， ∴点A，B，C，D的2阶中点P的坐标是， 故答案为：； （2）解：点A和B的1阶中点坐标为，即； 点A和C的1阶中点坐标为，即； 点A和D的1阶中点坐标为，即； 点B和C的1阶中点坐标为，即； 点B和D的1阶中点坐标为，即； 点C和D的1阶中点坐标为，即； 故答案为：； （3）①解：设点E的坐标为， 则，， 解得，， 又∵E，， ，， ∴点G在边上，点F在边上，点H在上， ∴点E在上， 则点的坐标为， ∴， 故答案为：，； ②解：∵点E在上， ∴ 点R的坐标为，即为， ∵，，，， ∴，， ∴点R构成的图形是长为，高为的平行四边形， ∴点R构成的图形的面积为． 54．（24-25七年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，对于点和长度为的线段给出如下定义：若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向下平移个单位长度，得到线段；若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向右平移个单位长度，得到线段．若点在以为顶点的正方形的边上，则称点是线段的“方田点”． 已知点的坐标为，点的坐标为． (1)在这四个点中，___________是线段的“方田点”； (2)点，若线段上存在线段的“方田点”，则的取值范围是___________； (3)点，点是线段的“方田点”，将点向下平移个单位长度，得到点．若线段的“方田点”都是线段的“方田点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义、坐标与图形变化—平移、一元一次方程的应用，理解线段的“方田点”的定义，运用数形结合思想是解题的关键． （1）由题意得，，轴，将线段向下平移2个单位长度得到线段，在坐标系中画出图形，再根据线段的“方田点”的定义即可得出结论； （2）结合点和点的坐标可得，点在直线上，点在直线上，根据线段上存在线段的“方田点”，得到线段与正方形有交点，再结合图形对线段的位置进行分析即可求解； （3）由题意得，，轴，将线段向右平移个单位长度得到线段；再根据题意分析出线段的“方田点”所在的区域，记此时的区域为区域，根据线段的“方田点”都是线段的“方田点”，得到正方形的边都落在区域，再结合图形对正方形的位置进行分析即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，轴， 由题意得，将线段向下平移2个单位长度得到线段， ∴，， 画图如下： 由图可知，点和是线段的“方田点”； 故答案为：，； （2）解：∵点， ∴点在直线上，点在直线上， ∴线段介于直线和直线之间， 当点恰好落在点上，则，解得， 当点恰好落在点上，则，解得， 当点恰好落在线段上，则， 当点恰好落在线段上，则， ∴由图可得，当时，线段与正方形有交点， ∴若线段上存在线段的“方田点”，则的取值范围是； 故答案为：； （3）解：∵点， ∴，轴， 由题意得，将线段向右平移个单位长度得到线段， ∴，， ∴线段的“方田点”在正方形的边上， ∵点是线段的“方田点”， ∴点在正方形的边上， 将正方形向下平移3个单位长度，得到正方形， ∵点向下平移个单位长度，得到点， ∴点落在正方形的边上， 将正方形和正方形分别向右平移3个单位长度，得到正方形和正方形， 由题意得，将线段向右平移3个单位长度得到线段， ∴点和点分别落在正方形和正方形的边上， ∴由图可得，线段的“方田点”组成正方形内部区域及边界，且不含正方形内部区域，记此时的区域为区域； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴，， 解得：； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴，， 解得：； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴； ∴结合图形可得，若线段的“方田点”都是线段的“方田点”，则的取值范围为或． 55．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，连接．动点在以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动到点停止，连接．设点运动时间为秒． (1) ， ． (2)①当点在线段上时， ．（用含的式子表示） ②当点在线段上时， ．（用含的式子表示） ③当点在线段上时， ．（用含的式子表示） (3)当的面积等于3时，求的值． (4)设点到直线的距离为，点到直线的距离为． ①当时， ．（填“”，“”或“”） ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①;②;③ (3)或或 (4)①；②或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中动点问题，涉及线段长度的计算、三角形面积公式以及点到直线距离的相关知识．对于每个小问，根据动点的不同位置，利用相应的几何关系和公式进行求解．关键在于根据动点的运动路径和时间，准确确定线段长度的表达式，并结合面积条件列出方程或不等式求解． （1）根据平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系求解即可； （2）①当点在线段上时，根据路程速度时间求解即可；②当点在线段上时，点P在上的运动时间为，，由即可求解；③当点在线段上时，根据点点P在上的运动时间即可求解； （3）分情况讨论，根据三角形的面积公式求解即可； （4）①当时，直接根据三角形面积公式判断即可；②当时，，分情况讨论不同情况下t的取值范围． