江西省赣州市宁都县八年级数学上学期课时作业（人教版八年级上册第十五章综合与实践——最短路径）

该初中数学作业设计方案针对八年级上册“最短路径问题”，结合赣州本土实景资源，将饮马、造桥选址生活模型融入作业。依据学生认知差异，设置基础、提升必做题与拓展选做题，依托分层支架降低几何抽象难度，精准帮扶农村薄弱学生。 通过本土情境题如章江两岸修桥、古城滨水廊道规划，引导学生抽象几何模型，提升几何直观与模型意识。分层习题从基础作图到综合拓展，强化推理能力，如等边三角形动点问题规范几何说理。评价量规从作图规范、说理表达等维度科学评估，助力核心素养落实。

2026年学科网&组卷网全国作业设计征集 单位：江西省赣州市宁都县第二中学 日期： 2026.09.01 联系电话： 15970803834 姓名： 廖琴 学段： 八年级上册 学科： 初中数学 题目：综合与实践—最短路径问题 2026.09 07 NINGDUDIERZHONGXUE 宁都县第二中学 1 学科网（北京）股份有限公司 初中数学八年级上册作业设计征集 立足本土情境，落实分层育人——《最短路径问题》单元作业设计 基础信息 项目 内容 学科 初中数学 年级 八年级上册（2026人教版新教材） 单元 第十五章（综合与实践：最短路径问题） 总课时 2课时 核心亮点 深挖赣州本土实景资源，精准帮扶农村薄弱学生；紧扣单元核心知识轴对称、平移，将牧民饮马、造桥选址生活模型融入课堂全过程，依托分层支架降低几何抽象学习难度，落实数形结合、化归、建模、类比核心素养。 作业目标 1.知识目标：巩固轴对称、平移的相关性质，能准确识别饮马问题、造桥选址问题两类最短路径基本模型，规范完成几何作图，能用严谨的几何语言说明解题依据。 2.能力目标：能将赣州本土真实情境抽象为最短路径几何模型，提升识图建模、变式分析、书面说理表达能力；分层完成基础、拓展、探究类习题，发展逻辑推理思维。 3.素养目标：体会数学在生活中的应用价值，养成严谨作图、规范书写的习惯，落实减负要求，合理把控作业时长。 作业内容 作业分层说明 本作业设置基础性、提升类必做题与拓展选做题。无标记题目全体学生完成；带★标记为拓展选做题，供学有余力的学生探究练习，不作统一硬性要求。 1. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标依次为(m,0)、(0,−2)、(5,3)，当线段AB+AC取得最小值时，求m的值为（ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3学习资料 2.  如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC交于点D，点E是AC中点，点P为AD上的动点。当PC+PE长度最小时，求∠ECP的度数是（ ）. A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 第1题 第2题 3. 已知点A、B为两处居民区的位置，现计划在路l上修建垃圾站点P，下图是四位设计师给出的规划图，其中能使PA+PB距离最短的是（ ）. A B C D B. A. B. 4. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，高AD=3，CD上动点E、F，EF=2。四边形ABFE周长最小值的定值部分是AB+EF=____；要使四边形ABFE周长最小，只需保证AE+BF最小，依据的几何公理是：________. 5. 如图，等腰△ABC的底边BC=6cm，面积为24cm2，腰AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点N。若D为BC边上的中点，E是线段MN上的一动点，求△BDE周长的最小值为____cm. 第5题 第4题 6. 如图，BA、BC为两条公路，∠ABC=50°，油库位于两条公路夹角内部的点P处. （1） 作图题：在公路BA、BC上各设一个加油站，使油罐车从P出发，经两个加油站后返回P的总路程最短，在图中画出加油站的位置（保留作图痕迹）. （2） 计算题：设两加油站位置分别为M、N，求∠MPN的度数. 7. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1, 1)，B(4, 2)，C(3, 4)。 （1）请画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△A'B'C'，并写出A'、B'、C'的坐标； （2）若小正方形的边长为1，试求△ABC的面积； （3）在y轴上找一点P，使PA+PB'的值最小，请画出点P的位置. 8.  赣州古城规划滨水慢行廊道，石桥必须垂直河道两岸，桥长等于河道宽度。 （1） 图①观景台A、古浮桥出入口B隔一条平行支流，建石桥MN使步道AMNB最短，说明作图步骤； （2）图②有两条平行支流，各修一座垂直石桥，简述最短路径作法；图③三条平行支流，作图核心规律是什么？★（选做） （3）图④两条支流互不平行，请作图确定石桥位置，画出最短行走路线，保留平移作图痕迹. 图① 图② 图③ 图④ 9. 如图，章江两岸平行l1∥l2，河宽为d。北岸郁孤台为点A，南岸福寿沟博物馆为点B，直线l为南岸滨江步道。要修一座垂直河岸的桥，从A过桥到南岸桥头M，再在步道l选休息点P，最终到达点B。请画出使总路程A→M→P→B最短的完整路径，并简要说明理由。★（选做）学习资料 答案与解析 1. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标依次为(m,0)、(0,−2)、(5,3)，当线段AB+AC取得最小值时，求m的值为（ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】当 B、A、C 三点共线时，AB+AC 取得最小值，此时点A就是线段BC与x轴的交点。此时分别过点C和B作平行于y轴和x轴的平行线交于点D，与x轴交于点E，因为BD=CD=5,所以∠BCD=45°，在等腰Rt△AEC中，AE=CE=3，所以OA=2，即m=2. 2.  如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC交于点D，点E是AC中点，点P为AD上的动点。当PC+PE长度最小时，求∠ECP的度数是（ ）. A.30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】A 【解析】∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC. ∴AD是BC的垂直平分线（等边三角形三线合一），点B、C关于AD对称，PC=PB ∴PC+PE = PB+PE，当B、P、E三点共线时，和最小（牧民饮马模型）. ∵E是AC中点，∴△ABC是等边三角形. ∴BE⊥AC，∠EBC=30°（等边三角形三线合一）. ∵PB=PC ∴∠PCB=∠PBC=30° ∵∠ACB=60° ∴∠ECP=∠ACB−∠PCB =60°−30°=30°. 3. 已知点A、B为两处居民区的位置，现计划在路l上修建垃圾站点P，下图是四位设计师给出的规划图，其中能使PA+PB距离最短的是（ ）. 【答案】DA B C D 【解析】A：对称点连线未经过B的对称点，作图逻辑错误； B：仅过A作垂直l的垂线交于P，没有利用对称转化线段，不能保证和最小； C：对称辅助线混乱，连接方式错误，P点选取无依据； D：正确作出B关于直线l的对称点，连接对称点与A，交l于P，完全符合牧民饮马标准画法. 4.  如图，在矩形ABCD中，AB=8，高AD=3，CD上动点E、F，EF=2。四边形ABFE周长最小值的定值部分是AB+EF=____；要使四边形ABFE周长最小，只需保证AE+BF最小，依据的几何公理是：________. 【答案】10；两点之间，线段最短. 【解析】因为AB=8，EF=2，所以AB+EF=10；要保证AE+BF最小，利用平移转化线段，依据两点之间，线段最短，可求得AE+BF最小值. 5. 