三角形中常用辅助线之倍长中线专题讲义2025-2026学年 苏科版（2024）八年级数学上册

2025-2026学年度苏科版（2024）八年级上学期三角形中常用辅助线之倍长中线专题讲义 考点概述 ★在全等三角形的学习中，“倍长中线” 是一种高频考点的辅助线添加方法，其核心是通过延长三角形的中线构造全等三角形，进而实现线段、角的关系转化。 1、 定义： 倍长中线是指延长三角形的中线（从顶点到对边中点的线段），使延长后的线段长度与原中线相等（即 “倍长”），从而构造新的全等三角形。 2、 原理： 设△ABC 中，AD是BC边上的中线（即BD=DC），延长AD至点E，使DE=AD，连接BE（或CE）。此时：对顶角∠ADB=∠EDC（或∠ADC=∠EDB）；BD=DC（中线性质）；AD=DE（倍长构造）；根据 “SAS”全等判定定理，可证△ADB≌△EDC（或△ADC≌△EDB）。 3、 作用： 通过构造全等三角形，实现以下转化： ①线段转化：将原三角形中的边（如 AC）转化为新三角形中的边（如 BE），或将分散的线段集中到同一三角形中； ②角转化：将原三角形中的角（如∠CAD）转化为新三角形中的角（如∠E），实现角的等量转移。 四、考点分类： ①证明线段相等②证明线段平行③证明线段和差关系④证明角的不等关系 5、 易错点警示： ①辅助线描述：需明确 “延长某中线至某点，使延长部分等于原中线”，避免表述模糊导致全等条件缺失； ②对应关系：倍长后构造的全等三角形需准确识别对应顶点（如△ADB对应△EDC，而非△EDB），避免角或边的对应错误； ③隐含中线：若题目中未直接给出中线，但存在 “中点”条件（如D是BC中点），需主动识别AD可视为中线”，再应用倍长法。 6、 总结; 倍长中线的核心是 “构造全等、转化关系”，其考点围绕线段相等、平行、和差及角的不等关系展开。掌握这一方法的关键在于理解辅助线的构造逻辑，明确全等三角形的对应关系，进而实现已知条件与待证结论的 “桥梁搭建” 典例精讲 典例1．如图（1），在中，，． (1)若边的长度是奇数，求的长； (2)如图（2），为的中线． ①的周长为16，求的周长； ②求中线的取值范围． (1) (2)①的周长为11；② 【详解】（1）∵，， ∴， ∵的长度是是奇数， ∴； （2）①∵，， ∴， ∵是中线， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为11； ②延长线段到点E，使得，连接， 在和中 ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 即， ∴， 即中线的取值范围为． 典例2．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，在中，点在上，且，过点作交于点．若，求证：平分． 思路分析：当题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑用倍长法构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解题思路： 思路1：考虑倍长，如图②，延长至点，使，连接； 思路2：考虑倍长，如图③，延长至点，使，连接． (1)请挑选其中一种解题思路，给出证明． (2)如图，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，已知，求的长． ．(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：思路1：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； 思路2：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 变式训练；阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线，∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1），∴， 在中，（依据2），∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题：如图4，中，，D为中点，求证：． （1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2）解：如图，延长至点，使,连接． 是的中线，, 在与中，, ，, 在中，， 即，．故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接， 是的中点，∴, 又∴，，， ∵，∴, ,即， 又∵，∴， ∴，∴． 专题训练 一、选择题 1．在中，，中线，则的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 2．在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，为的中点，若．则的长不可能是（    ） A．5 B．7 C．8 D．9 4．如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．以上都有可能 5．如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点P是线段上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接，则的面积比的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是（    ）    A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④ 6．如图，在中，，是中线，是角平分线，点是上任意一点（不与，重合），连接、．给出以下结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 7．已知，中，，，是边中线，则的取值范围是 8．如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 9．如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则 ． 10．如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形． 三、解答题 11．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图，在中，，求出边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用二角形的三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 解：________ 12．【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系． 13．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．