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为， 点到轴的距离；点到轴的距离， 故答案为：； （2）①当点在线段上时， 动点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒， ； 故答案为：． ②当点在线段上时， 点P从A到O运动的时间为速度秒， ，， ， ， ； 故答案为：． ③当点P在线段上时， 点P从A到O再到B运动的时间为速度秒， 点P在上的运动时间为， （）； 故答案为：． （3）当点P在线段上时（）， ， ，， ， 解得； 当点P在线段上时（）， ， ，，， ， 解得； 当点在线段上时（）， ， ，，， ， 解得； （4）①当时， 根据三角形面积公式（a为底，这里底都为）， ， ； 故答案为：． ②当时， ， 当时，． 当点P在线段上时（），，由，解得， ； 当点P在线段上时（），，由，，，，所以； 当点在线段上时()，，由，，，，所以． 综上，t的取值范围是或． 56．（24-25七年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，，令，，将称为点与点的特征值．对于图形和图形，若点为图形上的任意一点，点为图形上的任意一点，且点与点的特征值存在最大值，则将该最大值称为图形与图形的特征值． (1)已知点． ①点与点的特征值为_______； ②已知点在轴上，若点与点的特征值为，则点的坐标为_______； (2)已知点，将线段以每秒个单位的速度向左平移，经过秒后得到线段． ①已知点，，求点与线段的特征值的取值范围； ②已知面积为的正方形的对角线交点为，且该正方形至少有一条边与坐标轴平行，记该正方形与线段的特征值为，则的最小值为_________； 【答案】(1)①；②或 (2)①；② 【分析】本题考查了平面直角坐标系中新定义下的几何动点问题，绝对值的几何意义，平行线的性质和判定，三角形全等的判定和性质，理解题干中的新定义，灵活运用绝对值的几何意义是解题的关键． （1）① 根据特征值的定义即可求； ② 根据特征值的定义即可求； （2）① 线段经过秒后得到线段，．设点为线段上的任意一点， 点与的特征值为：，的最大值为点与线段的特征值．的几何意义为与点之间的距离，故在运动过程中，特征值的最小值是当线段的中点在时取得，而最大值是在线段的端点取得，可求得当，在端点时，特征值取得最大值，由此求得其取值范围； ② 先根据已知条件，得到正方形的边长为，当变化时，该正方形的中心在一三象限角平分线上运动，证明对于在正方形上（包含边和内部）的任意一点，横纵坐标差的绝对值，且在点和取得最大值，得到，设线段上任意一点为，点与点的特征值为：，的最大值为正方形与线段的特征值为．当线段运动时，把看成一个整体，则相当于在原来线段的基础上，点向左平移个单位，点向右平移个单位，即对应为端点，，经过时间，，，长度为的线段在轴上向左运动，的几何意义则是线段在轴上向左运动过程中，线段上点与原点的距离，当线段的中点位置在原点时，正方形与线段的特征值取得最小值． 【详解】（1）解：①∵． ∴， ∴点与点的特征值为， 故答案为：． ②设的坐标为， ∴， ∵点与点的特征值为， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或． （2）①∵，将线段以每秒个单位的速度向左平移，经过秒后得到线段 ∴， 设点为线段上的任意一点， 则 . ， 点与的特征值为：. 的最大值为点与线段的特征值. ， ， . 当时，取得最大值6 . 点为线段上的任意一点，且的长度为2. 当点和点关于对称时，即. 此时取得最小值1. 点与线段的特征值的取值范围为：. ② 已知面积为2的正方形的对角线交点为，且该正方形至少有一条边与坐标轴平行， 正方形的边长为，当变化时，该正方形的中心在一三象限角平分线上运动， 作一三象限角平分线的平行线，当平行线在下方时，在直线上，且在正方形上（除点和点外，包含正方形的边和正方形内部）任取点，过分别作轴，轴垂线，连接，如图所示， ， ， ，， 又， ， ， ， 又在一三象限角平分线上， ， ， 同理可得， ， 当平行线在一三象限角平分线上方时， 同理可证，， 此时， 当点在线段上时，有， 当正方形上（除点和点外，包含正方形的边和正方形内部）任意一点，横纵坐标差的绝对值小于正方形边长，即， 当在点时，有，当在点时，有， 综上所述，对于在正方形上的任意一点，横纵坐标差的绝对值，且在点和取得最大值，在线段上时取得最小值0，即． 设线段上任意一点为， 则，， 点与点的特征值为：， 的最大值为正方形与线段的特征值为． 线段长度为2，当时，即线段还未开始运动时，此时在线段上，，而， ， 当线段运动时，把看成一个整体，则相当于在原来线段的基础上，点向左平移个单位，点向右平移个单位，即对应的端点，，经过时间，，，长度为的线段在轴上向左运动，如图所示， 的几何意义则是线段在轴上向左运动过程中，线段上点与原点的距离，在这个过程中，的最大值中的最小值，即正方形与线段的特征值的最小值，是当线段的中点位置在原点时，此时端点、与原点距离都为， 正方形与线段的特征值为最小值为． 故答案为：． 57．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）如图，点B的坐标为，点A在y轴上，将三角形沿x轴正方向平移，平移后的图形为三角形，且点C的坐标是，且m，n满足．点P从点A出发，速度为每秒2个单位，运动时间为t秒． (1)如图1，点C的坐标为 ，点E的坐标为 ． (2)如图2，在四边形中，点P沿移动，连接，当三角形的面积等于四边形面积的时，求点P的坐标； (3)若点P沿射线方向运动，点F从点O出发沿y轴正方向运动，点F不与点A重合，速度为每秒个单位．当时，点F立即以原速返回至点O，此时点P、点F均停止运动．连接，分别在和内部作射线，使得，平分，直线交于点．