如图，等腰△ABC的底边BC=6cm，面积为24cm2，腰AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点N。若D为BC边上的中点，E是线段MN上的一动点，求△BDE周长的最小值为____cm. 【答案】11 【解析】（1）求高AD 等腰△ABC中，D是BC中点，BC=6，则BD=3。 由S=×BC×AD=24，得AD=8。 （2）利用垂直平分线性质 MN是AB的垂直平分线，故BE=AE。 △BDE周长=BD+DE+BE=BD+DE+AE。 （3）求最小值 当A、E、D共线时，AE+DE=AD最小。 最小周长=BD+AD=3+8=11。 6. 如图，BA、BC为两条公路，∠ABC=50°，油库位于两条公路夹角内部的点P处.第（2）题 第（1）题 （1） 作图题：在公路BA、BC上各设一个加油站，使油罐车从P出发，经两个加油站后返回P的总路程最短，在图中画出加油站的位置（保留作图痕迹）. （2） 计算题：设两加油站位置分别为M、N，求∠MPN的度数. 【答案】（1）如图所示；（2）∠MPN=80°. 【解析】（1）略； （2）由对称性质可知： ∵∠BP'M=∠BPM，∠BP''N=∠BPN， ∴∠MPN=∠BP'M+∠BP''N ，∠P'BP'' = 2∠ABC= 2 ×50°=100° 在△BP'P''中： ∠BP'M+∠BP''N=180°−∠P'BP''=180°−100° =80°，即∠MPN=80°. 7. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1, 1)，B(4, 2)，C(3, 4)。 （1）请画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△A'B'C'，并写出A'、B'、C'的坐标； （2）若小正方形的边长为1，试求△ABC的面积； （3）在y轴上找一点P，使PA+PB'的值最小，请画出点P的位置. 【答案】（1）A'(1, −1)，B'(4, −2)，C'(3, −4)；（2）3.5；（3）如图所示. 【解析】（1）关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为相反数； （2）方法：用割补法，把三角形放在一个矩形里，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积。所以△ABC的面积：3×3−×3×1−×2×1−×3×2=3.5； （3）略. 8. 赣州古城规划滨水慢行廊道，石桥必须垂直河道两岸，桥长等于河道宽度。 （1） 图①观景台A、古浮桥出入口B隔一条平行支流，建石桥MN使步道AMNB最短，说明作图步骤； （2）图②有两条平行支流，各修一座垂直石桥，简述最短路径作法；图③三条 平行支流，作图核心规律是什么？★（选做） （3） 图④两条支流互不平行，请作图确定石桥位置，画出最短行走路线，保留平移作图痕迹. 图① 图② 图③ 图④ 【答案】见解析； 【解析】（1）图①作图步骤如下： 1.过点A作河岸的垂线，在垂线上截取AA'=河宽； 2.连接A'B，交靠近B的河岸于点N； 3.过点N作NM垂直于河岸，交靠近A的河岸于点M；第（1）题 4.连接AM，则AMNB就是最短步道。 （2）图②（两条平行支流）： 1. 把点A向下平移第一条河的宽度到A'； 2. 把点A'向上平移第二条河的宽度到A''； 3. 连接A''B，与两条河的内侧河岸分别交于两点； 4. 通过这两个交点分别作垂直于河岸的石桥MN、PQ，再顺次连接AMNPQB。第（2）题 图③（三条平行支流）： 同理，将A依次向下平移三条河的宽度，得到A''，连接A''B，与各条河的内侧河岸相交，过交点作垂直河岸的石桥即可。 核心规律：对于n条平行支流，将点A向河岸方向平移n次（每次平移距离等于对应河宽），连接平移后的点与B，与各河内侧河岸的交点即为桥的一端，再作垂直河岸的石桥，利用平移转化桥长+两点之间线段最短，使路径总长最小。第（3）题 （3）如图所示： 9. 如图，章江两岸平行l1∥l2，河宽为d。