“∴”的推理过程． （1）求证：∴； 证明：∵延长到点，使， 在和中（已作）， （______）， （中点定义）， ∴（______）， （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 14．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，是边上的中线，若，，求边的取值范围．小琪同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，请根据小琪的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________． A．SSS    B．SAS    C．AAS （2）由“三角形的三边关系”可求得边的取值范围是_____________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【感悟方法】 （3）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，．试说明：． 15．综合与实践 问题情境：数学课上，老师让每个组准备了一张如图1所示的等腰三角形纸片，其中，是边上的中线．老师要求各个小组结合所学的图形变化的知识展开数学探究． (1)如图1，“勤学”小组发现图中的，请你用全等三角形的知识证明这一结论； (2)如图2，“善思”小组将图1中的纸片过点沿平行于的直线减掉一部分，连接，并在上取一点，连接，，使得．求证：； (3)如图3，“智慧”小组将纸片沿剪开，然后保持不动，调整的位置至，延长，交于点，连接，取的中点，连接，．求证：． 16．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 17．下面是小芳同学的部分数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 2024年10月11日星期五，今天参加课外兴趣小组活动时，老师提出了一个问题：如图1，在中，若，，则BC边上的中线AD的取值范围是多少？ 小组内的同学们经过讨论发现，如果在条件中出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结果转化到同一个三角形中，这样就可以找到解题方法：如图1，延长AD至点E，使，连接BE，可证得，进而可求得中线AD的取值范围．该小组在求解下面的拓展题时，发现也可以用这种方法解决． 拓展题：如图2，以的边AB，AC为边分别向外作等腰和等腰，其中， ，，F是的中点，连接，，当时，求的长． 任务： (1)图1中与的数量关系是______； (2)图1中，的取值范围是______； (3)求图2中的长． 18．【发现问题】（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，若，求边上的中线的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：如图①，延长到点E，使，连接，得到，他用到的判定定理是__________；（用字母表示），可以求得边上的中线的取值范围是__________． 【解决问题】 （2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”的字样，可以考虑构造全等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图，当平分时，若，求的值（用含m，n的式子表示）； （3）如图，平分，延长到E，使得，连接，若，求的值． 19．综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 20．学习理解： （1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________； 活学活用： （2）如图2，，，，点F为的中点． 求证：； 思维拓展： （3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________． 参考答案 1．A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，中线的性质，三角形三边关系，倍长中线，进而根据三角形三边关系求解是解题的关键．延长至E，使，连接，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， ∵AD是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， 的长度不可能是7． 故选：A． 2．B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使，利用证明，得，再利用三角形三边关系可得答案． 【详解】解：延长至点，使，则，   为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵ ∴，即， ∴． 故选：B． 3．A 【分析】延长AD到E，使AD=DE，证明△ADC≌△EDB，然后利用三边关系即可得出结论． 【详解】解：延长AD到E，使AD=DE=4，连接BE， ∵D是BC的中点， ∴BD=CD 又∠BDE=∠CDA ∴△ADC≌△EDB， ∴BE=AC=3 由三角形三边关系得， 即： 故选：A 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 4．C 【分析】如图，延长到，使得，连接，，证明，推出，由，可得． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 5．B 【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；延长至，使，易证得，利用三角形三边关系可对②进行判断；再次根据三角形中线定义和三角形面积公式可对③进行判断；由，，，易证得，可得，即可对④进行判断． 【详解】解：∵是中线， ∴ ∴与的面积相等，故①正确， 延长至，使，如图    ∵，， ∴， ∴ 则在中， ∴，故②正确， 点是线段AD上的一个动点（点不与点，重合），连接，，如图，    ∵ ∴ 又∵与的面积相等 ∴的面积和的面积相等，故③不正确， 点，是，所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，，如图，    由，，， ∴， ∴ ∴ 故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，利用三角形中线的性质及倍长中线的思想是解决问题的关键． 6．B 【分析】①根据面积法可得，，从而可得①正确；②由是中线，无法得出，故可判断②错误；③运用SAS证明得，在中运用三角形三边关系可得结论，从而判断③；④在上截取，连接，运用证明得，在中运用三角形三边关系可得结论，从而判断④． 【详解】解：①过作于，于，过作于， 是角平分线，，， ， ， ， ，故①正确； ② ， 平分， ， 是中线， 无法得出，故②错误； ③延长到使，连接， 是中线， ， 在和中， 在中， ，， ，故③正确； ④在上截取，连接， 是角平分线， ， 在和中， ， ， 在中，， ， 即，故④正确； 综上①③④正确． 