直接写出、、的关系，并标注时间的范围． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为或 (3)当时，；当时， ；当时， 【分析】根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性，求出m、m的值； 根据题意得出，进而分当P在上时，当P在上时，根据三角形的面积建立方程，解方程，即可求解； 设、，当时，点F在上，P在上，，，，分别画出图形，根据平行线的性质，找出这三个角的关系，即可求解． 【详解】（1）解，，， ，， ，， 点B的坐标为，点C的坐标为， 点A的坐标为， 由平移的性质得， ， 点E的坐标为， 故答案为：，； （2）解：， 四边形ABDC面积， 四边形ABDC面积的， 是由平移得到的， ， 轴， 所在直线的纵坐标为4， 当点P在AC上时，， ， ； 当点P在上时，， 此时的面积梯形的面积的面积的面积， ， 解得 综上所述：点P的坐标为或； （3）解：设、， 速度为每秒个单位，， ①当时，点F在上，P在上， 如图所示，过点F，M分别作x轴的平行线， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ，， ，， ， ， 即； ②当时，如图， ， ，， ， ， 平分， ， ， ，， ，， ， ， 即； ③当时，如图所示 同理可得， ， 平分， ， ， ，， ，， ， ， 即； 综上，当时，； 当时，； 当时， 【点睛】本题考查了坐标与图形，算术平方根的非负性，平行线的性质与判定，分类讨论是解题的关键 试卷第2页，共95页 2 / 93 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优02 坐标平面内的图形变换、与动点问题（6大题型） 题型1 坐标平面内点坐标的平移 平移规律：左减右加（x坐标），上加下减（y坐标）。例如，点 (a,b)向右平移m个单位、向上平移n个单位后坐标为 (a+m,b+n)。注意反向平移时符号取反。 关键：明确平移方向与距离，直接应用坐标加减法则。 1．（24-25八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度后对应点，则点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25七年级下·广东潮州·期末）如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，则将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是 ． 4．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）随着3D打印技术的蓬勃兴起，我们正步入一个前所未有的便捷与创新并存的新时代，这项革命性的技术极大地丰富了我们的生活．如图，这是利用3D打印技术打印的“5G”字样的艺术字，若定位点A的坐标为，定位点B的坐标为，则打印喷头从点A先向右再向下移动至点B时，向右和向下移动的距离之和为 ． 5．（24-25八年级下·河北保定·期末）线段两端点的坐标分别为，，若将线段平移，使得点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，点D的坐标为，则点C的坐标为 ． 6．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图：，若将线段平移至，则的值为 ． 7．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P在过点且与y轴平行的直线上，求点P的坐标； (2)将点P先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求m的值． 8．（24-25七年级下·河南安阳·期末）平面直角坐标系中，为原点，点． (1)如图①，三角形的面积为_____． (2)如图②，将点B向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点D． ①点D的坐标_____；按照这样的平移方式，直接写出A、C平移后对应点E、F的坐标分别为_____、_____； ②点是一动点，若三角形的面积等于三角形的面积，直接写出点坐标． 题型2 坐标平面内的线段的平移问题 平移线段即平移端点：将线段两个端点按相同方向和距离平移，再连接新端点。若求平移后长度，因平移不改变长度，可直接用原长或距离公式验证。以线段平移为平台，可以涉及图形面积、角度之间关系的等问题，需要结合相关知识解答。 9．（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点，且，． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________； (2)将线段平移得到线段，点A的对应点是点C，求三角形的面积； (3)在（2）的条件下，过点D作轴于点E，请问在射线上，是否存在点P，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 10．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点，，且实数、满足． (1)直接写出A、B两点的坐标； (2)如图1，为线段上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，将线段平移至，使点的对应点落在x轴上，点的对应点落在轴上，连接、，为线段上一点，为轴上一动点，若，求的值． 11．