北岸郁孤台为点A，南岸福寿沟博物馆为点B，直线l为南岸滨江步道。要修一座垂直河岸的桥，从A过桥到南岸桥头M，再在步道l选休息点P，最终到达点B。请画出使总路程A→M→P→B最短的完整路径，并简要说明理由。★（选做）理由: 1. 桥必须垂直河岸，河宽d是固定不变的长度，通过将点A向下平移河宽d得到A'，可得AQ=A'N，把造桥问题转化为点到点的距离问题。 2. 作点M关于直线l的对称点M'，依据轴对称的性质：直线l上任意一点P满足 PM=PM'。 3. 总路程： AQ+QN+NM+MP+PB=A'M+QN+M'B。 ，通过平移和轴对称变换实现化折为直，将复杂折线路径，转化为两点之间的线段距离求解。此时A→M→P→B总路程最短。 设计意图 本次作业采取分层设计，立足学生认知水平，由基础巩固、变式提升到综合拓展逐层递进。基础题侧重巩固饮马问题、造桥选址的基本作图与解题思路，夯实轴对称、平移构造最短路径的核心模型；变式题引导学生辨析题型差异，破除思维定式；综合拓展题结合赣州本地实景，将两道模型融合为复合型习题，引导学生学会拆解复杂问题，做到学以致用。同时配套微课资源，方便学生课后自主回看，满足不同层次学生的复习需求，落实因材施教。 学生成果预设 1. 必交成果：《最短路径问题分层练习学习单》 2. 选做成果（三选一）： ① 错题整理记录+典型题作图过程留存； ② “最短路径解题模型”主题手抄报/整理手账； ③ 解题讲解稿 / 讲题微视频脚本 / 最优路径探究小报告。 3. 课堂口头展示：小组汇报解题思路分享。 评价量规 评价维度 A级（优秀） B级(合格) C级(待改进) 作图规范 作图痕迹完整，虚线、实线区分准确，标注清晰 基本画出图形，少量标注缺失 作图思路错误，痕迹混乱 说理表达 理由完整严谨，数学术语准确 能说出主要依据，表达略有欠缺 不会写解题依据 完成态度 全部认真完成，选做题主动尝试 必做题完成，选做题未做 必做题未完成，空题较多 表达展示 几何语言严谨规范，推理逻辑严密，表达流畅完整 几何语言基本规范，推理思路清晰，个别表述有待完善 可完成基础表达，几何语言规范性不足，思路基本完整 作业实施注意事项 1. 学生自主完成练习时，独立思考解题，遇困难可回看配套微课资源进行自主学习，不直接照搬答案；小组研讨时积极交流思路，有序开展互助探究。 2. 作图题务必使用直尺、铅笔规范完成，书写几何步骤时力求几何语言严谨规范；引用拓展素材、查阅网络资源时做好甄别，合理使用。 3. 本作业部分习题为教师原创设计，部分习题结合教材、经典题型进行情境改编，题目均经过二次加工，贴合本课核心素养目标。 $宁都县第二中学 NINGDUD I ERZHONGXUE 2026年学科网&组卷网 全国作业设计征集 题目：综合与实践一最短路径问题 学科： 初中数学 学段： 八年级上册 姓名： 廖琴 单位：江西省赣州市宁都县第二中学 联系电话： 15970803834 日期： 2026.09.01 2026.09 初中数学八年级上册作业设计征集 立足本土情境，落实分层育人一《最短路径问题》单元作业设计 基础信息 项目 内容 学科 初中数学 年级 八年级上册(2026人教版新教材) 单元 第十五章（综合与实践：最短路径问题） 总课时 2课时 深挖赣州本土实景资源，精准帮扶农村薄弱学生；紧扣单元核 核心亮点 心知识轴对称、平移，将牧民饮马、造桥选址生活模型融入课堂全 过程，依托分层支架降低几何抽象学习难度，落实数形结合、化归、 建模、类比核心素养。 作业目标 1.知识目标：巩固轴对称、平移的相关性质，能准确识别饮马问题、造桥选 址问题两类最短路径基本模型，规范完成几何作图，能用严谨的几何语言说明解 题依据。 2.能力目标：能将赣州本土真实情境抽象为最短路径几何模型，提升识图建 模、变式分析、书面说理表达能力：分层完成基础、拓展、探究类习题，发展逻 辑推理思维。 3.素养目标：体会数学在生活中的应用价值，养成严谨作图、规范书写的习 惯，落实减负要求，合理把控作业时长。 