故选B． 【点睛】此题主要考查了三角形的中线，角平分线以及全等三角形的判定与性质，关键是正确画出辅助线． 7． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的中线． 延长到E，使，连接，根据可证，得，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：如图，延长到E，使，连接， 则有， 是边上的中线， ， ，， ， ， 在中，由三角形三边关系得， ， ， ， ， 故答案为：． 8．2.4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长至，使，连接，可证明，则，，根据，得，可证出，即得出，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2.4． 9．/ 【分析】如图，延长至F，使得，交于点G，通过“边角边”证明，则，根据题意与三角形的外角性质可得，进而可得，设，根据题意得到关于x的方程，然后求解方程即可． 【详解】解：如图，延长至F，使得，交于点G， ∵点E是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，   设， ∵， ∴， 解得， 即． 故答案为： 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，根据中点作出适当的辅助线． 10．或/或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和等内容，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 分类讨论，当时或时，延长到点，使，连接、，先证，再证，最后证，得，即可得解． 【详解】解：①当时，如图，延长到点，使，连接、， ， ， 在△和△中， ， ， ，， 是中点， ， 在△和△中， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 在△和△中， ， ， ，， ， ， ； ②当时，如图，延长到点，使，连接、， 同①理可得， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 11． 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键；延长到，使得，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； 【详解】（1）解：如图，延长到，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴． 12．（1）是，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，以及全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． （1）由角平分线可得，由平行线的性质得，，从而，进而可证是等腰三角形； （2）同理（1）分别证明和，从而可证； （3）延长、交于点F．先根据等角对等边证明，再根据证明得，进而可证． 【详解】解：（1）是等腰三角形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2），理由： 如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由： 如图，延长、交于点F． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 13．（1）对顶角相等，；（2）；（3） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及垂直平分线的判定和性质，解题的关键是作辅助线． （1）根据题干已知可得； （2）根据全等三角形性质得，利用三角形三边关系即可求得答案； （3）延长交于点，证明，根据全等性质得，，利用得垂直平分，即可求得答案． 【详解】证明：（1）∵延长到点，使， 在和中，（已作）， （对顶角相等）， （中点定义）， ∴， 故答案为：对顶角相等，； （2）∵， ∴， ∴， 则， 故， 即； （3）延长交的延长线于点，如图； ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； 又∵， ∴垂直平分， ∴． 14．（1）B；（2）；（3）见解析 【分析】（1）根据题意，运用边角边的方法证明； （2）由（1）中三角形全等可得，在中根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，由此即可求解； （3）如图所示，延长至点，使得，连接，可证，可得，，，由此即可求解． 【详解】解：（1）延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴，且（对顶角相等）， 在中， ， ∴， 故选：； （2）由（1）可得， ∴，，则， 在中，， ∴， 故答案为：； （3）如图所示，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴，且， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形中线，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等边对等角，等角对等边等知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 15．(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，利用中点中点+平行模型证明三角形全等，从而转化线段关系是解题关键． （1）利用“”证明即可得，由此得出结论； （2）延长交于点；根据先对边对等角和等角得余角证明，继而可得，再由题意得，利用中点平行模型证明，即可得； （3）延长交于点，利用中点+平行模型证明可得，，再根据题意可得，进而证明，由（1）得结论． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）证明：延长交于点， ∵， ∴， 由（1）， ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，， ∴， ∴； （3）证明：延长交于点， 由题意得， ∴，， 又∵， ∴ ∴，， 由题意可知： ， 由（1）可知， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 16．