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴，到轴的距离为，点的坐标为，点在轴上点的右侧，且，过点作平行于轴的直线，点是直线上的一个动点． (1)若点在第一象限，且到轴的距离为． ①则点的坐标为______； ②如图2，连接、、，平移线段，使点到点的位置、点到点的位置，则点的坐标为______． (2)平移图2中的线段，点始终在直线上，设点的纵坐标为． ①在点运动的过程中，若线段与轴有一个交点，求点的纵坐标的取值范围； ②当三角形的面积等于时，求点的坐标． 12．（24-25七年级下·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，点B坐标为，且． (1) ， ，点B的坐标为 ． (2)点C在第一象限内，轴，将线段进行适当的平移得到线段，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接．若的面积为16，求线段的长． 13．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究： 如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接 (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，直接写出的值． 题型3 坐标平面内的三角形的平移问题 整体平移三个顶点：按平移向量移动每个顶点，保持相对位置不变。若求面积，因平移不改变形状，面积与原三角形相同，可用鞋带公式验证。 技巧：先标出平移后顶点，再连线成三角形，避免遗漏点。 14．（24-25七年级下·天津滨海新·期中）平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比（   ） A．向上平移了3个单位 B．向下平移了3个单位 C．向右平移了3个单位 D．向左平移了3个单位 15．（24-25七年级下·山西忻州·期末）如图，透明胶片上有一平行四边形，该平行四边形的一顶点的坐标为，另一顶点的坐标为，移动胶片，使顶点移动至点处，原来顶点移动至点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题： (1)在图中建立平面直角坐标系； (2)若体育馆位置坐标为，请在坐标系中标出体育馆的位置； (3)顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到三角形，求三角形的面积． (4)若三角形内部有一点，经过平移后的对应点的坐标为，且的对应点分别为，请说明三角形是如何由三角形平移得到（沿网格线平移）． 17．（24-25七年级下·广东珠海·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，． (1)点的坐标为______； (2)画出三角形； 写出三角形的面积______． (3)若点在轴上且的面积为，则点的坐标为______． 18．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过平移得到． (1)分别写出点的坐标： ， ．并说明是由经过怎样的平移得到的． (2)若点是内部一点，经过相同的平移后对应点的坐标为，求和的值． 题型4 坐标平面中的轴对称变化 对称轴决定坐标变换： 关于x轴对称： (a,b)→(a,−b)；关于y轴对称： (a,b)→(−a,b)；关于直线y=x对称：交换坐标 (a,b)→(b,a)。 关键：先确定对称轴，再按规则改变坐标符号或位置。 19．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）已知与点关于x轴对称，则 ． 21．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）若平面直角坐标系中的两点关于y轴对称，则的值是 ． 22．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，正方形网格中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标未知，图中已经画出y轴． (1)在正方形网格中画出x轴，标出原点O，并直接写出点C的坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出关于x轴对称的．并直接写出的坐标． 23．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的； (3)把先向右平移个单位，再向下平移个单位得到，写出点的坐标． 24．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出． (2)点关于轴的对称点的坐标为__________，点关于轴的对称点的坐标为__________； (3)在轴上找一点，使最大； (4)在轴上找一点，使的周长最小，并求出周长； (5)已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 题型5 点坐标的规律探究 观察序号与坐标关系；若坐标呈周期性变化，可归纳通项公式或分组求解。 25．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．