单元作业目标 知识目标 基础达成 巩固性质「识别模型 轴对称 轴对称 识别模型」规范作图 平移 能力目标 最短路径 能力进阶 抽象模型 提升说理 提升说理 发展推理 问题 变式分析 书面表达 最短路径「逻辑思维 素养目标 素养提升 体会价值 △ 规范习惯 数学应用「 数学学习 控制时长 严谨学习」减负增效 分层落实目标，培育数学核心素养 作业内容 作业分层说明 本作业设置基础性、提升类必做题与拓展选做题。无标记题目全体学生完成：带 ★标记为拓展选做题，供学有余力的学生探究练习，不作统一硬性要求。 1.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标依次为(m,0)、 (0,-2)、(5,3),当线段AB+AC取得最小值时，求m的值为( A.0 B.1 C.2 D.3 学习资料 2.如图，△ABC为等边三角形，ADLBC交于点D,点E是AC中点，点P为 AD上的动点。当PC+PE长度最小时，求∠ECP的度数是(). A.30° B.45° C.60° D.90° 第1题 第2题 3.已知点A、B为两处居民区的位置，现计划在路1上修建垃圾站点P,下图是 四位设计师给出的规划图，其中能使PA+PB距离最短的是(). 3 D.: D 4.如图，在矩形ABCD中，AB-8,高AD=3,CD上动点E、F,EF-2。四边形 ABFE周长最小值的定值部分是AB+EF=;要使四边形ABFE周长最小，只 需保证AE叶BF最小，依据的几何公理是： 5.如图，等腰△ABC的底边BC=6cm,面积为24cm2,腰AB的垂直平分线W 交AB于点M,交AC于点N。若D为BC边上的中点，E是线段N上的一动 点，求△BDE周长的最小值为cm. 第4题 第5题 6.如图，BA、BC为两条公路，∠ABC-50°，油库位于两条公路夹角内部的点P 处. (1)作图题：在公路BA、BC上各设一个加油站，使油罐车从P出发，经两个 加油站后返回P的总路程最短，在图中画出加油站的位置（保留作图痕迹）. (2)计算题：设两加油站位置分别为M、W,求∠MPN的度数 B 7.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4)。 (1)请画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△A'BC',并写出A'、B、C的坐标： (2)若小正方形的边长为1，试求△ABC的面积： (3)在y轴上找一点P,使A+PB的值最小，请画出点P的位置， 8.赣州古城规划滨水慢行廊道，石桥必须垂直河道两岸，桥长等于河道宽度。 (1)图①观景台A、古浮桥出入口B隔一条平行支流，建石桥MN使步道ANB 最短，说明作图步骤； (2)图②有两条平行支流，各修一座垂直石桥，简述最短路径作法；图③三条 平行支流，作图核心规律是什么？★（选做） (3)图④两条支流互不平行，请作图确定石桥位置，画出最短行走路线，保留 平移作图痕迹 A A. A. 1 888888 :8 8 B B ‘B B 图① 图② 图③ 图④ 9.如图，章江两岸平行1∥，河宽为d。北岸郁孤台为点A,南岸福寿沟博物 馆为点B,直线1为南岸滨江步道。要修一座垂直河岸的桥，从A过桥到南岸桥 头M,再在步道1选休息点P,最终到达点B。请画出使总路程A→M→P→B最 短的完整路径，并简要说明理由。★（选做） ▣▣ A· h 学习资料 ·M B· 答案与解析 1.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标依次为(m,0)、(0,一2)、(5,3)， 当线段AB+AC取得最小值时，求m的值为() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】当B、A、C三点共线时，AB+AC取 V 得最小值，此时点A就是线段BC与x轴的交 点。此时分别过点C和B作平行于y轴和x轴 的平行线交于点D,与x轴交于点E,因为 BD=CD-5,所以∠BCD=45°，在等腰Rt△AEC 中，AE-CE-3,所以OA=2,即m=2 2.