（1）；；；；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）如图1，延长，使，连接，利用证明，得到，再由三角形三边的关系得到，则，即可求出； （2）延长使，连接，根据垂直平分线的性质得到，然后利用证明，得到，，进而得到，最后根据勾股定理证明即可； （3）延长交的延长线于点F，根据证明，然后根据垂直平分线的性质得到，最后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）延长，使，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）， 证明：如图所示，延长到G，使，连接， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴； （3）解：如图所示，延长交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，勾股定理，线段垂直平分线的性质，“倍长中线”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形． 17．(1)； (2)； (3)16 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由“”可证，进而可得出答案； （2）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得． 【详解】（1）如图1，延长至点E，使，连接， ∵为中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）如图，延长至点E，使，连接． ∵，，， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故答案为； （3）如图，延长至点G，使，连接． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． 18．（1）；；（2）；（3）16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键． （1）根据定理解答，再根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系计算，得到答案； （2）过作于，于，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （3）根据已知和（1）（2）的结论求出和的面积，即可求出答案． 【详解】解：（1）解：，，， ， 小亮证明用到的判定定理是， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：；，； （2）如图，过作于，于， 为的角平分线， ， ，， ； （3）， 由（1）知：， ， ， ，，平分， 由（2）知：， ， ． 19．（1）A；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系； （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长，交于点，证明，得出，，由证得，得出，进而根据即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴. ∴，. 在和中， ， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（1）；（2）见解析；（3）13 【分析】（1）延长至点E，使，连接，证明，得出的取值范围为，从而得到； （2）如图2，延长至点G，使，连接，证明，，通过三角形面积转化得到结论； （3）先证明，如图3，在上截取，，连接，通过三角形全等和三角形面积转化，得出的面积． 【详解】解：（1）如图1，延长至点E，使，连接， ∵点D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2，延长至点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵分别平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图3，在上截取，，连接， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴，，，， 过点N作于点P，过点E作于点Q， 则， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， 故答案为：13． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年度苏科版（2024）八年级上学期三角形中常用辅助线之倍长中线专题讲义 考点概述 ★在全等三角形的学习中，“倍长中线” 是一种高频考点的辅助线添加方法，其核心是通过延长三角形的中线构造全等三角形，进而实现线段、角的关系转化。 1、 定义： 倍长中线是指延长三角形的中线（从顶点到对边中点的线段），使延长后的线段长度与原中线相等（即 “倍长”），从而构造新的全等三角形。 2、 原理： 设△ABC 中，AD是BC边上的中线（即BD=DC），延长AD至点E，使DE=AD，连接BE（或CE）。此时：对顶角∠ADB=∠EDC（或∠ADC=∠EDB）；BD=DC（中线性质）；AD=DE（倍长构造）；根据 “SAS”全等判定定理，可证△ADB≌△EDC（或△ADC≌△EDB）。 3、 作用： 通过构造全等三角形，实现以下转化： ①线段转化：将原三角形中的边（如 AC）转化为新三角形中的边（如 BE），或将分散的线段集中到同一三角形中； ②角转化：将原三角形中的角（如∠CAD）转化为新三角形中的角（如∠E），实现角的等量转移。 四、考点分类： ①证明线段相等②证明线段平行③证明线段和差关系④证明角的不等关系 5、 易错点警示： ①辅助线描述：需明确 “延长某中线至某点，使延长部分等于原中线”，避免表述模糊导致全等条件缺失； ②对应关系：倍长后构造的全等三角形需准确识别对应顶点（如△ADB对应△EDC，而非△EDB），避免角或边的对应错误； ③隐含中线：若题目中未直接给出中线，但存在 “中点”条件（如D是BC中点），需主动识别AD可视为中线”，再应用倍长法。 6、 总结; 倍长中线的核心是 “构造全等、转化关系”，其考点围绕线段相等、平行、和差及角的不等关系展开。掌握这一方法的关键在于理解辅助线的构造逻辑，明确全等三角形的对应关系，进而实现已知条件与待证结论的 “桥梁搭建” 典例精讲 典例1．如图（1），在中，，． (1)若边的长度是奇数，求的长； (2)如图（2），为的中线． ①的周长为16，求的周长； ②求中线的取值范围． 典例2．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，在中，点在上，且，过点作交于点．若，求证：平分． 思路分析：当题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑用倍长法构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解题思路： 思路1：考虑倍长，如图②，延长至点，使，连接； 思路2：考虑倍长，如图③，延长至点，使，连接． (1)请挑选其中一种解题思路，给出证明． (2)如图，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，已知，求的长． 