现把一条长为个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）一组正整数1，2，3，4，5…按下面的方法进行排列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 1 2 3 4 5 6 第1行 12 11 10 9 8 7 第2行 … 我们规定，正整数2的位置记为，正整数8的位置记为，问题：则正整数2024的位置可记为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，平面直角坐标系内，动点按图中箭头所示方向依次运动，第次从点运动到点，第二次运动到点，第次运动到点，按这样的运动规律，动点第次运动到的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级下·广东湛江·期末）如图，在直角坐标系中，，，第一次将变换成，，；第二次将变换成，，，第三次将变换成，…，则的横坐标为（ ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级下·甘肃定西·期末）如图，平面直角坐标系中有若干个横、纵坐标都是整数的点，其顺序按图中“”方向排列，即．根据这个规律，第2025个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 30．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是（   ） A． B． C． D． 31．（24-25八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿轴正半轴滚动变换，①在滚动变换过程中，只改变边长，形状不变，点对应点，得到等腰直角三角形②，称①②为第一次滚动变换；第二次滚动变换后点对应点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动变换后点对应点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动变换后点对应点，得到等腰直角三角形⑤；……依此规律，则第2025个等腰直角三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别沿，向左、右分别运动到点点，此时称动点完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点，此时称动点完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点完成第2025次跳跃时最左边点的坐标是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点，…照此规律，的坐标是 ． 34．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形依此规律，则点的坐标是 。 35．（24-25八年级上·广东清远·期末）如图，已知正方形，顶点、、，规定“把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2019次变换后，正方形的对角线交点M的坐标变为 ． 36．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示，平面直角坐标系中，轴负半轴有一点，点先向上平移1个单位至，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，照此规律平移下去，点平移至点时，点的坐标为 ． 37．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，爱好编程的小明编了一个“步步高升”程序，已知点A在平面直角坐标系中按规律跳到．已知，，，，，，…以此类推，则的坐标为 ． 38．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）探索规律：点，，，，…，按此规律，求： (1)点的坐标； (2)点的坐标(为正整数)； (3)若点到轴的距离为，求的值． 39．（24-25七年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义： 点的“第I类变换”：将点向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度； 点的“第II类变换”：将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． (1)①已知点，对点进行1次“第类变换”后得到的点的坐标是_____； ②点为平面内一点，若对点进行1次“第II类变换”后得到点，则点的坐标是_____． (2)已知点，若对点连续进行5次“第I类变换”，再连续进行4次“第II类变换”后得到点，求点的坐标（用含，的式子表示）． (3)已知点的坐标，对点进行“第类变换”和“第II类变换”共计20次后得到点，请问是否存在一种上述两类变换的组合，使得点恰好在轴上？如果存在，请求出此时点的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型6 平面直角坐标系中的动点问题 分段分析动点轨迹：根据速度或时间t表示坐标（如 (2t,t+1)），结合几何条件（如到某点距离为定值）列方程求解。注意边界情况。 40．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出、、三点的坐标； (2)如图，点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标； (3)如图，若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比是：，运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，求出点的坐标． 41．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，将线段沿x轴向右平移12个单位长度得到线段，点P 为射线上一动点． (1)点C 的坐标为_________，点D 的坐标为________； (2)如图①，点M是线段上一点（不与点C，D重合），当点P 在线段上运动时（点P不与点D重合），连接之间有怎样的数量关系？ 请说明理由； (3)如图②，点N是y轴上任意一点，连接，若，三角形的面积等于三角形的面积，求点 P 的坐标． 42．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，点．且满足， (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图（1），是线段上一点， ①求x，y之间的关系； ②若点的坐标是，连接，且，求点的坐标； (3)如图（2），过点作直线，已知是上的一点，且，直接写出的取值范围． 43．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴交于，点是直线上且不与A、B两点重合的动点． (1)求三角形的面积； (2)如图1，点D、点E分别是线段、x轴负半轴上的动点，过E作，连接．若，请探究与之间的数量关系；（可用含x的代数式表示，并说明理由） (3)若三角形的面积不小于三角形的面积的2倍，求m的取值范围． 44．（24-25七年级下·广东云浮·期中）在平面直角坐标系中（单位长度为），已知点，，且． (1) ______，________； (2)如图，若点E是第一象限内一点，且轴，过点E作x轴的平行线a，与y轴交于点A，点P从点E处出发，以每秒的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒的速度沿x轴向右移动． ①经过几秒？ ②若某一时刻以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是，求此时点P的坐标？ 45．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）在数学活动课上，某小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，当时，轴，且线段的长为；当时，则轴，且线段的长为． 【实践操作】 （1）若点，且轴，则的长为______；若点，轴，当时，则点Q的坐标为______； 【初步运用】 （2）点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接． ①如图，点M，N分别是线段上的动点（不与端点重合），点M从点O出发以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点N从点B出发以每秒0.5个单位长度的速度向点A运动，若两点同时出发，运动的时间为t秒，当轴时，求t的值； 【问题解决】 ②如图，若点M是x轴正半轴上的一个动点，且在的左侧，连接交于点D，当时，求的值．（说明：三角形记作的面积记作） 46．（24-25七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点．将点O先向上平移4个单位长度，得到对应点B，再将点B向右平移4个单位长度，得到对应点C，连接、． (1)直接写出点B、C的坐标； (2)连接，如图①，求三角形的面积； (3)连接，如图②，点在y轴上，若三角形与三角形的面积相等，求m的值； (4)如图③，过点C作轴于点E，P是射线上的一个动点（点P不与点C、E重合），连接、，直接写出、、之间的数量关系． 47．（24-25七年级下·天津河东·期末）在平面直角坐标系中，已知，点，且满足； (1)求的值； (2)如图1求三角形的面积； (3)若点P从点A出发在射线上运动（点P不与点A点B重合），设运动时间为t秒 ①如图2连接，当动点P的速度为每秒3个单位时，请用含t的式子表示三角形的面积； ②如图3设与y轴交点为C，在点P运动的同时，点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向下运动，连接，问：是否存在某一时刻t，使三角形的面积是三角形的面积的2倍，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 48．（24-25七年级下·云南昭通·期末）如图，已知点，且满足．将线段先向上平移5个单位，再向左平移1个单位后得到线段，连接． (1)求、的值； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向上运动．设运动时间为秒，当为多少时，四边形的面积等于？ (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动，直线交轴于点．在运动过程中，三角形与三角形的面积之差是否会发生变化？请说明理由． 培优综合练 49．（24-25七年级下·山东临沂·期末）七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用表示第行第列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为，若调整后的座位为，则称该生作了平移，并称为该生的位置数．若某生的位置数为8，则的最小值为（   ） A．10 B．14 C．15 D．25 50．（2025·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，，直线轴且过点E，长为5的线段在直线l上移动（点D在点C左侧），则的最小值为 ． 51．