如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC交 于点D,点E是AC中点，点P为AD上的动点。当PC+PE长度最小时，求∠ECP 的度数是() A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】A 【解析】，△ABC为等边三角形，AD⊥BC ∴AD是BC的垂直平分线（等边三角形三线合一）， 点B、C关于AD对称，PC=PB ∴.PC+PE=PB+PE,当B、P、E三点共线时，和最 小（牧民饮马模型）. ,E是AC中点，∴.△ABC是等边三角形 ∴.BELAC,∠EBC=30°（等边三角形三线合一）. .PB=PC ∴.∠PCB=∠PBC-=30° ∠ACB-60° .∠ECP=∠ACB-∠PCB-60°-30°=30°， 3.已知点A、B为两处居民区的位置，现计划在路1上修建垃圾站点P,下图是 四位设计师给出的规划图，其中能使PA+PB距离最短的是()· 6 【答案】D 【解析】A:对称点连线未经过B的对称点，作图逻辑错误： B:仅过A作垂直1的垂线交于P,没有利用对称转化线段，不能保证和最小： C:对称辅助线混乱，连接方式错误，P点选取无依据； D:正确作出B关于直线1的对称点，连接对称点与A,交1于P,完全符合牧 民饮马标准画法」 4.如图，在矩形ABCD中，AB8,高AD=3,CD上动点E、F,EF=2。四边形 ABFE周长最小值的定值部分是AB+EF=;要使四边形ABFE周长最小，只 需保证AE+BF最小，依据的几何公理是： 【答案】10；两点之间，线段最短 【解析】因为AB=8,EF=2,所以AB+EF=10;要保 证AE叶BF最小，利用平移转化线段，依据两点之间， 线段最短，可求得AE叶BF最小值 5.如图，等腰△ABC的底边BC=6cm,面积为24cm?, 腰AB的垂直平分线N交AB于点M,交AC于点N。 若D为BC边上的中点，E是线段MW上的一动点，求△BDE周长的最小值为 cm 【答案】11 【解析】(1)求高AD 等腰△ABC中，D是BC中点，BC=6,则BD=3。 由S-xBCx4D=24,得4D-8。 (2)利用垂直平分线性质 MN是AB的垂直平分线，故BE=AE。 △BDE周长=BD十DE+BE=BD十DE+AE。 (3)求最小值 当A、E、D共线时，AE+DE=AD最小。 最小周长=BD+AD=3+8=11。 6.如图，BA、BC为两条公路，∠ABC=50°， 油库位于两条公路夹角内部的点P处 第(1)题 第(2)题 (1)作图题：在公路BA、BC上各设一个加油站，使油罐车从P出发，经两个 加油站后返回P的总路程最短，在图中画出加油站的位置（保留作图痕迹）， (2)计算题：设两加油站位置分别为M、W,求∠PW的度数， 【答案】(1)如图所示；(2)∠MPN-0°. 【解析】（1)略： (2)由对称性质可知： .∠BP=∠BPM,∠BP"=∠BPN, ∴.∠MPN=∠BPM什∠BPN,∠P'BP"=2∠ABC=2×50=100° 在△BP'P"中： ∠BPM什∠BP"N=180°-∠P'BP=180°-100°=80°，即∠MPN=80°， 7.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4)。 (1)请画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△ABC',并写出A'、B、C的坐标： (2)若小正方形的边长为1，试求△ABC的面积： (3)在y轴上找一点P,使PA+PB的值最小，请画出点P的位置 【答案】（1)A(1,-1),B(4,-2),C(3,-4):（2)3.5;（3)如图所示 【解析】(1)关于x轴对称的点的坐 标规律：横坐标不变，纵坐标变为相反 数 (2)方法：用割补法，把三角形放在 一个矩形里，用矩形面积减去周围三个 直角三角形的面积。所以△ABC的面 积：3×3-】×3×1】×2×1-】×3×2-35： (3)略 8.赣州古城规划滨水慢行廊道，石桥必须垂直河道两岸，桥长等于河道宽度。 (1)图①观景台A、古浮桥出入口B隔一条平行支流，建石桥MN使步道AMNB 最短，说明作图步骤； (2)图②有两条平行支流，各修一座垂直石桥，简述最短路径作法；图③三条 平行支流，作图核心规律是什么？★（选做） (3)图④两条支流互不平行，请作图确定石桥位置，画出最短行走路线，保留 平移作图痕迹 A B B 图① 图② 图③ 图④ 【答案】见解析： 【解析】(1)图①作图步骤如下： A 1.过点A作河岸的垂线，在垂线上截取AA=河 宽； 2.连接AB,交靠近B的河岸于点N B 3.过点N作M垂直于河岸，交靠近A的河岸 第(1)题 于点M: 4.连接AM,则AMNB就是最短步道。 (2)图②（两条平行支流）： 1.把点A向下平移第一条河的宽度到A': 2.把点A向上平移第二条河的宽度到A"; 3.连接A"B,与两条河的内侧河岸分别交于两点： 4.通过这两个交点分别作垂直于河岸的石桥 N、PQ,再顺次连接AMNPOB。 第(2)题 图③（三条平行支流）： 同理，将A依次向下平移三条河的宽度，得到A",连接A“B,与各条河的内侧 河岸相交，过交点作垂直河岸的石桥即可。 核心规律：对于条平行支流，将点A向河岸方 向平移次（每次平移距离等于对应河宽），连 接平移后的点与B,与各河内侧河岸的交点即为 桥的一端，再作垂直河岸的石桥，利用平移转化 桥长+两点之间线段最短，使路径总长最小。 第(3)题 (3)如图所示： 9.如图，章江两岸平行1∥，河宽为d。北岸郁孤台为点A,南岸福寿沟博物 9 馆为点B,直线1为南岸滨江步道。要修一座垂直河岸的桥，从A过桥到南岸桥 头M,再在步道1选休息点P,最终到达点B。请画出使总路程A→M→P→B最 短的完整路径，并简要说明理由。★（选做） 理由： 1.桥必须垂直河岸，河宽d是固定不变的 长度，通过将点A向下平移河宽d得到 A',可得AO=AN,把造桥问题转化为点 到点的距离问题。 2 2.作点M关于直线1的对称点M,依据 轴对称的性质：直线1上任意一点P满足 PM-PM'. 3.总路程： AQ+QW+MM什MP+PB=AM什QN+MB。 ，通过平移和轴对称变换实现化折为直， 将复杂折线路径，转化为两点之间的线段 距离求解。此时AM→P→B总路程最 M' 短。 设计意图 本次作业采取分层设计，立足学生认知水平，由基础巩固、变式提升到综合 拓展逐层递进。基础题侧重巩固饮马问题、造桥选址的基本作图与解题思路，夯 实轴对称、平移构造最短路径的核心模型；变式题引导学生辨析题型差异，破除 思维定式；综合拓展题结合赣州本地实景，将两道模型融合为复合型习题，引导 学生学会拆解复杂问题，做到学以致用。同时配套微课资源，方便学生课后自主 回看，满足不同层次学生的复习需求，落实因材施教。 学生成果预设 1.必交成果：《最短路径问题分层练习学习单》 2.选做成果（三选一）： ①错题整理记录+典型题作图过程留存： ② “最短路径解题模型”主题手抄报/整理手账： 10 ③解题讲解稿/讲题微视频脚本/最优路径探究小报告。 3.课堂口头展示：小组汇报解题思路分享。 评价量规 评价维度 A级（优秀） B级（合格） C级（待改进） 作图痕迹完整，虚线、 作图规范 实线区分准确，标注清 基本画出图形，少量标 作图思路错误， 注缺失 痕迹混乱 晰 说理表达 理由完整严谨，数学术 能说出主要依据，表达 不会写解题依 语准确 略有欠缺 据 完成态度 全部认真完成，选做题 必做题完成，选做题未 必做题未完成， 主动尝试 做 空题较多 几何语言严谨规范，推 几何语言基本规范，推 可完成基础表 表达展示 理逻辑严密，表达流畅 理思路清晰，个别表述 达，几何语言规 完整 范性不足，思路 有待完善 基本完整 作业实施注意事项 1.学生自主完成练习时，独立思考解题，遇困难可回看配套微课资源进行自 主学习，不直接照搬答案；小组研讨时积极交流思路，有序开展互助探究。 2.作图题务必使用直尺、铅笔规范完成，书写几何步骤时力求几何语言严谨 规范：引用拓展素材、查阅网络资源时做好甄别，合理使用。 3.本作业部分习题为教师原创设计，部分习题结合教材、经典题型进行情境 改编，题目均经过二次加工，贴合本课核心素养目标。 11