精品解析：广东省东莞市松山湖莞美学校2024-2025学年上学期九年级数学期末教学质量检测

2024－2025学年度第一学期期末教学质量自查 九年级数学试题 （试卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一项符合题目要求．） 1. 下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（　　） A. 3x2+﹣1=0 B. 5x2﹣6y﹣3=0 C. ax2﹣x+2=0 D. 3x2﹣2x﹣1=0 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （4，12） B. （5，12） C. （-5，12） D. （-5，-12） 4. 已知点与点是关于原点的对称点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（　　） A. B. C. D. 6. 已知点在反比例函数的图像上，则k的值是（ ） A. 3 B. C. D. 7. 抛硬币抛次，其中正面朝上次，反面朝上次，则正面朝上的频率是（ ） A 0.4 B. 0.6 C. 4 D. 6 8. 如图，是的切线，切点分别是．若，则的长是( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 如图，在⊙O中，弦AB长6cm，圆心O到AB距离是3cm，⊙O的半径是（　　） A. 3cm B. 3cm C. 4cm D. 3cm 10. 如图所示是抛物线部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 一元二次方程（x﹣1）（x+2）=0的根是_____． 12. 圆心角为的扇形的半径为，则这个扇形的面积为__________．（结果保留） 13. 如图，将绕着点A顺时针旋转后，得到，则______． 14. 如图，为的弦，点在弧上，若，则的度数为______． 15. 如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是内切圆的圆心，将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，则的坐标是______；第2024次滚动后，内切圆的圆心的坐标是______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：； 17. 如图，已知为直径，点为圆上一点，垂直于过点的直线，交于点E，垂足为点，平分．求证：是的切线． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若此方程有两个相等的实数根，求实数的值； （2）已知是此方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 20. 为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛． （1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________； （2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率． 21. 如图，E是正方形的边上的点，过点E作交于点F． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度． 【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形， ． ， ． 是等边三角形． ， 请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为点，点为抛物线上的一个动点，是过点且垂直于轴的直线，过作，垂足为，连接． （1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标； （2）①当点运动到点处时，计算：________，________，由此发现，________（填“”、“”或“”）； ②当点在抛物线上运动时，猜想与有什么数量关系，并证明你的猜想； （3）如图2，设点C，问是否存在点P，使得以P、O、H为顶点的三角形与相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期期末教学质量自查 九年级数学试题 （试卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一项符合题目要求．） 1. 下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．A、是轴对称图形，也是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形 考点：（1）中心对称图形；（2）轴对称图形 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（　　） A. 3x2+﹣1=0 B. 5x2﹣6y﹣3=0 C. ax2﹣x+2=0 D. 3x2﹣2x﹣1=0 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、是分式方程，故A错误； B、是二元二次方程，故B错误； C、a=0时，是一元一次方程，故C错误； D、是一元二次方程，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的识别，熟知一元二次方程的定义是解题的关键. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （4，12） B. （5，12） C. （-5，12） D. （-5，-12） 【答案】C 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标为：，即可． 【详解】解：∵顶点式，顶点坐标为： ∴抛物线的顶点坐标为，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握顶点式和顶点坐标． 4. 已知点与点是关于原点的对称点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的性质，解题关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号都是互为相反数．直接利用关于原点对称点的性质得出的值，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，点与点是关于原点的对称点 ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 5. 一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】一共6个球，其中2个黄球，根据概率的定义所以概率为， 故选：B. 【点睛】考点：概率 6. 已知点在反比例函数的图像上，则k的值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，把点代入反比例函数，求出k的值即可． 【详解】解：把点代入得：， 解得：． 故选：B． 7. 抛硬币抛次，其中正面朝上次，反面朝上次，则正面朝上的频率是（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据频率=频数÷数据总数，求出出现正面的频率即可． 解答：解：∵某人抛硬币抛10次，其中正面朝上6次，反面朝上4次， ∴出现正面的频率为=0.6； 故选B． 8. 如图，是的切线，切点分别是．若，则的长是( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】因为AB、AC、BD是的切线，切点分别是P、C、D，所以AP=AC、BD=BP，所以． 【详解】解：∵是的切线，切点分别是． ∴， ∴， ∵， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查圆的切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理． 9. 如图，在⊙O中，弦AB长6cm，圆心O到AB的距离是3cm，⊙O的半径是（　　） A. 3cm B. 3cm C. 4cm D. 3cm 【答案】B 【解析】 【分析】先根据垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理即可求解. 【详解】如图所示， 由题意知，且， ， ， 则. 故选： 【点睛】此题考查了垂径定理.此题比较简单，解题的关键是利用垂径定理的知识构造直角三角形，然后利用勾股定理求解. 10. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向和对称以及与轴的交点情况可以对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在点和之间，进而得到当时，，于是可对②进行判断；利用抛物线与轴的交点个数可对③进行判断，利用抛物线的对称轴为直线，即，可对④进行判断．本题考查二次函数的图象和形状，掌握抛物线的开口方向，对称轴、顶点坐标以及抛物线与轴交点的与个数二次函数的系数之间的关系是正确解答的关键 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 对称轴直线， 即， 抛物线交的正半轴， ， ， 所以①错误； ②抛物线与轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间． 即当时，， ， 所以②正确； ③抛物线与轴有两个不同交点， ， 因此③正确； ①抛物线的对称轴是直线，即， ， 因此④正确； 综上所述，正确的结论有②③④，共3个 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 一元二次方程（x﹣1）（x+2）=0的根是_____． 