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”，将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3 所得的余数(当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移)，每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点．其平移过程如下：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，向右平移1个单位长度得到点，点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，向上平移1个单位长度得到点，点横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，向左平移1个单位长度得到点．若“和点”Q按上述规则连续平移2026次后， 到达点 ，则Q的坐标为 ． 52．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知长方形在平面直角坐标系中，连接线段，，且交于点．    (1)如图1，边与轴平行，是轴的正半轴上一点，是轴的正半轴上一点，的平分线和的平分线交于点，若，求的度数； (2)如图2，若长方形的三个顶点，，的坐标分别为，，． ①请直接写出点的坐标； ②若长方形以每秒1个单位的速度向下运动，设运动的时间为秒．是否存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形的面积的一半？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 53．（24-25七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系 中，给定（n为正整数）个不同的点 给出如下定义：记点称为这个点的n阶中点．例如，当时，点为的1阶中点， 已知点，，，． (1)点A，B，C，D的2阶中点P的坐标是 ； (2)点A，B，C，D中任意两点的1阶中点坐标共有 种可能的情况； (3)在四边形的四条边上分别取点E，， ，， 点Q为E，F，G，H的2阶中点， 点R为A，B，C，D，E，F，G，H的3阶中点， ① 若点Q与点 R重合时，则点E的坐标为 ；b，d满足的关系式为 ； ② 若点E，F，H分别在线段，，上运动，请直接写出所有点 R组成的图形面积． 54．（24-25七年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，对于点和长度为的线段给出如下定义：若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向下平移个单位长度，得到线段；若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向右平移个单位长度，得到线段．若点在以为顶点的正方形的边上，则称点是线段的“方田点”． 已知点的坐标为，点的坐标为． (1)在这四个点中，___________是线段的“方田点”； (2)点，若线段上存在线段的“方田点”，则的取值范围是___________； (3)点，点是线段的“方田点”，将点向下平移个单位长度，得到点．若线段的“方田点”都是线段的“方田点”，直接写出的取值范围． 55．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，连接．动点在以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动到点停止，连接．设点运动时间为秒． (1) ， ． (2)①当点在线段上时， ．（用含的式子表示） ②当点在线段上时， ．（用含的式子表示） ③当点在线段上时， ．（用含的式子表示） (3)当的面积等于3时，求的值． (4)设点到直线的距离为，点到直线的距离为． ①当时， ．（填“”，“”或“”） ②当时，直接写出的取值范围． 56．（24-25七年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，，令，，将称为点与点的特征值．对于图形和图形，若点为图形上的任意一点，点为图形上的任意一点，且点与点的特征值存在最大值，则将该最大值称为图形与图形的特征值． (1)已知点． ①点与点的特征值为_______； ②已知点在轴上，若点与点的特征值为，则点的坐标为_______； (2)已知点，将线段以每秒个单位的速度向左平移，经过秒后得到线段． ①已知点，，求点与线段的特征值的取值范围； ②已知面积为的正方形的对角线交点为，且该正方形至少有一条边与坐标轴平行，记该正方形与线段的特征值为，则的最小值为_________； 57．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）如图，点B的坐标为，点A在y轴上，将三角形沿x轴正方向平移，平移后的图形为三角形，且点C的坐标是，且m，n满足．点P从点A出发，速度为每秒2个单位，运动时间为t秒． (1)如图1，点C的坐标为 ，点E的坐标为 ． (2)如图2，在四边形中，点P沿移动，连接，当三角形的面积等于四边形面积的时，求点P的坐标； (3)若点P沿射线方向运动，点F从点O出发沿y轴正方向运动，点F不与点A重合，速度为每秒个单位．当时，点F立即以原速返回至点O，此时点P、点F均停止运动．连接，分别在和内部作射线，使得，平分，直线交于点．直接写出、、的关系，并标注时间的范围． 试卷第2页，共95页 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$