变式训练；阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线，∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1），∴， 在中，（依据2），∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题：如图4，中，，D为中点，求证：． 专题训练 一、选择题 1．在中，，中线，则的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 2．在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，为的中点，若．则的长不可能是（    ） A．5 B．7 C．8 D．9 4．如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．以上都有可能 5．如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点P是线段上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接，则的面积比的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是（    ）    A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④ 6．如图，在中，，是中线，是角平分线，点是上任意一点（不与，重合），连接、．给出以下结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 7．已知，中，，，是边中线，则的取值范围是 8．如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 9．如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则 ． 10．如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形． 三、解答题 11．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图，在中，，求出边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用二角形的三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 解：________ 12．【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系． 13．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．“∴”的推理过程． （1）求证：∴； 证明：∵延长到点，使， 在和中（已作）， （______）， （中点定义）， ∴（______）， （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 14．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，是边上的中线，若，，求边的取值范围．小琪同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，请根据小琪的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________． A．SSS    B．SAS    C．AAS （2）由“三角形的三边关系”可求得边的取值范围是_____________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【感悟方法】 （3）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，．试说明：． 15．综合与实践 问题情境：数学课上，老师让每个组准备了一张如图1所示的等腰三角形纸片，其中，是边上的中线．老师要求各个小组结合所学的图形变化的知识展开数学探究． (1)如图1，“勤学”小组发现图中的，请你用全等三角形的知识证明这一结论； (2)如图2，“善思”小组将图1中的纸片过点沿平行于的直线减掉一部分，连接，并在上取一点，连接，，使得．求证：； (3)如图3，“智慧”小组将纸片沿剪开，然后保持不动，调整的位置至，延长，交于点，连接，取的中点，连接，．求证：． 16．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 17．下面是小芳同学的部分数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 2024年10月11日星期五，今天参加课外兴趣小组活动时，老师提出了一个问题：如图1，在中，若，，则BC边上的中线AD的取值范围是多少？ 小组内的同学们经过讨论发现，如果在条件中出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结果转化到同一个三角形中，这样就可以找到解题方法：如图1，延长AD至点E，使，连接BE，可证得，进而可求得中线AD的取值范围．该小组在求解下面的拓展题时，发现也可以用这种方法解决． 拓展题：如图2，以的边AB，AC为边分别向外作等腰和等腰，其中， ，，F是的中点，连接，，当时，求的长． 任务： (1)图1中与的数量关系是______； (2)图1中，的取值范围是______； (3)求图2中的长． 18．【发现问题】（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，若，求边上的中线的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：如图①，延长到点E，使，连接，得到，他用到的判定定理是__________；（用字母表示），可以求得边上的中线的取值范围是__________． 【解决问题】 （2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”的字样，可以考虑构造全等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图，当平分时，若，求的值（用含m，n的式子表示）； （3）如图，平分，延长到E，使得，连接，若，求的值． 19．综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 20．学习理解： （1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________； 活学活用： （2）如图2，，，，点F为的中点． 求证：； 思维拓展： （3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________． 学科网（北京）股份有限公司 $$