【答案】x1=1，x2=﹣2 【解析】 【详解】解：∵（x﹣1）（x+2）=0，∴x﹣1=0，x+2=0，∴x1=1，x2=﹣2．故答案为x1=1，x2=﹣2． 12. 圆心角为的扇形的半径为，则这个扇形的面积为__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】已知扇形的圆心角和半径长，可直接根据扇形的面积公式求解． 【详解】根据扇形的面积公式，得： S扇() ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积，记住扇形的面积公式是解题的关键． 13. 如图，将绕着点A顺时针旋转后，得到，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求旋转角，正确理解旋转的概念是解题的关键． 根据旋转的概念得到是旋转角，即可求解. 【详解】解：∵绕着点A顺时针旋转后，得到， ∴是旋转角， ∴， 故答案为：． 14. 如图，为的弦，点在弧上，若，则的度数为______． 【答案】##56度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是内切圆的圆心，将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，则的坐标是______；第2024次滚动后，内切圆的圆心的坐标是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形内切圆的相关性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，得出每滚动3次为一个循环是解此题的关键． 作交于，交于，交于，连接、、，由、的坐标得出，，由勾股定理可得，再由内切圆的性质可得，设，根据三角形的面积计算出，从而得到，根据旋转可得出的坐标为：，即，设的横坐标为，根据切线长定理可得：，即可得到的坐标，从而得到每滚动3次为一个循环，最后根据，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作交于，交于，交于，连接、、， ， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点是内切圆的圆心，，，， ， 设， ，， ， 解得：， ， 将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为， 由图可得的坐标为：，即， 设横坐标为， 根据切线长定理可得：， 解得：， ， 的坐标为，即， 每滚动3次为一个循环， ， 第2024次滚动后内切圆的圆心的横坐标是：，即的横坐标是8099 ， 故答案为：，． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：； 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 解得：，． 17. 如图，已知为的直径，点为圆上一点，垂直于过点的直线，交于点E，垂足为点，平分．求证：是的切线． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 连接，根据角平分线的定义有，根据圆周角定理有，可得，进而有，进而可得，则有半径，问题得证． 【详解】解：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径 ∴是的切线； 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． 【答案】（1）图见解析，点的坐标为 （2）图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作中心对称图形和旋转图形，点的坐标，正确得出对应点位置是解题关键． （1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；根据点位置写出坐标即可； （2）分别作出点、绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求，点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示，为所求． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若此方程有两个相等的实数根，求实数的值； （2）已知是此方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 【答案】（1） （2）方程的另一个根为， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程判别式的意义、一元二次方程根与系数的关系． （1）先计算根的判别式，得关于的方程，求解即可； （2）先设出方程的另一个根，根据根与系数的关系进行列式计算，可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为， 由题意得：， ∴， 即方程的另一个根为， 则， ∴， 解得． 20. 为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛． （1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________； （2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算可得； （2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：（1）因为有，，种等可能结果， 所以八（1）班抽中歌曲《我和我祖国》的概率是； 故答案为． （2）树状图如图所示： 共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果， 21. 如图，E是正方形的边上的点，过点E作交于点F． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见详解； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据正方形得到，从而得到，结合可得，即可得到，即可得到证明； （2）根据可得，结合，与正方形性质即可得到答案； 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是正方形，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形性质与判定及正方形的性质，解题的关键是根据正方形得到角相等，边相等，结合同角余角相等得到等角． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度． 【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形， ． ， ． 是等边三角形． ， 请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________． 【答案】感知：；探究：见解析；应用：． 【解析】 【分析】感知：由圆周角定理即可求解； 探究：延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证； 应用：延长至点E，使，连结，通过证明得，可推得是等腰直角三角形，结合与可得，代入即可求解． 详解】感知： 由圆周角定理可得， 故答案为：； 探究： 证明：延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形， ． ， ． 是等边三角形． ， ， ∴，， ， 是等边三角形， ， ， 即； 应用： 延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形， ． ， ． ， ， ∴，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造，进行转换求解． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为点，点为抛物线上的一个动点，是过点且垂直于轴的直线，过作，垂足为，连接． （1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标； （2）①当点运动到点处时，计算：________，________，由此发现，________（填“”、“”或“”）； ②当点在抛物线上运动时，猜想与有什么数量关系，并证明你的猜想； （3）如图2，设点C，问是否存在点P，使得以P、O、H为顶点的三角形与相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），顶点 （2）①5，5，=；②，见解析 （3）存在，点P坐标或． 【解析】 【分析】（1）把A点的坐标代入解析式求得a值，即可得函数解析式，再确定顶点坐标即可； （2）①求出即可得结论； ②设点坐标，根据两点之间距离公式分别求得长，即可得结论． （3）首先判断与，与是对应边，再根据相似三角形的性质列出方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为，顶点； 【小问2详解】 解：①当P点运动到A点处时， ∵，， ∴， 故答案分别为5，5，=. ②结论：． 理由：设点坐标， ∵ ， ∴． 【小问3详解】 解：∵A，B，C， ∴，，4． ∴， ∵，以P，O，H为顶点三角形与相似， ∴与为对应边， ∴=， 设点P坐标， ∴， 解得． ∴点P坐标或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记住两点之间的距离公式，学会转化的思想，从方程的角度去解决问题，属于中考压轴题的范畴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $